Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ решений задачи устойчивости в тепло- и массообмене стр. 15
1.1 Описание основного стационарного течения в задачах конвективного тепло- и массообмена стр. 15
1.2 Теоретическое описание массообмена в баромембранных процессах стр. 20
1.3 Решение задачи устойчивости в процессах тепло- и массообмена стр. 28
1.4 Массообмен в смешанноконвективном режиме стр. 49
1.5 Выводы. Цель работы стр. 55
Глава 2. Теоретическое исследование стационарного массообмена при наличии вынужденноконвективного продольного течения стр. 58
2.1 Упрощение уравнений Навье - Стокса для рассматриваемой задачи стр. 58
2.2 Решение уравнения стационарной диффузии операционным методом стр. 63
2.3 Расчет профиля концентраций методом численного обращения преобразования Лапласа стр. 64
2.4 Обобщение полученных соотношений стр. 68
2.5 Выводы стр. 76
Глава 3. Теоретическое исследование концентрационной устойчивости при одномерном нестационарном массообмене в окрестности селективно-проницаемой стенки стр. 77
3.1 Решение уравнения нестационарной одномерной диффузии в примембранном пространстве операционным методом стр. 77
3.1.1 Формулировка задачи. Описание стационарного состояния стр. 77
3.1.2 Решение уравнения одномерного нестационарного массообмена стр. 84
3.1.3 Анализ решения уравнения нестационарного массообмена стр. 86
3.1.4 Описание задачи устойчивости в случае
квазиэкспоненциального профиля концентраций стр. 88
3.2 Математическое исследование задачи концентрационной устойчивости в плоском мембранном канале стр. 92
3.2.1 Формулировка задачи стр. 92
3.2.2 Разработка уравнений для анализа устойчивости стр.93
3.2.3 Алгоритм численного решения задачи устойчивости стр. 101
3.2.4 Анализ случая Pev—*0 стр. 108
3.2.5 Численные результаты. Примеры расчета стр. 113
3.3 Выводы стр. 118
Глава 4. Экспериментальное исследование концентрационной устойчивости процесса обратного осмоса стр. 120
4.1 Выбор объектов и методов исследования стр. 120
4.2 Лабораторная установка для исследования одномерного нестационарного массообмена стр. 127
4.2.1 Установка для поточного измерения концентрации проникающего раствора (ионометр с самописцем) стр. 123
4.2.2 Установка для визуализации распределения концентрации раствора над мембраной
(лазерный интерферометр) и узел фиксации интерферограмм стр. 129
4.2.3 Установка для исследования процесса обратного
осмоса в статических условиях (технологическая часть) стр.135
4.3 Подготовка и проведение эксперимента стр. 138
4.4 Методика обработки опытных данных стр. 140
4.5 Оценка погрешности расчетов и измерений стр. 145
Глава 5. Результаты экспериментального исследования устойчивости и их сравнение с теоретическим исследованием той же задачи стр. 150
5.1 Предварительные эксперименты. Коррекция методики обработки экспериментальных данных с учетом осложняющих эффектов стр. 150
5.2 Основные экспериментальные результаты и их сравнение с теоретическим предсказанием стр. 167
5.3 Выводы стр. 169
Глава 6. STRONG Прогноз эффективности использования смешанноконвективного режима массообмена
в проточных плоскокамерных баромембранных аппаратах STRONG стр. 170
6.1 Обобщение теоретических результатов анализа устойчивости и их сравнение с экспериментальными результатами работ по изучению смешанноконвективного режима в процессе мембранного газоразделения стр. 171
6.2 Предсказание массообменных характеристик проточных установок обратного осмоса в смешанноконвективном режиме стр. 180
6.3 Прогноз влияния конвективной неустойчивости на экономическую эффективность процесса обратного осмоса стр. 185
6.4 Выводы стр. 198
Основные результаты работы стр. 200
Список литературы
- Теоретическое описание массообмена в баромембранных процессах
- Решение уравнения стационарной диффузии операционным методом
- Формулировка задачи. Описание стационарного состояния
- Лабораторная установка для исследования одномерного нестационарного массообмена
Введение к работе
Процессы очистки и разделения составляют одну из основ современной химической, пищевой и фармакологической промышленности. Мембранная технология активно развивается и к настоящему времени заняла прочное место в ряду методов проведения данных процессов. Мембранный метод очистки и разделения благодаря своим преимуществам перед прочими методами вытесняет последние из их традиционных сфер применения. В качестве общеизвестных примеров такого вытеснения можно указать следующие: замена вакуум - выпарных установок на электродиализные и обратноосмотические при получении питьевой воды из морских и солоноватых вод; замена ионообменных установок получения глубоко деионизированной воды на обратноосмотические с ионообменной доочисткой; замена дистилляторов на обратноосмотические установки при получении деионизированной и апирогенной воды в пищевой и фармацевтической промышленности; замена испарения под вакуумом ультрафильтрационными установками при концентрировании соков; внедрение мембранных систем очистки при получении бытовой питьевой воды и умягченной воды для производства водки, пива и безалкогольных напитков вместо традиционно используемых систем с очисткой на активированном угле и сульфоугле.
В настоящее время развитие мембранной технологии приняло особенно динамичный характер, благодаря разработке новых высокопроизводительных композитных мембран, например мембран типа ОПМН (НПО "Полимерсинтез", г. Владимир), которые иногда называют "нанофильтрационными". На самом деле мембраны типа ОПМН легко модифицируются в заводских условиях как для процессов ультра- и нанофильтрации так и для процесса обратного осмоса. Естественно, что с нанесением каждого последующего слоя полимера на композитную мембрану типа ОПМН вместе с появлением селективных свойств по отношению к
-11-частицам всё меньших размеров, наблюдается и снижение производительности мембраны. Однако указанное снижение происходит всего лишь в 2 - 4 раза при переходе в ряду: ультрафильтрация - нанофильтрация - обратный осмос, что нельзя не признать выдающимся достижением.
Среди факторов, имеющих наибольшее значение для внедрения мембранных методов в промышленность следует особо отметить увеличение значимости затрат на энергоресурсы при проектировании технологических схем в связи с общемировым подорожанием энергии.
Как известно, мембранные методы очистки и разделения почти всегда требуют гораздо меньших затрат энергии по сравнению с традиционными методами при получении продукта заданного качества. Чем большее значение при проектировании имеет энергоресурсосбережение, тем более конкурентоспособны мембранные методы. Для снижения удельных и капитальных затрат на мембранную установку первостепенное значение имеет повышение удельной производительности мембран при сохранении высокой селективности и приемлемой цены.
Однако именно увеличение производительности мембран при заданном уровне селективности ведёт к резкому (практически экспоненциальному) росту внешнедиффузионного сопротивления массопереносу, которое в мембранной литературе принято называть "концентрационной поляризацией" [1]. Явление концентрационной поляризации всегда приводит к снижению эффективности мембранного аппарата по крайней мере в двух отношениях: а) снижается эффективность разделения, т. е. увеличивается средняя концентрация пермеата б) снижается производительность мембранного аппарата - т. е. количество пермеата с единицы объёма аппарата. Кроме того, увеличение концентрации растворённых веществ может привести к осадкообразованию на мембране и снижению её характеристик и срока службы.
Концентрационная поляризация, как известно, приводит к снижению наблюдаемой селективности и уменьшению производительности процесса мембранного разделения. Общим местом в работах по мембранной тематике
является утверждение о невозможности исключения влияния концентрационной поляризации на процесс мембранного разделения. В указанных работах можно встретить мнение, что "история развития мембранных методов есть история борьбы с концентрационной поляризацией" [1]. Также обычно утверждается, что из всех методов, предназначенных для снижения концентрационной поляризации до приемлемого уровня, самыми используемыми на практике становятся такие методы, которые не требуют существенных затрат и просты в реализации.
Необходимо отметить, что важным фактором, обеспечивающим рост экономической эффективности какого-либо мембранного процесса является повышение плотности упаковки в мембранном модуле. Поэтому из всех возможных методов снижения концентрационной поляризации обычно находят применение те из них, которые не вступают в противоречие с данным фактором.
Из-за вышеуказанного обстоятельства, в промышленности получили распространение только немногие из возможных методов снижения величины концентрационной поляризации, а именно: использование турбулизирующей сетки (поскольку по технологии изготовления мембранных модулей всё равно необходима сетка-сепаратор, то появляется очевидная возможность создать сетку со структурой, обеспечивающей турбулизацию раствора в напорном канале); повышение скорости течения разделяемого раствора в напорном канале, в том числе за счет рециркуляции (так как затраты на прокачивание раствора обычно малы по сравнению с затратами на продавливание раствора сквозь мембрану (см. анализ в разделе 6.3 данной работы), экономически выгодно поддерживать высокую (но, как правило, ламинарную) скорость течения в напорном канале); применение коротких и узких каналов (существенно не увеличивая стоимость установки укоротить можно лишь рулонные модули, но применение узких каналов встречается повсеместно и, как уже было сказано, вытекает из чисто экономических соображений; нижний
предел высоты напорного канала ограничивают из стремления исключить сплошную забивку канала и его зарастание).
Однако все вышеперечисленные методы снижения величины концентрационной поляризации отличаются низкой эффективностью. Например, использование турбулизирующей сетки, в силу малой высоты мембранного канала, возможно только при значительной поверхности контакта элементов сетки с мембраной, что приводит к существованию значительных застойных зон, в которых массообмен значительно ухудшен.
Повышение скорости течения, согласно простейшим расчётам, которые можно провести на основании плёночной модели (1.7) - (1.8), довольно слабо влияет на величину концентрационной поляризации; вместе с тем увеличение скорости сопряжено с повышенными затратами энергии; также при высокой скорости в напорном канале возможна деформация мембраны взвешенными частицами и её порча.
Произвольное укорочение мембранного канала неосуществимо, поскольку при этом возникнут сложности с герметизацией мембранного пакета и системой отвода пермеата. В конечном счёте, укорочение приведёт к тому, что на единицу объёма аппарата будет приходиться всё меньше рабочей поверхности мембраны, т. к. часть её будет занята клеением краёв, прокладками, штуцерами и т. д.
В настоящей работе будут разработаны теоретические основы метода снижения концентрационной поляризации в баромембранных процессах, основанного на явлении естественной конвекции. Данный метод не требует каких-либо изменений в существующих типах мембранных модулей, не предполагает увеличения эксплуатационных затрат и не требует установки дополнительных механизмов. На основании теоретических и экспериментальных исследований процесса возникновения естественной конвекции в плоских мембранных каналах будет показано, что режим естественной конвекции должен возникать в большинстве имеющихся типов мембранных модулей. Для возникновения данного режима необходимо
сочетание трёх условий: высокой (>5 г/л) концентрации исходного раствора, определённой ориентации модуля относительно поверхности Земли и низкой скорости течения раствора в напорном канале.
Доказательство существования естественной конвекции при проведении баромембранных процессов позволяет существенно дополнить их теоретическое описание и по-новому взглянуть на экспериментальные работы, данные которых противоречили традиционным представлениям о массообмене в мембранных каналах (например, когда производительность мембраны увеличивалась вдоль по потоку или наблюдалось различие в составе пермеата с верхней и нижней мембраны).
Теоретическое описание массообмена в баромембранных процессах
Проблеме описания массообмена в напорных каналах обратноосмотических и ультрафильтрационных модулей посвящено большое количество работ. Прежде чем приступить к перечислению имеющихся решений, коротко опишем основные характеристики мембранного процесса.
Баромембранные процессы разделения растворов веществ основаны на преимущественном проникновении растворителя через селективно-проницаемую перегородку под действием разности давлений по обе стороны перегородки. В промышленности, в подавляющем большинстве случаев, процесс разделения организуется в стационарных условиях, причём исходный раствор протекает по напорному каналу, в котором давление больше атмосферного. Напорный канал ограничен мембраной и протекающий по нему раствор обогащается растворённым компонентом, а проникший раствор выводится в дренажный канал, находящийся под атмосферным давлением (1.1).
Эффективность мембраны, как известно, характеризуется истинной селективностью ф = 1—-и удельной производительностью (скоростью отсоса на поверхности) Vw. Как известно, протекание мембранного процесса приводит к накоплению задерживаемого вещества у поверхности мембраны, подобно тому, как протекание процесса конвективного теплообмена в трубе приводит к отличию температуры стенки трубы от температуры в центре трубы. Исторически сложилось, что явление отличия концентрации на мембране от концентрации в ядре потока принято называть "концентрационной поляризацией", хотя никто не употребляет термин "температурная поляризация" в аналогичном случае теплообмена. Выше уже говорилось о негативном влиянии концентрационной поляризации на эффективность разделения.
Концентрационную поляризацию принято характеризовать с помощью величины безразмерной относительной концентрации: cw = (Cw - Со)/Со). Благодаря тому, что в баромембранных процессах разделению подвергаются вещества с малым коэффициентом диффузии, числа Шмидта растворённых веществ велики, что приводит к малой (относительно высоты канала) величине концентрационного пограничного слоя, исчерпывание (обогащение раствора задерживаемым компонентом) на оси канала незначительно где А — является постоянной для данной мембраны величиной в том случае, если она была предварительно уплотнена и на её поверхности нет плотного осадка.
Селективность обратноосмотической (и ультрафильтрационной) мембраны ср для разбавленных растворов обычно не зависит от концентрации (вплоть до концентрации порядка 2 моль/литр) и довольно слабо зависит от давления и температуры.
Мембранный аппарат состоит из мембранных модулей (рис. 1.1), которые в свою очередь состоят из большого количества мембранных каналов, включающих мембрану, напорную и дренажную полость. Массообмен в мембранных каналах проходит в одинаковых (для данного модуля) условиях, поэтому для расчёта массообмена в модуле достаточно рассмотреть отдельный канал. Каждый из мембранных каналов характеризуется формой мембраны, площадью мембраны, длиной мембраны и высотой напорного канала.
На практике в обратноосмотическом или ультрафильтрационном мембранном канале толщина диффузионного пограничного слоя нигде не достигает даже полувысоты канала (как это и показано на рис. 1.1). Таким образом, при устойчивом режиме течения характеристики массообмена на верхней и нижней мембране должны быть тождественны (в том случае если указанные мембраны одинаковы). Также заметим, что в рассматриваемых условиях массообмена не должно быть различия в расчёте характеристик канала с односторонним и двухсторонним расположением мембраны. Поэтому обычно анализируют массообмен в канале с односторонним расположением мембраны.
Рассматриваемая в настоящей работе задача о массообмене в плоских каналах приложима к описанию плоскокамерных и рулонных мембранных модулей. Для данных типов модулей вынужденное течение в напорном канале будет двумерным, длина каналов - по раскрою мембраны - составляет 1 метр, а высота напорного канала варьируется от 1 до 4 мм [9].
В условиях промышленной эксплуатации средняя продольная скорость течения в напорных каналах мембранных модулей на несколько порядков больше скорости отсоса. Данное обстоятельство позволило авторам работ по теории массообмена в баромембранных процессах сделать ряд упрощающих предположений.
Рассмотрим кратко ряд решений задачи обратноосмотического разделения, полученные аналитическими и численными методами для случая вынужденноконвективного ламинарного течения. Более подробно различные подходы к решению задачи массообмена в канале с селективно - проницаемой стенкой рассмотрены в книге Дытнерского [9] и обзоре диссертации [10].
Первые фундаментальные исследования по теоретическому описанию внешнедиффузионного сопротивления массопереносу были проведены в начале 60-х годов. С тех пор было опубликовано большое количество теоретических работ отечественных и зарубежных исследователей. Для ламинарного течения разделяемого раствора теоретический анализ внешнего массопереноса в баромембранных процессах, как правило, сводится к совместному решению уравнений неразрывности, Навье-Стокса и конвективной диффузии. Наиболее часто решалась несопряжённая стационарная задача. При этом уравнение (1.3) преобразуется к виду:
Решение уравнения стационарной диффузии операционным методом
Нахождение оригинала от функции (12) в аналитической форме представляет собой, по многим причинам, сложную математическую задачу. Важнейшая из этих причин заключается в том, что функция (12) не может быть представлена в виде отношения двух полиномов целой степени с последующим применением формулы разложения Хэвисайда. Вследствие этого оригинал от (2.12) не может быть получен в виде бесконечного ряда, что является стандартной процедурой при решении задач в теории теплообмена [67] или в теории автоматического регулирования.
Как известно (см. [68]), наиболее общий способ нахождения оригинала состоит в непосредственном применении формулы обращения Римана -Меллина (2.13), однако для этого требуется предварительно разработать эффективный алгоритм численного взятия интеграла в данной формуле: 1 s+Ir c(zA) = ——lim \c ek dk, (2.13) здесь прямая s = const проводится правее всех особых точек подынтегрального выражения; / - мнимая единица.
Для корректного применения формулы обращения (2.13), необходимо выяснить положение всех особых точек подынтегрального выражения в (2.13) [68]. Можно показать, что функция c (z,k) имеет только следующие особые точки: 1) к-0 - полюс первого порядка (см. [68]); при этом из (2.5) в предельном случае — оо (что, по теореме о конечном значении преобразования Лапласа, соответствует к— 0) можно получить: Ктс(гЛ) = —е (2.14) 4- ф -1 Тогда limc (z, )= ,, Ф 1Л - к (ф -1) е \ 2) к— оо - точка ветвления (см. [68]). Заметим, что при к— оо функция (2.12) принимает ненулевые значения только при z—О, что вполне объяснимо, поскольку к— соответствует — 0, т. е. началу развития пограничного слоя. Поэтому в данной точке имеет смысл анализировать только функцию с (г = 0Д): c (z = 0,k)= 3- {2 ) \{Ш) 2 1{Ш, С помощью общих свойств функции Макдональда [66] находим: Y\mc (z = 0,k) = const-k 3, т. e. c (z = 0,k) - величина нецелого порядка малости, к—» иначе говоря, к— - действительно точка ветвления.
Знаменатель правой части формулы (2.12) не равен нулю на всей комплексной плоскости при любых значениях параметра р, а функция Макдональда на указанной плоскости монотонно убывает. Следовательно, функция (2.12) имеет только две вышеуказанные особые точки. Таким образом, за s в уравнении (2.13) можно принять любую положительную величину.
Для того, чтобы избавиться от контурного интегрирования в (2.13) в комплексной плоскости и вести расчёты с использованием действительных чисел, формулу обращения (2.13) преобразуют (согласно [71]) к виду (г -параметр интегрирования, s 0 - произвольный параметр):
В теории комплексной функции [68] доказывается, что функции F1" и F в (2.15) строго действительны. Интегралы в (2.15) берутся численно и, вследствие этого, основную трудность при расчётах представляет необходимость интегрирования осциллирующих функций по бесконечному промежутку. Данная проблема известна в теории численных методов (см., например, [71]) как "проблема интегрирования быстро осциллирующей функции". Стандартным методом её разрешения (согласно [71]) является аппроксимация функций F и F суммой функций, для которых возможно аналитическое интегрирование.
Поскольку аппроксимация функций F1" и F в (2.15), которые в рассматриваемом случае не являются аналитическими, на бесконечном промежутке, представляет собой сложную задачу, предлагаем собственный метод решения данной проблемы. Основная идея метода состоит в том, чтобы разделить участок интегрирования на две части.
В первой из частей (при малых т) будет наблюдаться сильное изменение функций Ґ и F и нужно использовать стандартный метод интегрирования с мелким шагом - например, метод Симпсона с адаптацией шага. Во второй части (вплоть до чрезвычайно больших т) амплитуда колебаний от одного максимума "волны" синусов либо косинусов до другого будет меняться незначительно и в качестве площади одной "волны" можно приближённо принять величину F {Inn + —)т Tsln(T)rft Для интеграла по F в (2.15) и F-[{inn + n)x} ln+\tUz)dx Для интеграла по F в (2.15). И тот и другой из только 2ял + Зя/2 ] [cos 2 п л + я/2 что выписанных интегралов равны 2. После нескольких пробных расчётов было установлено, что достаточная точность вычислений достигается при интегрировании первых пяти периодов колебания по обычному алгоритму и девяносто пяти периодов колебания по алгоритму, изложенному выше.
Формулировка задачи. Описание стационарного состояния
Отыскание аналитических решений уравнений тепло- и массообмена в общем случае наталкивается на значительные математические трудности. По указанной причине аналитическое решение, получаемое в данном разделе, должно иметь известное значение для задач одномерного массообмена. К таковым, как известно, относятся задача о мембранном процессе разделения в непроточной ячейке, задача о процессе вблизи слоя адсорбента либо катализатора и задача о процессах около мембранных датчиков.
Решение данной задачи служит подготовительным этапом для теоретического анализа устойчивости (см. раздел 3.2), а также будет использовано для корректной интерпретации экспериментальных данных по изучению момента потери концентрационной устойчивости при одномерном массообмене (см. главу 5).
Рассматривается нестационарное мембранное разделение разбавленного изотермического двухкомпонентного раствора (см. рис. 3.1). Принимается, что процесс протекает при постоянной производительности мембраны (скорости отсоса V [м/с]), при постоянной селективности мембраны ср и при постоянных значениях плотности раствора и коэффициентов переноса: коэффициента диффузии D [м /с] и динамической вязкости. Распределение концентрации растворенного вещества С [кг/мЗ] зависит только от координаты Z [м] (которая измеряет расстояние от мембраны) и меняется во времени t [с].
Примем, что процесс одномерного массообмена происходит в плоском канале, ограниченном двумя плоскостями - селективно-проницаемой стенкой и пористой стенкой, с которой осуществляется подача исходного раствора с концентрацией Со (см. рис. 3.1). Z C7W Н Рис. 3.1. Схема одномерного стационарного массообмена в плоском канале, ограниченном пористой неселективной стенкой и селективно-проницаемой стенкой. а — пористая неселективная перегородка Ь - селективно-проницаемая перегородка {мембрана)
Принимается, что вынужденноконвективный поток со скоростью V является единственным для рассматриваемой системы; боковые эффекты не учитываются; распределение плотностей - устойчиво. Процесс массообмена при вышеуказанных условиях можно считать несопряженным и одномерным; уравнение конвективной диффузии растворённого компонента (1.3) будет иметь вид: (под "V" здесь и далее понимается модуль соответствующей величины, отсюда изменение знака перед Vno сравнению с (1.3)) В уравнении (3.1) используется безразмерная концентрация с, поскольку запись уравнений, содержащих дифференциальную форму величин с и С, очевидно тождественна. Перед тем, как приступить к решению задачи в полной постановке, необходимо найти все стационарные решения уравнения (3.1). Стационарное уравнение получим из (3.1), переходя к обыкновенному дифференциальному уравнению: d2c dc D r + V— = 0 (3.2) dZ2 dZ Согласно условиям задачи, первым граничным условием будет: С = С0 при Z = Н (З.З.а) Или, в безразмерном виде: c = 0npnZ=H (З.З.Ь)
Для вывода второго граничного условия рассмотрим вначале более общую нестационарную задачу.
Поскольку раствор является разбавленным и мы пренебрегаем тем небольшим изменением скорости течения, которое возникает из-за изменения концентрации, то скоростью пермеата (с концентрацией Ср) будет V.
Концентрацию на селективно-проницаемой поверхности со стороны разделяемого раствора считаем однозначно связанной с концентрацией пермеата через селективность: С„=- - (3.4) 1-Ф Разница прихода и расхода в контрольном объеме, заключенном между пористой стенкой и пермеатотводящей областью (см. рис. 3.1) расходуется на накопление массы компонента в единицу времени, согласно общей схеме вывода макроскопических балансов [73]: дт . . /а „ —— = т+-т_. \ -5) at В данном случае приход массы компонента в контрольный объем: m+ = C0VQ, расход массы компонента из контрольного объема: ш_ =CP(t)Vl, содержание массы компонента в контрольном объеме в момент времени t: HYX т= jjjC(X,Y,Z,t)dXdYdZ, (3.6) 0 0 0 причем Y-X=Q. Если в примембранной полости отсутствует естественная конвекция, имеет место одномерная задача массообмена; в таком случае можно принять: л m = l- jC(Z,t)dZ Окончательно с учетом сокращения всех слагаемых на Q. и условия (3.4), приходим к следующему нестационарному граничному условию: "&Adz = C0V -Cw{t){l- )V. (3.7) о dt Стационарное состояние, как известно, характеризуется независимостью функций от времени (при турбулентном и смешанноконвективном режиме течения подобная независимость возможна лишь в среднем).
Лабораторная установка для исследования одномерного нестационарного массообмена
Диффузионный пограничный слой представляет собой оптическую неоднородность, которая характеризуется полем показателей преломления n(X,Y,Z,t), в общем случае трехмерным. При прохождении оптической неоднородности рабочий луч получает смещение по фазе относительно луча сравнения, проходящего по воздуху. При использовании когерентного источника света данное смещение можно сделать видимым путем фокусировки в одной плоскости рабочего луча и луча сравнения (см. рис. 4.4). Обычно оба луча фокусируют на интерференционной решетке. Выходящее с интерференционной решетки изображение представляет собой систему тёмных и светлых полос, каждая из которых является геометрическим местом точек волнового фронта с одинаковой фазой. Согласно принципу Ферма, порядок интерференции S при прохождении рабочего луча между точками 1 и 2 рассчитывается по соотношению: \n(X,Y,Z,t)sdr = SX , (4.2) і где S = 0.5, 1.5, 2.5... соответствует тёмным полосам, a S = 1, 2, 3...- светлым; і - оптический путь луча, г - радиус-вектор, X - длина волны света.
Из формулы (4.2) следует, что если рассматривается двумерный фазовый объект с п = n(X,Z,t) интерференционная полоса является также геометрическим местом точек волнового фронта, прошедшего через области с одинаковым показателем преломления.
Как известно, в области малых концентраций растворенных в воде веществ, соблюдается линейная зависимость между концентрацией и показателем ОН преломления [77] — = const, в таком случае из (4.2) для двумерного объекта дС следует: C-C0=S(X,Z)M Y, (4.3а) где координата Г совпадает с направлением светового луча и Ymax - длина исследуемого объекта в данном направлении. Общее число полос (сдвиг фазы) в двумерном поле показателя преломления рассчитывается по формуле, обратной (4.3а): AS = (C-Co)F-f-l (4.3b) л (де)
Однако при прохождении оптической неоднородности, помимо разности фаз, световой луч приобретает отклонение в направлении большего показателя преломления, в рассматриваемом случае указанное направление - к мембране. Таким образом, часть рабочего луча уходит в тень (см. рис. 4.2). Данный эффект для случая одномерного распределения описывается уравнением [77]: где р - угол отклонения луча в плоскости YZ.
Для экспоненциального распределения концентраций (которое и имеет место в рассматриваемом случае - см. главу 3) имеется следующее аналитическое решение уравнения (4.4) [77]: -VZO/D \nw-n0 v V (4.5) Y — max j-. -Zn =—In \ cosh 0 V [ где cosh - гиперболический косинус. Отклонение лучей к мембране Z-Zo (см. рис. 4.1) приведет к тому, что лучи, вошедшие в поле показателей преломления на расстоянии, меньшем некоторого Z0, определяемом из условия: "правая часть (4.5) равна Zd\ будут невидимы. Соответствующее количество невидимых интерференционных полос равно: AS JCWo)-C0)Y (dn \ -г w ґ з„\ (4.6) Л \ЬСг Для малых концентраций раствора NaCl при t = 17.5 С имеем (здесь и далее значения показателей преломления заимствованы из [80]): я(С) = 1.33333 + сГ0 , (4.7) \С;Т-сап дп} „, -I где 1ЭС = 0.0167 %масс" (данный параметр в области умеренных температур практически не зависит от температуры).
При избранной длине модели в 105 мм при допущении о том, что критическая концентрация больше исходной (напомним, что было избрано Со = 0.025 %маСс) в 4 раза (скорость отсоса примем V= 0.8-10 5 м/с), с использованием численного решения уравнения (4.5) и формул (4.6), (4.7), найдем, что невидимой будет часть слоя, находящаяся на расстоянии от мембраны, примерно равном одному D характерному линейному размеру —.
Отсюда получим, что видимыми будут всего (і- г ) 100% = 63.2% от общего числа полос (общее число полос AS на основании формулы (4.3Ь) равно 20.7). Как показали опыты, потеря устойчивости, как правило, наступала в тот момент, когда видимыми были 2-3 интерференционные полосы.
Следовательно, вопрос о расшифровке интерферограммы в данном случае не может быть поставлен в принципе (для расшифровки требуется как минимум 5 видимых полос, непосредственно прилегающих к стенке [77]). Поэтому далее мы приводим лишь краткое описание схемы интерферометра ИАБ-451, который, служил нам в качестве инструмента визуализации поля концентраций.
Для получения наиболее наглядного изображения интерферометр настраивался на полосы бесконечной ширины [77] с помощью компенсирующих оптических клиньев. Как уже было сказано, ячейка обладала собственным довольно сильным клином, для компенсации которого приходилось применять большое количество стандартных клиньев (см. поз. 6 на рис. 4.4).
Похожие диссертации на Концентрационная конвекция в процессе обратного осмоса при ламинарном течении в плоских каналах
