Введение к работе
Актуальность темы.
Общеизвестна роль интегральных уравнений типа Вольтерра для моделирования динамических процессов самой разной природы в физике, механике, экономике, экологии, медицине, биологии и т.д.
В 1977 году В.М. Глушковьш была предложена двухсекторная макроэкономическая модель, в которой важную роль играют операторы Вольтерра с переменными как верхним, так и нижним пределами интегрирования. При этом (неубывающая) функция в нижнем пределе интегрирования определяет динамику отмирания (замены) элементов развивающейся системы. Это направление затем интенсивно развивалось В.М. Глупгковым и его коллегами - В.В. Ивановым, В.М. Яненко, Ю.П. Япенко и др.1,2 При идентификации функциональных параметров в таких моделях возникает необходимость решения интегральных уравнений Вольтерра I рода вида
J K(t,s)
отличающихся от стандартных уравнений Вольтерра I рода наличием вместо постоянного нижнего предела tо упомянутой выше функции а{ t).
Хотя частный случай (1) с a(t) = q(t — to), 0 < q < 1 рассматривал еще сам Вито Вольтерра, до сих пор теория и численные методы решения (1) разработаны недостаточно.
Специфика (1) определяется свойствами a(t), в частности, тем, выполняется ли условие
«Со) = *о, (2)
либо
а(*о) < h (3)
(в случае (3) (1) называют уравнением с предысторией).
Теоретические результаты, касающиеся существования, единственности и устойчивости решения (1), (2), получены А.С. Апарпиным, A.M. Денисовым и СВ. Коровиным, а для более общих интегро-функдиональных уравнений - A.M. Денисовым и A. Lorenzi. Случай
'Глушков В.М., Ивалоа В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. - М.: Наука, 1S83. - 350 с.
2Яценко Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью.-Киев: Наук, думка, 1991. -218 с.
(1), (3) изучался А.С. Аварийным, Ю.П. Яценко. Численные методы решения (1)-(3) рассматривались А.С. Апарциным, Ш.А. Наубеговой и Ю.П. Яценко, Тен Мен Яном, Ю.П. Яценко.
С учетом все расширяющихся приложений интегральных моделей развивающихся систем, в частности, в энергетике, тема данной диссертационной работы несомненно актуальна.
Цепь работы.
Разработка для (1)-(3) модифицированных версий стандартных численных методов; их программная реализация на ПЭВМ; выявление специфики методов на серии модельных примеров; решение реальных задач (электро)энергетики. Научнаи.новизна и практическая значимость.
Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключа
ются в следующем:
-
Построены и апробированы на тестовых задачах различные модификации квадратурных методов правых и средних прямоугольников, методов типа Рунге-Кутта. Показано, что саморегуляризуюгцее свойство процедуры дискретизации при возмущениях правой части и ядра, характерное для классических уравнений Вольтерра I рода, сохраняется и для (1).
-
Выявлены особая роль значений сеточного решения в начальных узлах сетки, пилообразное поведение погрешности. Это позволяет конструировать подсетки узлов, на которых погрешность численного решения (1) меньше, чем в классическом случае при тех же ядре иточном решении.
-
Для a(t) — q(t - to), 0 < q < 1 обнаружен эффект "насыщения", уточняющий известные теоретические оценки погрешности.
-
Решена задача определения долгосрочных стратегий ввода электрических мощностей с учетом выбывания устаревшего оборудования.
.5. Предложен и реализован эвристический алгоритм поиска оптимальной стратегии ввода электрических мощностей, обеспечивающих заданную потребность в электроэнергии при минимуме суммарных затрат на ввод новых ж эксплуатацию генерирующих мощностей.
Общая методика исследований. - -..-.;
В работе использовался аппарат вычислительной математики, линейной алгебры, теории некорректных задач и,-в частности, методы саморегуляризации.
Апробация работы.
Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:
Международная конференция "Всеспбирские чтения по математике и механике" (Томск, ТГУ, 1997 г.);
Всероссийская конференция "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" памяти В.К. Иванова (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 1998 г.);
XI Международная Байкальская школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1998 г.);
Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, КГУ, 1999 г.);
Международная конференция "Математика в приложениях" (ИМ СО РАН, Новосибирск, 1999 г.);
конференции молодых ученых ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 1996, 1997, 1998, 1999 гг.).
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ и 2 работы находятся в печати. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.
Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 17 параграфов, заключения и списка литературы из 68 наименований. Объём диссертации, выполненной в издательской системе $TjjX, составляет 100 сгр.
