Введение к работе
Актуальность темы.
Под нелокальной краевой задачей понимается задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего дополнительным условиям, которые связывают значения искомого решения в различных точках границы и, может быть, во внутренних точках области. Задачи с нелокальными краевыми условиями возникают при изучении различных физических процессов. Примером такого рода задач является математическая модель процесса диффузии частиц в плазме, когда для функции распределения частиц задано условие нормировки числа частиц интегрального вида. В теории теплопроводности хорошо известна нелокальная задача, описывающая процесс распространения тепла п тонком нагретом стержне при заданном общем изменении количества тепла. Рассматриваются также задачи, когда на одном конце стержня поддерживается нулевая температура и потоки тепла на концах стержня равны.
В последние годы нелокальные краевые задачи привлекли внимание многих математиков. Основополагающей явилась работа А. В. Бицадзе и А. А. Самарского 1, в которой была сформулирована в общем виде постановка нелокальной краевой задачи и было проведено исследование существования и единственности нелокальных краевых задач для уравнений эллиптического типа. Подобная задача для уравнения параболического типа и вырождающихся эллиптических уравнений изучалась в работах Л. И. Камынина. Для упомянутых выше задач исследована разрешимость и единственность в классе достаточно гладких функций, доказан принцип максимума.
Применение метода разделения переменных к задачам с нелокальными условиями привело к необходимости изучения спектральных свойств возникающих дифференциальных операторов. Особенностью рассматриваемых задач, затрудняющей их исследование, является несамосопряженность пространственного дифферепциальпого оператора и, как следствие, неполнота системы его собственных функций. Эти функции пополняются присоединенными функциями, которых может быть бесконечно много. Вопрос о базисности совокупности собственных и присоединенных функций был решен В. А. Ильиным 2. Он развил методы изучения спектральных разложений в биортогональный ряд по произвольной полной и минимальной в Ь^ системе, которая состоит из собственных и присоединенных функций. Большой интерес представляют работы В. А. Ильина и Е. И. Моисеева, в которых найдены точные условия, гарантирующие разрешимость нелокальных краевых задач и устойчивость их решения, построены и исследованы разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи.
В работах Н. И. Ионкина изучалась устойчивость и сходимость разностных схем с весами в сеточной 2-норме для уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями и был предложен алгоритм нахождения
'А. В. Бицадзе, А. А. Самарский. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. ДАН СССР, 1969, т. 185, N 4, с. 739-740.
2В. А. Ильин. Необходимые и достаточные условия базисвости подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М. В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. Докл. АН СССР, 1976, т. 227, N.4, с. 28-31.
численного решения, основанный на модификации метода прогонки. Метод исследования равномерной устойчивости и сходимости разностных схем, пригодный как для постоянных, так и для переменных коэффициентов, изложен в работах Н. И. Ионкина и Д. Г. Фурлетова. Этот метод существенно использует свойства матрицы, обратной к матрице, порожденной системой разностных уравнений, а также сам алгоритм нахождения численного решения. В работе Н. И. Ионкина и Е. А. Валижовой были получены априорные оценки, из которых вытекает устойчивость и сходимость разностного решения в метрике С в случае переменных коэффициентов. Для доказательства устойчивости здесь использовался подход, основанный на принципе максимума. Разностные схемы для нелинейных задач с нелокальными граничными условиями, в том числе для квазилинейного уравнения теплопроводности с нелокальным условием Бицадэе-Самарского, изучались В. Л. Макаровым. Им были доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений, построены и исследованы чисто неявные разностные схемы, получены оценки их скорости сходимости.
В предлагаемой диссертации излагаются результаты автора, относящиеся к исследованию разностных схем, аппроксимирующих нелокальные краевые задачи для уравнений параболического типа.
Цель работы.
Целью работы явилось:
-
Построение и исследование разностных схем для двумерного по пространству уравнения параболического типа дяа случая, когда по одному направлению заданы краевые условия первого рода, а по другому — нелокальные условия. Разработка методов решения соответствующих систем сеточных уравнений.
-
Выяснение необходимых и достаточных условий устойчивости по начальным данным разностных схем, аппроксимирующих уравнение теплопроводности с нелокальными граничными условиями.
Общая методика.
При исследовании двумерной задачи применялись принцип максимума и разложение решения в ряды по собственным и присоединенным функциям основного оператора. При исследовании устойчивости использовались теория устойчивости разностных схем, предложенная А. А. Самарским, и найденный Н. И. йонки-ным базис из собственных и присоединенных функций рассматриваемого разностного оператора.
Научная новизна.
Доказаны существование и единственность решения двумерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в случае, когда по одной из переменных заданы краевые условия первого рода, а по второй переменной
— нелокальные граничные условия. Для указанной задачи в случае переменных коэффициентов построена абсолютно устойчивая разностная схема и доказана ее сходимость. Предложены и исследованы численные методы решения систем сеточных уравнений, возникающих в результате разностной аппроксимации двумерных задач с нелокальными граничными условиями. Получепы необходимые и достаточные условия устойчивости в энергетических нормах разностных схем, аппроксимирующих уравнение теплопроводности с нелокальными граничными условиями.
Практическая ценность.
Разработанные в диссертации методы решения могут использоваться при математическом и численном моделировании различных задач математической физики, содержащих нелокальные краевые условия. Методы исследования устойчивости разностных схем, развитые в диссертации, могут оказаться полезными при изучении более общих несамосопряженных разностных схем.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством академика А. А. Самарского. Основные результаты диссертации были доложены на следующих конференциях:
IX Научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики", Москва, 1999.
YI Международная конференция аспирантов и студентов по фундаментальным наукам "Ломопосов — 99", Москва, МГУ, 19Э9.
YII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование." Дубна, 2000.
Публикации.
По теме диссертации опубликованы работы [1]—[7].
Структура и объем работы.
