Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВИЗУАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ КОМПЬЮТЕРНЫМИ СРЕДСТВАМИ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ 12
1.1. Научно-теоретический анализ понятия "функциональная зависимость" 13
1.2. Визуализация и способы визуального представления функциональных зависимостей 29
1.3. Приемы визуального моделирования функциональных зависимостей компьютерными средствами 50
Выводы по главе 1 75
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКШ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ЗАВИСИМОСТЕЙ КУРСА АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНЫХ СРЕДСТВ 77
2.1 . Визуализация основных свойств элементарных функций компьютерными средствами 78
2.2. Компьютерные исследования уравнений, неравенств и их систем 121
2.3. Использование компьютера при изучении элементов математического анализа и их приложений 145
2.4. Постановка педагогического эксперимента и его результаты 152
Выводы по главе 2 165
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 166
ЛИТЕРАТУРА 168
ПРИЛОЖЕНИЕ 183
- Научно-теоретический анализ понятия "функциональная зависимость"
- Визуализация и способы визуального представления функциональных зависимостей
- . Визуализация основных свойств элементарных функций компьютерными средствами
Введение к работе
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВИЗУАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ КОМПЬЮТЕРНЫМИ СРЕДСТВАМИ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ 12
1.1. Научно-теоретический анализ понятия "функциональная зависимость" 13
1.2. Визуализация и способы визуального представления функциональных зависимостей 29
1.3. Приемы визуального моделирования функциональных зависимостей компьютерными средствами 50
Выводы по главе 1 75
Научно-теоретический анализ понятия "функциональная зависимость"
Большинство математических понятий прошло длительный путь развития. При этом в них вкладывался все более глубокий смысл.Они получали разнообразные приложения. Сложный путь прошло и понятие "Функция". С давнего времени оно находилось в поле зрения многих ученых и занимало центральное место всюду,где только встречается математическая мысльС 27,90,91,98,117,183,195].
Используя историко-логический метод исследования, проследим путь развития представлений человека о функции. Прежде всего отметим, что В.В.Лапицкий считает уместным говорить о функциональной зависимости становления субъекта и объекта познавательной деятельности от исторического совершенствования предметно-практического отношенияС110],а потому правомерно ставить задачу реального осознания существующих взаимосвязей, которые необходимо знать учащемуся при решении задач, выделения и обобщения существенных свойств различных функциональных зависимостей, исследования эволюции их способов задания с помощью правил, Формул, таблиц, графиков, алгоритмов, моделей.
В связи с этим положением, анализируя идеи Н.Я.Виленкина [ 33, 34], Г. ВилейтнераС 35], Г. И. ГлейзераС 49], И. Я. ДепманаС 64], М. КлайнаС 88, 89], Э. КольманаС 97], А. М. МагомедоваЕ 116], Ф. М. Медведеве 124], Е. Д. Цы-дыповойЕ 187], А. П. Юшкевича[ 196] и других, выделим условно несколько этапов развития представлений человека о функциональных зависимостях:
- этап зарождения представлений о функциональных зависимостях:
- этап возникновения понятия функции;
- этап становленияСразвития) понятия функции:
- этап практических испытаний функциональных зависимостей;
- этап обобщения и совершенствования понятия функции:
- этап теоретического переосмысления понятия Функции.
Этап зарождения представлений о функциональных зависимостях включает в себя периоды, когда начинают формироваться ТРИ Фундаментальных понятия - число,буквенное обозначение числа,Фигура, когда развивается математика постоянных величин и зарождается буквенная символика,когда появляются функциональные "объекты-связки": число - таблица,число - буква, кривая - класс кривых.В этот период:
- функция неявно содержится в простейших вычислениях,в правилах об измерении наиболее употребительных величин и в первых таблицах сложения,вычитания,умножения и деления С математическая культура Древнего Египта и Вавилона);
- наблюдается широкий запас функциональных соответствий: составление таблиц квадратов и кубов натуральных чисел; изучение зависимостей, задаваемых словесным описанием;описание поведения класса кривых; зачатки классификации задач на линейные, плоские и пространственныеС Евклид, Архимед, Аполлоний, Диофант и др.);
- составляются астрономические таблицы; предлагаются способы решения уравнений и задач на длину окружности,площадь круга и объемы геометрических телС Ариаб&зтта.аль-Беруни, Омар Хаям и др. Я 49,643;
- впервые изображается интенсивность "качества величин" длинами отрезков, делается попытка классифицировать графики,а также указываются характерные свойства графиков; эти идеи намного обогнали тот уровень науки,так как тогда еще не умели выражать зависимость между величинами с помощью функции (Н. Орезм [196, с. 398 -3993).
Итак,составление числовых таблиц и классификацию графиков ФУНКЦИЙ можно отнести к первым представлениям о функциональных зависимостях, они явились продуктом длительного процесса исторического развития математики.
Этап возникновения понятия функции - эпоха окончательного перехода от числовых конструкций к буквенной символике.В это время математика рассматривается как основной аппарат изучения Физического мира,так как представления о законах природы складываются как законы функционального типа. Развивается весьма в зачаточной форме теория изучения величин и ее графическое представление. В этот период:
- создается система алгебраических обозначений, словесная алгебра постепенно заменяется буквенной,происходит расширение понятия числа,предлагаются способы решения уравнений третьей и четвертой степеней(Ферро,Тарталья,Кардано,Феррари и др. );
- на передний план выступает геометрическое представление-кривая аналитическая формула-лишь способ ее описания, удобный и полезный, но все же вспомогательный;функция мыслится не в виде Формулы, разрешенной по отношению к одной из переменных,а в виде уравнения с несколькими переменнымиСФерма,Нуччи, Декарт);
- делается упор на замену исходного геометрического образца дру-гим-аналитическим: х-абсцисса, у-ордината, используется символ F и записывается выражение в виде y=fCxXM. Ньютон, 1665г.);
- вводится термин "функция",имеющий узкий смысл,касающийся только некоторых отрезков,зависящих от положения точки на КРИВОЙ: ординаты, подкасательной, поднормали, радиуса кривизныСГ. В. Лейбниц, 1694 г. )С 89,205].
Визуализация и способы визуального представления функциональных зависимостей
В обучение школьной математики играет огромное значение факт приобретения учащимися навыка "математического видения". Открытие функциональной ассиметрии головного мозга привело к необходимости переоценки и корректировки устоявшихся взглядов на соотношение формального и образного в обучение математики в плане усиления последнего.
Правое, невербальное полушарие мозга,обладает своими особыми способами восприятия и оценками явлений или событий; современная школа уделяет его возможностям недостаточное внимание по сравнению с тем, как используются и развиваются возможности левого, доминантного, речевого полушария. Вербализм и излишний рационализм при усвоении знаний, господствующие в настоящее время, существенно тормозят формирование образного мышления учащихся, хотя об образе и его роли в обучении писали многие ученые: Л. С. ВыготскийС 40] ,Н.А. МенчинскаяС 126], Е. Н. Кабанова - МеллерС 84], Н. Г. СалминаС 152], И. С. ЯкиманскаяС197,198], на "визуальное мышление" указывали Р.Грегори С 53,54], В. П. ЗинченкоС 78, 79], А. В. Запорожец, А. П. ЛурияС 115], Н. А. Рез-никС 147] и другие .исследователи.
Автором термина "визуализация" является американский психиатр Р.Арнхейм. По его мнению, визуализацией является процесс мысленного преобразования сенсорных эталонов , выделение их структурных особенностей с целью разрешения проблемной ситуации, оперирование образами также,как если бы они были оригиналыС13, с. 98].
В толковом словаре С.И.Ожегова и Н.Ю.Швецова сказано: "Визуальный- относящийся к непосредственному восприятию С невооруженным и вооруженным глазомЭ. Родственные слова:визировать сравним - фиксировать3,видоизменениеСсравним - перемещение}, вид, видимый, видеть, а также производные - видеокамера,видеоклип, видеотека, визуальная информация. Например, слово "видеть" имеет значения: обладать способностью зрения; воспринимать зрением;наблюдать, испытывать; сознавать, усматривать: воспринимать интеллектуально и зрительно"С 138, с. 79].
Понятие сущности очень важно для всякой системы. Ведь сущность
- смысл данной вещи, это совокупность глубинных связей, отношений и внутренних законов,определяющих основные черты и тенденции развития материальной системы.Явление же - конкретные события, свойства и процессы ,выражающие стороны действительности и представляющие форму проявления и обнаружения некоторой сущности.Сущность и явление неразрывны, как неразрывны объект и образ. Критерий сущности
- точная формулировка законов движения и развития объектов. Сущность может быть познана,если в теории и на практике создана ее достоверная модель,свойства которой соответствуют свойствам оригинала. Диалектический материализм утверждает, что человек в своей познавательной деятельности способен установить связь логических конструкций как с миром ощущений, так и с лежащим вне его объективным миром,- с этим утверждением связана теория отражения мира. Само отражение - есть внутренняя способность материальной системы воспроизводить в измененном виде структуру и свойства другой системыС 189].
Психическое отражение - более высшая форма отражения,чем в неорганической природе.Поэтому принцип отражения имеет ключевое значение, ибо на нем построена рефлекторная теория биологического функционирования систем,которая способна кодировать и многократно перекодировать полученную информацию.То есть, в действительности, никакое продуктивное мышление невозможно, если субъективное,как идеальное образование, не рассматривается, как образ,как отражение С С134],Теплов Б.М.,170}.Чтобы понять сущность визуализации и применять идеи визуализации при обучении учащихся функциональным зависимостям, нами были рассмотрены в единой цепи следующие основные понятия:объект, зрение, память,образ, обучение.
Первой сигнальной системой обучаемого является зрение,а второй - слово. Глаз - воспринимающая переферийная часть органа эрения.Первые исследования микрогенеза зрительного образа простых конфигураций были проведены еще Н. Н. ЛангеС1893), а первая работа, направленная на анализ этапов восприятия осмысленных изображений, - М-П.Никитиными 1905).В своих исследованиях М.И.Сеченов подчеркивал, что глаз обращен на какой-то видимый предмет,и на дне глаза -на так называемой сетчатке, образуется изображение предмета, сознание в этом случае является не менее верным зеркалом,чем сетчатка с преломляющими средами в отношении внешнего предмета!! 136].
Глаз, - отмечает Л.М.Фридман,- представляет собой семейство органов,предназначенных для восприятия пространства,времени,движения, скорости, ускорения, цвета,света, формы, предметов, фактуры поверхности, то есть практически всех перцептивных категорий,из которых строится образ видимого мира. Созревание анатомо-физиологического аппарата глаза заканчивется к 15-16 годам,замедляется и останавливается совсем,а развитие зрения, восприятие мира продолжается всю активную жизньС180,с.60].
class2 МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКШ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ЗАВИСИМОСТЕЙ КУРСА АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНЫХ СРЕДСТВ class2
. Визуализация основных свойств элементарных функций компьютерными средствами
Исследования элементарных функций, а также уравнений,нера венств и их систем, предлагаемых в рамках школьных учебников и учебных пособий Е 3,4,5,6,7,8,41,51,52,58,99,103,104,146,154,158, 159,186] для средней школы даются обычно в аналитическом виде,зачастую без графической интерпретации,что обедняет знания,затрудняет формирование умений и навыков.
Известно, что прием - это система действий, которые выполняет ученик в определенном порядке,они служат для решения учебных задач; умение - способность ученика выполнять действия в составе приема,зная способ их выполнения;навык - способность ученика выполнять действия быстро,автоматизированное 70].
Поэтому цель нашего исследования состоит в том,чтобы положить в основу обучения алгебры достаточно богатую визуальность, представляемую компьютером, а также приемы,которыми может пользоваться учащийся при исследовании основных свойств элементарных функций.
.Область определения. Областью определения функции назы вается совокупность всех значений,которые может принимать аргумент х функции уСхЗ.
Ппддрпрнме поп понятие.Это множество значенийСточек),которые пробегает аргумент х слева направо,и где график Функции уСх) существует, другими словами,виден или построен. Единственное,на что необходимо обратить внимание учеников,особенно 7-х классов, так это на радикалы четной степени,на знаменатели дробных выражений, на трансендентные Функции, которые определены не всюду,а только при определенных значениях. Учащийся должен привыкнуть к тому,что если перечисленные элементы не присутствуют в функции УОО,ТО областью определения функции будет вся числовая ось, исключая случаи, когда область определения функции ограничивается специальными условиями задачи.
При исследовании Функции на область определения необходимо исходить из первоначального выражения функции.Различные предварительные преобразования, которые на первый взгляд кажутся законньь ми,могут привести ученика к ошибкам, поэтому нельзя проводить аналитические преобразования над функцией,так как это изменит область определения функции. Использование компьютера позволит ученику оперировать с функцией практически любой сложности, конкретизировать понятие,качественно исследовать одно из свойств у всех элементарных функций, предостерегать от ошибок;при решении задач на область определения функции ученик может строить одновременно несколько графиков функций на экране,задавая аналитически лишь их границыСобласти определения), например, х: =-10, -9.9.. 10, УСx)=sin( х) и t: =-5,-4.9. .5, g(t):=cos(t).
Визуальный прием. Прием движения глаз слева направо вдоль оси абсцисс позволит обучить учащихся приему горизонтального чтения, с помощью которого можно определить область существования функции.
