Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы построения методики обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы с целью развития учебно-познавательной компетентности учащихся 19
1. Умение математическое моделирование как основной компонент учебно-познавательной компетентности учащихся, формируемый средствами алгебры 19
1.1. Компетентностный подход в образовании. Проблема развития-учебно- познавательной компетентности учащихся 19
1.2. Обоснование выбора умения осуществлять математическое моделирование для развития учебно-познавательной компетентности учащихся при обучении алгебре 27
1.3. Основания построения методики обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы. Анализ учебников и учебных пособий 31
2. Виды моделей, необходимых для обучения школьников математическому моделированию в курсе алгебры основной школы. Математическая модель, её структура 39
2.1. Модель, математическая модель, критерии модели 39
2.2. Модели, необходимые для обучения математическому моделированию, их содержание 42
3. Умение осуществлять математическое моделирование и средства его формирования в курсе алгебры основной школы 54
3.1. Деятельность математического моделирования, её этапы при решении текстовых задач 54
3.2. Умение осуществлять математическое моделирование, его структура.. 66
3.3. Средства формирования у учащихся умения осуществлять математическое моделирование при решении текстовых задач 69
Глава II: Методика обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы 74'
4. Основные положения методики обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы 74
4.1. Концептуальные положения построения методики обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы 74
4.2. Этапы и цели формирования- у учащихся умения осуществлять математическое моделирование при изучении алгебры в основной школе .. 75
4.3. Основные требования к отбору и организации учебного материала, направленного на овладение учащимися умением осуществлять математическое моделирование 82
5: Методические особенности организации деятельности учащихся при обучении математичскому моделированию в курсе алгебры основной школы. 99
5.1. Методические особенности выявления субъектного опыта учащихся, его отслеживания и учета при формировании умения осуществлять математическое моделирование 99
5.2. Методические особенности включения учащихся в процесс установления связей математики с другими учебными предметами 102
5.3. Методические особенности организации работы с текстовой задачей... 104
5.4. Методические особенности формирования у школьников представлений о модельности решаемых ими текстовых математических задачпо отношению к соответствующей реальной ситуации и научной задаче 113
5.5. Методические особенности организации целенаправленной работы по формированию у учащихся умения осуществлять расчленяющее абстрагирование 115
6. Эксперимент, его организация и результаты 120
6.1. Констатирующий эксперимент 124
6:2. Поисковый эксперимент 132
6.3. Формирующий эксперимент 133
Заключение 146
Библиография 149
Приложения 174
- Компетентностный подход в образовании. Проблема развития-учебно- познавательной компетентности учащихся
- Модели, необходимые для обучения математическому моделированию, их содержание
- Этапы и цели формирования- у учащихся умения осуществлять математическое моделирование при изучении алгебры в основной школе
- Методические особенности выявления субъектного опыта учащихся, его отслеживания и учета при формировании умения осуществлять математическое моделирование
Введение к работе
В основе отечественной системы образования лежит социокультурная парадигма, в рамках которой ведущей функцией образования является функция социализации и инкультуризации как приобщения учащихся к достижениям отечественной и мировой культуры. Стремление России на равных правах войти в единое европейское и мировое экономическое пространство привело к вступлению России в 2003 году в Болонский процесс и к принятию европейских параметров качества образования, в том числе применительно к общему математическому образованию. Результаты участия российских школьников в международных исследованиях качества подготовки выпускников в 1999-2006 годах, свидетельствуют о низком (по мировым параметрам) уровне образовательной подготовки наших школьников по сравнению с учащимися других стран.
Необходимость решения проблемы несоответствия качества отечественного образования мировому уровню привела к пересмотру роли компетентностного подхода в системе образования России и сделала его ведущим направлением модернизации, в том числе в системе общего образован.
Проведенный анализ исследований, раскрывающих теоретические основы и пути внедрения компетентностного подхода в систему общего образования, показал, что компетентностный подход является широко разрабатываемым в настоящее время направлением модернизации отечественного образования. Существуют исследования, связанные с решением проблем определения содержания понятий «компетенция», «компетентность» и установлением взаимосвязи между ними (О.В. Акулова, И.А. Зимняя, А.В. Хуторской и др.); иерархии, типологии компетенций / компетентностей (И.А. Зимняя, А.В. Хуторской, И.Д. Фрумин и др.); изучения отдельных видов компетенций / компетентностей (О.В. Акулова, О.В. Харитонова, А.В. Хуторской и др.); поиска и реализации путей внедрения компетентностного подхода в образовательный процесс современной школы на уроках химии (Ю.М. Волкова, Н.В. Груздева), геометрии (О.В. Харитонова), географии (А.Б. Воронцов).
Исследований, посвященных проблеме реализации компетентностного подхода при обучении алгебре в основной школе, нам не встретилось. Однако предпосылки решения данной проблемы можно найти в работах, раскрывающих прикладную направленность алгебры (В.Б. Гнеденко, В.А. Петров, Н.А. Терешин и др.), посвященных проблеме обучения школьников решению текстовых математических задач (Ю.М. Колягин, З.П. Матушкина, Е.Ф. Фефи-лова, Л.М. Фридман и др.), реализации деятельностного (ОБ. Епишева), развивающего (Е.В. Смыкалова), системно-структурного (З.П. Матушкина), метаме-тодического (Н.С. Подходова, И.М. Титова) подходов при обучении алгебре.
Таким образом, существует противоречие между новыми требованиями к подготовке выпускника, продиктованными внедрением компетентностного подхода в российскую систему общего образования, и отсутствием методических исследований, раскрывающих пути, способы и средства реализации этих требований при обучении алгебре в основной школе.
Сказанное выше обосновывает актуальность проблемы нашего диссертационного исследования, которая заключается в поиске путей реализации компе-
тентностного подхода при обучении алгебре в основной школе.
Объеш-ом исследования является процесс обучения алгебре учащихся 7-9 классов.
Внедрение компетентностного подхода в систему общего образования привело к изменению целей обучения учащихся в общеобразовательной школе: «основным результатом деятельности общеобразовательного учреждения должна стать не система знаний, умений и навыков сама по себе, а набор ключевых ком-петентностей...». Различные типологии ключевых компетенций разработаны в исследованиях И.А. Зимней, Т.В. Ивановой и других ученых. Одним из видов ключевых компетентностей, который выделяется в работах Т.В. Ивановой, А.В. Хуторского и других ученых, является учебно-познавательная компетентность. На основе анализа исследований Т.В. Ивановой, А.В. Хуторского мы пришли к выводу о том, что развитие у учащихся учебно-познавательной компетентности целесообразно рассматривать в качестве одного из основных путей реализации компетентностного подхода при обучении алгебре.
Показателями владения школьниками учебно-познавательной компетенцией являются: мотивация на познание; умение организовывать собственную учебно-познавательную деятельность; умение получать информацию и работать с ней; умение логически мыслить; умение применять в процессе учебно-познавательной деятельности знания из различных учебных предметов и собственного субъектного опыта (О.В. Харитонова).
Анализ исследований Н.С. Подходовой, в которых разработаны метафунк-ции алгебры как учебного предмета, позволил нам в качестве необходимого условия развития у учащихся учебно-познавательной компетентности выделить процесс формирования у них общеучебного умения осуществлять математическое моделирование. В качестве основного средства формирования у учащихся этого умения, вслед за Е.И. Лященко, Л.М. Фридманом и другими учеными, мы рассматриваем текстовые математические задачи.
Изучению моделей, математических моделей, математического моделирования посвящены труды Ю.Б. Мельникова, Н.Г. Салминой, В.А. Штоффа и других ученых. Проблема необходимости обучения школьников математическому моделированию сегодня поднимается и в методике обучения математике (М.И. Калинина, А.Г. Мордкович, Л.М. Фридман и др.), но пока она остается нерешенной. Анализ учебных пособий по алгебре для основной школы показал, что учебного материала, содержащегося в них, для овладения умением осуществлять математическое моделирование недостаточно. Единственным учебником в основной школе, содержащим учебный материал о математическом моделировании, является учебник А.Г. Мордковича. Кроме того в школьном образовании содержание разных учебных предметов построено изолированно. В нем не учитываются взаимосвязи между областями знаний, проявляющиеся в реальной жизни, что противоречит формированию учебно-познавательной компетентности и способствует построению математических моделей, не соответствующих реальной действительности.
Особенно ярко это проявляется в курсе математики. При решении задач «на смеси, сплавы и растворы» не учитываются физические и химические свойства
веществ (изменение плотности раствора с изменением его концентрации или температуры, вскипание раствора кислоты большой концентрации при вливании в него воды и т.д.), при решении задач «на раскрой» - усадка ткани, в задачах «на движение» - характер движения (по виду траектории, изменению скорости), в задачах «на вытекание воды из резервуара» - изменение скорости вытекания с понижением уровня воды и др. Так, например, при изучении химии во избежание теплоэффекта и получения ожогов школьников учат наливать кислоту тонкой струйкой в воду, а в учебниках математики задачи сформулированы наоборот: в кислоту вливается вода. На уроках алгебры детей учат приравнивать массу куска стали, полученного в результате сплавления, сумме масс исходных кусков стали, хотя в действительности в процессе сплавления происходит выделение углерода, и равенство масс не может соблюдаться.
Отсутствие в современной науке методики целенаправленного обучения учащихся математическому моделированию, с одной стороны, и потребность в ее разработке - с другой, определили предмет нашего исследования, которым является методика обучения учащихся математическому моделированию в курсе алгебры основной школы.
Цель исследования состоит в том, чтобы разработать методику обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы, направленную на развитие учебно-познавательной компетентности учащихся
Анализ научной литературы, результатов констатирующего и поискового экспериментов позволили нам сформулировать концептуальные положения построения методики обучения учащихся математическому моделированию в курсе алгебры 7-9 классов:
-
Формирование у учащихся умения осуществлять математическое моделирование должно осуществляться посредством обучения школьников математическому моделированию при работе с текстовыми задачами. Текстовые задачи являются основным средством формирования у учащихся данного умения, а процесс обучения математическому моделированию способствует овладению школьниками умением решать текстовые задачи.
-
Методика обучения учащихся математическому моделированию должна строиться как в соответствии со структурой этого умения (знаниями и действиями, составляющими ее), так и в соответствии со спецификой математических моделей. В соответствии с ними же должен разрабатываться и учебный материал.
-
Методика формирования у учащихся умения осуществлять математическое моделирование должна строиться с учетом возрастных особенностей развития у учащихся психических процессов, входящих в структуру деятельности математического моделирования. Она должна учитывать тот спектр меж-предметпых связей, то многообразие предметов, которое осваивает ученик в 7, 8,9 классах.
-
Одним из необходимых составляющих методики обучения учащихся математическому моделированию является выявление субъектного опыта учащихся, его отслеживание и учет на протяжении всего процесса формирования умения.
-
Отправным пунктом решения текстовых задач в рамках методики обучения математическому моделированию является осознание школьниками мо-дельности решаемых ими текстовых математических задач по отношению к соответствующей реальной ситуации и научной задаче.
-
Обязательным компонентом методики обучения математическому моделированию является целенаправленная работа по формированию у учащихся умения осуществлять расчленяющее абстрагирование.
Гипотеза исследования: Если методику обучения математическому моделированию при решении текстовых задач в курсе алгебры основной школы строить на основе разработанных в нашем исследовании концептуальных положений, то это будет способствовать развитию учебно-познавательной компетентности учащихся.
Для достижения поставленной цели и подтверждения сформулированной гипотезы исследования потребовалось решить следующие задачи:
-
На основе анализа литературы, раскрывающей теоретические положения внедрения компетентностного подхода в образовательный процесс российских школ, выделить «рабочее» определение учебно-познавательной компетентности.
-
Обосновать выбор обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы в качестве необходимого условия развития учебно-познавательной компетентности учащихся.
-
На основе анализа литературы раскрыть и уточнить содержание понятий «модель», «математическая модель», выделить специфику и структуру математических моделей, виды моделей, применяемых при решении текстовых задач на уроках алгебры 7-9 классов.
-
На основе анализа научных исследований выделить этапы математического моделирования при работе с текстовой задачей, уточнить их содержание, раскрыть структуру умения осуществлять математическое моделирование при работе с текстовой задачей в курсе алгебры основной школы.
-
На основе выводов, полученных в результате теоретического анализа литературы, собственного опыта работы в школе и в вузе разработать: концептуальные положения построения методики формирования у учащихся умения осуществлять математическое моделирование; методику обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы;
-
Апробировать методику формирования у учащихся умения осуществлять математическое моделирование на одном из этапов его становления при изучении алгебры в основной школе.
Для решения поставленных задач нами были использованы следующие методы исследования: теоретический анализ философской, математической, психолого-педагогической, методической и учебной литературы по проблеме исследования; анализ собственного опыта работы в школе в качестве учителя математики, опыта работы в вузе в качестве преподавателя математических дисциплин на нематематических факультетах и дисциплин по кафедре методики преподавания математики; анализ опыта работы учителей математики, физики, химии, географии, информатики, преподавателей математических дисциплин в вузе; проведение письменной работы с целью выявления уровня сфор-
мированности умения осуществлять математическое моделирование при работе с текстовой задачей на уроках алгебры; количественная и качественная обработка экспериментальных данных.
Методологической базой исследования служат: компетентностный подход (О.В. Акулова, И.А. Зимняя, А.В. Хуторской и др.), теория деятельности и развития личности (А.Н. Леонтьев, Е.И. Машбиц и др.), теория формирования и развития умственных действий школьников (П.Я. Гальперин, А.И. Раев, Н.Ф. Талызина и др.), теория формирования общеучебных умений (И.Я. Лернер, Н.А. Лошкарева, А.В. Усова и др.), метаметодический подход (Н.С. Подходова, И.М. Титова и др.), деятельностный подход к обучению (О.Б. Епишева, Н.Ф. Талызина и др.), личностно-ориентированный подход к обучению (И.С. Якиманская и др.), развивающий подход к обучению (В.В. Давыдов, Е.Н. Кабанова-Меллер и др.), логико-психологические основы и теория обучения решению текстовых задач (Л.Л. Гурова, Ю.М. Колягин, Е.Ф. Фефилова, Л.М. Фридман и др.), теоретические и психологические основы обучения учащихся математическому моделированию (Ю.Б. Мельников, Н.Г. Салмина, Л.М. Фридман и др.).
Исследование проводилось с 2004 по 2008 год и включало три этапа.
На первом этапе (2004-2005 гг.) в соответствии с проблемой исследования осуществлялся анализ научной литературы. Здесь были определены объект и предмет исследования, сформулированы проблема, цель, задачи, «рабочая» гипотеза исследования, определены методы решения поставленных задач. В этот период были сделаны теоретические выводы, положенные в основу методики обучения математическому моделированию при изучении алгебры в основной школе, проведен констатирующий эксперимент, разработаны с целью дальнейшего уточнения концептуальные положения построения методики формирования умения осуществлять математическое моделирование.
На втором этапе экспериментального исследования (2005 - 2007 гг.) проводился поисковый эксперимент. Здесь уточнялись концептуальные положения построения методики обучения учащихся математическому моделированию в курсе алгебры основной школы, были разработаны и уточнены этапы овладения им школьниками, требования к отбору и организации учебного материала, необходимого для становления данного умения, методические особенности организации деятельности учащихся по работе с этим учебным материалом. На данном этапе разрабатывалась методика обучения учащихся математическому моделированию на первом этапе его становления в курсе алгебры основной школы.
На третьем этапе (2007-2008 гг.) нами проводился формирующий эксперимент, обрабатывались его результаты, были сделаны выводы о справедливости сформулированной в нашем исследовании гипотезы.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Обучение математическому моделированию в курсе алгебры основной школы является необходимым условием развития учебно-познавательной компетентности учащихся.
-
Обучение математическому моделированию должно осуществляться посредством формирования у школьников умения осуществлять математическое
моделирование при решении текстовых задач и быть направлено на овладение учащимися структурой этого умения.
-
Учебный материал, необходимый для обучения математическому моделированию на каждом этапе, должен включать средства косвенного (текстовые задачи, наборы текстовых задач, заданные ситуации) и прямого (теоретический материал, отдельные задания, в том числе задания на усвоение учащимися теоретического материала, задания к текстовым задачам, наборам задач, задачным ситуациям) управления формированием данного умения.
-
Методика формирования умения осуществлять математическое моделирование при решении текстовых задач в курсе алгебры основной школы, направленная на развитие учебно-познавательной компетентности учащихся, должна строиться на основе сформулированных в нашем исследовании (представленных выше) концептуальных положений. В соответствии с ними данная методика имеет поэтапное строение; включает отслеживание пяти уровней становления умения осуществлять математическое моделирование; реализует разработанные в нашем исследовании требования к отбору и организации учебного материала; учитывает методические особенности организации деятельности учащихся при работе с ним.
Научная новизна исследования заключается в следующем:
обосновано положение о том, что процесс обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы является необходимым условием развития учебно-познавательной компетентности учащихся;
раскрыта структура умения осуществлять математическое моделирование при работе с текстовой задачей;
выделены факторы, которые определяют искусственность решаемых школьниками текстовых задач, обоснована необходимость и важность (для овладения умением осуществлять математическое моделирование) осознания детьми этих факторов;
определены виды учебного материала, необходимого для обучения математическому моделированию при изучении алгебры: теоретический материал, отдельные задания, текстовые задачи, наборы текстовых задач, задачные ситуации, задания к текстовым задачам, наборам задач и задачным ситуациям;
разработана методика формирования умения осуществлять математическое моделирование, направленная на развитие учебно-познавательной компетентности учащихся в курсе алгебры основной школы.
Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:
уточнено содержание понятий «модель», «математическая модель», «математическое моделирование», «умение осуществлять математическое моделирование» при изучении алгебры в основной школе;
выделены этапы деятельности математического моделирования при работе с текстовой математической задачей, уточнено их содержание;
обосновано, что для реализации такой цели обучения математическому моделированию как развитие учебно-познавательной компетентности учащихся необходимо включить в этот процесс формирования умения осуществлять расчленяющее абстрагирование; строить его на основе обобщения и преобразования
учениками своего субъектного опыта и установления связей с различными учебными предметами;
разработаны и теоретически обоснованы концептуальные положения построения методики обучения математическому моделированию;
на основе концептуальных положений разработаны этапы становления умения осуществлять математическое моделирование в курсе алгебры основной школы;
разработаны показатели и уровни овладения учащимися умением осуществлять математическое моделирование при решении текстовых задач в курсе алгебры основной школы;
разработаны и обоснованы требования к отбору и организации учебного материала, необходимого для обучения математическому моделированию на каждом этапе его становления.
Практическая значимость проведенного исследования заключается в следующем:
разработан учебный материал, необходимый для обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы, раскрыты методические особенности работы с ним;
разработана методика формирования умения осуществлять математическое моделирование на первом этапе его становления в курсе алгебры основной школы;
разработано содержание спецкурса «Математические модели в естествознании» для студентов, обучающихся по магистерским программам 540I03M Географическое образование и 540105М Эколого-геологическое образование.
Рекомендации об использовании результатов исследования. Разработанные материалы могут быть использованы для работы учителями математики общеобразовательных школ, преподавателями кафедр методики обучения математике при подготовке учителей математики, студентами математических факультетов при разработке практических материалов и написании курсовых и дипломных работ, структурами системы подготовки и повышения квалификации учителей математики.
Достоверность результатов исследования обеспечивают: теоретический анализ проблемы; выбор методов, теоретической и методологической базы исследования, адекватных целям и задачам исследования; непротиворечивостью полученных выводов основным психолого-педагогическим и методическим теориям, соответствием результатов, полученных экспериментальным путем, теоретически разработанным положениям.
Апробация результатов исследования. Основные результаты исследования докладывались нами на 58-й и 60-й Международной научной конференции «Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2005, 2007), на Всероссийской научно-практической конференции «Наука и высшая школа - профильному обучению» (Санкт-Петербург, 2006), на 24-ом Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Саратов, 2005), на Четвертой Всероссийской научно-практической конференции «Метаметодика как перспективное направление развития предметных методик» (Санкт-Петербург,
2006), на методическом семинаре кафедры методики обучения математике РГПУ имени А.И. Герцена «Компетентностный подход в образовании» (Санкт-Петербург, 2005), на методологических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ имени А.И. Герцена (2006, 2007), на методологическом семинаре педагогического коллектива Бокситогорской средней школы №2 (Бок-ситогорск, 2007). Результаты исследования используются при организации и проведении лекционных, лабораторных занятий со студентами математического факультета ПГУ имени М.В. Ломоносова (г. Архангельск), института естествознания РГПУ имени А.И. Герцена, при написании курсовых работ, в практике работы в школе.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав (шести параграфов), заключения, библиографии и приложений; содержание диссертации изложено на 173 страницах машинописного текста.
Компетентностный подход в образовании. Проблема развития-учебно- познавательной компетентности учащихся
Основным направлением модернизации современного отечественного образования является компетентностный подход, основные положения и идеи которого отражены в образовательных документах: Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года, Стратегии модернизации содержания общего образования, Государственных образовательных стандартах начального, общего, основного общего и среднего (полного) общего образования. «Общеобразовательная школа должна формировать целостную систему универсальных знаний, умений, навыков, а также опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся, то есть ключевые компетенции, определяющие современное качество содержания образования» [74, с. 10].
В соответствии с образовательными документами реализация компетентностного подхода должна осуществляться в рамках каждого учебного предмета — в том числе и в процессе обучения алгебре. Анализ научных исследований, раскрывающих сущность, содержание компетентностного подхода, показал, что проблема построения процесса обучения алгебре на основе компетентностного подхода остаётся на сегодняшний день нерешённой и актуальной. В нашем исследовании! рассматривается одно из возможных направлений решения данной проблемы - обучение учащихся умению осуществлять математическое моделирование.
Обоснование выбора этого направления требует раскрытия сущности компетентностного подхода, содержания его основных категорий. Анализ работ педагогов, психологов, специалистов в области методики преподавания отдельных учебных дисциплин показал, что, несмотря- на довольно длительную историю существования компетентностного подхода (в работах [60],[61] И.А. Зимней отмечается, что он ведёт своё начало с 1960 года, и до настоящего времени прошёл три этапа в своём развитии) его единой концептуальной основы в российской науке нет. Нет однозначного подхода к определению понятий «компетенция», «компетентность», существуют различные мнения по поводу соотношения этих понятий, их связи с понятиями «профессионализм», «знания», «умения», «навыки». Под компетенцией в современной науке понимают: - осведомлённость в каком-либо круге вопросов, в какой-нибудь отрасли знаний (Толковый словарь иностранных слов Л.П. Крысина); определённую область окружающей действительности или деятельности (Т.В. Иванова [62]); - совокупность взаимосвязанных качеств личности (знаний, умений, навыков, способов деятельности), задаваемых по отношению к определённому кругу предметов и процессов и необходимых, чтобы качественно действовать по отношению к ним (С.Н: Уласевич [156];, А.ВЇ; Хуторской [176j с.61]); В качестве родовых понятий для- определения компетентности; в; науке: используются: - мера включённости человека в деятельность (Д.Б: Эльконин [190]); - способность ориентироваться в широком круге проблем (И.Ю. Тутник); решать сложные задачи (ИЩ Фрумин [171 ]), интегральная? характеристика общих способностей (А.Б. Воронцов [27], F. Селевко [136]);: - мера соответствия знаний, умений,, опыт уровню сложности; выполняемых задач (АлСБелкию [15], С.М(Вишняковаі[24]); - свойство; личности? (Н;В! Кузьмина; [80] ЛІА. Петровская Q120]), интегральное качество, личности (Є.Н1 Уласевич [156] , О.В; Харитонова [172]); характеристика-личностных качеств (А.В. Хуторской; [176]-[1 78]) В современных исследованиях можно1 выделить, два? подхода- к установлению- взаимосвязи между понятиями; «компетенция» и «компетентность»: В работах BiA. Болотова, ВЯЗ;. Серикова [16]; ЙКДі. Фруминак [171] и других ученых эти; понятия используются как синонимы, как слова, возникшие: в= результате перевода одного и того же термина «competence», «competentia», «Kompetenz» соответственно с английского; латинского , немецкого языков; 0;В; Акулова [2], [3], И-А. Зимняя? [60]!,. [61], Т\А. Степанова, А.ВЇ Хуторской [176]-[178], ОЛ31 Харитонова [172] и другие исследователи считают необходимым-:разграничивать, между собой термины «компетенция» и «компетентность»; Т.А. Степанова предлагает обратиться к значению слова «-ность». в? русском языке, которое означает степень владения! качеством. Поэтому «компетентность» - выраженность у конкретного человека какой-то компетенции, степень владения ею [2],[136]. А.В1 Хуторской разделяет точку зрения Т.А. Степановой. Он разграничивает понятия «компетенция» и «компетентность» как общее и индивидуальное. Компетенция, по его мнению, это совокупность тех качеств, которыми должен овладеть человек для успешного осуществления деятельности, она не может быть измерена; компетентность же — характеристика качеств конкретного человека как субъекта деятельности в данный момент времени, компетентность постоянно изменяется, совершенствуется и может быть измерена. В рамках второго подхода строится и наше исследование.
Проведённый анализ литературы, в ходе которого нами анализировались общие для различных исследований характеристики компетенции и компетентности, выделялись показатели компетентности, позволил нам в качестве рабочих принять определения, предложенные в работе [172] О.В. Харитоновой: Компетенция - совокупность взаимосвязанных знаний, умений,- навыков, объективного опыта, качеств личности (задаваемых социумом и необходимых для осуществления деятельности), «обеспечивающая возможность осмысленной самостоятельной деятельности1 в некой области, направленной на эффективное решение проблем» (О.В. Харитонова) [172, с. 27]. Компетентность — интегративное качество личности, характеризующее степень владения ею компетенцией и выражающеесяв: - умении ориентироваться в сложившихся условиях, т.е. всесторонне осмысливать ситуацию через её адекватное понимание и оценивание; - умении устанавливать связь между знанием и ситуацией (проблемой); - умении мобилизовать в конкретной ситуации необходимые для эффективного решения проблемы знания, умения, навыки, опыт; - умении» применить знания, умения, навыки, опыт для решения проблемы; - умении действовать рефлексивно (осознавать и контролировать, свои действия в некой деятельности, результаты её выполнения); - положительной мотивации и личной заинтересованности субъекта деятельности в решении данной проблемы (О.В. Харитонова [172, с.27-28]).
Внедрение компетентностного подхода в систему общего образования привело к появлению терминов «образовательная компетенция» и «образовательная , компетентность». Изучению «образовательной компетенции» и «образовательной компетентности» посвященьп работы. Є.Н; Уласевич [156]; А. Дахина [47], И=Б; Єенновского [138], А.В; Хуторского [176]-[178], 0;В; Харитоновой [172] и других исследователей.
В соответствии с принятыми намш определениями компетенции и компетентности, под. образовательной компетенцией мы будем понимать совокупность взаимосвязанных знаний, умений; навыков; объективного опыта, качеств личности учащегося; «дающих возможность осуществления социально и личностно-значимой? продуктивной самостоятельной деятельности-по отношению к объектам реальной-действительности» [176, с. 62]; образовательная компетентность отражает степень владения учащегося образовательной компетенцией. Анализ; различных определений; понятий «компетенция», «компетентность», «образовательная компетенция»; «образовательная компетентность», заставил нас задуматься о месте компетентностного подхода в системе классических и современных психологических и педагогических подходов в отечественной системе образования; Мы пришли к выводу о1 том, что; в построении; обучения на основе компетентностного подхода, существенную роль играют личностно-ориентированный; индивидуальный, развивающий; системно-структурный, деятельностный; возрастной, метаметодический подходы. Так как; компетентность - это качество- личности, то для его развития необходима, реализация личностно-ориентированного обучения; Так как компетентность.- качество каждого отдельного человека, то его становление требует реализации индивидуального подхода. Поскольку становление компетентности происходит только Bt деятельности, а: сама компетентность, предполагает формирование умения применять знания, умения, навыки в ходе практической деятельности, то её развитие требует построения обучения на основе деятелъностного подхода. Эффективное и качественное формирование взаимосвязанной совокупности знаний, умений, навыков, опыта деятельности возможно только в процессе обучения, построенного на основе системно-структурного и возрастного подходов. Умение анализировать ситуацию, усваивать, отбирать и синтезировать все накопленные знания, умения, навыки, умение действовать рефлексивно требуют соответствующего уровня организации мышления, формирование которого является целью развивающего подхода к обучению. Становление целостной системы знаний об объекте, способов деятельности, которые применяются для изучения объектов исследования разных наук (учебных предметов), формирование умения применять для решения проблемы знания из разных наук (учебных предметов) и собственного опыта осуществляется в процессе обучения, построенного на основе метаметодического подхода. Поиск путей реализации компетентностного подхода при обучении алгебре привёл нас к необходимости выделения видов, иерархии образовательных компетенций.
Модели, необходимые для обучения математическому моделированию, их содержание
Понятие математической модели в разных исследованиях (М.П. Лапчик [81], Я.Г. Неуйминым [112], А.А. Темербековой [150] и других) определяется примерно одинаково: математическая модель - «приближённое описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики» [155, ст. 574]. Но для нашей работы особое значение имеет исследование [10] П.В: Трусова, в которой, автор описывает логику построения математической модели. В зависимости от роли и места, занимаемого моделью в исследовании, В.П. Трусов относит её к одному из трёх видов: мысленных, содержательных (представление мысленной модели посредством естественного языка, или частично формализованные) или формальных- модели. Математическая модель — это модель, представленная с помощью языка математики.
В соответствии с исследованиями Ю.Б. Мельникова, Г.И. Рузавина, можно заключить, что любая формальная модель включает в себя, во-первых, формальный объект (объект той науки, посредством языка которой модель представлена), во-вторых, интерпретационный компонент - описание, с помощью которого устанавливается связь между формальным объектом (компонентом модели) и объектом-оригиналом. Являясь формальной моделью, математическая-модель включает: - математический объект (объекты), который называют содержательным компонентом математической модели; описание математического объекта — интерпретационный (описательный) компонент.
Интерпретационный и содержательный компоненты математической модели составляют её структуру [102]. Приведём примеры различных математических моделей Земли, построенных с целью отражения площадей суши и океанов, в каждой модели выделим её интерпретационный и содержательный компоненты.
Раскрытие структуры математической модели позволяет выделить специфику математических моделей, которая заключается в том, что математические объекты, входящие в состав математических моделей, представляют собой многоуровневые абстракции и допускают множество различных интерпретаций, в том числе в различных областях науки. Добавляя к одному и тому же математическому объекту разные интерпретационные компоненты, мы будем получать разные математические модели, причём различных процессов, предметов, явлений.
Уравнение (1), являющееся элементом содержательного компонента математической модели, описывающей электромагнитные или механические колебания со строго заданными параметрами, мы будем назвать содержательным компонентом данной математической модели. Уравнение (2), полученное из уравнения (1) путем обобщения - её обобщённым содержательным компонентом.
Математические модели, имеющие одинаковый содержательный и обобщённый содержательный компонент, позволяют устанавливать связи " между объектами разных областей науки, а работа с такими моделями требует широкого применения межпредметных знаний. Поэтому использование в обучении математических моделей, имеющих одинаковый содержательный компонент, формирование у учащихся " представлений о специфике математических моделей, раскрытие роли математических моделей в установлении межпредметных связей, необходимо для развития учебно-познавательной компетентности школьников.
Все модели, с которыми работают школьники в процессе обучения, называют учебными. По сравнению с научными моделями они: - наглядны, просты, доступны в построении и использовании (СЕ. Каменецкий, Н.А. Солодухин, А.А. Егоров [54]), образный характер (В.В. Давыдов, А.У. Варданян [46]); выполняют описательную, критериальную, объяснительную, эвристическую, операторную, иллюстративную, экстраполяционную, регулятивную функции (В.В. Давыдов, А.У. Варданян [46], Т.С. Марченко [98], Н.Г. Салмина [134]) - выступают как средством усвоения уже известных сведений (являются средством структурирования, организации материала для его лучшего запоминания), так и средством получения новых для ученика знаний об объектах (Н.Г. Салмина). Модели, построенные с целью получения новой информации об объекте, называются исследовательскими моделями. В отличие от научных учебные исследовательские модели конструируются с целью получения не объективно, а субъективно новой информации об объекте [134]. Н.Г. Єалмина отмечает, что в исследовательских целях модели в процессе обучения1 используются крайне редко [134]. Чаще всего они применяются для иллюстрации изучаемого материала, в і качестве средства, облегчающего его восприятие и усвоение. Это означает, что роль моделей (в том числе и математических моделей) в изучении объектов окружающего -мира и механизм применения моделей в исследовании для школьников остаётся нераскрытым. Раскрыть механизм применения математических моделей к получению знаний о других объектах на уроках алгебры, по мнению Н.Г. Салминой, можно при обучении учащихся решению текстовых -задач.
Процесс решения текстовых задач сопровождается работой с разными моделями: как математическими, так и нематематическими. Опираясь на типологии моделей в исследованиях В.В. Давыдова [45], А.А. Егорова [54], В.А. Штоффа [186]-[187] и других учёных среди моделей, используемых в решении задачи можно выделить естественные (объекты живой природы, используемые для более глубокого осмысления условия задачи) и искусственные (созданные человеком). Последние принято делить на материальные (предметы, макеты) и идеальные. Все идеальные модели В.В. Давыдов делит на образно - иконические (рисунки, чертежи, графики и другие), знаково-символьные (словесные модели, формулы, уравнения, неравенства и т.д.), мысленные (представление ситуации, описанной в тексте задачи). Среди идеальных моделей можно выделить смешанные модели, включающие элементы как образно — иконических, так и знаково-символьных моделей; (например, рисунок к задаче с отмеченными на нём-известнымии искомыми величинами);
В зависимости от роли в решении задачи Л.М: Фридманом моделт задачи делятся на вспомогательные и решающие. Вспомогательные модели; позволяют более глубоко осмыслить, условие задачи; осуществить. поиск её решения? (это мысленное представление ситуации; о которой идёт. речь в задаче, краткая» запись); Решающие модели — математические модели, преобразование/которых приводит к; выполнению требования ;задачи; Среди решающих математических моделей можно выделить, алгебраические (их содержательным компонентом могут быть, уравнения , неравенства;. алгебраические выражения); арифметические (их содержательным, компонентом, может быть числовое выражение); геометрические; (графики; функций; графы);
Этапы и цели формирования- у учащихся умения осуществлять математическое моделирование при изучении алгебры в основной школе
Реализация всех сформулированных положений (в частности, реализация возрастного, развивающего, индивидуального подходов) в курсе алгебры основной школы потребовала поэтапного построения методики формирования у учащихся умения осуществлять математическое моделирование. Когда необходимо начинать целенаправленное обучение школьников математическому моделированию? Каковы этапы становления и развития этого умения в курсе алгебры основной школы?
Из сформулированных выше концептуальных положений следует, что при определении времени начала формирования у учащихся умения осуществлять математическое моделирование и при разработке его этапов. необходимо руководствоваться: - периодами становления и развития психических процессов, входящих во внутреннюю структуру деятельности математического моделирования; - уровнем математической подготовки школьников, теми знаниями, умениями, навыками, которые осваивает ученик в каждом классе; " - этапами формирования у учеников умения решать текстовые математические задачи, разработанными в методике обучения «математике [161]; - тем многообразием межпредметных связей, которое (ввиду ограниченного количества изучаемых учебных предметов) - может. устанавливать ребёнок в 7, 8, 9 классе.
Опираясь на данный вывод, на результаты анализа исследований по возрастной психологии (B.C. Волкова [25], В.А. Крутецкого [78], А.А. Реана [1], [139} и других), по методике обучения учащихся решению задач (Е.Ф.- Фефиловой [161] и др.), содержания современных учебников по алгебре и другим учебным предметам, мы считаем, что в курсе алгебры основной школы формирование у учащихся- умения осуществлять математическое моделирование необходимо начинать в седьмом классе (в учебнике алгебры А.Г. Мордковича знакомство учащихся с математическими моделями, также осуществляется в 7 классе) при изучении темы, «Решение задач с помощью уравнений»). Почему?
Формирование у учащихся умения осуществлять математическое моделирование при изучении алгебры мы связываем с обучением школьников математическому моделированию при решении текстовых задач. Это требует овладения учениками умением строить процесс решения задачи в соответствии с этапами математического моделирования и оформлять решение соответствующим образом. В курсе алгебры седьмого класса начинается целенаправленное обучение школьников алгебраическому методу решения текстовых задач. При решении задачи данным методом есть возможность чётко выделить все этапы математического моделирования, чётко (в отличии от арифметического метода решения задач) разграничить этапы работы с задачей в реальном плане (анализ текста задачи и восстановление реальной ситуации, построение решающей математической модели задачи на основе расчленяющего абстрагирования) и символическом плане (работа с решающей математической моделью задачи), разграничить содержательный и интерпретационный компоненты вспомогательных и решающих математических моделей задачи. Формирование у школьников умения осуществлять математическое моделирование в более поздний период может потребовать переучивания школьников в организации деятельности по решению задачи и в оформлении её решения. Целенаправленное обучение математическому моделированию, начиная с седьмого класса, можно обосновать и с позиции возрастной психологии. На основе анализа психологических исследований можно заключить, что к седьмому классу у детей уже сложился тот уровень интеллектуального развития, который позволяет начать обучение математическому моделированию. А именно, к этому возрасту у школьников формируется продуктивное представление, необходимое для воссоздания по тексту задачи соответствующей реальной ситуации, произвольное внимание, логические операции, лежащие в основе математического моделирования: анализ, синтез, обобщение, классификация. К этому возрасту у детей появляется способность давать логическое объяснение выполняемым действиям, над наглядно-образным мышлением начинает преобладать словесно-логическое, абстрактное, что позволяет создать условия для развития расчленяющего абстрагирования. К седьмому классу количество учебных предметов, изучаемых школьниками, становится довольно разнообразным: уже год школьники осваивают биологию и географию, начинается изучение физики, геометрии. Для обученияматематическому моделированию это значимо так как - при решении текстовых задач становится возможным с опорой на знания из географии, физики, биологии обоснованно осуществлять построение вспомогательных и решающих моделей задачи; - при воссоздании-по тексту задачи соответствующейфеальной ситуации появляется возможность осуществлять этот процесс не только на основе собственного субъектного опыта, но и на.основе установления1 связей сразу с несколькими учебными предметами; - при формировании знаний о моделях можно приводить разнообразные примеры- из всех перечисленных учебных предметов, это в свою очередь, будет способствовать и развитию- у школьников мотивации к овладению математическим моделированием. Опираясь- на. этапы обучения учащихся решению сюжетных- задач, разработанные Е.Ф. Фефиловой [161], [162], руководствуясь положением деятельностного подхода в обучении, состоящего в. том, что умение формируется эффективно в том случае, если формируется как цельюбучения, в методике формирования у школьников умения осуществлять математическое моделирование при изучении алгебры в основной школе мы выделяем три этапа: первый этап — этап овладения учащимися умением осуществлять математическое моделирование как одной из целей обучения алгебре, который в свою очередь, в соответствии с разработанными Е.И. ЛЯЩЄНКОІ этапами обучения методу, мы разбиваем на подэтапы: 1. мотивационный; 2. овладения учащимися отдельными компонентами математического моделирования (в том числе знаниями о математических моделях); 3. овладения математическим моделированием в целом; 4. применения г математического моделирования к работе с текстовыми задачами определённого вида; 5. применения математического моделирования к работе с широким кругом текстовых задач. второй этап — этап накопления школьниками опыта применения математического моделирования в работе с текстовыми задачами на основе использования знаний из разных учебных предметов; третий этап, - этап применения учениками математического моделирования к. решению широкого- круга задач на основе обобщения собственного субъектного опыта и установления, многосторонних межпредметных связей (связей между несколькими)учебными предметами).
Первые два. этапа целенаправленного обучения учащихся математическому моделированию осуществляются в, рамках этапа накопления фактов и опыта решения школьниками- отдельных (не- только сюжетных, но и других текстовых) задач в курсе алгебры седьмого- и восьмого класса, третий этап - одновременно с этапом обобщения и систематизации знаний и умений по решению задач при изучении алгебры в девятом классе. Каждый этап обучения математическому моделированию имеет свои временные границы и обладает вполне определёнными целями. Первый этап - этап овладения учащимися умением осуществлять математическое моделирование как одной из целей обучения алгебре, может быть? реализован на нескольких уроках изучения тем «Решение текстовых задач с помощью уравнений» (по учебникам- Ш.А. Алимова, Ю:Н: Макарычева), «Математический, язык. Математическая модель» (по учебникам А.Г. Мордковича) в курсе алгебры седьмого класса. Он направлен на достижение следующих целей: 1. Формировать у учащихся мотивацию к овладению умением осуществлять математическое моделирование, раскрыть роль математического моделирования в процессе познания объектов науки и реальной действительности. 2. Формировать у школьников знания, действия, входящие в структуру умения осуществлять математическое моделирование при работе с текстовой задачей. 3. Научить применять математическое, моделирование к решению текстовых задач, решаемых арифметическим методом или с помощью уравнений. 4. Нацелить учащихся на выявление и применение знаний, полученных на других учебных предметах, которые могут быть использованы на уроках алгебры при работе с текстовой задачей, а также выявления возможностей применения математических объектов к изучению объектов разных учебных предметов (наук). Второй, этап - этап накопления учащимися, опыта применения математического моделирования-в,работе с текстовыми задачами на основе использования знаний изразных учебных предметов начинается срезу после первого этапа формирования у школьников умения осуществлять математическое моделирование и- продолжается до начала девятого класса. Он может быть реализован как на отдельных уроках (при изучении тем «Решение задач с помощью систем уравнений» и др.), так и на отдельных фрагментах уроков, посвященных работе с текстовыми задачами.
Методические особенности выявления субъектного опыта учащихся, его отслеживания и учета при формировании умения осуществлять математическое моделирование
Выявление, обобщение и преобразование субъектного опыта учащихся должно осуществляться на протяжении всего процесса обучения школьников математическому моделированию. С опорой на субъектный опыт учащихся, при его активном использовании необходимо излагать новый материал. Так, формирование у учащихся понятия модели начинается с выявления субъектного опыта учащихся с помощью следующих письменных заданий: 1. Учащимся предлагается объяснить (написать, или изобразить, или пояснить на примерах) что для них означает понятие «модель» (методики выявления смысловых характеристик, рисунков, разработанные в исследовании О.А. Василенко [22]); 2. На доске изображены различные объекты: формула, куб, автомобиль, рядом с доской стоит глобус, макет цветка яблони, ветка дерева. Все объекты пронумерованы. Учащимся предлагается выписать номера тех объектов, которые могут быть моделью (составной частью модели) некоторого объекта. После выполнения заданий листочки учащимися откладываются в сторону.
На основе обсуждения ответов, учащихся на первый вопрос [вводится понятие «модели». С термином «модель» школьники неоднократно сталкивались как в школе (например, на уроках географии), так и вне её стен (модель машины, фотомодель и др.). Ответы учащихся оказываются очень разнообразными. В ходе беседы устанавливается, что во всех ответах учащихся есть общее: модель - это какой-то объект (реальный или вымышленный), рядом со словом модель — всегда появляется название объекта оригинала (модель Земли, модель человека, модель машины и т.д.), вместо которого она используется, который заменяет, на который похожа. Отвечая на вопрос о том, зачем нужен глобус, кардиограмма сердца, дублёр космонавта, учащиеся приходят к выводу, что модель всегда строится с определённой целью. Какие свойства сердца отражает его кардиограмма? Какими качествами должна обладать девушка, чтобы быть фотомоделью? Каким должно быть поведение дублёра, чтобы он мог помочь космонавту решить возникшие на орбите проблемы? Размышления над данными вопросами помогут ученику осознать следующее: чтобы модель можно было использовать с той целью, для которой она строилась, она должна обладать всеми важными для осуществления этой цели свойствами объекта. Учителем вводится понятие существенных для цели исследования свойств объекта. Те свойства объекта, которые не влияют на достижение цели (для которой модель строилась), называются несущественными. Учащиеся выделяют несущественные для решения проблемы на орбите свойства космонавта, корабля..., свойства сердца, которые не отражены на кардиограмме. В заключение беседы учащиеся записывают определение модели, которое формулируется учителем. На уроке школьниками выполняются выделенные нами в предыдущем параграфе (4.3) типы заданий на усвоение содержания понятия «модель», среди которых важное место занимают - задания «на множественность»: - задания «на множественность интерпретаций модели», которые направлены на усвоение учащимися свойства модели: «иметь не менее одной интерпретации». - задания «на множественность моделей»; их цель - усвоение учащимися того факта, что1 для одного и того же объекта даже в соответствии с, одной целью исследования можно построить различные модели. - задания «на множественность цели», которые помогают школьникам понять, что один и тот же объект может быть использован в качестве модели другого объекта при различных целях исследования. С целью выявления изменений в субъектном опыте учащихся, осознания этих изменений самими школьниками, в конце урока им снова предлагается выполнить задания, которые они делали в. начале урока. Детям также предлагается ответить на вопрос о том, отличаются ли их ответы от тех, которые они дали перед изучением.понятия «модель». На основе собственного субъектного опыта происходит воссоздание школьниками по тексту задачи соответствующей реальной ситуации, описание объектов задачи. При этом очень важно, чтобы при описании одной и той же ситуации в 7, 8, 9 классах, школьник использовал все большее количество приобретаемых им знаний. Осмыслению школьником субъектного опыта, субъектного опыта других людей помогают творческие задания, примером которых могут быть сочинения: «Математика в моей жизни», «Математика помогает ученому исследовать мир», рефераты: «Как математика помогает совершать открытия», «Математика в архитектуре моего города», «Математические модели в природе» и т.д..
С самого первого урока по формированию у учащихся умения осуществлять- математическое моделирование и на протяжении всего процесса его становления необходимо вовлекать школьников в процесс установления связей математики с другими учебными предметами. », Перед введением понятия модель у школьников, формируется представление об объекте, о свойствах объекта, о том, что любоШ объект реальной действительности изучается разными науками; но каждая наука изучает лишь некоторые его свойства. Освоение теоретического материала, его закрепление осуществляется при включении учащихся в работу с объектами реальной действительности, с объектами, с которыми ученики встречаются на разных учебных предметах. Выделение существенных, несущественных для цели построения модели свойств объекта-оригинала происходит с позиции разных учебных предметов: физики, химии, географии и других. С опорой на знания из разных учебных предметов.осуществляется воссоздание по тексту задачи соответствующей ей реальной ситуации, её анализ, выделение существенных или несущественных для решения задачи свойств объектов. Школьники включаются в деятельность по решению межпредметных задач, задач, в которых описывается ситуация, более или менее приближенная к той, которая может возникнуть в реальной действительности. На формирование у учащихся умения применять при разрешении сложившейся ситуации весь накопленный к данному моменту багаж знаний, умений, навыков (что необходимо в жизни) направлено использование в обучении математическому моделированию не только межпредметных задач (наборов таких задач), но и заданий по их конструированию учениками.
Но, как показал поисковый и формирующий эксперимент, прежде чем включать школьников в решение и составление текстовых задач на основе межпредметных связей, целесообразно использовать подготовительные задания следующих типов: - задания, направленные на поиск учащимися в школьных учебниках, дополнительной литературе объектов, для изучения которых может быть использован данный математических объект: уравнение, система уравнений, график функции, алгебраическое выражение и т.д. Например: На основе анализа учебников разных учебных предметов, дополнительной литературы выделите величины, рассматриваемые в области физики, геометрии, географии, связанные между собой следующим отношением: с = а-Ь. - задания, предполагающие анализ различных школьных учебников, и направленные на обобщение и систематизацию учащимися всех уже известных им сведений об объектах (процессах), встречающихся в формулировках текстовых задач. Например, перед обучением применению метода математического моделирования1 к решению задач на движение ученикам 7 класса может быть предложено следующее задание:
Используя учебник физики, дополнительную литературу, собственные знания, письменно ответьте на следующие вопросы: 1) что понимается под механическим движением, траекторией, путём, расстоянием? 2) какие существуют виды движений?; 3) в какой среде, по какой поверхности может осуществляться движение? 4) кто или что может быть движущимся объектом? 5) за счёт чего может осуществляться движение? 6) что может быть результатом движения, каким может быть влияние движения на тело, которое-движется, на другие объекты?
