Содержание к диссертации
Введение
Глава I. О структуре матриц релятивистских волновых уравнений (РВУ) для частиц с полуцелым спином 16
I. Модифицированный базис Гельфаяда-Яглома в теории частиц с полуцелым спином 16
2. Обобщенные символы Кронекера и элементы базисов полных матричных алгебр в сшшорных пространствах 22
3. Опинорная и матричная форму РВУ первого порядка.. 25
Глава П. Описание свободных и взаимодействующих с электромагнитным полем частиц различными релятивистскими волновыми уравнениями 31
4. Различные РВУ для свободной частицы с полуцелым
спином и их эквивалентность 31
5. Описание частицы с цедам значением спина 50
6. Уравнения для частицы, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем, и их неэквивалентность 58
Глава Ш. Описание статической электромагнитной струк туры частиц с полуцелым спином 62
7. Частица со спином 1/2 в электромагнитном поле 62
8. О связи уравнений Капри-Шамали и Дирака 80
9. Релятивистское волновое уравнение для частицы со спином 3/2 и ее аномальный магнитный момент 86
Глава ІV. Расширенные релятивистские волновые уравнения и описание статической электромагнитной структуры частиц с целым спином 96
10. Описание скалярной частицы со статическими электрической и магнитной поляризуемостями 96
П. О поляризуемости частицы со спином I 107
12. Скалярная частица в электромагнитном поле пб 13. Частица со спином I и ее статический аномальный магнитный момент 123
Литература
- Обобщенные символы Кронекера и элементы базисов полных матричных алгебр в сшшорных пространствах
- Описание частицы с цедам значением спина
- Релятивистское волновое уравнение для частицы со спином 3/2 и ее аномальный магнитный момент
- Описание скалярной частицы со статическими электрической и магнитной поляризуемостями
Обобщенные символы Кронекера и элементы базисов полных матричных алгебр в сшшорных пространствах
При описании свободных массивных ( т Д)) и безмассовых { т =0) частиц с целым спином с помощью обобщенных релятивистских волновых уравнений /16/ (С и 4 - квадратные матрицы, х - постоянная размерности обратной длины, Р - проективный оператор) эффективным оказывается использование так называемых обобщенных символов Кронекера и определяемых через них элементов базиса и полной матричной алгебры в тензорных пространствах /72, 142/ (см.также работы /41, 143/ и цитируемую в них литературу). Благодаря этому оказывается возможным приводить к матричной форме уравнения и все другие соотношения теории бозояных полей, записанные в явной тензорной форме, проводить исследование свойств матриц получаемых уравнений, развить общие методы расчета матричных элементов взаимодействия рассматриваемых бозонов при учете их поляризаций (см., например, /42-44, 66, 67/).
Покажем, что аналогичный подход может быть распространен на случай спинорных пространств, и, прежде всего, в теории частиц с полуцелым спином.
Следуя /142/, подобно тому, как задается общеизвестный символ Кронекера Ъкп ( кп =1, =п ; 1Й=» к п ), опреде - 23 лявдий элементы единичной /Vx/v -матрицы, введем спинорные символы Кронекера двух сортов: и которые будем рассматривать как элементы проективных матриц, выделяющих двумерные спинорные подпространства в пространстве биспи-норов. Определение величин &і и Sj можно расширить, введя величины - некоторые собиратель о яые спинорные индексы) со свойствами Элементы Г; и 0 операторов проектирования оС- () и =( J , выделяющих из спинорных пространств функций У = - (т/г \ІГа )т(7 зд-есь и далее знак транспонирования) либо произвольных спиноров ф подпространства спинорных величин v и xjrR , на коллективные индексы которых наложены те или иные условия сишетрии, назовем обобщенными спияорными символами Кронекера.
Найдем, в частности, выражения для символов 5"/f j и (с /) выделяющих из пространств спиноров второго ранга общего вида -у-и т/ подпространства симметричных спиноров у и " 7с /) » т,е выражения для обобщенных спинорных символов Кронекера 5"?jj и "Тсч/; » на коллектзвные индексы которых наложены условия симметрии Будем искать 5" и S"j// в виде и Из условий (2.2) - (2.3) следует, что % = fr и z = tf , а из (2.5) - (2.6) - г = г =1/2. Таким образом, т.е. размерность пространств спиноров " и «/j , как и должно получаться, равна трем.
Подобным образом определяются выражения для обобщенных спи яорных символов Кронекера F ., " и F у.". , выделяющих инвари (ctl — J t L..\ антные подпространства спиноров т/г0 " и fr(ctj...) , обладающих симметрией относительно перестановки любых двух индексов.
Как и в случае тензорных пространств /41,143/, с помощью введенных спинорных символов Кронекера Кл и 5" в пространствах пунктирных ( Ф А) и непунктирных ("$"&) спиноров можно определить: и е ( ей ) - 25 -І) элементы ортнормированных спинорных базисов % ( &А ) в t"heA, ( Л)В В Є Євв Л , А-(ЄА)т , (2в9) А С 2) элементы е? и е базисов обычных квадратных матриц ЄЛВ -- е -ЄА , (ejl)t - 5 ГС , є є = S e (2Л0) ( е е - матрицы-диады).
Спинорная и матричная формы РВУ первого порядка /137, 138, 141/
Техника введенных обобщенных спинорных символов Кронекера и определяемых через них матриц позволяет любую систему РВУ первого порядка, заданных в явной спинорной форме, представить с помощью простой процедуры в универсальной матричной записи (I) (или (2.1) получая при этом автоматически явные выражения для матриц виде линейных комбинаций базисных элементов (2.10) (сравните /41,143/).
В качестве иллюстрации рассмотрим заданные в явной спинорной форме уравнения Дирака для частицы со спином 1/2 и массой m j O и Паули-Фирца для массивной частицы со спином 3/2 (см.(1.14)). Используя результаты, полученные в 2, приведем указанные уравнения к матричной форме.
Описание частицы с цедам значением спина
Рассмотрим задачу, связанную с установлением связи различных Р-инвариантных релятивистских волновых уравнений (4.1) для свободной частицы с фиксированной четностью и единственными значениями целого спина S = п ( /? - целое, фиксированное число) и массы м 4 0. Как и для случая частиц с полуцелым спином, будем предполагать, что представление X-ТФ%М собственной группы Лоренца, по которому преобразуется волновая функция (ж) уравнения (4.1), задается в виде - простейшее (минимальное) приводимое представление этой же группы, необходимое при построении удовлетворяющего необходимым физическим требованиям /31,18/ уравнения (4.1) относительно функции fg(x) . Заметим также, что представление Т0 группы Лоренца SO (3,1) может содержать наряду с неприводимым представлением tf ( п/г , /г ) представления ( Ц±
Для решения поставленной задачи перейдем к рассмотрению частных решений fc(x) уравнений (4.1), отвечающих состояниям свободной частицы с заданными значениями 4-импульса f - ( fi , lp0 ) ( рг =рг-рї =-/п2 ) и проекции спина 53 на ось z , взятыми в системе покоя частицы. Как и в предыдущем случае здесь можно ограничиться анализом уравнений (4.2), где матрицы J и tf в базисе Гелъфаяда-Яглома имеют вид /14,31/
Здесь размерность единичной матрицы j} I и матрицы { определяется числом тех неприводимых представлений JZ) группы SO (3,1), которые содержат в себе неприводимые представления группы вращений веса & ; в(х = О, I,..., . Учитывая условия /14/ определяющие наличие у рассматриваемой частицы единственного массового состояния т f 0 с фиксированным значением спина s =/? , решения уравнений (4.2) запишем в виде проективных матриц-диад /15/
В соотношениях (5.5) показатель степени Д/ полагается равным показателю степени в выражениях (5.3); A e\J - (2t v+)y.(2e(#i)--матрица с единственным для каждого значения ( = S3 ненулевым, единичным элементом, положение которого смещается по диагонали вниз с увеличением в ;. Отсюда находим, что при в(г)ф п все компоненты
Здесь J}± - первый, например, столбец матрицы (±d) г (&t ) х х ( ±i(n)) (см. (5.5)); Я =( а ,& ,..., с ) - матрица-столбец с ( 2.П + І ) элементами, причем 3 =(1,0,...,0 )т , 3 + = (0,1,...,0) ,..., =(0,0,...,1)г ; Kz - нормировочные постоянные для волновых функций ,±М 2
Аналогично, для составляющих \1г х функций например, первая строка матрицы f-(t{) (Pz J xffii ti). Матрицы yz билинейной эрмитовой лоренц-инвариантной формы, с помощью которых определяются функции ті _. (5.8), в базисе Гельфанда-Яглома имеют вид /31,14/
Построим операторы / и К , связывающие решения ±АГ)5 и w-m с уравнений (4.2), соответствующие одному и тому же со-стоянию описываемой частицы. При этом, как и в случае свободных частиц с полуцелым спином, решим прежде всего задачу по определению ненулевой X - матрицы, удовлетворяющей уравнению I -lV- О, (5.П) где /І1 - матрицы, входящие в выражения (5.1) при ( - -= . Переписав уравнение (5.II) в виде (см.также (4.37)) Н Ьіт=0 , Mf= Ji?k f - we(fi )r (5.12) приходим к задаче по определению собственного ненулевого "вектора" X матричного оператора /%. , отвечающего нулевому - 54 собственному значению. При ее решении применим тот же метод, который был уже использован в 4, т.е. домножим уравнение (5.12) слега на матрицу ч ф у 0(е и учтем эрмитовость получаемой особенной матрицы 1 - г і%ю»iT - чТ (tf zTh . (5.13) Тогда оператор (сравните U.4I;) Хт = 4?Ье(& )г 5.14) является решением уравнения (5.II), (5.12). Здесь 4i,p и $"/ - матрицы, входящие в определение проективного оператора (см. (5.13)) у =Z , W 0, (5.15) выделяющего все без исключения собственные векторы X » Для которых xie X =0; Q - произвольная прямоугольная ненулевая матрица, размерность которой задается размерностью квадратных матриц и fiW .
Релятивистское волновое уравнение для частицы со спином 3/2 и ее аномальный магнитный момент
Убедиться в справедливости соотношений (5.23), (5.24) достаточно просто, если учесть соотношения (5.II), (5.16), (5.1)-(5.2), совокупность ограничений, наложенных на операторы /? и
К (5.21)-(5.22), а также то обстоятельство, что функции %,±f t,9z й , w,s3 являются решениями уравнений (4.2). Представление матриц Y" и X в виде (5.25)-(5.26) прак тически означает, что, как и в случае частиц с полуцелым спином (4), производится разбиение пространства Функций "Ф ! на подпространства функций Ф- и -чг л , отвечающие представлениям Т± и f ( Т?+TJ - % ) собственной группы Лоренца, где 7ТГ включает в себя все те неприводимые представ леяия Ф (каждое со своей кратностью nfiJ в Т j, кото / рые содержатся в Т0 .В свою очередь, подпространства функций -ф-(1 е) разбиваются на подпространства функций, в каждом l,±w, S3 из которых реализуется неприводимое представление полной группы Лоренца со своей кратностью, а порядок их расположения такой же как и для функции xfr .мс .
Используя полученные результаты, можно утверждать, что все релятивистские Р-инвариантные волновые уравнения для одной и той же овободной частицы с единственными значениями целого спина и массы m ФО и фиксированной четностью приводимы к уравнению того же вида, отвечающему схеме зацепления с минимально необходимым набором неприводимых представлений собственной группы Лорен - 58 ца, и в этом смысле эквивалентны друг другу. При этом справедливы соотношения типа (4.55)-(4.57), (4.51), т.е. для каждой пары уравнений (4.1) можно построить матричные операторы R и К , связывающие между собой решения и матрицы этих уравнений.
Заметим, что построение операторов /? и И (4.57) предложенным способом уже в простейших случаях связано с достаточно трудоемкой задачей определения собственных значений матриц зу (4.38), (4.44), (5.13), (5.18), а, значит, - проективных операторов /Эг (xgl ) I PiX(0) (4.40), (4.46), (5.15), (5.20). Основное значение такого подхода состоит в том, что таким образом устанавливается сама принципиальная возможность решения рассматриваемой задачи. В каждом конкретном случае, как будет показано ниже на частных примерах, существуют более простые способы построения искомых операторов Ц и /( , связанные, в частности, с использованием соотношений, вытекающих из условий (4.5), (5.3).
В 4,5 установлено существование матричных операторов R и /( (4.57), осуществляющих преобразования (4.55) при условиях типа (4.51), (4.56), т.е. переводящих в (4.1) второе уравнение для свободной частицы с единственными значениями спина s (целого или полуцелого), массы т Ф0 и Фиксированной четностью в первое. Задание /? и /{ в виде (4.57) связано с тем, что / -мерное пространство функции / = - (х)\ (Я =1,2,... /V ) (4.1), в котором реализуется представление 7}-2Ї 5 » Раз бивается на подпространства функций (х) = {" ( Ci } ключает в себя все те неприводимые представления Т/ (каждое со своей кратностью / в Td ), которые содержатся в минимальном представлении Т0 , реализуемом в пространстве функций Ф 0(х) =f )} ($ = 1,2,...,/ , ). Фигурирующие в (4.57) матрицы Л и С связывают составляющие функций 0(х) и -Фл (х) , имеющие одинаковые трансформационные свойства относительно преобразований Лоренца, а оператор , связывающий функции " (х) и vi ( ) і содержит в себе производные 2, Последнее вполне естественно, поскольку представления Т/ к ( Єг , в 7/ , могут быть построены из входящих в 70 представлений Т ( j , / ) с помощью операций (% fj ) (1/2,1/2), ( % ,Є- ) (1/2, 1/2) (1/2,1/2),..., где естественной, независящей от конкретной функции реализацией представления (1/2, 1/2) является 4-вектор ц .
Отыскание явного вида операторов R и К для каждой пары уравнений (4.1) не вызывает принципиальных затруднений.
Ситуация коренным образом изменяется, если попытаться установить связь уравнений учитывающих взаимодействие рассматриваемой частицы с электромагнитным полем, которое описывается 4-потенциалом JL( ) ( %, = --іеЛ„( ))ш Б этом случае, в отличие от уравнений для свободных полей, не удается проанализировать в общем виде характер соответствия между динамически независимыми физическими решениями уравнений (6.1) и (6.2). Тем не менее, выявленные в 4,5 свойства операторов К и \{ (4.57) (наличие в операторе R нулевого блока, постоянство матриц Я и С , выполнимость условия (4.51)) позволяют для выяснения свойств частицы, описываемой уравнением (6.1) при наличии внешнего электромагнитного поля, перейти к рассмотрению уравнения типа (6.2) относительно функции, преобразующейся по приводимому представлению 70 группы Яореяца (см. 4,5) и переходящей в г(х) при выключении взаимодействия. При этом остается справедлившл условие локальной калибровочной #(1)--инвариантностя теории.
Действительно, определим функцию в виде Ф М = К Ф( ) , К = [LN ) (6.3) Здесь ф(х) - некоторая, вообще говоря, неизвестная функция, преобразующаяся по тому же приводимому представлению Т0 груп пы Лоренца, что и функция свободной частицы -ф (х) ; Н - мат ричный оператор, который при принятых исходных условиях получает ся из оператора К (4.57) заменой всех содержащихся в нем про изводных
Описание скалярной частицы со статическими электрической и магнитной поляризуемостями
Следуя 6, рассмотрим аналогичную задачу при наличии взаимодействия частицы с внешним электромагнитным полем (см.также 7), вводимого в уравнение (4.1) с матрицами Uif (8.6) при условиях (8.7) удлинением производной 9, - - -сеА Сэс) В этом случае искомые операторы % и К , с помощью которых осуществляется переход от расширенного уравнения (6,1), (8,6), (8.7) к уравнению типа (6.7) с матрицами -% » представимы в виде (4.57), (6.4), где матрицы Л и О определяются по формуле (8.13), а
Тогда, в силу условий (8.7) получаем (см.(6.8)) т.е. имеет место эквивалентность уравнений Капри-Шамали и Дирака и при наличии внешнего электромагнитного поля. К такому же выводу придем, если будем исходить непосредственно из системы матричных уравнений (8.9) с удлиненной производной и произведем над этими уравнениями преобразования, аналогичные тем, которые были осуществлены в случае свободной частицы.
Следовательно, предположение авторов работы /58/ о том, что построенное ими расширенное уравнение может быть использовано для описания частиц со спином 1/2, обладающих некоторой электромагнитной структурой, является ошибочным. Применять при расчетах электромагнитных процессов это уравнение явно нецелесообразно, поскольку алгебра матриц оС (8.6) значительно сложнее алгебры матриц Дирака tffi (3.8) (см.(3.9)), а сами уравнения не содержат никакой дополнительной информации об описываемой частице.
Проведенный анализ позволяет сделать два важных вывода. Во-первых, на примере уравнений Капри-Шамали и Дирака видно, что наличие в Т± неприводимых представлений Tf собственной группы Яоренца, не содержащихся в Т0 (см. 4,5), не является достаточным условием, обеспечивающим появление дополнительного, отличного от нуля слагаемого Q (6.8), при приведений расширенного уравнения (6.1) к уравнению (6.7) относительно функции ф( ) с минималъ - 86 ншл числом компонент. Во-вторых, как это следует из формулы (4.56) (см.таїсже (7.43),(7.44)) дополнительное слагаемое Q в уравнении (6.7) может возникнуть и в том случае, когда Т±-% .
Релятивистское волновое уравнение для частицы со спином 3/2 и ее аномальный магнитный момент /137,138,147/
Рассмотрим два возможных варианта описания частицы со спином 3/2 и массой /и/Ос помощью релятивистских волновых уравнений первого порядка (4.1). При этом волновая функция ф0( ) первого из них - известного уравнения Паули-Фирца преобразуется по представлению собственной группы Лоренца, а матрицы о определяются согласно выражению (3.14). В СБОЮ очередь, в качестве расширенного представления Т. выберем представление со следующей схемой зацеплений:
Это соответствует выбору функций Yi ( ) и матриц ctt ъ виде то уравнение (4.1), (9.4) описывает частицу со спином S =3/2 и одним значением массы w 4 0. Из требования же эрмитовости матрицы ( fi.o y ) /31,18/, где в модифицированном базисе Гель-фанда-Яглома в соответствии с /В,31,61/ матрица f билинейной лоренц-инвариантной эрмитовой формы задается в виде
Используя условия (9.7) легко показать, что минимальный полином матриц J[ (9.4) равен (по /« нет суммирования;.
При решении вопроса о связи исследуемого уравнения с уравнением Пауяи-Фирца (4.1) с матрицами о" (3.14) перейдем от (4.1), (9.3)-(9.7), (9.9) к системе матричных уравнений первого порядка относительно функций 9 ( ) ....1 )(9.3):
Действуя на первое и второе уравнения системы (9,11) соответственно операторами и и суммируя результаты, получаем {»-1 (Thiml aie et) i (efhe:+ (9Л4) Если же подействовать на уравнения (9.II.I), (9.11,2) соответственно операторами И Н + /е1+ е )7 результаты просуммировать, то придем к уравнению +« ,) + W /У W«& - li 4 f eS0 % ,# (9.15) В свою очередь из (9.14), (9.15) следует Полученная система матричных уравнений (9,13), (9,16) как раз и представляет собой одну из возможных форм записи уравнения Паули - 91 Фирца для частицы со спином S =3/2 и массой Ф 0 (.см., например, 3).
Соотношения (9.12) можно представить в несколько ином виде. В силу условий (9.7) из первого и второго уравнений системы (9.II) имеем Отсюда, домяожая первое уравнение на %+ и второе - на и суммируя их, получаем или (см.(9.7))
К такому же результату можно прийти, если исходить непосредственно из системы уравнений (9.II) с удлиненной производной и произвести над ними те же операции, ч то ив случае уравнений для свободной частицы.
