Введение к работе
Актуальность темы. Класс некорректно поставленных (неустойчивых) задач необычайно широк. Это - оадачи решения операторных уравнений первого рода, минимизации функционалов, суммирования рядов Фурье с неточно известными коэффициентами, дифференцирования приближенно заданных функций, многие оадачи линейной алгебры и др. К некорректным задачам относится также большинство так наиываеммх обратных проблем, которые тесно г.вяоалш г. интерпретацией данных фноических экспериментов.
Некорректно поставленные оадачи характеризуются тем, что как угодно малые иоменения исходных данных могут приводить к произвольно большим иоменениям решения. Исходные дан шле ио эксперимента всегда находятся приближенно, поэтому некорректная постановка оадачи влечет практическую неединственность решения в рамках оаданной точности и необходимость отбора приближенного решения среди множества, возможных. Иными словами, речь идет о построении регуляриоующего алгоритма (регуляриоующего оператора, регуляршзатора) для некорректно поставленной оадачи как однопараметрического семейства операторов, специальным обраоом аппроксимирующего обратный оператор и обеспечивающего при согласовании параметра, с уровнем погрешности исходных данных устойчивое восстановление приближенного решения.
Основополагающие результаты в теории неустойчивых проблем связаны сименами М.М.Лаврентьева, А.Н.Тихонова, В.К.Иванова. Дальнейшее развитие методы решения некорректно поставленных задач получили в работах ВЛ.Арсенина, А.Б.Бакушинсхого, В.В.Васина, В.А.Винокурова, А.Ю.Веретенникова, Ф.П.Васильева, Г.М.Вайникко, В.П.Віаско, Ю.Л.Гапоненко, А.В.Гончарского, О.А.Лисковца, В.А.Морозова, В.П.Та-наны, В.Н.Страхова, Ю.И.Худака, А.Г.Яголы и др. Из зарубежных авторов необходимо, прежде всего, упомянуть Ж.Л.Лионса, предложившего метод регуляризации дифференциальных уравнений, известный как ме-
тод кваоиобращеиия. Среди недавних исследований по регуляризации и дискретиоации (не)линейных оадач, оценке погрешности отметим работы A.Ncubauer, C.W.Groetsch, O.Scherzer, H.W.Engl, K.Kunisch, G.Wah-ba, C.R.Vogcl и др.
К настоящему времени сооданы общие принципы конструирования рсгулярииующих алгоритмов для широкого круга неустойчивых оадач. В частности, укаоаны различные способы видоизменения (модификации) классических итерационных процедур с тем, чтобы их можно было успешно применять в некорректном случае. Значительным достижением в отой области окаоалисъ модификации итерационной схемы Гаусса-Ньютона, которые пооволяют побавиться от условия монотонности оператора. Имеются в виду, во-первых, подход, основанный на регуляризации исходного уравнения вариационным методом (кваоирешений) с дальнейшей аппроксимацией Гаусса-Ньютона екстремального элемента регуляриоую-щего функционала (C.R.Vogcl), и, во-вторых, итеративно регуляривован-ный однолараметрический метод Гаусса-Ньютона (А.Б.Бакушинский).
Первая глава настоящей диссертации целиком посвящена дальнейшему раовитию итеративной регуляриоации методов типа Гаусса-Ньютона для нелинейных неустойчивых операторных уравнений в условиях оашумлен-иых исходных данных. Во второй главе рассмотрены два класса монотонных итерационных схем для нелинейных уравнений первого рода с иоотонными операторами в полуупорядоченных пространствах. В рамках отой математической модели могут быть описаны многие важные прикладные оадачи, например, гравиметрии и сеисмики. Для аналиоа эффективности предложенных регуляриоующих алгоритмов выполнена большая серия численных экспериментов, результаты которых обсуждаются в третьей главе.
Цель работы. 1. Построение на основе классических итерационных процедур нулевого
и первого порядков регулярных методов решения нелинейных уравнений 1 рода с немонотонными (в смысле вариационных неравенств) операторами. 2. Апробация практической эффективности предложенных методов.
Общие методы исследования опираются на концепции и реоуль-таты Теории некорректных оадач, функционального анализа и вычислительной математики.
Научная новиона работы оаключается в следующем:
1. На основе функционального аппарата конечномерной аппроксимации
сформулированы достаточные условия сходимости каркасов приближен
ных решений нелинейных некорректных оадач в гильбертовых простран
ствах.
-
Исследована двуступенчатая регулярная процедура, включающая в себя тихоновскую регуляризацию и итерационное решение оадачи минимизации регуляриоующего двулараметрического функционала на основе процесса Гаусса-Ньютона.
-
Обоснован итеративно регуляривованный одноступенчатый метод Гаусса-Ньютона с тремя управляющими параметрами.
-
Получены достаточные условия монотонной сходимости и дана оценка погрешности для явных (типа простой итерации) и неявных (типа Ньютона-Канторовича) итерационных схем для уравнений 1 рода с изотопными операторами в К-пространствах.
-
Проведены численные эксперименты для плоской оадачи гравиметрии, нелинейного уравнения Вольтерра и уравнения универсальности Фейген-баума.
Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность работы состоит в построении и обосновании нового класса регулярных методов решения нелинейных некорректных (неустойчивых) проблем. Практическая оначи-
мость работы обусловлена тем, что предложенные в ней алгоритмы могут быть испопьоованы при решении нелинейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1 рода, выступающих в качестве математических моделей важных прикладных задач.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации были обсуждены на научных семинарах в отделе некорректных задач анализа и приложений ИММ РАН, на XXII, XXIII, XXIV и XXVI Региональных математических Конференциях молодых ученых (г.Екатеринбург, 1991,1992,1993,1995гг.); на Всесоюзной Конференции по условно-корректным задачам математической фиоики и аналиоа (г.Новосибирск, 1-5 июня 1992г.); на Сибирской Конференции по прикладной и индустриальной математике (г.Новосибирск, 24-30 июля 1994г.), на Всероссийской научной Конференции "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" (г.Екатеринбург, 27 февраля-3 марта 1995г).
Публикации. Но теме диссертации опубликовано 5 работ. В [1] автору принадлежит регуляриэующий алгоритм, включающий в себя линейную аппроксимацию исходного оператора и нахождение итерационной поправки методом Гаусса-Ньютона с квадратичным ограничением; в [4] автором докаоаны теоремы 4.1,4.4 и выполнены модельные расчеты.
Структура и объем диссертации. Работа состоит ио введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 106 страниц машинописного текста, включая 1 рисунок, 18 таблиц и 85 библиографических ссылок.
