Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Принципы обучения в преподавании математики в 5-6 классах 8
1. Иерархия дидактических принципов и их трактовки психолого-педагогическои наукой
2. Анализ дидактических принципов систем развивающего обучения с точки зрения их взаимосвязи с принципами классической дидактики
3. Систематичность и последовательность в обучении и системность знаний учащихся 48
4. Выводы
Глава II. Реализация принципа систематичности и последовательности при построении методологической схемы изучения числовой линии курса математики 5-6 классов 51
1. Основания построения методологической схемы изучения числовой линии на основе деятельностного подхода в обучении
2. Методологическая схема изучения числовой линии курса математики 5-6 классов
3. Методические рекомендации по применению метода учебных задач в изучении числовой линии курса математики 5-о классов
4. Описание эксперимента Заключение 151
Библиография
- Анализ дидактических принципов систем развивающего обучения с точки зрения их взаимосвязи с принципами классической дидактики
- Систематичность и последовательность в обучении и системность знаний учащихся
- Методологическая схема изучения числовой линии курса математики 5-6 классов
- Методические рекомендации по применению метода учебных задач в изучении числовой линии курса математики 5-о классов
Введение к работе
Актуальность исследования.
В положениях Национальной Доктрины образования 1998 г. говорится о том, что одна из важнейших целей школы - формирование личности, способной к жизни в постиндустриальном (или информационном), обществе, т.е. в обществе, где на человека ежедневно обрушивается гигантский поток информации, которую надо уметь воспринимать и, главное, уметь ее анализировать. С этой целью школа должна развивать способность к рефлексии, умение спрашивать, запрашивать недостающую информацию, критичность к действиям и мнениям - собственным и чужим, несклонность что-либо принимать на веру, привычку искать доказательства и склонность к дискуссионным путям решения любого вопроса. Однако вместо этого в детях зачастую развивается подражательность, что способствует воспитанию прекрасных исполнителей, способных к нерассуждающей вере, но испытывающих серьезные затруднения в случае необходимости принимать ответственные решения.
Проблема существующей системы образования в том, что в ее основе
лежит императив подготовки человека знающего, в то время как мир нуждается
в человеке не просто знающем, но понимающем - понимающем других людей,
другие культуры, специфику современного бытия. В течение длительного
периода времени в отечественной и зарубежной психологии и дидактике
рассматриваются проблемы связи развития и обучения. Сформировавшиеся в
отечественной психологии в середине 20-го века теории, концепции, трактовки
учения, учебной деятельности (Д.Н. Богоявленский, Г.С. Костюк,
Н.А. Менчинская, П.А. Шеварев, З.И. Калмыкова, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, А.К. Маркова, Л.И. Айдарова, Л.В. Занков, Л.Н. Ланда, Г.Г. Граник, А.А. Люблинская, Н.В. Кузьмина и др.) внесли неоценимый вклад не только в осмысление педагогической практики, но и в педагогическую психологию как науку (И. Лингарт, И. Ломпшер и др.), развиваемую как в нашем государстве, так и в других странах.
Сегодня требования к обучению и образованию переосмыслены: школа в широком смысле слова должна не просто транслировать информацию, а учить обобщенным способам деятельности, тем самым способствуя формированию и развитию мышления. Так, по мнению В.В. Давыдова, необходимо менять сам способ (принцип) построения учебных предметов, чтобы их освоение было одновременно и формированием способностей к подлинному мышлению.
Имеется немало исследований, посвященных формированию и развитию аналитико-синтетических способностей мышления в различные периоды
детства и связи этого процесса с обучением. Взаимоотношению процессов обучения и развития посвящены труды Л.С. Выготского, П.Я. Гальперина, У. Джемса, К. Коффки, Эд. Торндайка, Дж. Уотсона, Ж. Пиаже, В. Штерна, Д.Б. Эльконина, Л.В. Занкова, В.В. Давыдова, Н.Ф. Талызиной и др. Нам в этом вопросе наиболее близка позиция Л.С. Выготского и его последователей, которая схематично может быть выражена следующим образом:
обучение и развитие - независимые, но сопряженные процессы;
правильно организованное обучение ведет за собой психическое и умственное развитие;
новый этап в психофизиологическом развитии позволяет переходить к следующим этапам в обучении.
Обратим внимание на фразу «правильно организованное обучение», т.е. обучение, в котором нашли оптимальное сочетание содержание учебного материала, методика его изучения, методы и формы обучения.
Если говорить о развитии аналитико-синтетических умений школьников, то здесь наиболее эффективными оказываются методы создания проблемных ситуаций, организации поисково-эвристической, исследовательской деятельности. Этим вопросам посвятили свои труды А.В. Брушлинский, М.И. Махмутов, Л.М. Фридман, З.И. Калмыкова, Н.В. Метельский, М.Б. Раджабов, Т.М. Карелина, А.С. Сиденко, СИ. Туманов и многие другие ученые и педагоги. В рамках одной работы невозможно рассмотреть процесс обучения во всей его многогранности, поэтому здесь мы коснемся только одного его аспекта - этапа получения учащимися новых знаний. На этом этапе ученик может стать субъектом процесса обучения, если этот процесс организован таким образом, что ребенок в ходе урока совершает свое собственное, субъективное, открытие. При этом важно, что он не только делает индуктивное предположение, но и может обосновать его путем рассуждений. Опыт работы автора с учителями математики Московской области, заставил задуматься над следующим вопросом: почему учителям математики 5-6 классов после того, как с ними были подробно изучены требования к созданию проблемных ситуаций, организации проблемно-поисковой, проблемно-исследовательской, поисково-эвристической деятельности, обучению через задачи, рассмотрены рекомендации педагогов и психологов по этому вопросу, ни разу не удалось разработать конкретные уроки изучения нового материала с использованием полученных рекомендаций. Абсолютное большинство представленных сценариев уроков дублировали объяснительный текст учебника.
Анализ ситуации выявил, что организация урока введения новых знаний в соответствии с современными установками психологии и педагогики возможна, если процесс обучения проходит в зоне ближайшего развития ребенка, что в свою очередь требует организации учебного материала в
системе, выстроенной в соответствии с принципом систематичности и последовательности в его содержательной разработке с позиций психологической теории деятельности (В.В. Давыдов, З.А. Решетова).
Вместе с тем, анализ содержания курса математики 5-6 классов, анализ структуры этого содержания, реализованной в учебниках, по которым работала и работает до настоящего времени большая часть школ, позволили сделать вывод о том, что проблемное обучение, обучение через задачи в большинстве случаев невозможно организовать из-за того, что соблюдение принципа систематичности и последовательности в изложении учебного материала в этих учебниках осуществляется без учета необходимости организации предметной деятельности школьников.
Анализ исследований, проводившихся по проблемам обучения математике в 5-6 классах, позволяет сделать вывод о недостаточном внимании к проблеме реализации принципа систематичности и последовательности в обучении математике: за последние 10 лет не выявлено ни одной работы, посвященной содержательной разработке принципа систематичности и последовательности в обучении с позиций психологической теории деятельности, и анализу структуры содержания числовой линии - ведущей линии курса математики 5-6 классов - с точки зрения ее соответствия этому принципу.
Из вышесказанного можно сделать вывод о том, что актуальность нашего исследования обусловлена противоречием между объективной необходимостью разработки научно-методологической схемы и методики изучения числовой линии курса математики 5-6 классов в соответствии с требованиями теории деятельности и отсутствием содержательной разработки принципа систематичности и последовательности в обучении математике с позиций теории деятельности, на основе которого должны выстраиваться содержательно-методические линии школьного предмета.
Проблема исследования состояла в том, чтобы с позиций современной науки исследовать и разработать научные подходы к построению одной из содержательно-методических линий курса математики 5-6 классов - числовой линии как целостной системы знаний.
Цель исследования: разработка и теоретическое обоснование методологической схемы и методики изучения числовой линии курса математики 5-6 классов на основе теории деятельности.
Объект исследования
Процесс обучения математике в 5-6 классах общеобразовательной школы.
Предмет исследования.
Оптимизация структуры числовой линии курса математики 5-6 классов, приведение ее в соответствие с принципом систематичности и последовательности в обучении в его трактовке с позиций теории деятельности как фактора, обеспечивающего формирование системных знаний.
Гипотеза исследования: знания учащихся, сформированные в результате изучения числовой линии курса математики 5-6 классов, будут системными, если методологическая схема изучения числовой линии выстроена в соответствии с принципом систематичности и последовательности в обучении в его трактовке, разработанной автором исследования с позиций психологической теории деятельности.
Задачи исследования:
изучить и проанализировать существующие в психолого-педагогической науке подходы к трактовке понятий «дидактический принцип», «принцип обучения», а также к иерархии принципов и месте принципа систематичности и последовательности в ней;
разработать методологическую схему числовой линии курса математики 5-6 классов, отвечающую трактовке принципа систематичности и последовательности с позиций психологической теории деятельности и учитывающую возрастные особенности детей 11-12 лет;
разработать принципы формирования содержания учебных задач и требования к содержанию учебных задач, направленных на овладение знаниями, связанными с числовой линией курса математики 5-6 классов;
разработать систему учебных задач (заданий), связанных с введением нового материала в ходе изучения числовой линии курса математики 5-6 классов;
5) проверить в учебном процессе эффективность использования
разработанной системы учебных задач как средства управления учебной
деятельностью школьников.Научная новизна данного исследования состоит в том, что в нем на основе деятельностного подхода разработаны и научно обснованы современные подходы к построению методологической схемы числовой линии курса математики 5-6 классов, включающие в себя дополнительные требования к содержанию принципа систематичности и последовательности в обучении, обусловленные основополагающим принципом психологической теории деятельности - принципом предметной деятельности. Суть этих требований состоит в следующем:
1) знания, которыми должны овладеть учащиеся по завершении изучения того или иного раздела программы школьного курса математики, должны быть представлены разработчиками программ в виде методологической схемы, суть
которой есть систематическое и иерархическое описание элементов данного раздела знаний как системы;
3) в этой методологической схеме должны быть указаны системообразующие связи между элементами системы знаний, выявлен их смысловой и/или логический характер.
2) важной составляющей методологической схемы должно стать раскрытие предметных источников тех или иных знаний с указанием существенного, всеобщего отношения, которое определяет содержание и структуру объекта данных знаний и обеспечивает усвоение учебного материала на основе понимания.
Теоретическая значимость работы состоит в том, что содержательная разработка (трактовка) принципа систематичности и последовательности в обучении математике дополнена требованиями, обусловленными запросами психологической теории деятельности; выявлены системообразующие связи в системе знаний, имеющих отношение к числовой линии курса математики 5-6 классов; разработана методологическая схема для числовой линии курса математики 5-6 классов.
Практическая значимость исследования заключается в том, что:
разработаны методические рекомендации по изучению числовой линии курса математики 5-6 классов, основанные на принципах психологической теории деятельности;
разработана система учебных заданий для введения новых понятий и алгоритмов числовой линии курса математики 5-6 классов, обеспечивающая реализацию деятельностного подхода в обучении.
Достоверность результатов и обоснованность выводов исследования обеспечивается опорой на современные достижения психологии, педагогики, физиологии, методики обучения математике в основной школе; выбором методов исследования, адекватных его целям и задачам; результатами педагогического эксперимента, подтверждающего гипотезу исследования.
На защиту выносятся следующие положения:
1) разработка принципа систематичности и последовательности в
обучении математике с позиций психологической теории деятельности,
предложенная нами, позволяет выстроить систему знаний того или иного
раздела курса на основе такого системообразующего фактора как предметная
деятельность учащихся;2) методологическая схема изучения числовой линии курса математики
5-6 классов, разработанная нами, способствует результативному применению
метода учебных задач в процессе обучения на этапе введения новых знаний.Апробация и внедрение результатов исследования. Исследование проводилось с 1989 по 2007 годы.
На первом этапе (1989-1990 г.) в ходе констатирующего этапа эксперимента осуществлялся анализ литературы, освещающей различные аспекты проблемы исследования, было вскрыто противоречие, определены направления поисково-формирующего эксперимента по разработке методологической схемы числовой линии.
На втором этапе (1990-2005 г.) в ходе поисково-формирующего этапа осуществлялась работа над оптимизацией структуры содержательно-методических линий курса математики 5-6 классов, в частности числовой линии.
Третий, обучающий этап эксперимента по сути начался в 2002 году, с выходом в свет первых учебников математики для 5-го и 6-го классов. Однако работа по оптимизации структуры числовой линии была завершена только к 2005 году, поэтому этот этап мы относим к периоду 2006-2008 г.
Таким образом, разработанная методика использования учебных задач в ходе изучения числовой линии внедрена в учебный процесс посредством подготовки учебников и учебных пособий учебно-методического комплекта по математике для 5-6 классов авторского коллектива под руководством профессора А.Г. Мордковича (всего 12 наименований, см. стр. 23, п. 7-18). В работе с использованием данной методики принимали и принимают участие более 15 000 учителей, что подтверждается размерами востребованности методического пособия к учебникам математики 5-6 классов. В период с 2002 г. по 2007 г. книга для учителя была выпущена общим тиражом 15 000 экземпляров. Ежегодный тираж учебников, начиная с 2002 г, составляет не менее 50 000 экземпляров, за период с 2002 г. по 2007 г. общий тираж составил более 300 000 экземпляров.
В итоге, экспериментальной базой исследования послужило не менее 10 000 классов школ различных регионов России.
Теоретические и научно-практические результаты исследования обсуждались в ходе научно-практических конференций и семинаров: «Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах» (20-22 сентября 2006 г., Киров), «Проблемы многоуровневой подготовки учителей математики для современной школы» (24-26 сентября 2008 г., Пермь); в ходе курсовых мероприятий на базе ИПК и ПРНО МО (Московская область), ФПК МГЛУ (Москва), ИПК и РО (Новгород), ПАППО (С.-Петербург), ИПК и ПРО (Ленинградская обл.), семинаров на базе учреждений системы повышения квалификации и переподготовки работников образования Перми, Архангельска, Тамбова, Петропавловска-Камчатского, Вологды, Тюмени, Волгограда, Ставрополя и многих других городов, краев и областей России.
Основные результаты исследования отражены в 26 публикациях, из которых 6 публикаций в научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии.
Анализ дидактических принципов систем развивающего обучения с точки зрения их взаимосвязи с принципами классической дидактики
Дидактические принципы - это важнейшие требования к процессу обучения, его содержанию, формам и методам, вытекающие из основных закономерностей дидактики, подтвержденные опытом преподавания. Организация процесса обучения в соответствии с дидактическими принципами позволяет построить его на научной основе. Однако, невозможно рассматривать процесс обучения с точки зрения только одного принципа, в нашем случае - принципа систематичности и последовательности изучения материала. Поэтому наше исследование начнем с краткого исторического обзора формулировок дидактических принципов, их трактовок и попыток установления иерархии принципов.
Принципы дидактики не являются раз и навсегда принятыми категориями. Выражая определенные закономерности педагогической науки и педагогического опыта, они постоянно углубляются, видоизменяются соответственно новым задачам, встающим перед школой, формулировки принципов уточняются, смысл этих формулировок находит новую трактовку, устанавливаются и формулируются новые принципы. Так, И.Г. Песталоцци различал высшие, ведущие и подчиненные принципы педагогики. Он считал, что им установлен высший дидактический принцип — наглядность как абсолютная основа всякого познания. Позже в работах Я.А. Коменского появились формулировки принципов дидактики, выражающие положение (или принцип) о природосообразности, в котором нашли свое отражение передовые для того времени идеи философов-гуманистов. И несмотря на то, что в работах Коменского практически не говорится впрямую о принципе сознательности в дидактике, вся его система взглядов на процесс обучения свидетельствует о том, что этому требованию он придавал первостепенное значение. Идеей сознательности, развития мыслительной деятельности учащихся пронизана и вся дидактика К.Д. Ушинского [19].
А.Н. Леонтьев, чья научная деятельность началась в 20-е годы прошлого века, указывал, что педагогика как всякая научная система предполагает свой ведущий принцип [95]. Реальная педагогическая деятельность, по его мнению, выделила подлинно центральный, подлинно ведущий принцип - это принцип сознательности в обучении. Этот принцип, с его точки зрения, должен быть и теоретически понят как ведущий, но это значит, что он должен быть понят по-новому. Анализ трудов классиков дидактики, современных учебников по педагогике показывает, что принцип сознательности повторяет и включает в себя важнейшие положения классической дидактики: он требует, чтобы усваивались "не только слова, но и сами явления" (Я.А. Коменский); чтобы обучение опиралось не только на восприятие и память ученика, но и на его мышление, для чего нужно не только показывать, но "связывать, поучать, теоретически обосновывать" (И.Ф. Гербарт); он требует, чтобы знания были не формальными, чтобы они "не только удерживались в голове" (М. де Монтень), но были реальными, чтобы ученик умел пользоваться ими. А.Н. Леонтьев считает, что этим понятие сознательности не исчерпывается. Он указывает, что существенным недостатком в понимании принципа сознательности является акцент на его «интеллектуалистичности». Но вину за такое положение нельзя полностью взваливать на одну только педагогику. В значительной степени причина такого понимания кроется в традиционных психологических представлениях о сознании и сознательности. Поэтому трактовку принципа сознательности А.Н. Леонтьев предваряет критикой традиционных представлений психологов о сознании как о синониме мышления:
«Понятие сознания не просто шире понятия мышления. Сознание — это не мышление плюс восприятие, плюс память, плюс умения и даже не все эти процессы, вместе взятые, плюс эмоциональные переживания. Сознание должно быть психологически раскрыто в его собственной характеристике. Оно должно быть понято не как знание только, но и как отношение, как направленность. ... Недостаточно заучить слова, недостаточно понять слова, недостаточно понять даже мысли и чувства, в них заключенные; нужно, чтобы эти мысли и чувства стали внутренне определяющими личность». [95, стр. 2].
Сознательность, делает вывод ученый, «есть то в личности человека, что характеризует и его знания, и его мышление, и его чувства, и его стремления — то, чем они реально становятся для человека и куда они направляют его жизнь» [Там же, стр.5].
Процесс уточнения трактовок дидактических принципов нашел свое отражение в работах других отечественных ученых. Это вполне естественно, поскольку педагогика должна давать нормативное знание, предписывать, как нужно строить, осуществлять и совершенствовать обучение и воспитание. По определению В.В. Краевского, дидактические принципы - это принципы деятельности, представляющие собой наиболее общее нормативное знание, которое педагогика получает, когда она реализует свою регулятивную функцию [87].
Теоретической основой для выработки норм практической деятельности являются закономерности этой деятельности, однако непосредственных указаний для нее эти закономерности не содержат. Такие указания содержат принципы. Формулировки принципов, помимо закономерностей, опираются на следующие факторы: 1) цели, которые ставит общество перед обучением и воспитанием; 2) конкретные условия, в которых осуществляется педагогический процесс;
Систематичность и последовательность в обучении и системность знаний учащихся
Предметным источником для каждой арифметической операции с натуральными числами является ситуация соответствующей сюжетной задачи.
Генетически исходным всеобщим отношением предметных условий ситуации, приводящей к понятию суммы, является отношение объединения элементов однородных множеств, т.е. множеств, элементы которых могут быть определены через некоторый термин (например, «яблоки») или выражение (например, «красные яблоки», «зеленые яблоки»). Для понятия разности генетически исходным является отношение разъединения ранее объединенных элементов, разбиения их на различные множества.
Системообразующими связями между такими арифметическими действиями как сложение и вычитание или умножение и деление являются взаимно обратные задачи. Связь между сложением и умножением выражается через понятие «взять»: умножить некоторое число на натуральное число п — это значит взять данное число слагаемым п раз. Деление на натуральное число п, в качестве обратной операции, трактуется следующим образом: «разделить делимое на п равных слагаемых и установить, чему равно одно такое слагаемое» или «установить, сколько раз число п надо взять слагаемым, чтобы получить делимое».
Переместительный, сочетательный и распределительный законы в начальной школе устанавливаются эмпирически, путем решения текстовых задач, сюжеты которых, по сути, являются предметными источниками указанных законов. В 5-м классе эти законы получают геометрическую интерпретацию.
Поскольку законы арифметических действий являются аксиомами и путем логических рассуждений их вывести нельзя, системообразующие связи здесь носят смысловой характер, который раскрывается через соответствующую ситуацию.
Алгоритмы действий с многозначными числами. Основой алгоритмов действий с многозначными натуральными числами являются: - для сложения и вычитания - позиционный способ записи чисел в десятичной системе счисления; - для умножения - позиционный способ записи чисел вместе с распределительным законом умножения относительно сложения; - для деления — позиционный способ записи чисел и тот факт, что разделить одно число на другое, это то же самое, что разбить делимое на слагаемые (в алгоритме деления в столбик это разрядные слагаемые), разделить каждое слагаемое на делитель и полученные частные (неполные частные) сложить. Системообразующей связью для всех алгоритмов арифметических действий с натуральными числами, является позиционный способ записи чисел. Эта связь имеет логическую основу.
Поскольку с натуральными числами дети знакомятся в начальной школе, главной дидактической целью изучения этой темы в 5 классе является отработка и закрепление навыков арифметических действий с ними. Наряду с этим происходит углубление представлений учащихся о десятичной системе счисления и позиционном способе записи чисел.
Рассмотрим последовательность изучения вопросов, связанных с натуральными числами в 5-м классе основной школы и определим логические связи между ними.
Понятие натурального числа.
Введение понятия натурального числа в начальной школе основывается на ситуации подсчета количества предметов. В 5 классе об этом говорится еще раз. К началу обучения в основной школе дети на уровне представлений различают абстрактные числа и величины. Различные способы записи натуральных чисел.
В 5-м классе рассматриваются способы записи чисел с помощью черточек (первобытный), букв латинского алфавита (римская нумерация), арабских цифр. Делается вывод, что удобнее всего записывать числа при помощи арабских цифр. Это позволяет плавно перейти к следующему вопросу.
Позиционный способ записи чисел.
Записывая числа арабскими цифрами, мы значимость цифры ставим в зависимость от ее места (позиции) в записи числа. Именно это делает такой способ записи наиболее удобным.
Понятие десятичной системы счисления. Поскольку арабских цифр всего 10, и при переходе цифры в следующий (старший) разряд её значимость увеличивается в 10 раз, т.е. счет идет десятками, этот способ записи чисел и связанные с ним способы вычислений получили название десятичной системы счета. В математике используется термин «десятичная система счисления». Разряды и классы. Сумма разрядных слагаемых. Разрядные единицы вводятся в начальной школе. Это осуществляется эмпирическим путем: сначала происходит знакомство с терминами десятки, сотни, тысячи и так далее, затем эти понятия обобщаются через понятие разряды числа. Разряды делят на классы, по три разряда в классе. Здесь же рассматривается представление числа в виде суммы разрядных слагаемых, способствующее осознанию того, что в записи чисел позиционным способом подразумеваются действия умножения и сложения. В 5 классе осуществляется систематизация этих сведений и вводится понятие «сумма разрядных слагаемых».
Методологическая схема изучения числовой линии курса математики 5-6 классов
Арифметические операции с натуральными числами. Представления о смысле арифметических действий формируются, как было сказано в главе 2 (2, п. 1.1), на основе рассмотрения сюжетных задач. Здесь мы рассмотрим методику изучения алгоритмов письменных вычислений с многозначными числами. Правила письменных вычислений для отыскания суммы, разности, произведения и частного чисел знакомо детям с начальной школы. Поэтому в 5 классе осуществляется конкретизация ранее имевшихся представлений о теоретической основе известных алгоритмов. Сложение и вычитание многозначных чисел. Поскольку наша цель состоит в том, чтобы добиться самостоятельного отыскания учащимися того или иного обоснования, следует предложить им самостоятельно выполнить сложение и вычитание многозначных чисел, а затем предложить объяснить свои действия.
С этой целью можно дать следующие учебные задания. 1). Вычислите: 45 361 + 2 741 439; 922 564 - 723 154. 2). Объясните, как числа складывают (вычитают) «столбиком», и сформулируйте своими словами правило записи чисел при сложении и вычитании в столбик. В ходе формулировки правила, внимание учащихся акцентируется на поразрядном принципе выполнения вычислений, и на том, что, это возможно, благодаря позиционному способу записи чисел. Умножение многозначных чисел. Для того, чтобы учащиеся смогли глубже осознать основу алгоритма умножения в столбик, целесообразно предложить им готовые решения, часть которых выполнена верно, а часть - с ошибками. При этом важно, чтобы ошибки были не вычислительные (на таблицу умножения и т.п.), а алгоритмические.
Пояснения, почему в первом случае вычисления выполнены неправильно, должны также опираться на позиционный способ записи числа: умножая на 3, мы на самом деле умножаем на 30, а умножая на 4 — умножаем на 400. Для наглядности можно приписать нули в соответствующих числах, но затем удалить их, пояснив, что их не записывают из соображений экономии времени.
Деление многозначных чисел.
Аналогично следует поступать и при повторении алгоритма деления. Не секрет, что больше всего ошибок учащиеся допускают в случае, если в записи частного имеются нули. Поэтому именно такие задания следует предложить учащимся.
Десятки тысяч не могут быть старшим разрядом частного, т.к. при делении десяти тысяч на 30, десятки тысяч получиться не могут. Округляем делимое до единиц тысяч. 14 028 «14 000, 28 «30. Единицы тысяч не могут быть старшим разрядом частного, т.к. при делении 14-ти тысяч на 30, единицы тысяч получиться не могут. Окригляем делимое до сотен. 14 028 «14 000, 28 «30. 14 000-это 140 сотен. 140 сотен можно разделить на 30 - это 4 или 5 (поскольку мы округлили делитель с избытком) сотен. Значит старший разряд частного — сотни. 2) Разделив 140 сотен на 28, получим 5 сотен. Но осталось еще две цифры - 2 и 8. 2 - это два десятка. Два десятка невозможно разделить на 28 так, чтобы в частном получились десятки. Это значит, что разряд десятков в частном отсутствует, т.е. в записи числа на месте десятков стоит цифра 0. 3) К двум десяткам, которые не удалось разделить на 28, прибавляем 8 единиц, получаем 28 единиц, которые делятся на 28 и в результате получается одна единица.
Правильный ответ: 501. Законы арифметических действий. Эта тема также знакома учащимся из начальной школы, однако буквенная их формулировка рассматривается не во всех учебниках. Поэтому учебные задания здесь могут быть нацелены на то, чтобы учащиеся, опираясь на геометрический рисунок, смогли обосновать справедливость законов арифметических действий и сформулировать их в буквенной форме. Рассмотрим эти задания. 1). Рассмотрите рисунок, расскажите, что на нем изображено.
В начальной школе дети получили представление о дроби как об одной или нескольких равных долях целого.
В 5 классе происходит расширение представлений о дроби. Учащимся предлагается задача, решая которую они приходят к необходимости выполнить деление. Приведем ее: «Кусок проволоки, длиной 1 м разрезали на три равные части. Какова длина одной части?». Однако при выполнении деления выясняется, что разделить нацело одно число на другое в данном случае невозможно — возможно только деление с остатком. Вместе с тем в задаче сказано, что в процессе выполнения физических действий некий предмет (кусок проволоки, длиной 1 м) был разделен на три равные части, и ничего не осталось. Возникает вопрос, каким числом выразить результат такого деления (длину получившегося куска). После этого разъясняется, что число, соответствующее результату такого деления, т.е. частное, принято записывать в виде дроби, где числитель равен делимому, а знаменатель — делителю. Заметим, что предложенная задача является учебной задачей, т.к. решая ее, учащиеся приходят к выводу, что имеющихся у них знаний не хватает, чтобы дать ответ. Поэтому возникает необходимость введения чисел нового вида - дробей.
Вслед за этим на основе наглядных представлений осуществляется пропедевтика основного свойства дроби — учащиеся, выполнив рисунок к задаче, убеждаются в том, что одна и та же величина с помощью дроби может быть записана разными способами: «Ленту, длиной 1 м разрезали пополам, а ленту, длиной 2 м разрезали на 4 равные части. Найдите длину одной части в каждом случае (в метрах). Сделайте рисунок к задаче и сравните полученные результаты».
Методические рекомендации по применению метода учебных задач в изучении числовой линии курса математики 5-о классов
Заметим, что цифра нуль в таблице разрядов не записывается, она нужна только при записи числа вне таблицы. Это помогает детям лучше осознать запись числа позиционным способом. Числа подобраны таким образом, что нуль в записи числа сначала появляется в разряде единиц, при этом старший разряд - десятки, затем в разряде десятых, но при этом старший разряд единицы, затем дается еще несколько подобных примеров. После этого появляется число, в целой части которого нет значащих цифр, затем число, старший разряд которого - сотые. В этот момент учащимся впервые предъявляется совершенно новый вид записи числа, когда в отсутствующих разрядах, расположенных левее старшего разряда, записаны нули.
Благодаря такой системе заданий, учащиеся воспринимают десятичную дробь как число, записанное тем же способом, каким они до этого записывали только натуральные числа - позиционным, когда значимость каждой цифры зависит от ее позиции в записи числа.
Формированию адекватных представлений учащихся о новом способе записи числа в значительной степени способствуют такие задания на сравнение десятичных дробей, выполняя которые требуется осуществить переход к более мелким долям, т.е. к младшим разрядам десятичной дроби. Приведем примеры заданий, в которых вместо надо записать какую-нибудь десятичную дробь, чтобы получилось верное неравенство: 1) 0,1; 2) 0,01; 3) 8,1 8,2; 4) 0,0К 0,02; 5) 0,001 0,002; 6) 10,5 10,51».
Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. Правила умножения и деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. также вводятся с использованием записи чисел в таблице разрядов. Учебная деятельность учащихся организуется следующим образом. 1). Дана таблица разрядов, в которую вписаны два числа:
Сотни Десятки Единицы Десятые Сотые Тысячные 5 8 2 5 8 2 Учащимся предлагается сравнить числа, записанные в таблице, и определить, на что надо умножить или разделить число, записанное в верхней строке, чтобы получить число из нижней строки. Поскольку дети знают, что при перемещении цифры на один разряд влево ее значимость увеличивается в 10 раз, они делают вывод о том, что второе число в 10 раз больше первого. Значит, справедливо равенство: 3,582 10 = 35,82.
Объяснить установленную закономерность - перенос запятой вправо на столько знаков, сколько нулей в множителе 10" - можно следующим образом: при умножении числа, например, на 10 значимость каждой цифры должна увеличится в 10 раз, значит, цифра, стоящая в разряде единиц, должна переместиться в разряд десятков, из разряда десятых - в разряд единиц, из разряда сотых - в разряд десятых и т.д. Для того, чтобы это произошло, достаточно перенести запятую на один разряд вправо:
Рассуждая аналогично относительно характера изменения числа, записанного в таблице разрядов, в случае сдвига всех его цифр на один разряд вправо, учащиеся получают правило деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
Сложение и вычитание десятичных дробей Как уже было сказано выше, проделанная работа приводит к тому, что дети воспринимают десятичную дробь как число, записанное тем же способом, каким до этого они записывали натуральные числа, т.е. позиционным, когда значимость каждой цифры зависит от ее места в записи числа. Благодаря этому, на вопрос учителя о том, как надо складывать десятичные дроби, они сразу дают правильный ответ: «Десятичные дроби складывают так же как натуральные числа, т.е. по разрядам», что подтверждает обеспечение разработанной системой учебных задач осознанное выполнение алгоритма арифметического действия, основанное на способе записи числа (п. 2.1).
Аналогично обстоит дело и с вычитанием десятичных дробей. Решая примеры, уровень сложности которых постепенно повышается, дети самостоятельно устанавливают способы выполнения вычитания в случае, если в уменьшаемом и вычитаемом разное количество знаков после запятой. Для организации учебной деятельности учащихся им предлагается последовательность заданий такого типа: 1) 32,78 - 12, 65; 2) 64,75 - 3,2; 3) 38,29 - 4,8; 4) 67,6 - 7,28; 5) 84,1 - 0,072 и т.д. Система заданий выстроена таким образом, что учащиеся самостоятельно или с минимальной помощью учителя могут догадаться о том, что для выполнения вычитания в заданиях 2 и 3 удобно, а в заданиях 4 и 5 необходимо, уравнять число знаков после запятой в уменьшаемом и в вычитаемом путем приписывания нужного количества нулей.
Сравнивая решения, учащиеся замечают, что в полученных выражениях есть два одинаковых множителя и два множителя, один из которых в 10 раз меньше другого. Из этого они делают вывод, что число, которое должно получиться во второй задаче, в 10 раз меньше числа, полученного в первой, т.е. 12 4,7 = 56,4.
Похожие диссертации на Построение методологической схемы изучения числовой линии курса математики 5-6 классов на основе принципа систематичности и последовательности в обучении с позиций психологической теории деятельности
