Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ - ОСНОВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
1. Методологические основы формирования математических понятий 14
2. Методические основы формирования математических понятий 21
ГЛАВА II. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ В V-IX КЛАССАХ
1. Перечень математических понятий, наиболее часто встречающихся в основной школе и их трактовка 36
2. Методика введения математических понятий в V - IX классах с учетом особенности дагестанской школы 64
ГЛАВА III. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
1. Методика организации эксперимента 110
2. Результаты экспериментального исследования — 118
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 128
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 133
ПРИЛОЖЕНИЯ 144
- Методологические основы формирования математических понятий
- Перечень математических понятий, наиболее часто встречающихся в основной школе и их трактовка
- Методика организации эксперимента
Введение к работе
Школа, являясь одним из социальных институтов общества, всегда реагирует на те изменения, которые происходят в общественной жизни людей. Одним из таких факторов, оказывающих воздействие на школу на современном этапе развития общества, является осознание большинством людей того факта, что математическое образование является неотъемлемой частью их всеобщей культуры. Н.Карлов в своей статье "Полемические заметки о науке в наше время" (42, с. 68) считает виновным в расхождении во взглядах специалистов по гуманитарным и естественным наукам на познание окружающей действительности " традиционное школьное образование" и предлагает для ликвидации этого расхождения "гуманизацию технических умов через гуманитаризацию их образования". Автор считает абсолютно необходимым "владение основами математики всеми. Не надо быть математиком, но нужно владеть основами ее языка".
Математический язык (по определению Шихалиева Х.Ш.). являясь системой средств познания и описания законов окружающей действительности, включает в себя такие компоненты, как элементы теории множеств и математической логики, так и язык быта, арифметические, алгебраические преобразования и геометрические образы. Таким образом, усвоение математического языка неотделимо от формирования" основ математической культуры, и все это базируется на формировании математических понятий. Другими словами, в основе владения математическим языком лежат математические понятия, представляющие образы реальных объектов. Без четкого и рационального осмысления
математических понятий и без их формирования и вместе с тем их дальнейшего применения на практике немыслимо владение математическим языком. Поэтому путь к математике, к образованию через обучение математике начинается с усвоения математических понятий.
В.А.Гусев (33, с.17), комментируя высказывание Г. Фройден-таля, об отсутствии места математического воспитания в общей системе обучения, пишет: (,С этой мыслью нельзя не согласиться, так как вопрос воспитания через предмет математики исследован очень слабо". Очевидно, под воспитанием понимается автором формирование его (учащегося) математической культуры. Следовательно, формируя математические понятия в школьном курсе, мы. воспитываем школьника через предмет "математику" , то есть школьный предмет "математика" займет достойное место в формировании личности учащегося, "если формирование математических понятий будет происходить на должном уровне, адекватном современному пониманию науки, с одной стороны, и требованиям к школьному математическому образованию - с другой.
Проблема формирования математических понятий существует давно. Еще в 1939 году А.Я.Хинчин писал:"Идейный уровень преподавания математики в средней школе заметно отстает от его научного развития" (21, с.54). Автор утверждает эту мысль тем, что самые основные понятия излагаются "б несоответствии с их пониманием и трактовкой в современной науке".
Аналогичную идею высказал немецкий математик Ф.Клейн гораздо раньше, в начале XX века, в своем труде "Элементарная математика с точки зрения высшей" (46), где автор реали-
зует смысл названия по всем трем разделам элементарной математики. Несмотря на то, что с тех пор прошло немало времени, существенные изменения по многим вопросам в методике формирования математических понятий в общеобразовательной школе не произошли. Об этом свидетельствуют те противоречия в подходах к раскрытию содержания школьных программ, которые бытуют в школьной практике.Отсутствие достаточно разработанной единой системы формирования математических понятий, учитывающей специфику национальных школ, отрицательно сказывается на формировании математической культуры учащихся, на изучении ими основ информатики, на реализации внутри-и-межпредметных связей.
Анализ проведенных до сих пор научно-методических исследований в этой области преподавания математики свидетельствует о том, что все эти исследования, касаясь формирования понятий локально, зачастую косвенно, охватывают в большинстве своем "математическую сторону" понятий, оставляя в стороне вопросы адаптации этих понятий с точки зрения методики их формирования. Более того, проведенные исследования относились к тому школьному курсу математики,который охватывал всю среднюю школу, как целостную в системе школьного математического образования в рамках бывшего СССР, в рамках традиционной школьной программы без учета особенности школ регионов.
Закон Российской Федерации об образовании определяет среди многих других компонентов и такой, который является важным, на наш взгляд, элементом, свидетельствующим о демократизации образования :
Государственная политика в области образования основывается на следующих принципах:... в) общедоступность образования, адаптивность системы образования к уровням и особенностям развития и подготовки обучающихся, воспитанников" ( 37, статья 2-я). Этот компонент в системе принципов Закона об образовании важен для дагестанской школы, имеющей свои специфические условия. Далее, формирование математических понятий становится путеводителем в формировании личности, а формирование математических понятий происходит в основном на базе V-IX классов. Поэтому выбор нами классов не случайность.В основе этого выбора лежат два существенных фактора: с одной стороны, по Закону РФ об образовании этим классам дан статус " Основная школа ", с другой стороны, здесь приходится принимать во внимание фактор "национальной школы", где условия отличаются от тех, которые характерны для районов центральной России, Здесь следует учесть и другой фактор, что V-IX классы охватывают подавляющее большинство учащихся, представляют массовость, а это важно для перспективы образования, то есть только основная школа представляет наиболее эффективное поле реализации процесса обучения математике, поскольку учащиеся в этом возрасте способны воспринимать научную трактовку понятий, представляющих ядро математического образования, именно учащиеся этих классов в условиях Дагестана приступают к изучению математики на русском языке.
Образовательные и воспитательные задачи обучения математике должны решаться комплексно, с учетом не только возрастных особенностей учащихся и специфики математики как науки и как учебного предмета, но и региональных условий.
При решении этих задач, если их рассматривать в свете Закона об образовании РФ, часто остается в тени вопрос о том, где это обучение происходит: в центральных регионах русскоязычного населения или же в других областях, где русский язык, являющийся языком обучения, не является родным для учащихся. Без учета такого фактора учащиеся школ таких регионов, каким является Дагестан, впоследствии из-за слабого знания языка обучения окажутся отстраненными от творческого мышления в области математики ж реализации ее прикладных направлений. Это происходит лишь по одной причине: в свое время (особенно на первом этапе формирования понятий ) содержательное осмысление понятий не происходит, а имеющиеся учебные пособия для центральных регионов РФ обходят эту сторону вопроса, да и им такая детализация не нужна. Вот почему важным условием правильной и эффективной организации процесса обучения математике в таких регионах, каким является Дагестан, служит рационализация системы методов и приемов обучения математике (в частности, математическим понятиям), учитывающие их адаптацию для соответствующих условий обучения. Таким образом, вопрос о формировании математических понятий в системе школьного математического образования в Дагестане актуален с нескольких точек зрения:
а) усиление роли математической науки в компьютериза
ции многих технологических процессов требует пересмотра со
держания школьного курса математики и, следовательно, введе
ния многих понятий в обновленном содержании;
б) формирование математических понятий на базе основной
школы в условиях Дагестана, где родной язык не выполняет роль
~ 8 -
языка обучения предмету, не было специальным предметом исследования с точки зрения современного осмысления школьного математического образования в плане усиления роли предмета в воспитании и формировании математической культуры учащихся.
Оба эти фактора требуют своего решения -комплексно,они исследованы или частично ( выборочно относительно отдельных понятий), или вообще не исследованы, особенно последний компонент - национально-региональный фактор. Таким образом, проблема формирования математических понятий в V-IX классах требует своего решения особенно сегодня, когда математическое образование становится приоритетным,в образовании присутствует элемент "математика для всех" независимо от того, где этот школьник находится: в Москве, в Махачкале или в каком-то другом регионе.
Именно в этом вопросе уместно сослаться на высказывание Дж. Пойа: " Цели,содержания и методы обучения зависят от условий, места и времени; они должны удовлетворять потребности общества и ограничены возможностями обучающего персонала и средствами " (85, с. 89-90). Эти пожелания ученого остаются недостаточно исследованными с точки зрения современных условий и требований к школьному образованию.
Г.В.Дорофеев (35, с.2), определяя два фактора в выявлении интеллектуального уровня развития личности ( с одной стороны, объем приобретаемой информации, а с другой - способность использовать эту информацию), обращает особое внимание на фактор трактовки материала как на одно из важнейших направлений школьного математического образования для интеллектуального развития учащихся. Вместе с тем, автор считает, что
создание такой базы ( содержания) вместе с методическим механизмом переработки этих данных в процессе учебной деятельности и является центральной проблемой методической системы обучения.
Н.Я. Виленкин (19, стр. 11), анализируя научно- методические исследования в области методики школьного курса математики за последние 50 лет, приходит к выводу о том, что эти исследования мало что изменили в системе школьного образования, и, по мнению автора, одной из важнейших проблем, стоящих перед специалистами по преподаванию математики в школе, является установление правильного соотношения между выбором уровня абстрактности изложения материала, развития математического мышления и формированием у них необходимых знаний и навыков, а также умений прикладного характера.
Проблема формирования математических понятий V - IX классах нашла свое частичное отражение в исследовании Х.Ш.Шиха-лиева, разработавшего основу альтернативной системы обучения математике в основной школе, но она не стала предметом специального исследования в системе математического образования, в формировании личности. Этой проблемы касался в своих ис -следованиях и ДЖЛкрамов.
Таким образом, мы видим, что проблема формирования математических понятий существует не только для школ отдельных регионов, но и для всей системы математического образования в Российской Федерации, ее актуальность становится важным аспектом и в методике обучения математике в школах, где активно проявляет себя регионально-национальный характер.
Проблема формирования математических понятий в V - IX
классах предопределила нашу цель исследования, заключающуюся в разработке методики формирования математических понятий в основной школе с учетом особенности дагестанской школы.
Объект исследования - процесс формирования математических понятий в V - IX классах общеобразовательной школы.
Предмет исследования - методические приемы, направленные на формирование математических понятий в V - IX классах.
Гипотеза исследования: целенаправленное поэтапное формирование математических понятий, составляющих ядро "математического языка" с использованием приемов, учитывающих особенность дагестанских школ, будет способствовать существенному улучшению сформированноети их у учащихся 5-9 классов, развитию математической культуры, повысит качество усвоения математики.
Для реализации намеченной цели и проверки достоверности выдвинутой гипотезы, решались следующиие задачи :
выявление философских, методологических основ математических понятий в развитии математического образования;
проведение анализа имеющейся научно-методической и учебной литературы, касающейся формирования математических понятий в школе;
анализ понятий по математике, на основе которых раскрывается содержание школьного курса математики в основной школе;
разработка методической системы формирования изучаемых математических понятий в основной школе с учетом особенности Дагестана;
5} экспериментальное исследование разработанной системы формирования математических понятий в V - IX классах школы. Научная новизна исследования состоит в том, что создана
- и -
концепция формирования у учащихся математических понятий, составляющих ядро математической культуры с учетом специфики обучения математике в дагестанской школе,где языком обучения служит русский, начиная с 5 класса.
Практическая значимость исследования состоит в том, что разработана концепция формирования математических понятий в основной школе, где языком обучения является русский (не родной) , и содержание разработанной системы может быть использовано учителями математики как дагестанских школ, так и учителями математики других регионов РФ, имеющих аналогичную особенность; студентами на занятиях по методике преподавания математики; авторами школьных учебников.
Методологической основой исследования послужили:
1) фундаментальные работы по формированию мировоззрения учащихся при изучении математики (А.Д. Александров, Н.Бурба-ки, А.Н.Колмогоров, Б.Б.Гнеденко, Г.й.Рузавин, И.Ф. Тесленко, Л.М.Фридман, А.Я.Хинчин и др.);
2} результаты теоретических и практических исследований советских и зарубежных психологов и педагогов в области теории педагогики и психологии ( Л,В.Банков, С. П. Баранов, М.Н.Скаткш,Н.А.Менчинская, В.А.Крутецкий и др. );
3) многочисленные исследования по проблемам формирования математических понятий в средней школе, в том числе работы А.А.Столяра, В.А.Гусева, Е.Мяшенко, X.Ш.Шихалиева, Г.И.Саранцева, Дж.Икрамова, относящиеся к исследуемой области методики.
Апробация и внедрение. Основные методические положения докладывались на научно-практических конференциях и методичес-
ких семинарах ДГПУ, ДГУ и ДЙПКПК (1993 - 1998 г.г.), на методических семинарах учителей математики школ: Казбековского и Агульского районов Республики Дагестан (1997 г.)
Результаты исследования внедрены в практику работы школ селений Цуртыль, Хучни, Тинит Табасаранского района РД.
На зашиту выносится концепция формирования математических понятий в V - IX классах основной школы в условиях Республики Дагестан, где языком обучения служит русский, начиная с 5 класса.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.
В первой главе " Математические понятия - основа математического образования" раскрываются методологические основы формирования математических понятий.
Во второй главе " Методика формирования математических понятий в V - IX классах" дается перечень математических понятий , наиболее часто встречающихся в основной школе, и принципы их формирования, раскрывается методика их изучения.
В третьей главе " Результаты экспериментального исследования*' раскрывается суть организационной и практической работы в школах при проведении экспериментальных исследований, дается анализ результатов письменных и устных работ в контрольных и экспериментальных классах школ.
В заключений диссертации определяются некоторые рекомендации для совершествования методики преподавши математики, в частности» при формировании математических понятий, а также составителям учебных пособий для школ. Прилагается список использованной литературы и несколько приложений.
Методологические основы формирования математических понятий
Взаимосвязь философии и математики заключается в том, что, с одной стороны, математика использует законы диалектики для анализа содержания и определения своих понятий, с другой стороны, математические понятия оказывают воздействие на развитие философской мысли. Как отмечает Г.Вейль (0, с.30), в духовной жизни человека взаимодействуют две сферы:сфера творчества, конструкции, открытия и сфера рефлексии. Математика отдает дань как области конструктивного действия ( открытию новых понятий и приложений), так и сфере рефлексии, находящей свое выражение в математике. Первый аспект связан с прогрессом эволюции в математике, выражающемся в разнообразии теории, а второй связан с математическими моделями этих реалий. "Математика, - пишет Л.М.Фридман, - как и другие науки, изучает окружающий мир, природные и общественные явления, но изучает лишь особые стороны этих явлений (117, с. 18). Следовательно, математика путем создания системы различных абстрактных объектов, выражающих так ИЛИ иначе типы структурных отношений между ЭТИМИ объектами, отражает определенную сторону объективной действительности, и это отражение рассматривается как процесс математического упрощения и создания абстракций, вполне воспроизводящих в сознании человека реальные количественные отношения и пространственно -подобные формы. Задавая себе вопрос: "Какая реальность стоит за математическими символами?11, - доктор философских наук А.Нысанбаев ( 64, с. 10) отвечает :" Зарождение математики и ее становление происходило в лоне непосредственной, чувственно- предметной деятельности человека, удовлетворяя выдвинутую развитием общественной практики потребность в познании количественных отношений и пространственных форм объективной действительности". Это говорит о том, что на ранних этапах становления математики никаких сомнений нет относительно природы математических понятий, они берут свое начало из реальной жизни. Разница лишь в том, что специфика математического понятия такова, что изучаемые формы и отношения объективной реальности становятся безразличными к конкретному содержанию, что математические объекты предстают перед субъектом в "чистом" виде. Таким образом, в математическом понятии, появившемся из недр объективной реальности, субъектом отделяются пространственная форма и количественные отношения от содержания, отделяются количеотва от качества. Однако такое отделение субъектом допускается временно для упрощения процесса математического мышления, на самом деле такое отделение невозможно. А.Д,Александров считает, что "математика, по самой своей сущности стремящаяся осуществить такое отделение, стремится осуществить невозможное" ( 3, с. 70). Действительно, с одной стороны, в эмпирической, физической реальности отделение формы от содержания, количества от качества невозможно, а с другой - такое отделение все же представляет собой реальность в математике, и эта реальность, считает А.Нысанбаев, не тождественная с той, которая раскрывается в созерцании природы, называется математической реальностью.
Таким образом, математическое понятие, получив себе статус иного бытия, отличного от реального, становится реальным объектом, перешедшим в ранг идеальности, и эта реальность становится непосредственным предметом деятельности субъекта, то есть такая деятельность по отношению к объективной реальности становится системой опосредованного знания. Следовательно, все положения и понятия, формулы теоретической математики относятся непосредственно не к реальным, эмпирическим объектам, а к чисто математическим ( теоретическим), идеализированным. К примеру, математическое понятие "точка" в природе отсутствует, но субъект воспринимает это понятие как реальность. При такой идеальной реальности субъект лучше понимает суть вещей, чем другой субъект, который не знаком с этим понятием, следовательно, такие математические понятия непосредственно отражают не предмет, не внешний мир, но отражают функцию, тип отношений. Французский математик Ф. Люсь-ен ( 58, с. 16} утверждает, что "современная математика занимается не столько объектами исследования, сколько структурой отношений между этими объектами ".
Перечень математических понятий, наиболее часто встречающихся в основной школе и их трактовка
Материал зтого параграфа - математические понятия, наиболее часто встречающиеся в основной школе с трактовкой, практикующейся в школьной методике (52,64.66). используется нами для сопоставительного анализа данных определений с теми, которые вводятся в нашем исследовании, с учетом современных требований к определениям понятий и роли приоритетности изложения материала.
АБАК - счетная доска у древних греков и римлян, в последствии перешедшая и в средневековую Западную Европу, он встречается и по настоящее время у некоторых народов востока, в частности, в Китае.
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА действительного числа х (обозначается 1x1) есть неотрицательное число, определяемое следующим образом: если х 0, то 1x1 х; если х 0, то 1x1—х.
АБСЦИССА - первая из координат ( декартовых и афинных) точки, обозначается обычно буквой х латинского алфавита. Слово "aBscissus" (лат.) означает отрезанный. АКСИОМА - предложение, принимаемое без доказательства, рассматриваемое как исходное при построении той или иной математической теории. По гречески "axsio-ma" - значимое, достойное уважения, принятое, бесспорное. АЛГЕБРА - математическая наука, объектом изучения которой являются группы, кольца, поля, структуры и другие. Отдельной ветвью алгебры является элементарная алгебра, объектом изучения которой, в основном, являются уравнения и неравенства первой и второй степени и частные случаи высших степеней, простейшие элементарные функции, шь нятия числа и предела, тождественные преобразования и вопросы комбинаторики. Границы содержания элементарной алгебры четко не установлены. Слово "алгебра" связано с заглавием книги ал-Хорезми "Китаб ва-алмукабала". АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ - выражение, составленное из букв и чисел, соединенных между собой знаками алгебраических действий, возможны и скобки. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО - корень многочлена с целыми рациональными коэффициентами. АЛГОРИТМ (алгорифм) - точное предписание (инструкция, правила, рецепт) и выполнение в определенном порядке некоторой системы операций, позволяющие решать совокупность задач определенного класса.
Слово "алгоритм " возникло в результате искажения имени великого узбекского математика в IX веке ал-Хорезми, ал-Ферезми (algorithm!).
АПОФЕМА - длина перпендикуляра, опущенного из центра правильного п-угольника на какую-либо его сторону.
АРАБСКИЕ ЦИФРЫ - названия следующих математических знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры пришли к арабам из Индии около XI в., а затем от арабов в Европу.
АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ - независимая переменная, вместо которой подставляются имена объектов соответствующей области.
АРИФМЕТИКА - одна из основных отраслей математики, изучающая простейшие свойства рациональных чисел и действия над ними. Слово "агі Шпика" происходит от слова " arithmos" - число.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ - последовательность чисел, каждое из которых, начиная с 2. получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного (для всех членов) числа а, называемого разностью арифметической прогрессии.
Методика организации эксперимента
Прежде всего нас интересовала учебно - познавательная деятельность учащихся, то есть такая деятельность, где соединяется учебная деятельность учащихся (формирование математических знаний и умений) с познавательной деятельностью (знакомство школьников с методами познания, различными способами получения знаний - объяснение, чтение, проведение опыта,решение задачи и т.д.). Существенным признаком учебно - познавательной деятельности учащихся является, по утверждению М.Н. Скаткина, ее творческий характер ( 105, с. 20), основанный на активном участии школьников в процессе деятельности. Другими словами, задачей эксперимента было: 1) формирование у учащихся математических понятий с учетом языковой особенности национальных школ; 2) осознание учащимися того, что изучаемые понятия необходимы в практике; 3) раскрытие учащимся тех источников, на основе которых формируется данное понятие.
Без четко выраженного движения от фактов, известных ученикам, к фактам, не известным им, без осознания связи между реальными фактами и абстрактными понятиями невозможно усвоить основы математической науки. Каждое понятие, изучаемое в школе, нами раскрывалось на полной ее логической основе, и мы старались добиться того, чтобы усваиваемое понятие было осознано учащимися. Вот главная задача эксперимента.
Прежде всего был осуществлен отбор понятий, которые должны были быть рассмотрены нами на уроках математики. При этом мы не ограничивались программными требованиями.Среди подбираемых нами понятий были, например, такие понятия, как множество, объединение множеств, высказывание, сложные высказывания и т.д. (см. приложение N 1). Рассмотрим одно из них - "координатную плоскость", которое имеет широкое практическое и теоретическое значение при формировании общематематической культуры школьника. Первоначальной моделью этого понятия может являться земная поверхность, географическая карта, которая разбита на четыре участка двумя линиями: нулевым меридианом и экватором Земли. Положение объекта на земной поверхности определяется тем, на каком меридиане и на какой земной параллели он находится, первое число называется долготой, а второе - широтой местности.
Историческая справка по этим данным очень интересует учащихся. Еще в XIV веке на основе этой модели построением графиков функций занимался французский математик Н.Орезм, а в XVII веке впервые ввел систему координат в той форме, какая нам знакома теперь, другой французский математик Р.Декарт. Предматематикой такого понятия может быть инсценировка в классной комнате, на площадке, во дворе с использованием терминов: направо - направо, направо - налево, налево - направо, налево - налево, а затем эти движения схематично изобразить на бумаге,определив предварительно единицу измерения длины.После такой тренировки учащиеся, повторяя геоографию, проявляют к к ней особый интерес, осознавая связь этого предмета с математикой. С другой стороны, само понятие "координатная плоскость" воспринимается легко и с пониманием цели и назначения этого понятия. И самое главное, в записи для учащихся М(х;у) существенное значение имеет расположение чисел - координат точки, поскольку первое число означает движение влево -вправо от начальной точки, а второе число означает движение "вверх - вниз".
При рассмотрении житейских примеров и наблюдении, как из них вырисовывается отвлеченное математическое понятие, учащиеся активно мыслят, стараются выискивать общие схемы в различных по содержанию примерах.Например, в футбольном поле находят аналогию с координатной плоскостью, в направлениях к горизонту и т.д. А все это очень влияет на развитие детей, на их интеллектуальный уровень, на понимание сути математической науки как царицы и как служанки всех остальных наук.
