Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Асимптотика решения дискретной нелинейной сингулярно возмущенной периодической задачи оптимального управления 24
1.1. Постановка задачи 25
1.2. Вырожденная задача 26
1.3. Формализм построения асимптотики 27
1.4. Оценки приближенного решения 42
1.5. Линейно-квадратичная задача 47
1.6. Примеры 48
Глава 2. Асимптотика решения дискретной нелинейной сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с другими краевыми условиями на переменные состояния 58
2.1. Постановка задачи 58
2.2. Вырожденная задача 58
2.3. Формализм построения асимптотики 60
2.4. Оценки приближенного решения 77
2.5. Пример 81
Глава 3. Асимптотика решения дискретной задачи оптимального управления для одного класса слабоуправляемых систем
3.1. Постановка задачи 87
3.2. Формализм построения асимптотики 88
3.3. Оценки приближенного решения 99
3.4. Пример 103
Литература 107
- Формализм построения асимптотики
- Линейно-квадратичная задача
- Формализм построения асимптотики
- Формализм построения асимптотики
Введение к работе
Актуальность темы. Интерес к сингулярно возмущенным задачам оптимального управления особенно возрос за последние тридцать лет. Сингулярные возмущения связаны как с постановкой задач (малые постоянные времени, моменты инерции, массы, большие коэффициенты усиления и т.п.), так и с методами исследования задач управления (параметры штрафа, регуляризации, аппроксимации импульсов и др.). Из условий оптимальности управления для сингулярно возмущенных задач появляются "жесткие" краевые задачи, численное решение которых вызывает серьезные трудности (большое время счета, неизбежное накопление вычислительных ошибок и др.). В связи с этим возрастает роль асимптотических методов, так как их использование часто позволяет значительно упростить исходную математическую модель, например, пренебречь нелинейностями, произвести декомпозицию исходной задачи на задачи меньшей размерности.
Большинство работ по этой тематике посвящено изучению непрерывных систем, в то время как множество задач экономики, социологии, биологии описывается дискретными моделями. Так, например, в монографии Gajic Z., Lim М. (2000) представлены дискретные сингулярно возмущенные задачи, возникающие при моделировании динамики самолетов F-8, F-15, а также при моделировании паровой турбины. Кроме того, дискретные задачи возникают при численной реализации непрерывных задач оптимального управления. Один из возможных способов перехода от дифференциальных уравнений к разностным уравнениям описан в справочнике по теории автоматического управления под редакцией Красовского А.А. (1987). Общая теория дискретных задач оптимального управления представлена, например, в монографиях Пропоя А.И. (1973) и Болтянского В.Г. (1973).С начала 1980-х годов объектом интенсивного изучения становятся дискретные сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Различным классам таких задач посвящены монографии Naidu D.S. и Rao А.К. (1985), Naidu D.S. (1988), Gajic Z. и Lim М. (2000). Одной из особенностей дискретных задач оптимального управления является их большая размерность, поэтому использование асимптотических методов для их исследования особенно актуально.
В подавляющем большинстве работ, посвященных сингулярно возмущенным задачам оптимального управления, асимптотический анализ решений задач оптимального управления производится на основе асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления. Чаще всего при этом используется метод пограничных функций Васильевой-Вишика-Люстерника (см., например, обзоры Kokotovic P.V., O'Malley R.E. Jr., Sannuti P. (1976), Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. (1982), Saksena V.R., O'Reilly J., Kokotovic P.V. (1984), Курина Г. A. (1992), Naidu D.S. (2002), Дмитриев M. Г., Курина Г. A. (2006)). Широкое распространение получил также способ разделения движений при помощи метода интегральных многообразий (см., например, работы Соболева В.А. (1984, 1991)).
В отличие от использования асимптотики решения краевой задачи, вытекающей из условий оптимальности управления для исходной задачи, второй путь построения асимптотики решения задач с малым параметром, в литературе часто называемый «прямой схемой», заключается в непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения и определении серии задач доя нахождения коэффициентов асимптотики. При таком подходе учитывается вариационная природа исходной задачи. Существенным преимуществом является также возможность доказать невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления.
Для непрерывных задач второй путь построения асимптотики использовался для построения первого приближения в задаче управления нелинейными слабоуправляемыми системами при наличии ограничений на управление типа замкнутых неравенств в статье Черноусько Ф.Л. (1968) и без ограничений на управление в монографии Моисеева Н.Н. «Асимптотические методы нелинейной механики» (1981). Высшие приближения в последней задаче были построены Куриной Г.А. (1995). Заметим, что управление малыми воздействиями встречается в задачах управления космическими аппаратами с малой тягой (электроядерные двигатели, солнечный парус и т.д.), в разнообразных задачах коррекции и в задачах экономики.
Существенное развитие прямая схема получила в работах Белокопытова СВ. и Дмитриева М.Г. (1985, 1986, 1989), посвященных исследованию сингулярно возмущенных непрерывных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений на управление. При этом было построено асимптотическое решение любого порядка точности, доказаны оценки близости асимптотического решения к точному для управления, траектории и функционала, а также установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления. Асимптотическое разложение решения доя непрерывной периодической задачи оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в уравнении состояния построено при помощи прямой схемы Куриной Г.А. и Щекунских С.С. (2005).
Для построения асимптотического разложения решения дискретных задач оптимального управления, также как и в непрерывном случае, используются два подхода: анализ решения на основе построения асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления, и прямая схема.
Первый подход использовался, например, в монографиях Naidu D.S. и Rao A.K. (1985), Naidu D.S. (1988), Gajic Z. и Lim M. (2000) доя решения дискретных сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач с фиксированным левым концом и свободным правым.
Прямая схема применялась Дмитриевым М.Г., Белокопытовым СВ., Гаиповым М.А. (1995) при построении асимптотики погранслойного типа для решения дискретных нелинейных задач управления с малым шагом. Куриной
5
Г.A. (2002) этим методом исследовались задачи оптимального
управления для одного класса дискретных слабоуправляемых систем.
Цель работы. Построить асимптотическое решение для следующих трех типов задач:
нелинейная дискретная сингулярно возмущенная периодическая задача оптимального управления;
нелинейная дискретная сингулярно возмущенная задача оптимального управления в случае, когда для части переменных состояния фиксирован левый конец, а на остальные переменные состояния накладывается условие периодичности;
- дискретная задача оптимального управления для одного класса
слабоуправляемых систем.
Методика исследований. Основным в диссертационной работе является асимптотический метод «прямая схема». В работе также используются методы общей теории оптимального управления и классические методы теории дифференциального исчисления функций многих переменных.
Научная новизна. Для вышеперечисленных трех типов дискретных задач оптимального управления при помощи прямой схемы получены следующие результаты:
доказана однозначная разрешимость возмущенной задачи в окрестности решения вырожденной задачи;
построено асимптотическое разложение решения;
получены оценки близости приближенного решения к точному решению задачи по управлению, траектории и функционалу;
доказано невозрастание значений минимизируемого функционала с каждым последующим асимптотическим приближением оптимального управления.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для построения приближенных решений конкретных дискретных сингулярно возмущенных задач оптимального управления и, в частности, дискретных задач управления слабоуправляемыми системами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях: на семинарах в ВГУ, ВГЛТА (под руководством В.Г. Задорожнего, А.И. Перова, Г.А. Куриной); неоднократно в Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения» (Воронеж, 2003-2006 гг.); на международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (Москва, 2004); на пятнадцатой Крымской осенней математической школе-симпозиуме «Spectral and Evolutionary Problems» (Simferopol, 2005); на 441 IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference ECC 05 (Seville, Spain, 2005).
Проведенные в работе исследования выполнялись при частичной поддержке РФФИ (гранты № 02-01-00351, № 06-01-00296).
Публикации. Результаты, изложенные в диссертации,
опубликованы в работах [1], [5]-[7], [9] автора и в совместных работах [2], [3], [4], [8], [10]. Работы [3], [4], [8], [10] написаны совместно с научным руководителем Г.А. Куриной, которой принадлежат постановки задач и схемы доказательств некоторых теорем. Из совместной работы [2] с А.И. Рудаковой в диссертацию вошли только полученные автором результаты.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пятнадцать параграфов, и библиографического списка из 46 наименований. Общий объем диссертации составляет 112 страниц. Нумерация приводимых в автореферате теорем и условий совпадает с нумерацией, принятой в диссертации.
Формализм построения асимптотики
За последние тридцать лет усилился интерес к сингулярно возмущенным задачам оптимального управления (см., например, обзоры Kokotovic Р.V., O Malley R.E., Sannuti Jr., P. [29], Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. [5], Naidu D.S. [33], Дмитриев М.Г., Курина Г.А. [8] и библиографический указатель [14], составленный Куриной ГЛ., Долгополовой Е.Ю.). Указанные обзоры содержат ссылки на работы, в которых методы сингулярных возмущений использовались для решения практических задач. Сингулярные возмущения связаны как с постановкой задач (малые постоянные времени, моменты инерции, массы, большие коэффициенты усиления и т.п.), так и с методами исследования задач управления (параметры штрафа, регуляризации, аппроксимации импульсов и др.). Из условий оптимальности управления для сингулярно возмущенных задач появляются "жесткие" краевые задачи, численное решение которых вызывает серьезные трудности (большое время счета, неизбежное накопление вычислительных ошибок и др.). В связи с этим возрастает роль асимптотических методов, так как их использование часто позволяет значительно упростить исходную математическую модель, например, пренебречь нелинейностями, произвести декомпозицию исходной задачи на задачи меньшей размерности.
Большинство работ по этой тематике посвящено изучению непрерывных систем, в то время как многие задачи экономики, экологии, социологии, биологии описываются дискретными моделями. Так, например, в монографии Gajic Z., Lim М. [28] исследованы сингулярно возмущенные дискретные модели самолетов F-8 из [27] и F-15 из [27], [36]. В [28] также представлен метод исследования дискретной сингулярно возмущенной задачи, возникающей при моделировании паровой турбины из [31]. Кроме того, дискретные задачи возникают при численной реализации непрерывных задач оптимального управления. Один из возможных способов перехода от дифференциальных уравнений к разностным уравнениям представлен в справочнике по теории автоматического управления под редакцией Красовского А.А. [22]. Общая теория дискретных задач оптимального управления изложена, например, в монографиях Пропоя А.И. [20] и Болтянского В.Г. [3]. С начала 1980-х годов объектом интенсивного изучения становятся дискретные сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Различным классам таких задач посвящены монографии Naidu D.S. [32], Naidu D.S. и Rao А.К. [34], Gajic Z. и Lim M. [28]. Одной из особенностей дискретных задач оптимального управления является их большая размерность, поэтому использование асимптотических методов для их исследования особенно актуально.
В подавляющем большинстве работ, посвященных сингулярно возмущенным задачам оптимального управления, асимптотический анализ решений задач оптимального управления производится на основе асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления. Чаще всего при этом используется метод пограничных функций Васильевой-Вишика-Люстерника (см., например, обзоры Kokotovic P.V., O Malley R.E. Jr., Sannuti P. [29], Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. [5], Saksena V.R., O Reilly J., Kokotovic P.V. [35], Курина Г. A. [9], Naidu D.S. [33], Дмитриев M. Г., Курина Г. A. [8]). Широкое распространение получил также способ разделения движений при помощи метода интегральных многообразий (см., например, работу Соболева В.А. [21]) В отличие от использования асимптотики решения краевой задачи, вытекающей из условий оптимальности управления для исходной задачи, второй путь построения асимптотики решения задач с малым параметром, в литературе часто называемый прямой схемой, заключается в непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения и определении серии задач для нахождения коэффициентов асимптотики. При таком подходе учитывается вариационная природа исходной задачи. Существенным преимуществом является также возможность доказать невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления.
Линейно-квадратичная задача
Для непрерывных задач второй путь построения асимптотики использовался для построения первого приближения в задаче управления нелинейными слабоуправляемыми системами при наличии ограничений на управление типа замкнутых неравенств в работах Черноусько Ф.Л. [23], Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколова Б.Н. [24], Любушина А.А. [16], Первозванского А.А., Гайцгори В.Г. [19] и без ограничений на управление в монографии Моисеева Н.Н. [17]. Высшие приближения в последней задаче были построены Куриной Г.А. [10]. Заметим, что управление малыми воздействиями встречается в задачах управления космическими аппаратами с малой тягой (электроядерные двигатели, солнечный парус и т.д.), в разнообразных задачах коррекции и в задачах экономики. Важные примеры задач управления малыми воздействиями приведены в [16, 23,24].
Существенное развитие прямая схема получила в работах Белокопытова СВ., Дмитриева М.Г. [1], [2], [25], посвященных исследованию сингулярно возмущенных непрерывных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений на управление вида т Js (и) = G(x(T\y(T)) + \F(x,y,uj)dt - min, о dx/dt-f(x,y,uj), х(0) = х, sdy/dt = g(x,y,u,t), у(0) = у, х = х{і)єК\у = у )єКт,и = и(т)єКґ. Было построено асимптотическое решение погранслойного типа любого порядка точности, доказаны оценки близости асимптотического решения к точному для управления, траектории и функционала, а также установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления. При помощи прямой схемы в работе Куриной Г.А., Щекунских С.С. [15] (см. также [30]) построено асимптотическое разложение решения погранслойного типа для непрерывной периодической задачи оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в уравнении состояния вида т J{u)- F(x,u,t,s)dt- тіл, {A + sB)dx I dt = f(x, a, t, є% x(0) = x(T), где функции F, f и управление и = u(t) являются Т-периодическими по t функциями, оператор А вырожден и В - жордановы цепочки оператора А имеют одинаковую длину.
Для построения асимптотического разложения решения дискретных задач оптимального управления, также как и в непрерывном случае, используются два подхода: анализ решения на основе построения асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления, и прямая схема.
Первый подход использовался, например, в монографиях Naidu D.S. и Rao А.К. [34], Naidu D.S. [32] для дискретной сингулярно возмущенной линейно-квадратичной задачи вида 1 , \N , Je(и) = -z (N)Fz(N) + - (г (k)Wz(k) + и (k)Ru(k)) - min, 2 2 =0 и А+1), + х{к+\)Л (Ax єА2)(х(к)) (ВЛ \J 2) А 4АУ(к)) u(k), х(0) = х\уф) = у\ z (k) = (x (к),єу (А)) (здесь и далее штрих означает транспонирование). Прямая схема применялась в работах Гаипова М.А. [6], Дмитриева М.Г., Белокопытова СВ., Гаипова М.А. [7] при построении асимптотики погранслойного типа для решения дискретной нелинейной задачи с малым шагом вида AM J (и) = G(x(T)) + є (х{кє),и(кє),кє) - min, x(t + є) = Дх(ґ), ы(0,0= х(0) = х, meteTe={t:t = k, к = CUV i), Г = Ns.
Куриной Г.А. при помощи прямой схемы в [13] исследовался дискретный аналог задачи оптимального управления для слабоуправляемых систем из [17]. Целью данной диссертационной работы является построение асимптотических разложений решений дискретных задач оптимального управления следующих трех типов: - нелинейная дискретная сингулярно возмущенная периодическая задача оптимального управления; - нелинейная дискретная сингулярно возмущенная задача оптимального управления в случае условия периодичности на одну из компонент переменной состояния и фиксированного левого конца для другой компоненты переменной состояния; - дискретная задача оптимального управления для одного класса слабоуправляемых систем.
Формализм построения асимптотики
Прямая схема является основным методом в данной диссертационной работе. В работе также используются методы общей теории оптимального управления и классические методы теории дифференциального исчисления функций многих переменных. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 46 наименований. Во введении представлен краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, и дано краткое описание диссертации по главам. В первой главе при помощи прямой схемы строится асимптотическое разложение решения нелинейной дискретной сингулярно возмущенной периодической задачи оптимального управления вида /V—1 Ps :Js{u)= Рк{у{к\я{к\и{к)) тт, к=о Ak + D = fk(y{k)Mk),mi (Л) ( +1) = ёк У(к),sz(k),и{к)\ к = 0,N-l, y(0) = y(N),z(0) = z(N), где у(к) =Лщ, z(k) Rni {k = 0Jf) u(k)eRr (k = 0,N-\)t Fk- скалярные функции, fk- функции со значениями в J?"1, gk функции со значениями в R"2, 0 -малый параметр, число шагов N фиксировано, функции Fk, fk Sk предполагаются достаточное число раз непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам.
Особенность такой постановки задачи заключается в том, что условия периодичности для переменных состояния позволяют избежать появления погранфункций в асимптотике решения, так как не происходит потери дополнительных условий при переходе к вырожденной задаче. Теорема 1.1. Уравнения системы для состояния, управления и сопряженной переменной, полученные с помощью необходимого условия оптимальности управления для задачи Рп, п 0, совпадают с уравнениями для уп, zn, ип, рп, qn из асимптотики (0.2), (0.5) решения задачи (0.4), полученной из условия оптимальности управления для задачи Р . О Построен алгоритм для нахождения коэффициентов разложения (0.2), который основан на следующей теореме. Теорема 1.2. Коэффициент 32т-\ разложения (0.3) известен после решения задач Р} (f-0,m-l, т \), из которых находятся у(, zs, и-г Преобразованное выражение для коэффициента J2m после отбрасывания членов, известных после решения задач Pl (i=0,m-l, т \\ совпадает с критерием качества Jm{um) в задаче Рт. Доказана однозначная разрешимость возмущенной задачи Р в О окрестности решения вырожденной задачи, а также получены оценки близости приближенного решения п я n /=0 /=0 /=0 к точному решению задачи. В диссертации этот результат сформулирован в виде следующей теоремы. Теорема 1.3о При условиях 1.1-1.4 и достаточно малых є 0 задача РЕ однозначно разрешима в окрестности управления щ и для её решения и , у , z справедливы следующие оценки и\к) ип{к) = 0( \ у\к)-уп{к) = 0(єп% z\k) n(k)=0(s"+]), Js{u)-J{un) = 0(sb 2). Доказано невозрастание значений минимизируемого функционала с каждым последующим асимптотическим приближением оптимального управления. Теорема 1.4. При условиях 1.1-1.4 и достаточно малых є 0 справедливы неравенства Js{ui) Js(ii li = ln, (0.6) і где її} - 6JUj, при її; Ф 0 в (0.6) имеет место знак строгого неравенства. у=о В этой главе также содержатся иллюстрирующие примеры. Во второй главе при помощи прямой схемы строится асимптотическое разложение решения дискретной сингулярно возмущенной задачи оптимального управления следующего вида Р : Зе (и) = FN (y(N)) + 5 (у(к), z{k)jA{k)) - min, y(k + \) = fk(y(k\z(k)Mk)), (0.7) sz{k+l) = gk(y(klz(k)Mk)l k OJ l, y(0) = y,z(p) = z(N), где у(к)еК"], z(k)eR"2 (k = 0,N),u(k)eRr (k = 0,N-1), Fk - скалярные функции, fk- функции со значениями в R"1, gk - функции со значениями в R"2, є 0 - малый параметр, число шагов N фиксировано, у фиксированный вектор из пространства R"1 . Функции Fk, fk, gk предполагаются достаточное число раз непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам.
Формализм построения асимптотики
Условие периодичности для переменной z позволяет избежать появления погранфункций в асимптотическом разложении решения возмущенной задачи, так как при переходе к вырожденной задаче не происходит потери дополнительных условий. Вырожденная задача имеет вид y(0) = y\z(0) = z(N). Предполагается, что выполнены следующие условия. Условие 2.1. Система 0= gk(y(k),z(k),u(k)\ k = 0,N-l, однозначно разрешима относительно z(k) при любых и (к), у(к), к = О, N -1. Условие 2.2. Задача Р имеет единственное решение yQ, z0, uQ. С учетом условия 2.1 задачу Р можно преобразовать в задачу оптимального управления с управлением и и состоянием у, то есть в задачу с переменной состояния меньшей размерности, чем в исходной возмущенной задаче. Решение задачи (0.7) ищется в виде рядов (0.2). В результате подстановки соотношений (0.2) в задачу (0.7) после некоторых преобразований получаем, что минимизируемый функционал записывается в виде ряда (0.3), а коэффициенты разложения (0.2) удовлетворяют следующим соотношениям -,( + 1) = (1 /( ) + ( ) ,(4) + ( ) :( ) + 1/,4==0 -1,7 1, Ы0) = /, /(0) = 0, у 1, z,.(0) = ,(#) 7 0, где черта сверху означает, что значения соответствующих функций и их производных вычисляются при у(к) = yQ (к), z(k) = z0 (4), и(к) - uQ (к), волна сверху означает, что значения функции вычисляются при Лк) = уи (к) = 1 л( ) 4 ) = уч ( ) = Х 4( ), «( ) = " н ( ) - I Ч-( ), i=0 /=0 /=0 [Л]; ПЫ/ коэффициенты при єу в разложении значений функций fk, gk в ряд по целым неотрицательным степеням малого параметра є.
Теорема 2.2. Коэффициент J2m-\ в разложении (0.3) известен после решения задач Pt (/ = 0,m-l, т 1), из которых находятся у[} zjt и,. Преобразованное выражение для коэффициента J2m после отбрасывания членов, известных после решения задач Pi (і - 0, т -1, т 1), совпадает с критерием качества Jт (и,„) в задаче Рт. Доказана однозначная разрешимость возмущенной задачи РЕ в окрестности решения вырожденной задачи, получены оценки близости приближенного решения /=0 /=0 /=0 к точному решению задачи по управлению, траектории и функционалу, а также установлено невозрастание значений минимизируемого функционала с каждым последующим асимптотическим приближением оптимального управления. Эти результаты в диссертации сформулированы в виде следующих двух теорем.
При условиях 3.1, 3.2 и достаточно малых є 0 задача РЕ однозначно разрешима в окрестности управления щ и для её решения и , х справедливы следующие оценки и (к)-їіп(к) = 0(є"м), х(к)-хр+!1(к) = 0(єр+п+1), J{i:)-Je(un) = 0(s2 ). Доказано невозрастание значений функционала с каждым последующим приближением оптимального управления. Теорема 3.4. При условиях 3.1, 3.2 и достаточно малых 0 справедливы неравенства Je(«i) J,(i-i)» =U (0.14) і где иї YJSJUJ , при иі Ф 0 в (0.14) имеет место знак строгого неравенства. В конце главы приведен иллюстрирующий пример. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях: на семинарах в ВГУ, ВГЛТА (под руководством В.Г, Задорожиего, А.И. Перова, Г.А. Куриной); неоднократно в Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения» (3-9 мая 2003-2006 гг., Воронеж, ВГУ); на международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (Москва, 23-25 июня, 2004); на пятнадцатой Крымской осенней математической школе-симпозиуме «Spectral and Evolutionary Problems» (Simferopol, 17-29 сентября, 2005); на 44th IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference ECC 05 (Seville, Spain, December 12-15, 2005), Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [40], [42]-[45] автора и в совместных работах [37]-[39]; [41], [46]. Работы [37]-[39], [46] написаны совместно с научным руководителем Г.А. Куриной, которой принадлежат постановки задач и схемы доказательств некоторых теорем. Из совместной работы [41] с А.И. Рудаковой в диссертацию вошли только полученные автором результаты.
Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Галине Алексеевне Куриной за постановку задач, полезные рекомендации и постоянное внимание к работе.
