Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Психолого-педагогические аспекты формирования содержательно-методической линии задач с параметрами в системе школьного математического образования.
1. Основные характеристики понятий «система» и «системный анализ» в учебно-методической литературе.
1.1. Определение системы 12
1.2. Классификация систем 14
1.3. Определения системного анализа и системного подхода 18
2. Обзор систем современного школьного математического образования 19
3. Системный подход в обучении 28
4. Анализ положения задач с параметрами в современной системе школьного математического образования.
4.1. Статистический анализ 41
4.2. Методологический анализ 46
4.3. Психологические аспекты 53
Глава 2. Методологический анализ содержательно-методической линии задач с параметрами.
1. Задачи с параметрами как аналоги научно-исследовательских задач прикладной математики 59
2. Вопросы классификации задач с параметрами и методов их решения.
2.1. Систематизация задач с параметрами 66
2.2. Некоторые методы решения задач с параметрами 72
3. Основные понятия задач с параметрами.
3.1.Понятия «параметр» и «задачи с параметрами» в пособиях 77
3.2.Понятие «параметр» в учебно-методических комплектах по математике 79
3.3. Определение понятия «параметр» 82
3.4.Основные понятия, связанные с определением параметра 86
3.5. Понятие решения задачи с параметрами 88
4. Понятие общего решения уравнения и неравенства с параметром (параметрами).
4.1 Уравнение с одной переменной и одним параметром 93
4.2. Классы однотипности частных уравнений 98
4.3. Понятие общего решения неравенства с параметром 106
Глава 3. Разработка и формирование содержательно-методической линии задач с параметрами.
1. Принципы разработки содержательно-методической линии задач с параметрами 109
2. Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами 114
2.1. Понятия постоянной и переменной величин. Выделение параметров из множества переменных 116
2.2. Введение понятия линейного уравнения относительно приоритетной переменной.
2.2.1. Рассмотрение частных случаев линейных уравнений 119
2.2.2. Формулировка понятия «уравнение», «корень уравнения» 122
2.3. Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами в ходе изучения свойств квадратичной функции 129
2.3.1.Методика построения содержательно-методической линии задач с параметрами в теме «Квадратный трехчлен. Квадратичная функция» 130
3. Результаты экспериментальной работы и основные выводы 142
Заключение 159
Библиография 160
Приложение 176
- Классификация систем
- Задачи с параметрами как аналоги научно-исследовательских задач прикладной математики
- Принципы разработки содержательно-методической линии задач с параметрами
Введение к работе
В «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года», содержатся следующие положения:
« Роль математической подготовки в становлении современного человека определяет следующие цели школьного математического образования:
- приобретение конкретных математических знаний, необходимых для
применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин
образования, для продолжения образования;
интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе;
формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;
формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии человеческой цивилизации и современного общества.
Порядок перечисления этих целей не определяет их иерархии, все они рассматриваются как одинаково значимые для формирования личности в процессе освоения математики».
Роль образования для развития творческих способностей личности неоценима. Особенно важна роль математики. «За всю историю человечества пока не найдено лучшего способа развития интеллектуальных и творческих способностей человека, чем при помощи математики» [123]. «Важнейшим средством формирования у школьников высокой математической культуры, активизации обучения математике является эффективная организация и управление учебной деятельностью в процессе решения различных математических задач» [54].
Существующая ныне система учебных математических задач, созданная в основном во второй половине XX века, не отвечает уже в полном объеме
современным требованиям. Теория и практика методики обучения математике показывают, что учащемуся уже недостаточно знать лишь предметное содержание математического факта для его полноценного усвоения. Требуется еще уметь видеть и понимать способы организации этого содержания, логическую структуру изучаемого, его место в общей системе математических знаний. Но для этого необходимо предложить инструмент, позволяющий учащимся выработать современный системный тип мышления ([122], [96], [97], [7]), отвечающий настоящему этапу развития общества. Мышление всегда системно. Успешность решения той или иной задачи зависит от того, насколько системно подходит к ее анализу решающий задачу. Неудачи зачастую связаны с отходом от системности, с недооценкой тех или иных связей между компонентами системы. Нам видится, что задачи с параметрами представляют собой именно такой инструмент для реализации современных целей математического и не только математического образования учащихся. При этом решение задач будет осуществляться переходом на новый, более высокий уровень системности [5].
В школьной математике хорошо известны различные содержательно-методические линии ([79],[80], [81], [40], [29], [30], [68] и др.): арифметическая, числовая, функциональная, геометрическая, тождественных преобразований, эквивалентностей или равносильных преобразований, алгоритмическая и т.д., однако устоявшееся определение данного понятия отсутствует. Некоторые из названных линий существуют только в курсе школьной математики, появляясь в определенных местах курса (арифметическая линия), некоторые проходят через весь курс (функциональная, алгоритмическая линии), являясь «сквозными методическими линиями» [68], имеющими продолжение и в курсе высшей математики. Однако, ограниченность круга задач, предлагаемых в УМК, однотипность алгоритмов, присущих им, уже не может удовлетворять современным потребностям школьного образования. Следует отметить, что в средней и старшей школе превалирует классический подход к преподаванию не только математики, но и большинства предметов. Это объясняется рядом
причин методического и психологического характера, в том числе и отсутствием инструментария реализации задач развивающего образования, необходимого современным учащимся.
Таким инструментарием в курсе математики должна стать
содержательно-методическая линия задач с параметрами. Глубокая, богатая идеями и методами - содержательно-методическая линия задач с параметрами как нельзя лучше позволит развить активную творческую деятельность учащегося, развития его системного мышления, подготовки к решению действительно творческих задач, которые со временем перед ним поставит сама жизнь. Глубина идей решения позволит системно выявлять категорию учащихся, которые в дальнейшем будут связывать свою жизнь с точными науками. Однако и для других учащихся участие в решении задач с параметрами даст возможность занимать активную творческую позицию. Отметим, что наиболее высокая форма синтеза знаний реализуется в виде наук о самых общих свойствах природы. К числу таких наук относится, в первую очередь, философия, которая выявляет и отражает общие свойства существования материи. Поэтому идеи, методы и подходы, привносимые содержательно-методической линией задач с параметрами, может быть еще в большей степени полезны «гуманитариям», нежели «технарям».
В силу своего богатого общекультурного потенциала и развивающего
характера, соответствия целям математического образования, задачи с
параметрами стали объектом пристального изучения многих математиков и методистов. В книгах таких авторов как Моденов П.С., Моденов В.П., Новоселов СИ., Мордкович А.Г., Шарыгин И.Ф., Олехник С.Н., Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х., Башмаков М.И., Вавилов В.В., Галицкий М.А., Гольдман A.M., Голубев В.И., Марков В.К., Звавич Л.И., Мельников И.И., Сергеев И.Н., Пасиченко П.И., Тынянкин С.А., Ястребинецкий Г.А. и многих других рассмотрен широкий класс задач с параметрами и различные методы их решения. Однако используемый в литературе экстенсивный подход привел к увеличению примеров, не столько имеющих самостоятельную ценность,
сколько * затрудняющих ориентацию учащихся в обширном спектре разнообразных задач с параметрами. Но в большинстве пособий явно или неявно подразумевается, что использующие их школьники свободно владеют основными методами решения любых задач школьной программы. Практически всегда, конкретный учебный материал в них носит очевидный «постшкольный» характер. Изложение и предмет исследования чаще всего начинается там, где кончается обычная школьная программа. При таком подходе «переориентация методической системы на приоритет развивающей функции обучения по отношению к ее образовательной, информационной функции, как основной задаче перестройки школьного математического образования» (Г. В. Дорофеев) не происходит.
Задачам с параметрами, а так же методам их решения посвящены специальные разделы в пособиях для поступающих в вузы, отдельные* монографии и диссертационные работы ([3] ,[27], [28], [29], [30], [39] и др.). В диссертационных исследованиях Арюткиной СВ., Брянцевой Т.Н., Горбачева В.И., Остапчука А.И., Толпекиной Н.В., Шивринской Е.В., приведены различные методики их использования и приёмы решения многочисленных типов задач с параметрами. Однако в них задачи с параметрами не рассматриваются как составная часть системы школьного математического образования, а только как её продолжение, или как некоторое её дополнение. Тем самым общая направленность этих диссертационных исследований также состоит в рассмотрении все более сложных видов задач, при котором задачи школьного курса алгебры априорно уже «вынесены за скобки». Другими словами, в упомянутых работах и диссертационных исследованиях не ставится вопроса о создании новой содержательно-методической линии как составной части системы общего школьного математического образования,
В настоящем диссертационном исследовании задачи с параметрами, как правило, не усложняются, а упрощаются и при этом приводятся в системное соответствие с такими базовыми школьными темами как: линейная функция и её график, решение линейных и квадратных уравнений и неравенств и т.д.
Движение по содержательно-методической линии задач с параметрами происходит не «вверх», по нарастанию сложности, а, напротив, к основам школьной математики. Проблема целостного интегрирования линии задач с параметрами в сложившуюся систему школьного математического образования, проблема системной подготовки учащихся к выпускной аттестации , имеющееся явное противоречие между количеством и уровнем сложности задач с параметрами, изучаемых в школе, и задач на эту тему, предлагаемых при поступлении в вузы или среди задач с развернутым ответом единого государственного экзамена определили актуальность диссертационного исследования.
Имеется противоречие между потребностью учащихся и учителей в научно обоснованных методологических подходах, представляющих элемент методической системы, направленной на формирование системного мышления в рамках содержательной линии задач с параметрами и, соответственно, преподавания математики и почти полным их отсутствием в процессе обучения.
Проблема исследования состоит в разрешении противоречия между уровнем сложности задач с параметрами, изучаемых в школе, и уровнем сложности задач, предлагаемых при поступлении в Вузы, задач с развернутым ответом Единого Государственного экзамена, в выявлении возможных путей совершенствования обучения математике и разработке соответствующих средств реализации через создание содержательно-методической линии задач с параметрами.
Объект диссертационного исследования — курс алгебры основной школы и курс алгебры и начал математического анализа старшей школы.
Предмет диссертационного исследования - содержание, формы, методы и средства решения задач с параметрами в средней общеобразовательной школе.
Основной целью данного исследования является формирование содержательно-методической линии задач с параметрами как естественной и системной составляющей части современных курсов алгебры и алгебры и начал анализа школы.
Гипотеза исследования состоит в том что, создание содержательно-методической линии задач с параметрами и системное использование этих задач будет служить для того, чтобы не только формировать учебные навыки, но и самым благоприятным образом способствовать развитию системного типа мышления учащихся, показывать учащимся возможности практического применения полученных ими знаний, идей и методов, предоставить каждому учителю возможность строить на ее базе целую мозаику элективных курсов, органично составляющих с ней единое целое и использующих основные идеи и методы в приложениях к тем или иным предметам: физике, экономике и др. Цель и гипотеза исследования потребовали решения ряда задач:
Провести методологический анализ положения задач с параметрами в школьной математике.
Разработать понятийный аппарат содержательно-методической линии задач с параметрами.
Провести систематизацию основных типов задач с параметрами, а также методов их решения.
Решить проблему включения содержательно-методической линии задач с параметрами в процесс преподавания математики как линии, равноправной другим содержательно-методическим линиям курса школьной математики.
Разработать конкретные методики преподавания, которые позволят рассматривать задачи с параметром, как естественную и неотъемлемую составляющую часть тем, курсов алгебры и алгебры и начал анализа.
Создать систему математических заданий и разработать методику обучения учащихся решению задач с параметрами.
7. Экспериментально подтвердить целесообразность создания
содержательно-методической линии задач с параметрами в курсе математики
общеобразовательной школы.
Решения перечисленных задач составили основные шаги в достижении главной цели данного исследования.
В ходе решения поставленных задач применялись различные методы
исследования: анализ философской, психолого-педагогической,
математической и научно-методической литературы, школьных учебников и учебных пособий, пособий по подготовке для поступления в ВУЗы ; обобщение наличествующего опыта по исследуемой проблеме; анализ личного опыта работы в школе и опыта работы других учителей математики; педагогический эксперимент по проверке основных положений диссертационного исследования.
Научная новизна проведенного исследования состоит в следующем:
Обоснована насущная необходимость создания содержательно-методической линии задач с параметрами в курсе математики средней общеобразовательной школы.
Разработан понятийный аппарат, явившийся основой решения проблемы формирования содержательно-методической линии задач с параметрами и её системной интеграции в курс математики средней общеобразовательной школы
Представлена систематизация основных типов задач с параметрами. Дана классификация основных методов их решения и проведен системный анализ этих методов.
Предложены разнообразные и конкретные методики преподавания содержательно-методической линии задачи с параметрами в курсе математики общеобразовательной школы.
Теоретическая значимость исследования состоит в следующем:
Решена проблема системного включения содержательно-методической линии задач с параметрами в существующую систему обучения математике в школе. Предложены пути реализации такого включения, начиная с базового уровня школьного математического образования.
Разработаны определения теоретического понятия «параметр» в учебных математических задачах, понятия «задача с параметрами», «общее решение задачи с параметрами».
3. Определены место задач с параметрами в общей структуре содержательно-методических линий школьного курса математики как обобщающей составляющей этого курса.
Практическая значимость исследования заключается в следующем.
Предложены методики, устанавливающие общие методы решения задач с параметрами, конкретные примеры, приводимые в исследовании для усвоения соответствующих методов, подготовленные для их включения в учебные и методические пособия, практику работы учителей математики.
Разработано методическое содержание линии< задач с параметрами, учебные материалы по темам курса математики, содержащие задачи с параметрами.
Созданная содержательно-методическая линия задач с параметрами позволяет активизировать творческую составляющую деятельности учащихся, развить их системное мышление , подготавливает к решению действительно творческих задач.
Разработаны методики поэтапного формирования навыков решения задач с параметрами в курсе математики 7 — 9 классов основной школы и их дальнейшим продолжением в курсе математики старшей школы.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается реализацией комплексных методов, адекватных задачам исследования, сочетанием количественного и качественного анализа материала, внедрением полученных результатов в учебный процесс отечественных школ, педагогическим экспериментом и положительными результатами экспериментальной работы.
Апробация и внедрение результатов.
Основные положения диссертации нашли применение в преподавательской деятельности по авторской программе (программа утверждена МИОО 31.08.04) в гимназии №1522 СЗОУО г. Москвы.
Положения диссертации обсуждались на заседаниях секции методики математики «Ломоносовских чтений» МГУ механико-математического
факультета МГУ им. Ломоносова (апрель 2008 г.) , на «Днях Науки» математического факультета МГПУ в 2005, 2008 гг., на заседаниях научного семинара кафедры элементарной математики и методики ее преподавания механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова, на XXVII Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических ВУЗов «Проблемы многоуровневой подготовки учителей математики для современной школы» (г. Пермь 2008г.), на Московской областной научно-практической конференции «Актуальные вопросы преподавания математики в школе и педагогическом вузе» (г. Коломна 2008 г).
Основные положения и результаты диссертации были апробированы на занятиях спецкурса дисциплины по выбору для студентов III — V курсов математического факультета МГПУ, в выступлениях на методических семинарах для учителей математики Северо-Западного учебного округа г. Москвы (в 2003 - 2007 годах), при чтениях лекций на курсах повышения квалификации учителей математики при МГПУ в 2003-2007 годах.
Результаты исследования изложены в 16 публикациях печатных периодических изданий, распространяемых на территории всей РФ: журналах «Квант», «Математика в школе», «Потенциал», газете «Математика. Приложение к газете «Первое сентября».
На защиту выносятся следующие положения:
1. Созданная в результате проведённого исследования система понятий
образует теоретическую базу формирования содержательно-методической
линии задач с параметрами в курсе математики общеобразовательной школы,
отвечающей насущной необходимости современного общества.
2. Разработанные принципы построения системы упражнений
содержательно-методической линии позволяют поэтапно формировать учебные
навыки решения задач с параметрами, способствуя развитию системного
мышления учащихся.
3. Содержательно-методическая линия задач с параметрами должна быть включена в курс математики общеобразовательной школы как системная содержательно-методическая линия курса.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографии (151 наименование), приложения. Объём диссертации - 175 страниц, объём приложения - 48 страниц.
Классификация систем
Если сконцентрировать внимание на характере связей, существующих между элементами системы, а не на самих частях, то открывается поразительный факт. Системы, состоящие из частей абсолютно разной природы, имеющих совершенно несхожие функции, подчиняются одним и тем же общим законам организации. Их поведение зависит не от природы и свойств, образующих их частей, а от того, как эти части соединены между собой. В силу этого можно предсказывать поведение систем, даже если у нас нет детальных знаний об их частях.
Таким образом, система - это множество, действующее как единое целое. В свою очередь, она может состоять из множества более мелких подсистем или быть частью более крупной системы. Объединяясь в систему, элементы системы приобретают свойства, не присущие ни одному из них в отдельности -«эмерджентные свойства» [96, 97].
Все определения системы отражают те или иные важные стороны данного объекта. Благодаря взаимодействию своих частей системы обеспечивают свою устойчивость, если хотите, самосохранение. Связи между частями системы гораздо важнее числа этих частей или их величины. Эти взаимосвязи, а, следовательно, и сами системы могут быть простыми и сложными. Однако определения, тем не менее, не дают однозначного толкования, что считать системой, а что нет. Не устанавливают однозначных границ систем. И действительно, система - понятие относительное. На одном уровне иерархии элемент системы сам является системой, на другом уровне система есть элемент более крупной системы. Поэтому определения системы должны дополняться классификациями и уточнениями.
Классификации систем могут быть самыми разными:
1) по виду отображаемого объекта - технические, биологические, социальные и т.д.
2) по характеру поведения - детерминированные, вероятностные, игровые;
3) по типу целеустремленности - открытые и закрытые;
4) по сложности структуры - простые и сложные;
5) по виду научного направления, используемого для их моделирования — математические, физические, химические, биологические и др.;
6) по степени организованности — хорошо организованные, плохо организованные, самоорганизующиеся. Давая пояснения приведенной выше классификации, будем следовать книге [5].
1. Детерминированной называется система, состояние которой в будущем однозначно определяется ее состоянием в настоящий момент времени и законами, описывающими переходы элементов и системы из одних состояний в другие. Составные части в детерминированной системе взаимодействуют точно известным образом.
2. Вероятностные или стохастические системы - это системы, поведение которых описывается законами теории вероятностей. Для вероятностной системы знание текущего состояния и особенностей взаимной связи элементов недостаточно для предсказания будущего поведения системы со всей определенностью. Для такой системы имеется ряд направлений возможных переходов из одних состояний в другие, т. е. имеется группа сценариев преобразования состояний системы, и каждому сценарию поставлена в соответствие своя вероятность.
3. Игровой является система, осуществляющая разумный выбор своего поведения в будущем. В основе выбора лежат оценки ситуаций и предполагаемых способов действий, выбираемых на основе заранее сформированных критериев, а также с учетом соображений неформального характера. Руководствоваться этими соображениями может только человек.
По степени сложности системы подразделяются на простые, сложные и очень сложные.
1. Простые системы характеризуются небольшим количеством возможных состояний, их поведение легко описывается в рамках той или иной математической модели.
2. Сложные системы отличаются разнообразием внутренних связей, но допускают их описание. Причем набор методов, привлекаемых для описания сложных систем, как правило, многообразен, т. е. для построения математической модели сложной системы применяются различные подходы и разные разделы математики.
Задачи с параметрами как аналоги научно-исследовательских задач прикладной математики
Все возрастающая популярность задач с параметрами далеко не случайна. Теоретическое изучение и математическое моделирование многообразных процессов из различных областей науки и практической деятельности человека зачастую приводят к достаточно сложным уравнениям, неравенствам или их системам, содержащим параметры. Необходимой частью решения подобных задач является исследование характера и конечного результата процесса в зависимости от значений параметров, причем часто оказывается, что решение зависит не от каждого параметра в отдельности, а от некоторого их характерного комплекса. В подобных случаях становится невозможным разбиение исходной задачи со многими параметрами на совокупность задач с одним из параметров. Такие задачи требуют глубокого понимания сути процесса, свободного владения различными математическими методами и скрупулезного анализа. Можно сказать, что задачи с параметрами являются упрощенным прообразом важных научно-исследовательских задач. Задачи с параметрами чрезвычайно многообразны: задачи на исследование квадратичной функции и систем линейных уравнений, задачи на делимость многочленов, задачи на минимум и максимум, геометрические задачи с параметрами, так называемые «логические» задачи и т.д. Нельзя отрицать, что для того, чтобы успешно решать задачи с параметрами, часто требуется, говоря словами известного немецкого математика и популяризатора науки Ф. Клейна, «хотя и не слишком изощренное, но все-таки трюкачество» [52].
С точки зрения высшей математики любая задача с параметрами может рассматриваться как задача на исследование функций как минимум двух переменных: независимого аргумента и параметра. Причем, как это происходит даже в простейших случаях, когда решение может зависеть не от каждого параметра в отдельности. Например, исследование решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными, приводит к исследованию изменения величин (определителей системы), каждый из которых зависит от четырех, в общем случае никак не связанных между собой параметров. Задачи подобного типа требуют глубокого понимания сути условия, свободного владения разнообразными методами исследований и анализа.
Рассмотрим, например, совершенно «стандартную» задачу об изменении числа корней квадратного уравнения 7х2-3х+а = 0 при «пробегании» параметром всех действительных значений. Любой девятиклассник, не говоря уже об учащихся старшей школы, вычислив дискриминант, найдет, при каких значениях параметра уравнение не имеет корней, при каких значениях уравнению удовлетворяет единственное значение переменной, а при каких — два различных значения. Однако эта стандартная задача есть отражение одного из важнейших современных понятий — бифуркации - качественного изменения поведения системы в процессе изменения ее параметров. Этим понятием оперируют сегодня все — естествоиспытатели, инженеры, специалисты гуманитарных наук [89].
Мы считаем, что наиболее уместно понятие бифуркации вводить и анализировать в школьном курсе математики в процессе решения задач с параметрами. Ибо здесь даже ничего особо нового вводить или добавлять не потребуется - хорошо и давно известные примеры бифуркаций в изобилии можно найти как в алгебре, так и в геометрии. Изменение формы сечения куба плоскостью, перпендикулярной его диагонали, при продвижении плоскости от одной вершины куба до другой - это тоже бифуркационный процесс. Вообще, как будет показано ниже, нахождение общего решения уравнения или неравенства с параметрами или параметрами, может рассматриваться как исследование некоторого бифуркационного процесса.
Принципы разработки содержательно-методической линии задач с параметрами
В школьной математике хорошо известны различные содержательно-методические линии ([79 - 81], [40], [29], [68] и др.): арифметическая, числовая, функциональная, геометрическая, тождественных преобразований, эквивалентностей или равносильных преобразований, алгоритмическая и т.д., однако устоявшееся определение данного понятия отсутствует.
Некоторые из названных линий существуют только в курсе школьной математики, появляясь в определенных местах курса (арифметическая линия), некоторые проходят через весь курс (функциональная, алгоритмическая линии), являясь «сквозными методическими линиями» [68], имеющими продолжение и в курсе высшей математики. Термином «содержательно-методическая линия» обучения обычно обозначают «систему примеров, задач, которые опираются на соответствующие понятия, определяющие линию, а также присущие ей методы решения» [68].
Как, например, отмечается в книге [74] «с линией тождественных преобразований связаны все линии курса алгебры. Изучение линии тождественных преобразований предполагает выделение четырех этапов: пропедевтического (5 — 6 классы); первого, на котором используется нерасчлененная система преобразований (начало 7 класса); второго, в процессе которого выделяются конкретные виды преобразований (8-9 классы) и третьего, который организует целостную систему преобразований (10 - 11 классы)». Следует отметить, что скорее весь курс алгебры скорее связан с линией равносильных преобразований, нежели с линией тождественных преобразований.
Алгоритмическая линия также является одной из основных линий любого курса математики. «Алгоритмы автоматизируют процесс решения задачи. Тем самым можно говорить об алгоритмизации, как об едином методе, едином подходе к унификации решения задач из всех разделов математики, Поэтому мы говорим об алгоритмической линии как о пути в математике, идя по которому, можно увидеть хотя бы часть ее величия и красоты»[68].
Можно поспорить с автором данного утверждения в той части, что полностью алгоритмизировав процесс решения любой (!) задачи, можно увидеть красоту математики. Конечно, алгоритмы решения типовых задач составляют базу для решения более сложных задач, способствуют выработке начальных навыков, но полностью алгоритмизированный курс математики может привести только к упадку интереса учащихся. Действительно, зачем думать над той или иной задачей, если достаточно взять какой-либо справочник и подставить в нужные формулы исходные данные.
Формируемая нами содержательно-методическая линия задач с параметрами как раз и направлена на развитие самостоятельного мышления, выработку умения поступать не шаблонно, принимать решения там, где алгоритмы этого решения или вовсе отсутствуют, или их еще предстоит создать.
Понятие функции является одним из основных понятий курса математики [79-81,82-84]. На функциональной основе формируется большинство понятий алгебры и геометрии. Функциональные зависимости (заметим, от одной переменной) используются в разных науках и учебных дисциплинах. Изучение функции в школе позволяет показать учащимся значимость и распространенность этого понятия, увидеть, что практически нет учебных предметов, где бы ни изучались функции; многие законы, связи имеют функциональную основу.
Если рассматривать развивающие цели, то изучение функций, в первую очередь, способствует развитию системного мышления, отвечающего за видение зависимостей между изменениями разных объектов, а также целям, которые ставятся при изучении алгебраического материала (развитие умения работать с абстрактным материалом, умения анализировать и др.).
Линия задач с параметрами не только продолжит функциональный подход, но и значительно расширит возможности исследования реальных процессов, которые в большинстве случаев зависят от целого комплекса переменных. Таким образом, линия задач с параметрами будет иметь продолжение в курсе высшей математики, являясь пропедевтикой содержательно-методической линии функций многих переменных.
