Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы конструирования систем задач по тригонометрии 12
1. Цели обучения тригонометрии в средней школе 12
2. Функции задач в обучении математике 19
3. Принципы конструирования систем математических задач 30
4. Внутрипредметные связи как принцип конструирования систем задач по тригонометрии 65
Выводы по главе 1 77
Глава II. Методические аспекты конструирования систем школьных задач по тригонометрии 79
1. Критерии конструирования систем задач 79
2. Система задач на применение числовой окружности 93
3. Результаты экспериментальной работы 98
4. Эффективность и практическая значимость методики конструирования систем задач по тригонометрии 145
Выводы по главе II 160
Заключение 162
Библиографический список 165
Приложения 179
- Функции задач в обучении математике
- Внутрипредметные связи как принцип конструирования систем задач по тригонометрии
- Критерии конструирования систем задач
- Эффективность и практическая значимость методики конструирования систем задач по тригонометрии
Введение к работе
Актуальность исследования. Математика является неотъемлемой и существенной частью общечеловеческой культуры. Изучение данной дисциплины оказывает значительное воздействие на развитие и формирование личности, совершенствует мышление, помогает выработке мировоззрения, качественно влияет на нравственное и духовное воспитание учащихся.
Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория, развиваются самостоятельность мышления и творческие способности, является решение математических задач. Устранение проблем, связанных с организацией этой деятельности, позволит школьникам овладеть умениями применять знания в различных ситуациях, воспринимать математику как единое целое, научит творческому подходу к поиску выходов из проблемных ситуаций.
Применение задач в обучении математике рассматривается многими исследователями. В работах А. К. Артемова, Я. И. Груденова, В. А. Гусева, В. А. Далингера, М. И. Зайкина, Ю. М. Колягина, Е. С. Канина, В. И. Крупича, А. С. Крыговской, Е. И. Лященко, В. И. Мишина, А. Г. Мордковича, Д. Пойа, Г. И. Саранцева, А. А. Столяра, С. Б. Суворовой, Р. С. Черкасова, П. М. Эрдниева и др. отмечено, что решение задач является важным средством формирования у учащихся математических знаний и способов деятельности, основной формой учебной работы школьников в процессе изучения математики.
В последние десятилетия выполнен ряд исследований, результаты которых обогатили теорию и методику использования задач, обучения методам их решения, составления систем задач и т.д. Среди них работы М. А. Родионова, Л. С. Капкаевой, И. В. Егорченко, С. Н. Дорофеева, Р. А. Утеевой, А. В. Шатиловой, С. А. Атрощенко, Л. М. Наумовой и др.
Эффективность обучения во многом зависит от подбора задач, от их систематизации. В современной методике обучения математике все больше внимания уделяется использованию совокупностей, систем задач. Приемам построения блоков задач посвящены, например, работы И. Е. Дразнина, Т. А. Ивановой, В. И. Мишина, Т. М. Калинкиной, И. Я. Куприяновой, В. Ф. Харитонова, П. М. Эрдниева и др.
За основу конструирования систем школьных математических задач разные исследователи принимают различные положения. Идея систематизации задач в зависимости от их функций рассматривается в работах К. И. Нешкова, А. Д. Се-мушина, Ю. М. Колягина, Е. И. Лященко и других авторов. При этом многие из них указывают в качестве основных обучающую, развивающую и воспитывающую функции задач. С. Б. Суворова и М. Р. Леонтьева за исходные положения построения системы задач принимают функции задач в формировании понятий, изучении теорем, усвоении приемов деятельности, ограничиваясь направленностью только на предметное содержание курса математики.
Принципам конструирования систем задач по курсу математики средней школы большое внимание уделяется в исследованиях Г. И. Саранцева, Я. И. Груденова, М. И. Денисовой, С. Б. Суворовой, Е. Ю. Мигановой и других уче-
ных. Построению систем задач, обладающих свойством структурной полноты, посвящены, например, работы В. И. Крупича, О. Б. Епишевой, Л. В. Виноградовой.
Математика выделяется среди других учебных предметов наличием сильных внутрипредметных связей. Поэтому неслучайно проблема выявления и реализации внутрипредметных связей привлекала внимание многих исследователей. В частности, ее рассматривали в своих работах В. А. Далингер, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, В. М. Монахов, В. Ю. Гуревич, К. С. Муравин, А. В. Столин, А. В. Шевкин, А. А. Аксенов, Л. А. Терехова и др. В частности, В. А. Далингером были разработаны основы конструирования систем математических задач для реализации внутрипредметных связей, А. А. Аксенов исследовал проблему реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углубленным изучением математики, Л. А. Терехова в качестве средства укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики исследовала элементы стохастики.
Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса математики, представляет собой его целостный и самостоятельный раздел. Это подтверждается наличием значительного числа внутрипредметных связей как внутри ее отдельных тем, так и между ними. Тригонометрия очень тесно связана с методом координат и с такими дисциплинами, как математический анализ, геометрия, алгебра.
Следует отметить, что отдельными вопросами обучения тригонометрии в школе занимались многие исследователи. Например, проблемам дифференцированного обучения тригонометрии в школе посвящены работы Г. В. Дорофеева, С. Е. Игольниковой, Ю. М. Колягина, В. Н. Литвиненко, Ю. Н. Макарычева и др. Вопросы прикладной направленности тригонометрии рассмотрены в работах Н. М. Бескина, А. В. Дорофеевой, Ю. Н. Макарычева, А. Г. Мордковича и др. Разработке определенной системы изучения тригонометрических функций в средней школе посвящены исследования И. В. Баума, Л. И. Жогиной, Н. Н. Шоластера и др. В работе О. А. Кузьменко раскрыты особенности изучения элементов тригонометрии в курсах геометрии и алгебры 8-9 классов. С. Н. Суханова рассматривает изучение тригонометрии на основе деятельностного подхода и технологии дистантного обучения как способ развития математических способностей.
Однако проведенный анализ школьных учебников и сборников задач по математике позволил сделать вывод о том, что в школьных учебниках математики не предусмотрено специальное обучение эвристикам; задачи, представленные в сборниках, не учитывают в достаточной мере преемственных связей в контексте системы "основная школа - старшие классы"; сборники задач по математике, в частности, по тригонометрии, не ориентированы на индивидуальные особенности обучаемых.
Кроме того, несмотря на все предпринимаемые усилия в обучении математике, в связи с введением единых государственных экзаменов (ЕГЭ), обострилось противоречие между реальными знаниями по математике у выпускников средних общеобразовательных школ - с одной стороны, и требованиями
ЕГЭ, федеральных государственных образовательных стандартов основного и среднего математического образования - с другой. Этот вывод подтверждается исследованиями Федерального института педагогических измерений (ФИЛИ)1: у большинства учащихся уровень знаний и умений по таким разделам математики как геометрия, тригонометрия и задачи на составление уравнений не соответствует предъявляемым требованиям. Подобная тенденция, к сожалению, сохраняется и в последние годы. Необходимы поиски путей устранения данного противоречия, что свидетельствует об актуальности темы нашего исследования, проблема которого заключается в разработке методических основ конструирования систем задач по тригонометрии, реализующих цели обучения математике в целом и тригонометрии - в частности. Решение данной проблемы составляет цель диссертационного исследования.
Объект исследования - процесс обучения школьников тригонометрии в средних общеобразовательных учреждениях.
Предмет исследования - задачи и их роль в обучении школьников тригонометрии.
Гипотеза исследования состоит в том, что процесс обучения школьников тригонометрии будет более эффективным, если:
- провести анализ школьных задач по тригонометрии в учебниках и
сборниках задач по математике;
выявить принципы и критерии построения систем задач по тригонометрии;
разработать методику конструирования систем математических задач;
внедрить разработанную методику в практику обучения математике. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
-
Изучить состояние проблемы конструирования математических задач по литературным источникам, провести анализ задач по тригонометрии в школьных учебниках и в учебных пособиях по математике.
-
Выявить теоретические основы построения систем школьных задач по тригонометрии.
3. Разработать методику конструирования задач по тригонометрии в
школьном курсе математики.
4. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики.
Для решения поставленных выше задач в процессе исследования был ис
пользован следующий комплекс методов:
теоретические методы исследования: анализ научно-методической, психолого-педагогической и специальной литературы по проблеме исследования; изучение государственных образовательных стандартов, рабочих программ, учебных пособий, дидактических материалов по тригонометрии;
эмпирические методы исследования: наблюдение за ходом учебно-воспитательного процесса, самостоятельной работой учащихся; анкетирование, тестирование школьников; констатирующий и формирующий эксперименты;
1 ЕГЭ 2008. Математика. Методические материалы / Л.О. Денищева, К.А. Краснянская, Н.Б. Мельникова. - М.: Эксмо, 2008. - 128с.
- статистические методы: количественная и качественная обработка результатов педагогических исследований методами математической статистики.
Исследовательская работа проводилась в 1990-2012 гг. в несколько этапов.
Первый этап - поисково-теоретический. На данном этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме использования задач в обучении математике, анализ школьных учебников математики и сборников задач с целью выявления теоретических основ конструирования систем задач по тригонометрии; изучалось состояние проблемы в практике обучения; формировались рабочая гипотеза и задачи исследования; проводился констатирующий эксперимент.
Второй этап - экспериментальный. В ходе его проведения осуществлялось уточнение рабочей гипотезы, целей, задач исследования, разрабатывались принципы построения систем задач, составлялись системы задач по тригонометрии, проводился поисковый эксперимент. Проведенный констатирующий эксперимент способствовал обоснованию актуальности исследуемой проблемы, определению условий повышения качества математических знаний учащихся на основе теоретического анализа систем упражнений и задач с выявлением значимых примеров и заданий и создания структурно-логической схемы указанных систем.
Третий этап - обобщающий. На этом этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики; проанализированы и обобщены полученные результаты, сделаны основные теоретические и экспериментальные выводы, практические рекомендации, полученные результаты оформлены в виде диссертационной работы.
Научная новизна выполненного исследования заключается в том, что в нем решена проблема совершенствования процесса обучения тригонометрии в средней школе на основе внедрения в него систем задач, принципами конструирования которых являются: соответствие функциям задач, дифференциация, преемственность обучения, обучение эвристикам, реализация внутрипредметных связей.
Теоретическая значимость. Разработанные теоретические положения, определяющие методику конструирования систем школьных задач по тригонометрии, могут быть рекомендованы для обновления базисных учебных планов и программ факультативных курсов по математике в средних общеобразовательных учреждениях. Кроме того, в исследовании выделены функции задач в обучении тригонометрии в средней школе; принципы и критерии построения систем задач; разработана методика конструирования задач по тригонометрии в школьном курсе математики.
Практическая ценность работы заключается в вооружении педагогов конкретной методикой конструирования систем задач. Разработанные в диссертационном исследовании теоретические положения и практические рекомендации могут быть использованы учителями и преподавателями математических дисциплин в средней и высшей школе для повышения качества знаний учащихся и студентов, а также при подготовке лекционных и практических занятий, для разработки сборников задач, учебных и методических пособий для студентов математических специальностей и направлений подготовки.
Методологической основой исследования послужили работы по проблемам диалектического единства теории и практики; теории познания, образования и воспитания; теории развития личности; концепции деятельностного подхода и системного анализа; исследования по проблеме задач в обучении математике.
Обоснованность и достоверность проведенного исследования, его результатов и выводов обусловлены:
- опорой на теоретические положения в области теории и методики обуче
ния математике, психологии;
- применением совокупности методов исследования, адекватных его
предмету, задачам и логике;
- последовательным проведением этапов педагогического эксперимента;
репрезентативностью объема выборок и статистической значимостью экспериментальных данных;
использованием математического аппарата для оценки результатов исследования.
Опытно-экспериментальной базой исследования явились МОУ «Средняя общеобразовательная школа №29 г. Йошкар-Олы», МОУ «Средняя общеобразовательная школа п. Юрино» Республики Марий Эл, МОУ «Средняя общеобразовательная школа №2 п. Советский» Республики Марий Эл, ГОУ Республики Марий Эл «Многопрофильный лицей-интернат». В исследовании принимали участие 328 учащихся названных общеобразовательных учреждений.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях:
Второй Всероссийской научно-практической конференции «Диагности-ко-технологическое обеспечение преемственности в системе образования» (Йошкар-Ола - Сургут, 2000 г.);
XII Международной конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары, 2004 г.);
XV Международной конференции «Математика. Образование» (Чебоксары, 2007 г.);
Всероссийском методологическом семинаре «Мониторинг качества воспитания и творческого саморазвития конкурентоспособной личности» (Казань, 2008 г.);
на итоговых научных конференциях преподавателей в Марийском государственном университете и в Марийском государственном техническом университете (2003-2010 гг.), а также на заседаниях научно-методического семинара в Марийском государственном университете (2009-2012 гг.).
Кроме того, по результатам исследования получены два акта о внедрении.
Публикация результатов работы. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в т.ч. 3 учебных пособия (в соавторстве) и 3 научные статьи в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых журналов ВАК.
На защиту выносятся следующие положения.
1. Важнейшим средством достижения целей обучения тригонометрии являются специальным образом сконструированные системы задач.
2. Конструирование систем школьных задач по тригонометрии должно удо
влетворять:
принципу преемственности обучения;
принципу обучения эвристикам;
принципу соответствия функциям задач в школе;
принципу дифференциации обучения;
принципу внутрипредметных связей.
Роль связующего звена в совокупности данных принципов играет принцип внутрипредметной связи.
3. Принципы построения систем задач реализуются посредством специаль
ных критериев. Например, принципу преемственности обучения соответствуют
критерии, позволяющие выделить задачи, реализующие этот принцип. Задачи,
обеспечивающие реализацию этих критериев, называют критериальными.
На защиту также выносятся методика выявления значимых задач в системах математических задач на основе теоретического анализа таких систем с учетом диагностических данных, система задач на применение числовой окружности, сконструированная с использованием авторского учебного пособия.
Структура диссертационной работы определяется постановкой проблемы исследования и включает в себя введение, две главы, заключение, библиографический список используемой литературы и приложения.
Функции задач в обучении математике
Рассматривая функции задач в обучении математике, исследователи используют различные подходы. Так, например, вопрос о функциях задач в публикациях по дидактике и методике обучения математике в 70-е годы XX века выступает в связи с той или иной типологией задач, используемых в процессе обучения. Определяя познавательную задачу как «... проблему, решаемую при данных условиях или параметрах», М. Н. Скаткин отмечает, что основной ее функцией является формирование у школьников способности вести самостоятельный поиск решения, самостоятельно осуществлять познавательную деятельность. При этом, «если способ решения ученику заранее известен или дан в готовом виде, такая задача не является познавательной» [111].
И. Я. Лернер, определяя обучающе-познавательную задачу, указывает, что основной ее функцией является передача учащимся соответствующей учебной информации. Такая задача, по его мнению, «обучает учащихся способу решения, который ученик потом применит при решении сходных задач» [77, с. 21]. Она ставится и решается самим учителем, ученику отведена лишь роль наблюдателя. Функцией «формировать у учащихся соответствующие умения и навыки» (по известному им образцу) обладают, по его мнению, тренировочные познавательные задачи [77].
Кроме того, И. Я. Лернер выделяет поисковые задачи, основная функция которых - формировать у учащихся на основе имеющихся знаний и опыта способность получать новые знания или отыскивать новые средства поиска этих знаний. В указанных работах проявляется характерное для дидактики выявление общих функций задач - познавательной и развивающей.
Н. К. Рузин отмечает, что задачи «по содержанию, по методам решения могут сопутствовать и познавательным, и развивающим, и прикладным функциям, но они при этом выполняют и свои специфические функции, заключающиеся в выработке специальных умений решать задачи» [95, с. 39]. Однако он обращает особое внимание на задачи с развивающими функциями, относя к ним (в младших классах) лишь задачи, формирующие у школьников способность осуществлять умственные операции, характерные для операционного мышления, в трактовке Ж. Пиаже (обратимость, соотношение порядка и эквивалентности) [96].
Пожалуй, одной из первых публикаций, поставивших вопрос о функциях задач в обучении на широкое обсуждение методистов и учителей математики, является статья К. И. Пешкова и А. Д. Семушина, в которой авторы попытались преломить точку зрения дидактики по этому вопросу непосредственно в конкретную методику обучения математике [69].
По их мнению, задачи в обучении должны выполнять дидактические познавательные и развивающие функции. Задачи с дидактическими функциями предназначаются для облегчения усвоения уже изученных теоретических сведений. Это задачи на прямое применение изученной теории, на закрепление всех основных фактов учебного курса. Авторы считают, что такие задачи приобретают особое значение при формировании наиболее абстрактных понятий, при раскрытии связей одной системы понятий с другой, в процессе подготовки к решению более сложных задач. Задачи с познавательными функциями ориентированы на усвоение основного содержания курса математики. В процессе их решения учащиеся углубляют отдельные, обязательные для усвоения всеми учащимися стороны материала, знакомятся с важными в познавательном отношении теоретическими сведениями, не изучавшимися ранее методами решения задач.
К задачам с развивающими функциями К. И. Пешков и А. Д. Семушин относят те задачи, содержание которых может отходить от основного курса математики. Причем авторы считают, что задачи, осуществляющие познавательные функции должны быть прочно усвоены всеми учащимися а задачи с развивающими функциями не должны быть объектом изучения поскольку предназначены для развития мышления учащихся [69].
Складывается впечатление, что развитие математического мышления учащихся должно осуществляться «по мере своих возможностей» у каждого причем только такие задачи способствуют математическому развитию школьников.
Существуют и другие точки зрения на функции задач. Серьезным исследованием проблемы использования задач в обучении математике являются работы Ю. М. Колягина [37]. Исходным положением его исследования является концепция задачи как особого взаимодействия человека с задачной ситуацией. В контексте этого положения им проведено исследование системы «задача - ученик (ученики)». Ю. М. Колягиным проанализированы трактовки понятия «задача», структура задач, использование задач для развития математического мышления школьников, намечены основные пути развития методики обучения математике через задачи. При этом исследователь выделяет три основных категории функций задач: обучающие, воспитывающие и развивающие. Обучающие функции задач он подразделяет на функции общего, специального и конкретного характера.
При этом Ю. М. Колягин считает, что общие обучающие функции имеют место в ходе обучения не только математике, но и всем предметам естественно-математического цикла; специальные функции математических задач - это функции общего характера, соотнесенные только к обучению математике; под конкретными функциями задач понимаются частные виды специальных функций.
Обучающие - это такие функции задач, которые направлены на формирование системы математических знаний, умений и навыков школьников. К ним Ю. М. Колягин относит: формирование у учащихся некоторого понятия; определение понятия, подведение объекта под понятие; установление различных связей между понятиями; формирование ведущих идей, законов, суждений; установление связей между ведущими законами, суждениями, структурных соотношений между ними; формирование основных видов умозаключений, способов и приемов их проведения; формирование основных умений и навыков; формирование умений и навыков моделирования учебного материала; формирование умений и навыков в обращении с приборами, инструментами, таблицами, с учебной литературой; формирование умений и навыков выражения мысли в речи и записи [37].
Развивающие функции задач, по мнению исследователя, направлены на развитие мышления учащихся, на формирование качеств, присущих научному мышлению, на овладение приемами эффективной умственной деятельности.
К числу общих развивающих функций задач Ю. М. Колягин относит: 1) владение известными методами изучения (умение эффективно использовать наблюдение, сравнение, опыт, анализ и синтез, обобщение и специализацию, абстрагирование и конкретизацию); 2) способность умозаключениям индуктивного и дедуктивного характера (в частности умение правильно пользоваться аналогией и интуицией); 3) владение элементарной логической грамотностью; 4) умение правильно ставить мысленный и практический эксперимент, высказывать гипотезы и проверять их; 5) способность осуществлять простейшее моделирование учебных ситуаций и использовать имеющиеся модели для изучения свойств объектов (построение и использование графиков, схем и т.д.); 6) умение классифицировать изучаемые объекты, систематизировать имеющиеся знания, устанавливать причинно-следственные и структурные связи между ними, 7) способность осуществлять выбор средств и методов для достижения поставленной цели, учитывая конкретные условия, умение выделять главное; 8) умение усматривать связь изучаемого материала с окружающей жизнью с практической деятельностью людей, оценивать практическую значимость изучаемого материала; 9) владеть основными качествами, присущими научному мышлению; 10) обладать избирательной и прочной памятью и умением воспроизводить в памяти важнейшие положения из учебного материала.
Внутрипредметные связи как принцип конструирования систем задач по тригонометрии
Понятие внутрипредметных связей в литературных источниках трактуется неоднозначно [8, 28, 29, 41, 71, 94, 123]. Некоторыми авторами определения внутрипредметных связей понимаются как свойства связей, либо как их функции (см. табл. 4). В частности, В. А. Далингер рассматривает внутрипредметные связи как один из общих ориентиров в планировании, организации и анализе практики обучения. Он считает, что эти связи предъявляют особые требования ко всем компонентам процесса обучения. С этой точки зрения, реализацию внутрипредметных связей можно рассматривать как дидактический принцип. Более того, так как внутрипредметные связи направлены на обеспечение системности знаний, то они непосредственно влияют и на качество знаний, подчиненные ей.
Выделяя такие типы внутрипредметных связей, как односторонние, двусторонние, многосторонние, В. А. Далингер справедливо относит к внутрипредметным связям те, которые направлены на раскрытие существенных и несущественных признаков понятий, на установление зависимостей между этими признаками, на раскрытие содержания понятий [23].
Следуя Л. В. Дубовой, мы понимаем внутрипредметную связь как компонент педагогической системы, которая связывает элементы структуры внутрипредметного содержания образования и состоит из:
объекта связи - любой единицы знаний, навыков и умений, принадлежащей рассматриваемому предмету, и используемой, по крайней мере, в двух элементах его структуры;
канала связи - одного или нескольких элементов образовательной технологии, адекватной предмету, внутри которого устанавливается связь.
Направление внутрипедметной связи задается направлением передачи учебной информации - от элемента структуры, где объект связи появляется впервые, к компоненту структуры, с которым устанавливается связь [25].
В плане нашего исследования интерес представляют выделяемые учеными следующие внутрипредметные связи; содержательные (по понятиям (понятийные); по законам; по теориям (теоретические); по методам наук; по фактам (фактические)) и операционные {по формируемым навыкам, умениям, мыслительным операциям): сравнительные; причинно-следственные; индуктивные; дедуктивные; аналитические; синтетические; обобщающие.
При рассмотрении вопроса внутрипредметных связей в обучении математике естественно ориентироваться на дидактические единицы, выделяемые исследователями-методистами. Ими являются понятия, теоремы, способы решения задач.
Как известно, понятия являются одной из форм фиксации научных знаний, характеризующих современную научную картину мира. Понятие -это мысль, отражающая в обобщенной форме предметы и явления действительности и связи между ними посредством фиксации общих и специфических признаков, в качестве которых выступают свойства предметов и явлений и отношения между ними [125]. Более точное определение этому термину, на наш взгляд, дает Н. И. Кондаков. «Понятие -это целостная совокупность суждений, т.е. мыслей, в которых что-либо утверждается об отличительных признаках исследуемого объекта, ядром которой являются суждения о наиболее общих и в то же время существенных признаках этого объекта» [39, с. 456].
В процессе обучения учащиеся должны усвоить не просто совокупность понятий с их существенными признаками, а систему понятий, включающую эти понятия с их содержательными существенными связями.
Усвоенные учащимися системы понятий дают возможность им применять знания на практике. Поэтому для обеспечения объективности проверки и оценки знаний учащихся необходимо раскрыть систему понятий. Составляя тематические планы работы, учитель должен представить и раскрыть понятийную структуру раздела, темы или курса в целом. Эту структуру можно показать в виде графа или матрицы понятий.
Списки понятий и их системы представляют основу конечных требований, которые предъявляются к знаниям учащихся. В то же время необходимо иметь в виду, что процесс формирования каждого понятия, каждого элемента системы и системы в целом проходит ряд ступеней, ряд этапов. Но на каждом из этапов обучения может быть выделена своя, более конкретная, чем в требованиях к итоговым результатам обучения, система понятий, выполняющих роль базовых, на которых строится итоговая система [27].
Рассмотрим критерии усвоения понятий.
1. Понятие считается усвоенным на уровне воспроизведения, если учащийся может описать (воспроизвести) его со всеми существенными признаками и сформулировать правило распознавания.
2. Понятие считается усвоенным на уровне распознавания, если учащийся умеет выделить его из предложенной ему ситуации, задачи, текста.
3. Понятие считается усвоенным на уровне применения, если учащийся может его распознать, связать с другими, расклассифицировать совокупность объектов в связи с известными понятиями. На этом уровне усвоения понятия возможно выделение трех подуровней; установление связей проверяемого понятия с другими в ситуациях и задачах, аналогичных обучающим (деятельность по образцу), в ситуациях, требующих нахождения новых связей, и в ситуациях, требующих «подвести» реальные объекты под известные понятия.
4. Система понятий (тезаурус) считается усвоенной на уровне воспроизведения, если учащийся может воспроизвести, построить рассказ о сущности системы в целом или отдельных ее частей.
5. Система понятий считается усвоенной на уровне применения, если учащийся умеет, пользуясь этой системой, решать различные задачи. При этом здесь можно выделить три подуровня: применение тезауруса в ситуациях, задачах, аналогичных обучающим (деятельность по образцу); в ситуациях, требующих перестройки связей между понятиями тезауруса (перенос изученных закономерностей в новые условия), в ситуациях, требующих достройки тезауруса (перенос изученных закономерностей в новые условия), и, наконец, в ситуациях, требующих достройки тезауруса новыми понятиями (деятельность по формированию новых понятий, требующая самостоятельного привлечения неизвестной ранее информации из учебников, от учителя и из других источников). Каждый из последующих уровней включает обязательно все предыдущие.
Практической реализацией усвоения понятий и системы понятий обучаемыми являются усвоенные ими умения и навыки рещать различные задачи. Поэтому одним из основных требований к результативности обучения является следующее - научить учащихся решать задачи. А это означает, что наряду с системой знаний необходимо определить типы задач и оценить их сложность.
При планировании учебного материала учителю необходимо представлять эти процессы, по возможности рассматривая их «сверху», с точки зрения конечных целей.
Заметим, что свойства и признаки понятий выражаются в соответствующих теоремах, в частности, в теоремах-формулах. Для усвоения последних разработаны методические схемы, аналогичные методическим схемам формирования понятий (Г. И. Саранцев [104], Т. А. Иванова [32], и др.). Аналогия в организации усвоения теорем и понятий прослеживается в выявлении критериев усвоения этих дидактических единиц. Поэтому не будем раскрывать вопросы, связанные с критериями усвоения теорем. Они аналогичны критериям усвоения понятий.
Между тригонометрическими понятиями и теоремами существуют различные виды связей. Это могут быть отношения типа: единичная окружность - числовая окружность. Понятия и теоремы могут быть опорными (базисными) при доказательстве других теорем. Приемы решения некоторых задач могут быть общими для задач из разных разделов математики (прием введения вспомогательного элемента).
Уровень требований к знаниям и умениям учащихся задается, как принято считать, учебными программами, и конкретизируется учебниками, задачниками и другими учебными пособиями. Но ни в одном из них нет точно определенного уровня знаний, перечисленных умений и навыков, которые должны быть усвоены выпускниками школ.
Вполне естественно возникает вопрос: нельзя ли выявить связи между тригонометрическими понятиями, теоремами, способами решения задач по тригонометрии таким образом, чтобы можно было положить их в основу построения систем задач для реализации целей обучения тригонометрии в соответствии с требованиями федерального государственного стандарта?
Критерии конструирования систем задач
Поскольку именно понятия и их системы составляют основу формируемых у учащихся знаний и умений, то естественно начать изложение совокупности выявленных нами критериев конструирования систем задач с критериев отбора задач, посредством которых у учащихся формируются понятия по тригонометрии.
Система заданий и упражнений должна соответствовать функциям задач в обучении математике в школе. Критерий соответствия функциям задач состоит в следующем: быть носителем действий, адекватных содержанию; являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков.
Реализация указанных критериев предполагает наличие в системе задач, способствующих усвоению школьниками знаний (понятий, теорем и др.), умений и навыков, а также интеллектуальных умений (анализ, синтез, аналогия, обобщение).
Как известно, процесс формирования понятий включает: мотивацию введения понятия; выделение существенных его свойств; синтез рассматриваемых свойств, формулировку его определения, понимание смысла слов в определении; усвоение логической структуры понятия; запоминание определения; применение понятия; установление связи изучаемого понятия с другими [104]. Каждый из указанных этапов обусловливает соответствующие ему задачи. В частности, усвоение логической структуры определения понятия предполагает наличие задач: на распознавание объектов, принадлежащих понятию; на выведение следствий из определения понятия; на дополнение условий.
Задачи, решение которых характеризует сознательное усвоение каждого этапа, назовем критериальными. Сознательное регулирование процесса своей деятельности служит эффективным средством стимулирования познавательной деятельности и существенным фактором ее саморегуляции. При рещении задач самоконтроль должен охватывать все этапы деятельности учащегося: от анализа формулировки до завершающего анализа и проверки результата. Он позволяет обучаемым самим оценивать качество овладения изучаемым материалом, осознавать структуру своей деятельности, предупреждать появление ошибок, корректировать полученные результаты.
Осуществление самоконтроля при решении задач опирается: на достаточный уровень овладения теоретическими знаниями, на умение сравнивать получаемые результаты деятельности с принятыми целями деятельности, имеющимися теоретическими знаниями, собственным опытом решения.
Критериальными являются задачи: на освоение действий, адекватных определению понятия (распознавание объектов, принадлежащих объему понятия, выведение следствий); на применение и систематизацию понятий.
В качестве примера рассмотрим определение числовой окружности.
Определение. Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А - правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу t точку окружности по следующему правилу (см. рис. 4):
1) Если i 0, то, перемещаясь из точки А в направлении против движения часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь AM длины t. Точка М и будет искомой точкой M{t).
2) Если i О, то, перемещаясь из точки А в направлении по движению часовой стрелки (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь AM длины . Точка М и будет искомой точкой M(t).
3) Числу / = О поставим в соответствие точку А: А = А(о). Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) называют числовой окружностью [65].
Неотъемлемой частью предметного содержания тригонометрии являются теоремы и математические методы.
Как известно, организация изучения теоремы включает ряд этапов [104]. Каждый из них обусловливает соответствующие ему задачи. Задачи, решение которых характеризует сознательное усвоение каждого этапа работы с теоремой, назовем критериальными.
Таким образом, критериальными являются задачи: с практическим содержанием; на применение ранее изученных теорем и понятий; на усвоение действий, адекватных содержанию рассматриваемого утверждения; моделирующие способ доказательства теоремы; на применение и систематизацию теорем. Примером такого задания является теорема косинусов.
Как известно, лучшему усвоению содержания указанной теоремы способствуют задачи на распознавание удовлетворяющих ей ситуаций, на ее практическое применение:
1) Длины двух сторон треугольника равны 5 см и 7 см, а угол между ними содержит 60. Найдите длину третьей стороны.
2) Стороны треугольника равны 5 м, 6 м и 7 м. найдите косинусы углов треугольника.
3) В треугольнике АВС длины сторон АВ и ВС равны 5 см и 6 см соответственно, угол А содержит 60. Найдите длину стороны АС.
4) Даны стороны а,Ь,с треугольника. Найдите длину его высоты, проведенную к стороне с.
Использование имеющихся у школьников знаний и опора на них в изложении учебного материала способствует лучшему усвоению последнего. 1.3. Критерии отбора задач, , реализующих принцип преемственности Реализация принципа преемственности предполагает наличие следующих критериев:
1) развитие содержательных линий школьного курса математики;
2) устранение пробелов в школьных знаниях, умениях и навыках;
3) развитие умений и навыков, формирование которых было начато ранее.
Для усвоения знаний по тригонометрии школьник должен уметь устанавливать новые связи изучаемых понятий, перестраивать связи между понятиями системы, переносить изучаемые закономерности в новые условия. Все это требует сформированности приемов логического мышления.
Так уже первое знакомство с тригонометрической окружностью и понятиями синуса и косинуса действительного числа объединяет в себе и метод координат, и геометрические соответствия в треугольнике, и элементы математического анализа [90, 97].
Из рисунка 6 и таблицы 8 видно, что разные подходы в определении понятий синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса действительного числа t с помощью единичной окружности и этих же понятий острого угла t прямоугольного треугольника ОРК приводят в конечном итоге к одному и тому же результату.
Эффективность и практическая значимость методики конструирования систем задач по тригонометрии
Срез знаний по тригонометрии, проведенный в ходе констатирующего эксперимента 2004-2005гг. у учащихся 106 и 116 классов средней школы №29 г. Йошкар-Олы и 10а и 106 классов средней школы п. Юрино Республики Марий Эл, показал достаточную сильную неоднородность имеющихся у школьников знаний в этой области. Для сравнения данных эксперимента были найдены методом дихотомии относительные частоты выполнения заданий проверочной работы, состоящей из 17-ти упражнений (табл. 60). Для более наглядного представления этих данных построены графики (рис. 33).
Из рисунка 33 отчетливо видно, что на время проведения констатирующего эксперимента наиболее качественными знаниями по тригонометрии обладали учащиеся 116 класса школы №29 г. Йошкар-Олы. Хотя и у них решение отдельных примеров (1-й, 11-й, 13-й, 14-й, 15-й и 17-й) вызывает серьезные затруднения. Слабая подготовка оказалась у школьников 106 класса средней школы п. Юрино, они смогли выполнить лишь 3-е, 4-е и 12-е упражнения. В целом же проблемными для учеников всех четырех классов оказались 1-е, 10-е, 11-е задания и упражнения №№13-17 из третьей части контрольной работы. Что касается 1-го примера, то на усвоение соответствующего ему учебного материала - сравнения с помощью тригонометрической окружности значений тригонометрических функций углов, заданных в радианах, - учителя, как правило, отводят на занятиях недостаточное количество времени [66].
При выполнении упражнений №10 и №11 учащиеся испытывают затруднения из-за объемного алгоритма их решения. Примеры №№13-17 предполагают использование формул тригонометрии для решения уравнений, систем уравнений и неравенств. Кроме того, здесь необходимо применять и алгебраические способы решения заданий.
В таблицах 61 и 62 приведены относительные частоты (п нач) выполнения (на 4 и 5 баллов) заданий контрольной работы при проведении констатирующего эксперимента (2004-2005гг.), относительные частоты (п кон) выполнения (на 4 и 5 баллов) заданий проверочной работы при проведении формирующего эксперимента (2005-2006гг.) и относительные частоты (п совм) выполнения (на 4 и 5 баллов) и улучшения результатов по решению упражнений (например, в констатирующем эксперименте учащийся не справился с примером и получил 2 балла, а в формирующем эксперименте
Из рисунков 34 и 35 видно, что относительные частоты выполнения 8-го и 16-го упражнений в констатирующем эксперименте больще, чем в формирующем. Однако, как следует из таблиц 10 и 26 параграфа 3 этой главы, с 8-м примером в констатирующем эксперименте не справились 6 учащихся, а в формирующем - 7, если принимать во внимание тех щкольников, которые принимали участие в обоих экспериментах. Но в целом средний балл выполнения этого задания увеличился с 4,28 до 4,39. Что же касается 16-го упражнения, то в констатирующем эксперименте с ним справились 9 учащихся, а в формирующем эксперименте только 4; средний балл его выполнения понизился с 2,32 до 1,96. Это, однако, объясняется тем, что, как уже указывалось в параграфе 2.3, констатирующий эксперимент в этом классе проводился сразу после изучения раздела «Тригонометрия» в школьном курсе математики, а формирующий эксперимент был проведен в самом начале тематического повторения, когда большинство тем этого раздела учащимися еще повторено не было.
Гистограмма средних баллов и оценок (рис. 36) более наглядно отражает данные этой таблицы. На этом рисунке отчетливо видно, что проведенный эксперимент, в ходе которого было осуществлено выявление сильных взаимосвязей между примерами контрольной работы и ее ключевых заданий с последующим закреплением умений и навыков решения типовых упражнений, привел к увеличению в среднем на один балл результатов выполнения как отдельных групп примеров (частей I-II, III работы), так и средних баллов и оценок учащихся в целом.
Таблица 64 содержит средние баллы по упражнениям и средние оценки за выполнение контрольной работы по тригонометрии, проведенной в ходе констатирующего и формирующего экспериментов в 106 классе средней школы г. Йошкар-Олы в 2007-2008 учебном году.
Из этой таблицы видно, что средний балл выполнения работы классом возрос на 1,37 балла, средние баллы выполнения всех без исключения упражнений также повысились.
В таблице 65 представлены относительные частоты выполнения заданий контрольной работы констатирующего (п нач) и формирующего (п кон) экспериментов, проведенных в 2007-2008 учебном году с учащимися этого же 106 класса средней школы №29 г. Йошкар-Олы, а также относительные частоты «п совм» упражнений, выполненных на 4 или 5 баллов и заданий, при решении которых наблюдались улучшения качества решения, выражающиеся в увеличении оценки хотя бы на один балл.
Похожие диссертации на Система задач по тригонометрии в обучении математике учащихся средних общеобразовательных учреждений
