Введение к работе
Актуальность темы. Всскопечпые ряды япляются одним " осповпых пнструмептоп современной математики: математического анализа, теории прнближеппй, фупкцпопальпого апалпза и т.д. Од ион из цептральних'залач теории рядов является задача точного или ириблшкешюго вычисления суммы ряда. Если однократные ряды достаточно хорошо изучены, то с кратними рядами дело обстоит значительно хуже. Например, и самом полном справочном шдапии [Gj можно найти всего 24 кратных ряда, суммы которых удалось вычислить в замкнутом виде. В то же время с необходимостью вычислении (точного или приближенного) сумм кратных рядом мы постоянно сталкиваемся во многих разделах естествознания: при изучении конденсации Бозе-Эйшнтейнав конечных системах, осциляции плазмы в волокнистых проводниках, при анализн стабильности вихря в сверхпроводниках второго типа, а также при решении большинства задач из кристаллофизики и кристаллохимии (см., например, обзор 17]).
К задаче приближенного вычисления суммы числового ряда тесно примыкают задачи улучшения сходимости рядов я нахождения асимптотики функций, задаваемых в виде суммы бескопечного ряда.
В диссертации исследуется: также важная задача теоретической физики — задача нахождения ориентации диполей в кристаллических решетках, которая математически формулируется как задача ыа собственные значения для матриц специального вида (типа циркулянтов), элементами которых являются кратные числовые ряди. Эта задача впервые была поставлена в ставшей теперь классической работе американских физиков Латиняжера и Тиссы [8]. Достаточно полная библиография по этому вопросу имеется в монографии [9].
Цель работы.
1. Разработать метод приближенного вычисления двойных решеточных сумм, т.е. сумм вида
52 (am2 -г Ьтпп + сп?)~а - ф(гп,п), (1)
где а > 1, ф(тп,п) - (-1У\(—1У*,(—1У**",1, позволяющий приближенно вычислять сумму (1) в тех случаях, когда копстанты а<Ь,с — це лбязателыю рациональные числа.
'I. Получить новые точные формулы для сумм однократных рядов, :одержашях гиперболические функции, и полных эллиптических нн-
тегралов 1-го и 2-го рода при пекоторых значениях модуля.
-
Разработать конструктивный метод улучшения сходимости числовых рядов, удовлетворяющих признаку сходимости Куммсра.
-
Найти собственные числа и собственные вектора блочных матриц специального вида, возникающих при решении задачи об определении ориентации диполей, находящихся в узлах кристаллической решетки.
Методика исследования. В исследованиях применяются общие методы математического анализа, вычислительной математики и линейной алгебры.
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации являются новыми и снабжены строгими доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты могут применяться в вопросах точного и приближенного вычисления сумм рядов* нахождения асимптотики функций, задаваемых в виде суммы бесковечного ряда, а также при илучепиив ориентация диполей в крветаддачеашх решетках.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ттттг» вр.г>1ляя»ри "іСт^чшигячя апздпо в математическая физика" (Красноярск, 1987), в& IV Всесоюзной школе **Алгебра и анализ", (Омск, 1990), на сешаз&$с по теории приближенна под руководством проф. Ю.Н. Субботявьа ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 1992), на общегородской грмввара аоивогоиерващ комплексному анализу под руководствои профессоров Л А. Айзенберга в АЛ. Южакова (Красноярск, 1987-1992), на семинаре по математической физике под руководством академика B.C. Владимирова (Москва, .1992).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ [1-5].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав в списка литературы из 50 наименований, в занимает 82 страницы машинописного текста.
