Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Широкое распространение математического
моделирования в различных областях науки и техники придает
актуальность дальнейшему развитию соответствующего
алгоритмического и програшного обеспечения.
При математическом моделировании реальных процессов обыкновенными дифференциальными уравнениями частотребуется знать значения дискретизировакного решения задачи Коші
X - I(t,X), X(tJ * х'0>, (1)
где t, to є R', x. x'' Є. R", X(t,x) є Rn. В такой ситуации обычно выбирают сетку точек с шагом h и для систеш (1) строят разностную cxeuy, решение которой лишь приближенно совпздает с точіааі значанкєц решения систем (1) в узлах сетки. При этом приходится решать две задачи:
-
Определить, какиа условиям должны удовлетворять коэвФицяекты дифференциального уравнения, для того , чтобы при h -> О реиэкив разностной схема сходилось к функции, решакцэй задачу Ксаи (1).
-
Оценить отклонение ресекия разностной схоиы от решения задачи Кош (1).
Потребность в построении раэностшх схеы появляется не только тогда, когда точное решение задачи Кош (1) в виде формулы неизвестно, но и тогда, когда такое ресение есть, но оно выражается в виде сложной формулы, пользоваться которой достаточно трудно.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: так преобразовать рассматриваеыое дифферэнцяалыгое уравнение, чтобы ревекие разностной схемы для нового дифференциального уравнения совпадало в узлах сетки с точшы значекиеы рипекия исходного уравнения.
МКТОда ИССЛЕДОВАНИЯ. В качества основных инструментов исследования использовались методы вычислительной иатеыатики, теории ооьіккоаиаіх дифференциальных уравнений, линейной алгебры.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Указаны способи построения разностных схем для систаи линейных обыкновенных дкффереіщиальньїх уравнений однородных и неоднородных, ко с неоднородностью специального вида, решения которых совпадай' с точными значениям! решений исходных дифференциальных урааке.ий в точках выбранной сетки, для линейного однородного дифференциального уравнения с переменным коэффициентом и для некоторого нелинейного уравнения.
ПРИШШКЯ: Результаты дасоертпцнн могут найти применение в тринажеростроении, в ставках с ЧПУ и при зачислении функций, задаваемых дифференциальными уравнениями.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ: Результаты диссертация докладывались и обсувдались на городской семинаре по дифференциальным уравнениям и уравнениям математической физики /г.Ленинград, 1Э79г,, рук. проф. II.М.Матвеев/, на семинара кафедры вычислительной математики ЛГПИ им. А.И.Герцока /г.Ленинград,1S79г., рук. доцент Ю.К.Кузнецов/, на научных конференциях БолгПИ /г.Волгоград, 1984, 1985, 1992, 1993ГГ секция "инженерная математика", рук. проф. Г.И.Брызгалин/, на городской семинаре по теория колебаний /г.Волгоград, 1984г., рук. проф. В.А.Камаев/, на республиканской научной конференции "Герценовские чтения" в СПбГПУ км. А.И.Герцена /г. Санкт-Петербург, 1991, 19S3 гг., секция "Дифференциальные уравнения и математическая физика", рук. проф. Н.М.Матвеев/.
ПУБЛИКАЦИИ: Основіше результаты диссертации опубликованы в статьях И-6).
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАЕОТЫ: Диссертация состоит из пяти глзв, списка использованной литература из 41 наименования и двух приложении. Диссертация изложена на 107 страницах машинописного текста и содержит 3 таблицы. Прилояения объемом 36 страниц содержат таблицы и графики.
Первая, вспомогательная глава, кроме введения содержит еще два параграфа.
В }1 обсуадавтея постановка задачи, которая формулируется следующим образом: Преобразовать рассматриваемое дифференциальное уравнение так, чтобы приближенкое решение нового уравнения совпадало в заданной точке с точным значением решения исходного
уравнения.
Более конкретно задача ставятся для систем линейных
дифференциальных уравнений
к ш Ах + f(t) (1)
с начальными условиями
х(О) - Xю' , (2)
где А - постоянная квадратная патрица порядка m , x(t) -
искомая вектор-функция, a X(t) - вектор функция, удовлетворяющая
условиям теоремы существования и единственности решения задачи
Коші.
Преобразуем систему дифференциальных уравнений (1) в следующую систему:
і = Вх + g(t) , (3)
где В - постоянная квадратная матрица порядка m , a g(t) -вектор-фунхдая, удовлетворяющая условиям теоремы существования и единственности решения задачи Ковш (3), (2).
Построй; разностную схему для задачи Коши (3),(2). Для этого заменим производную разностньм отношением по фориуле
i(t) = Ші^ШІ , (4)
где h - шаг разностной схеми.
С помощью такой замени вместо системы дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями (2) получаем приближающую ее систему разностных уравнения
x(t+h) = (Б + hB)x(t) + hg(t) " (5) с начальными условиях!
х(0) " х'' , (б)
где Е - единичная матрица порядка т.
Вводя соответствующие обозначения, систему разностных уравнения (5) с начальными условиями (6) можно переписать в вкдэ следующей системы разностных уравнений
хп = (Е + hB)xn.t + Juj^ " (Т) с начальными условиям
Х0 Х,с' . '-, (8)
Ставится задача построения таких разностных схем Ш.(3), реиегая которых хп удовлетворяли бы ооотношекию:
- б -
Тп - tx(t)]h . (9)
ґде x(t) -решение задачи Кош (1),(2).
Вторая глава состоит из двух параграфов. В этой главе решается задача о построении разностных схем для систеш линейных однородных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентаии вида:
І - Ах (10)
и начальными условияии
х(0)=х'' , (11)
где А - постоянная квадратная матрица порядка ш. Решение поставленной задачи зависит от инохества собственных значение матрицы А.
В 3 рассматривается случай, когда и-ітрвда А киеет лиш. простые собственные значения
Доказывается, что в этой случае система разностных уравнений
х =х +hBx .
с начальными данными
х0=х , где матрица В задается формулой
В « ї S-j^ Т"1 (12)
решает поставленную задачу. Здесь матрица
*2 T„> .
где I,, Т2 1п - собственные векторы матрицы А , а
диагональная матрица Л определяется равенством: Л = 1 A.J, Х2, ..., Хт). В 54 рассматривается случай наличия у матрицы А кратных собственных значений. Доказывается, что если матрица А имеет р различных собственных значений \, к2, ..., А.и последнее из них имеет кратность q , так что р + q - 1 » га , то построение разностных схем зависит от кратности глеиеятариых делктелеД
соответствующих кратному собственному значению X. .
Если иатрица А имеет лишь одно собственное значение кратности не вше двух, а остальные собственные значения простав и кратной? собственному значению соответствует лишь один элеиектарный делитель той же кратности, то система разностных уравнения
x^-x^+hBx^,
с начальными данннии
х0=х
где матрица В задается формулой
В - Т С Г*
решает поставленную задачу.
Здесь иатрица Т такова, что
(13)
А Т - Т 1
\ 0 . О X, . О X.
Матрица Q имеет вид:
X р 1 X
2 X
q-i Ч
>' 9 p -1
~~E—
Л," о p _1
e ' -1 "~5—
Ч-1
. X h
e " -1 —j.—
A. h
(q_1)e-e^l
5 случае когда q > 2 относительная ошибка
і Z
IXJ
убивает с ростом п как
Здесь
(q-D(q-2) 1
~—2 ~Й
Z - tx(t)l - xn
а индекс J означает, что берется 3-ая коипонента соответотвуодвго вектора.
Если кратному собственному значению соответствуют лишь простые элементарные делители, то систеыа разностных уравнений
z =х +ЬВх .
с начальными давший
где иатрица В задается формулой
В = Т
(Н>
РГс? г.
решает поставленную задачу. Здесь иатрица Т такова, что
ALII, а матрица L - диагональная матрица
її и (ХаіЯ^«>>".іД. |Л. і іЛ. )
Третья глава состоит из трех параграфов. В этой главе решается задача о построении разностных схем для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами вида
І » Ах + I(t) и начальним условиями
х(0) - х"" где А - постоянная квадратная матрица порядка га , a I(t) -вектор-функция специального вида. В J5 исследуется случвй
I(t) = Ueat , где U - постоянный вектор, э а не совпадает кл с одним из собственных значений матрицы А.
Доказывается, что в этом случае система разностных уравнений
х - х . + ЬВх + hVea,n'1,h
с начальными данными
X,. « 2
решает поставленную задачу. Здесь вектор V определяется формулой
V « ( В + ^S—Е ) ( А - OS )~*U
Матрица В вычисляется в зависимости от множества собственных значений матрицы А.
Если все собственные значения матрицы А простое, то матрица В вычисляется по формуле (12).
Если матрица А имеет лишь одно кратное собственное значение X краткости q , причем ему соответствует единственный элементарный делитель той же кратности q . то матрица В вычисляется по формуле (13). В этом случае кп = Ix(t)Jb, если q<2. Если яв q>2 , то относительная описка реиекия построенной
разностной схемы стрештся к нулю с ростои п.
Если кратному собственному значению матрицы А соответствуют лишь простые элеиентарные делители, то иатрица В вычисляется по формуле (14).
В 66 исследуется случая
t{t) « 3cswt + T[6inut , где В и т постоянные m - парша векторы, a iu не совпадает ни с одним из собственных значении матрицы А.
Систеиа разностных уравнений
хп » im + hBx^ + hHcostu(n-l)h) + hNsintw(n-1 )h) с начальными данными
решает поставленную задачу в этой случае.
Здесь векторы U и N вычисляются по формулам:
tMAWEr{(B4=^^E)(A0+«7)- S^UT-**)} . N-(A1+«IE)-*{(BfbcoKAE)(AT4jB)+ в^(ДВ+^,|
Патрица В , в зависимости от множества собственных значений
вычисляется по формулам (12),(13) или (14). В $7 исследуется случай
I(t) - De ' , где \ - собственное значение иатрицы A , a U - постоянный га-мерный вектор. Предполагается, что все собственные значения матрицы А простые.
Систеиа разностных уравнений
Xcn-iih х « х . + hBx hVe
с начальными данными
х0 - X
решает в. этой случае поставленную задачу.
. Матрица В вычисляется по формуле (12), а нахождение вектора
У зависит от того, является ли вектор U собственным вектором
матрицы А.
; Если U = 61, , где 6 - некоторая постоянная, а I, -
собствешшй вектор иатркцы А , отвечающий собственноку значению \ то
V - т р г'и , где
\ъ
X h X h
0 —в
Х,п Х.гЬ
Если же U - ^ , то
V = Т ф г'и ,
в X,h X,h п(е ' -е ' )
1-е^г~\ №
х h X h . n(e ' -є " )
1-еМ.№
Здесь матрица Т определяется формулой
Т -
где Г. , і = «.г -собственные векторы матрицы А.
Четвертая глава содержит три параграфа.
і 8 даются примеры построения разностных схэм для систем лкнейккх однородных дифференциальных уравнения с постояшогми коэффишентеми. Пример пункта в. і иллюстрирует возможность
ирииэнеяия разностных схем для вычисления функции, заданных дифференциальными уравнениями, в точках сетки.
В 9 даются примеры построения разностных cxeu для систем линейных неоднородных дифференциальных уравнении с неоднородностью специального вида.
В $10 представлены результаты численных экспериментов, демонстрирующих аффективное» предложенного подхода. Программы составлена на языке ФОРТРАН IV. Вычисления произведены на ЭВМ ЕС-1020.
Одна из систем решена различными методами. Сравнение показывает хорошу» точность предлагаемого метода и экономии во времени счета на ЭВМ.
Пятая глава , в которой рассмотрена линейная задача с переменными коэффициентами и нелинейная задача, содержит три параграфа.
В 511 ревается задача построения разностных схем в случае
і t(t)x В {12 исследуется вопрос о построении разностных схем для нелинейного дифференциального уравнения вида:
X - ?(t,x)
В 5 13 приведены примеры решения линейных задач с переменными коэффициентами и нелинейной задачи.
В приложении 1 решается задача о построении разностных схем для линейной однородной систеиы , обыкновенных дифференциальных уравнений вида: '
X « Ах ,
где матрица А имеет кратные собственные значения, которым соответствуют кратные элементарные делители.
Б приложении 2, под руководством профессора В.А.Плисса, получены кекоторые достаточные условия наличия предельных циклов охватывающих три особые точки системы
(х-у-У(х)
(15)
[у - - g(x)
а также некоторые условия отсутствия периодического решения урав
нения X + Ї(Х)І + g(X) " 0 . (16)
