Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І. НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ КУЛЬТУРЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 10
1. Роль и место алгебраических преобразований в системе математического образования 10
2. Психолого-педагогические основы формирования умений и навыков алгебраических преобразований 24
3. О методических подходах к формированию умений и . навыков алгебраических преобразований в отечественной школе первой половины нашего века 35
.4. О методических подходах к формированию умений и навыков алгебраических преобразований в отечественной школе в предреформенный и реформенный периоды (1950- 1980 гг.)'46
5. О методических подходах к формированию умений и навыков алгебраических преобразований в послереформенный период (1980-1995 гг.) 58
ГЛАВА II. ОБУЧЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ 70
1. Роль и место алгебраических преобразований в современной школьном курсе алгебры 70
2. Алгебраические преобразования в современных учебниках математики ....78
3 Основные принципы построения методики обучения алгебраическим преобразованиям 87
4. Взаимосвязь содержательных линий курса алгебры как средство формирования культуры алгебраических преобразований 96
5. Практическая и прикладная направленность обучения алгебраическим преобразованиям
6. Педагогический эксперимент 113
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 124
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 125
- Роль и место алгебраических преобразований в системе математического образования
- Психолого-педагогические основы формирования умений и навыков алгебраических преобразований
- Роль и место алгебраических преобразований в современной школьном курсе алгебры
Введение к работе
Навыки являются важнейшим инструментом для изучения школьного курса алгебры и действенным средством взаимосвязи с курсом арифме-тики. Вместе с тем навыки алгебраических преобразований широко используются при решении важных математических задач.
Однако, как показывают результаты многочисленных проверок, уровень сформированное™ умений и навыков алгебраических преобразований не удовлетворяет требованиям, необходимым для успешного усвоения курса алгебры, а также для изучения других дисциплин естествешго-мятематического цикла. До сих пор справедливы слова А.й. Маркушсвича, сказанные им в 1979 г. о том, что «...выработка навыков тождественных дреобразрваний была постоянным камнем преткновения для шкалы» [60, .Заметим, что «теореТико-множественная реформа» привела, как известно, к тому, что даже простейшие навыки вычислений и алгебраических преобразований были утеряны выпускниками основной и средней школы. Характерной иллюстрацией сказанного является тот факт, что с 1976 г. по 1985 г..не было проведено ни одного диссертационного исследования, посвященного этому вопросу. В решение общих проблем, связанных с метр дикой обучения алгебраическим преобразованиям внесли большой вклад такие ученые как И.Н. Антипов, Ю.К. Вабанский, В.А.Гусев, Г.В. Дорофев, Е.Н, Кабанова-Мел л ер, Ю.М, Колягин, И.Я. Лернер, Г.Л. Луканкин, Н.А. Менчииская, А.Г. Мордкович, К.С. Муравин, Ю.В. Сидоров, Н.Ф. Талызина, М.И. Шабунин, СИ. Шварцбурд, НА. Шеварев, П.М. Эрдниев, Г.Н. Яковлев и др. [14, 16, 33, 37, 41, 47, 48, 49,5.8,59,69,76,78,99, 105, 112, 114, U5, 116, 120, 121, 123].
РяД конкретно-методических проблем, имеющих непосредственное или косвенное отношение к проблеме исследования рассмотрен в трудах О.А.Боковнева, В.А. Далингер, Л.М. Коротковой, Н.Г. Миндюк, H.B. Савинцевой, СБ. Суворовой, Н.Е, Федоровой и др. [25, 34, 50, 72, 73, 97, 108]! В работах названных ученых были сформулированы важные психолого-педагогические и методические принципы обучения алгебре. Многие из них, являясь авторами школьных учебников алгебры, разработали и внедрили собственные концепции ее изучения в школе.
В диссертационных исследованиях Л.П. Афонькиной, В.И. Беляева, Т.Е. Бондаренко, I-LA. Ильиной, Е.С. Канина, Ю.И. Малеванного, С.А. Моркина, К.О. Одикамадова, Й.И. Пах, П.Ю. Романова, Н.Ы. Шунды и 1 др. [15,22, 27, 40, 42, 64, 77, 84, 87, 93, 119] рассмотрены многие конкрет ные вопросы методики применения алгебріаических преобразований при решении уравнений, неравенств, исследовании функций; исследованы алго ритмические структур тех или иных видов алгебраических преобразований; возможности методики обучения на основе известной теории поэтапного "формирования умственных действий. Подавляющее большинство этих ра бот дасалось разработки принципов построения системы задач и упражне ний, связанных с изучением тождественных преобразований или их приме нением. ... Тем не менее, до сих пор в целостном виде не определялись основные умения, входящие в состав культуры алгебраических преобразований и основные требования к методике обучения алгебраическим преобразованиям то есть четко не определены их роль и место в процессе изучения школьного курса математики и, прежде всего, - курса алгебры в основной школы, в-которой и закладываются основы соответствующих знаний, умений и навыков.4
Существуют различные точки зрения, связанные с понятиями «умение» и «навык»; авторы по-разному определяют, какое из этих понятий первично, какое — вторично, какова их взаимосвязь.
Мы будем придерживаться традиционной точки зрения, согласно ко-торой умение — это способ осознанного применения знаний на практике, а навык — это умение, доведенное до автоматизма, и потому не всегда осознаваемое, в ходе его применения.
. В работе ведущим является термин «алгебраическое преобразова
ние», которым часто заменяется термин «тождественное преобразование».
Понятие «алгебраическое преобразование» включает в себя и понятие «тождественного преобразования» и, зсабхце - понятие любого преобразования, проводимого над алгебраическими выражениями или равенствами. Так, в алгебре часто используются равносильные преобразования уравнений и неравенств, которые, являясь алгебраическими, не всегда являются тождественными.
Такое понимание термина «алгебраическое преобразование» встречается в работах В.Л. Гончарова и А.Н.Колмогорова [30, 31, 45, 46]. В школьном обучении алгебре оно принято в учебниках Ш.А. Алимова и др. [1, 2, 3], что на начальном этапе ее изучения педагогически оправдано.
Процесс формирования умений и навыков алгебраических преобразований у школьников не только важный элемент обучения алгебре в целом, но и важнейшее средство математического развития школьников, воспитания у них важных качеств личности. Поэтому, формирование культуры вычислений и алгебраических преобразовании принадлежит к числу важнейших учебно-воспитательных задач школьного обучения математике.
Сказанное свидетельствует об актуальности исследования. т
Выявление условий, необходимых для формирования должной культуры алгебраических преобразований у учащихся основной школы составило проблему исследования. .
г,- Общей целью исследования является выявление основных принципов методики обучения алгебраическим преобразованиям.
Объект исследования - процесс обучения алгебре в основной школе.
Предмет исследования - особенности формирования культуры алгебраических преобразований учащихся.
, В ходе исследования была выдвинута, теоретически обоснована и проверена педагогическим экспериментом следующая гипотеза: методика обучения алгебраическим преобразованиям, построенная на основе выявленной системы методических принципов, структуры и содержания понятия «культура алгебраических преобразований», способствует существенному повышению уровня сформированности у школьников навыков алгеб- оакческкх преобразований к, тем cz -лм - повышению качества математической подготовки учащихся основной школы.
. Цель предмет,: гипотеза исследования обусловили постановку и ре-" шение следующих задач:
.определить роль и место алгебраических преобразований в системе , школьного математического образования;
- выявить основные направления решения проблемы обучения алгебраическим преобразованиям в психолого-педагоґической, методической литературе и в практике преподавания курса алгебры в отечественной школе прошлого и. настоящего; .выявить взаимосвязь линии алгебраических преобразований с другими содержательно-методическими линиями школьного курса ал гебры; . і
- установить возможности усиления практической направленности при обучении алгебраическим преобразованиям;
- разработать систему основных принципов и условий построения эффективной методики обучения алгебраическим преобразованиям;
- экспериментально проверить эффективность разработанных материалов.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: изучение и анализ отечественной и зарубежной литературы по педагогике, психологии и методике преподавания математики по проблеме исследования; анализ отечественных и зарубежных программ, учебников и учебных пособий по математике для основной школы; изучение и анализ диссертационных исследований по проблеме; изучение и : обобщение опыта работ школы; личное преподавание в школе; проведение констатирующее поискового и обучающего эксперимента.
Исследование проводилось в трк ЗТЙЛЗ. В период с 1985 по 1997 годы.
На первом этапе эксперимент носил констатирующий и поисковый характер. Был выполнен анализ содержания программ, учебной и методи ческой литературы по школьному курсу алгебры. Основной итог этого этапа эксперимента- выявление проблемы и некоторых путей ее возмож ного решения. і
На втором этапе эксперимент носил констатирующий и частично обучающий характер, имел целью разработку основ методики обучения алгебраическим преобразованиям, подготовку и корректировку материалов для обучающего эксперимента.
На третьем этапе проверялась действенность методики, построенной на основе системы принципов и условий эффективного формирования алгебраических умений и навыков.
На защиту выносятся:
- основные принципы построения методики обучения алгебраиче
ским преобразованиям;
система4 основных умений, входящих в состав культуры алгебраи
ческих преобразований; і
- пути и средства усиления практической и прикладной направлен
ности методики обучения алгебраическим преобразованиям. !
Научная новизна исследования заключается в определении роли и
і места алгебраических преобразований в системе школьного обучения алгебре, в разработке целостной системы принципов и условий построения методики обучения алгебраическим преобразованиям, в выявлении системы основных умений, входящих в состав культуры алгебраических преобразований.
Практическая зка кжость диссертации заключается в том, что разработанная методика дает возможность учителю математики формировать у учащихся умения и кавыки алгебраических преобразований, необходимых для успешного усвоения школьного курса алгебры. Кроме того, результаты исследования могут быть использованы для совершенствования учебно-методических пособий по курсу алгебры основной школы, для повышения квалификации учителей математики, а также для чтения спецкурсов и спецсеминаров студентам физико-математического факультета.
Апробация исследования осуществлялась в ходе опытного обучения в средней школе № 12 г. Улан-Удэ, Илькинской средней школы Бурятии; на научных конференциях преподавателей БГ-У им. Д. Банзарова, на заседаниях кафедры элементарной математики и методики преподавания математики МПУ им. Н.К. Крупской, ца практических занятиях по методике преподавания математики в МПУ им. Н.К. Крупской, на практических занятиях по методике преподавания математики в МПУ им. Н.К. Крупской, БҐУ им. Д. Банзарова. Методические рекомендаций внедряются в практику средней школы № 12 г. Улан-Удэ и используются учителями школ Бу-рятии."...
Роль и место алгебраических преобразований в системе математического образования
Конечно, в реальном процессе обучения алгебре эти содержательно-методические линий «пересекаются» и являются тесно взаимосвязанными. По традиции, систематический курс алгебры изучается после изучения систематического курса арифметики с элементами алгебры и геометрии, поэтому начало названных содержательно-методических линий положено курсом математики 5-6-х классов, предваряющим изучение школьного курса алгебры. Также формирование вычислительной культуры считается основной задачей изучения арифметики, а формирование культуры алгебраических преобразований является одной из главных задач в курсе алгебры основной школы.
. Понятие культуры в философии рассматривается с двух сторон - ре-1 зультативной и процессуальной. Результативная сторона культуры проявляется в совокупности ценностей (материальных и духовных), созданных человечеством. Отражением процессуальной стороны культуры является деятельность человечества по хранению, передаче, восприятию и созданию этих ценностей. В результате объединения этих сторон в, единую органи- чески связанную систему возникает новый смысл и новая сущность -культура. Культура учащихся, как и культура общества в целом, представляет . собой систему знаний о природе, обществе, способах различного рода че ловеческой деятельности, который накоплены обществом в ходе его исто рического развития, то есть мы имеет в данном случае проявление резуль тативной стороны культуры
Субъективность культуры учащихся; выражается в деятельности: в за висимости от целей деятельности, способностей ученик выбирает из этой- системы способы деятельности, который позволяют ему усвоить получае мую информацию, творчески ее осмыслить. Такую трактовку понятия ., : культуры, мы находим у И.Я.Лернера [58, с. 55]. - /Опыт осуществления способов деятельности в случае освоения их учащимися может перейти в усвоенные приемы деятельности. Таким обра- ійм/.переходя к рассмотрению понятия культуры алгебраических преобра- зований учащихся, следует проанализировать содержание этого понятия с двух сторон: как объективно существующее явление, выражающееся в системе специфических знаний, и как субъективное явление, проявляю- щеёся в алгебраической деятельности учащихся. Анализ трактовок понятия культуры алгебраических преобразований с«точек зрения философии и педагогики дает возможность перейти к рас- крытию содержания этого понятия с позиции методики преподавания ма-тематики. Основное назначение математических дисциплин состоит в подготовке грамотных людей, умеющих применять усвоенные ими математи-, ческие методы. В этом случае говорят о математической культуре учащихся. По поводу математической культуры следует сказать, что она превращается в действительно рабочий инструмент, способный удовлетворить практические запросы лишь по достижении определенного уровня. Вот что пишет по этому поводу В.Г.Болтянский: «Математическая культура пред полагает наличие большого кругозора, умения по малейшим, незаметным признакам находить аналогию с другими (иногда очень далекими) областями математики, легко усматривать новые формулировки задач на другом языке, находить разные модели задачи, в том числе более простые, более Наглядные» [26, с..41]. С.И.Шварцбурд отмечает, что «математическая культура — это совокупность математических. знаний, умений и навыков, существенно необходимых для данного этапа развития общества» [144, с.206]:
Из сказанного В.Г.Болтянским и С.И.Шварцбурдом [26, 114] следует, что «техническая» сторона вопроса, то есть навыки алгебраических преобразований также должны преобразоваться в систему, включающую такие мыслительные действия, как распознавание применимости какого-либо преобразования, прогнозирование на несколько, шагов вперед (в отношении формы итогового буквенно-числового выражения, выбора направления проведения нужного преобразования). Можно говорить поэтому, что в математической культуре выделяется определенный слой, состоящий из умений и навыков, применяемых при изучении алгебры. Именно этот слой м т будет называть «культурой алгебраических преобразований», которая является для нас основным объектом изучения.
Психолого-педагогические основы формирования умений и навыков алгебраических преобразований
Приобретению и использованию знаний в любой деятельности служат умения и навыки, они неотъемлемые составные части учебного процесса. Деятельность всегда совершается сознательно. Но отдельные операции, входящие в ее состав, в результате тренировки, упражнений становятся автоматизированными. Сознание в этом случае не отключается полностью, оно направленно скорее не на технику выполнения операций, а на общую ориентацию деятельности, осознание ее целей, на поиски наилучших путей решения поставленных задач. Умения и навыки являются знаниями в действии, и в свою очередь, фундаментом для новых знаний.
, Справедливо утверждает Н.Ф.Талызина: «Знания никогда нельзя дать в готовом виде. Они всегда усваиваются через включение их в ту или иную деятельность» [105, с. 69].
Исследуя вопрос о формировании умений и навыков алгебраических преобразований, мы имеем дело с особой категорией умственной деятель-ности учащихся. С одной стороны, алгебраические умения и навыки для учащегося выступают средством решения многообразных математических задач, причем таким средством, которым учащийся должен овладеть, чтобы уверенно им пользоваться. С другой стороны, для учителя (и для иссле-; дователя), формирование этих навыков является целью обучения, поэтому естественно обратиться сначала к анализу взаимосвязи умений и навыков, если абстрагироваться на время от специфики математики.
Известно, что в умениях и навыках есть и общее, и отличное. Объединяет умения и навыки то, что и те, и другие составляют способы деятельности учащегося, совершаемые на основе приобретенных знаний. Отличие их - в разном характере деятельности ученика. Навыки - это автоматизм рованный; компонент сознательного ДЄЙ ГІЕКЯ. Вырабатывается ОЙ в ре-: зультате многократного повторения одного и того же действия в одних и тех эке условиях. Существует мнение, что навык - это умение, доведенное до автоматизма. Учащийся овладевает определенными способами действия іі; производит их без контроля сознания, автоматизировано. Говоря об ав-/ томатизированном характере действий в операции навыка, нужно под-черкнуть, что в начале, в момент его выработки, это компонент обязательно сознательной деятельности. Эти элементы осознанности, казалось бы, , совершенно бессознательных движений чрезвычайно важно учитывать в процессе формирования и совершенствования навыков. Умение - это и Первичная форма навыка, и это способ деятельности, рассчитанный на применение в иных условиях, чем те, в которых он был сформирован [35, 39,51,55,70,72,88,94,98,100,101,117].
При образовании навыка знания более статичны, они рассчитаны на г использование их в какой-то постоянной ситуации. Умение же предполагает хорошую ориентировку в новых условиях и выступает не как простое стереотипное повторение прошлого опыта, а включает в себя известный элемент сообразительности, нового подхода к решению поставленных задач.
Многие психологи (С.Л.Рубиншнейн, П.А.Шеварев, Н.Ф.Талызина [94, 105, 115, 116]) отмечают, что то или иное умственное действие поначалу формируется во всей полноте, когда все входящие в его состав операций выступают как предмет специального усвоения, т.е. являются действиями. Если же действие формируется практически, без осознания всех входящих в него операций, то оно недолговечно, его перевод в форму актуализации оказывается очень трудным [105, с. 82]. Вместе с тем имеет место «свертывание» некоторых умственных действий по мере их формирования, обычно на заключительном его этапе.
Н.Ф.Талызина пишет: «Наше исследование показало, что ориентировочные операции вначале участвуют в процессе решения задач в форме актуально осознаваемых и при осуществлении исполнительных операций, и при выполнении контрольных. Затем они, используются только лишь для контроля. Позже ориентировочные элементы все свои функции выполняют в форме акту ал ьно неосознаваемых» [там же, с. 81].
.: В педагогической психологии [16, 24, 35, 41, 68, 70, 94, 100, 101, 105, 107, 109, 117] выделяются следующие основные этапы формирования умений и навыков учащихся:
- первый — объяснения учащимся данного умения или навыка, показ
его практической ценности; ....
- , второй - формулировка правил или восстановление тех знаний, на
основе которых будут приобретаться данные умения или навыки. .
Обращение к знаниям сделает весь последующий процесс упражнений более сознательным;
- третий - показ учителем образца данного действия, чтобы преду- їіредить ошибки на первых этапах деятельности, которые могут за-крепиться в процессе последующих упражнений;
- четвертый — первые упражнения, выполненные учащимися под наблюдением учителя. На этом этапе учащиеся сознательно нача . нают применять правила (здесь особенно важен анализ действий учащихся, разбор ошибок, предупреждение их);
Роль и место алгебраических преобразований в современной школьном курсе алгебры
Цели изучения алгебры в 7-9 классах основной школы определяются типовой программой [92, с. 56] так: «Целью изучения курса алгебры в 7-9 классах является развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических, умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных предметов (физика, химия, ос-ковы информатики и .вычислительной техники и др.), усвоение аппарата уравнений и неравенств как основного средства математического модели-рования прикладных задач, осуществление функциональной подготовки школьников. В ходе изучения курса учащиеся овладевают приемами вычислений на калькуляторе».
Из сказанного видно, что линия алгебраических преобразований является одной из ведущих содержательно-методических линий современного школьного курса алгебры.
Как известно, с начальными алгебраическими понятиями учащиеся знакомятся еще в начальной школе. Там они встречаются с буквенной символикой при записи основных законов арифметических действий, ,с решением простейших уравнений (при изучении зависимости между прямыми и обратными действиями); знакомятся с простейшими формулами (например,, периметры и площади прямоугольника и квадрата), с простейшими функциональными зависимостями (пропорциональная зависимость).
Существенно также и то, что младшие школьники, овладевая техникой вычислений, учатся; простейшим преобразованиям числовых выражений для рационализации вычислений, применяют разнообразные свойства арифметических действий (вычитание суммы, вычитание из суммы).
В 5-6 классах основной школы соблюдается определенная преемственность с курсом начальной школы. Уровень алгебраической пропедевтики существенно повышается за счет расширения числовых множеств, свойств арифметических действий, практических задач. Более того, в 5-6 классах рассматриваются простейшие тождественные преобразования числовых и буквенных выражений (приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок и заключение в скобки и т.д.) вводится понятие алгебраиче-. скрй суммы. При этом, наряду с линией преобразований (а иногда и совместно с ней) осуществляется пропедевтика других содержательно-методических линий курса алгебры (числовой, уравнений и неравенств, функции).
Систематический курс алгебры традиционно начинается в 7 классе с рассмотрения основных понятий, связанных с преобразованиями выражений. В соответствии с действующей программой [92] и учебниками алгебры Щ.А.Алимова и др. [1, 2, 3], алгебраическое выражение выступает как обобщение числового выражения. Одночлен, многочлен, алгебраическая дробь особые формы записи числовых выражений, где буквами обозначены любые числа, при которых данные выражения имеют смысл. Та ким образом, например, в записи —-сразу исключаются числовые значения, при которых а = Ь.
