Содержание к диссертации
Введение
1 Элементы бифуркационного анализа фредгольмовых уравнений 23
1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях 23
1.2 Схема Ляпунова - Шмидта 25
1.3 Конечномерные уравнения, как конечномерные усечения фредгольмовых уравнений 28
1.4 Дискриминантные множества (бифуркационные диаграммы) 31
1.5 Отображение в регулярной точке 31
1.6 Контактные преобразования и версальные деформации особенностей фредгольмовых отображений 33
1.7 Элементы теории G—пространств, слабо гладкая круговая симметрия 37
2 Фредгольмовы уравнения с круговой симметрией 40
2.1 Действие окружности на ядре фредгольмова отображения 40
2.2 Ключевое отображение 43
2.3 Алгоритм вычисления ключевого уравнения 44
2.4 Алгебраическое уравнение в R4 с круговой симметрией и резонансным вырождением типа 1:2 46
2.4.1 Переход к приведенному уравнению 53
2.4.2 Нормализованное приведенное уравнение 55
2.4.3 Параметризация дискриминантного множества . 57
2.4.4 Случай резонансов р : q, \р\ + \q\ > 4 62
2.4.5 Резонанс 1:1 64
3 Анализ и вычисление амплитуд бифурцирующих перио дических решений дифференциальных уравнений 67
3.1 Бифуркации циклов из сложного фокуса 67
3.1.1 Случай 4-мерной динамической системы 69
3.1.2 Случай п-мерной динамической системы 73
3.2 Замечания о возможности исследования устойчивости бифурцирующих циклов 77
3.3 Система гидродинамического типа с нелинейной вязкостью и трением 79
3.4 Двухмодовые бифуркации периодических волновых решений уравнения 4-го порядка 91
3.5 Приложения 95
Список литературы 95
- Конечномерные уравнения, как конечномерные усечения фредгольмовых уравнений
- Контактные преобразования и версальные деформации особенностей фредгольмовых отображений
- Алгоритм вычисления ключевого уравнения
- Случай 4-мерной динамической системы
Введение к работе
Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования периодических решений дифференциальных уравнений и изучением их свойств. Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Дж. Биркгофа, А.А. Андронова и Э. Хопфа и др.
Несмотря на значительные достижения в развитии теории бифуркаций периодических решений дифференциальных уравнений, многие ее задачи остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения системы вблизи вырожденной точки покоя при наличии сильных резонансов. Мало разработано алгоритмов приближенного построения и качественного анализа периодических решений, бифурцирующих из сложного фокуса динамической системы в ситуации многомодового вырождения. Системы с такими особенностями появляются в радиофизике (при исследовании автоколебаний в RC-генераторах), в реальных моделях экономики, популяци-оныой динамики, химической кинетики и других разделах современного естествознания.
Среди наиболее часто используемых в наше время методов исследования бифурцирующих решений выделяется метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно и др.) и метод Ляпунова-Шмидта с его многочисленными модификациями. Многие разработки в области конструктивного анализа задач такого типа основаны на идее усреднения (Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, A.M. Самойленко, Б.И. Мосеенков, Е.А. Гребеников, Ю.А.Рябов, М.Н.Киоса, С.В.Миронов, В.Г.Задорожний и др.). Большинство созданных на этой
идее подходов достаточно эффективно работает лишь в случаях систем стандартного вида. Задача же приведения произвольного уравнения к стандартному виду, вообще говоря, не тривиальна. В настоящее время нет универсальных алгоритмов ее решения. И даже для уравнений стандартного вида трудно признать полностью завершенной конструктивную теорию бифурцирующих циклов.
Алгоритмы, основанные на применении теоремы Плисса - Кэли о центральном подмногообразии с последующими нормализациями и огрублениями уравнения, суженного на центральное подмногообразие, также не являются универсальными, так как основаны на некоторых упрощающих предположениях.
Таким образом, при наличии большого числа работ по изучению зарождения периодических волн, вихревых структр и циклов динамических систем вблизи сложного фокуса (см., например, [4], [30], [38], [20] и литературу в этих источниках) поиск алгоритмов, эффективных в построении и анализе ветвящихся периодических решений дифференциальных уравнений, остается по-прежнему актуальной задачей.
В данной диссертации изложена процедура приближенного вычисления и анализа ветвления периодических решений ДУ, развивающая и дополняющая вычислительные схемы, опубликованные в [33], [9]. Методологическую основу предлагаемой вычислительной процедуры составляют теория гладких 50(2)—эквивариатных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах.
При рассмотрении дифференциальных уравнений с большим числом параметров зачастую точные или приближенные формулы решений не дают полного представления о происходящих бифуркациях. Картина предстает намного более полной и ясной, когда результат анализа решений дополнен анализом дискриминантного множества (совокупности
значений параметров, при которых существуют вырожденные решения и при переходе через которые изменяется состав решений). Дискриминант-ное множество делит пространство управляющих параметров на ячейки, каждой из которых соотвествует состав решений, неизменный по количеству и качеству (при вариациях параметров вдоль ячеек). Изложенная в
диссертации процедура позволяет решать в том числе и задачу дискри-
» минантного анализа параметрических семейств периодических решений.
В работе использована трактовка дифференциальных уравнений в виде операторного уравнения
/л W = Ь, wE, be F, (1)
в котором f\ — гладкое фредгольмово отображение (с параметром) банахова пространства Е в банахово пространство F. Решение такой задачи осуществляется переходом (редукцией) к конечномерному уравнению
Ш = А Є М, PeN, (2)
в котором #д(0 = ^-1 (/л(<>()); М и N — области в Шп, <р и ф — гладкие вложения М и N в Е и F соответственно. Идея исследования нелинейных систем посредством сведения к конечномерному алгебраическому уравнению применялась многими специалистами по анализу нелинейных краевых задач (см. работы М.А. Красносельского, П.П. Забрейко, М.М. Вайнберга, В.А. Треногина, Н.А. Сидорова, Б.В. Логинова, J.E. Marsden и др., координаты которых имеются, например, в обзоре [17]). Эта же идея использована в настоящей диссертации.
Проблематика диссертации сгруппирована вокруг уравнений с круговой симметрией. Уравнения с круговой, бикруговой и поликруговой симметриями изучались в работах Б.В.Логинова, В.Г. Звягина, В. Крав-цевича, Ю.И. Сапронова, В.А. Смольянова, А.В. Гнездилова, Е.В. Ла-дыкиной и др.
Разнообразным вопросам анализа дифференциальных уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (см. монографии и статьи Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, П. Олвера, A.M. Виноградова (с соавторами), В.Ф. Зайцева, А.Т. Фоменко, В.А. Треногина, Б.В. Логинова и др. [15], [18], [27], [28], [37]). Ряд аспектов теории вариационных и общих операторных уравнений с групповой симметрией развивался при непосредственном воздействии эквивариантнои теории Морса (А.Т. Фоменко, В.В. Шарко и др.) и теории ветвления решений нелинейных эквивариантных уравнений (J.E. Marsden, Н.А. Бобылев, Б.В. Логинов, В.А. Треногий, З.И. Баланов и др.).
Цель работы и основные задачи. Основные научные результаты данной диссертации допускают абстрактную формулировку в терминах фредгольмова уравнения со слабой круговой симметрией, рассмотренного вблизи (порождающей) особой точки с четырехмерным вырождением. Центральная конструктивная идея диссертации — сведение (редукция) задачи об изучении решений уравнения (1) (в условиях круговой симметрии) к аналогичной задаче для конечномерного алгебраического уравнения (ключевого уравнения) (2) с его последующим качественно-численным анализом. Цель работы — реализация этой идеи в задаче резонансного циклогенеза.
К главным составляющим основной задачи отнесены: 1) описание алгебраической структуры главной части ключевого уравнения, 2) описание геометрической структуры дискриминантного множества уравнения (1), 3) описание раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к Е), 4) приближенное построение амплитуд ветвей бифурцирующих периодических решений.
В диссертации предложено решение основной задачи для класса динамических систем, включающего в себя автономные системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений, системы гидродинамиеского типа, уравнения колебаний упругой балки на упругом основании и др.
Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных уравнений, современного анализа гладких отображений и теории инвариантов. Методологическая основа — схема Ляпунова-Шмидта, рассмотренная в рамках общей теории гладких 0(2)-эквивариантных фредгольмовых уравнений (в бесконечномерных банаховых пространствах).
Материал диссертации развивает и дополняет более ранние результаты исследований Б.М. Даринского, Ю.И. Сапронова, В.А. Смольяпова и Е.В. Ладыкиной [33], [9], [12].
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
Дано описание алгебраических структур главных частей ключевых отображений для класса динамических систем, включающего в себя уравнения колебаний упругой балки, автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений и системы гидродинамиеского типа.
Разработаны и обоснованы алгоритмы приближенного вычисления амплитуд периодических решений, бифурцирующих из точек покоя при наличии резонансов.
Разработан и апробирован алгоритм приближенного вычисления параметризаций трехмерных сечений дискриминантных множеств (для задачи о периодических решениях ДУ).
Проведено вычисление асимптотик амплитуд резонансно бифурцирующих циклов автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы гидродинамического типа и уравнения колебаний
упругой балки на упругом основании.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых уравнений в бифуркационном анализе циклов динамических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов.
Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2006 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург, 2007, 2008 гг.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ, на семинаре по глобальному и стохастическому анализу (ВГУ, рук. — проф. Ю.Е. Гликлих) и на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук — проф. В.А. Костин).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В статьях, написанных с соавторами ([52], [53], [57], [58], [59]), соавторам принадлежат лишь постановки отдельных задач и разбор отдельных примеров. Статья [59] входит в "перечень ВАК".
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 61 наименований. Общий объем диссертации — 106 стр.
Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (4 рисунка), выполненной в среде Maple.
Содержание работы.
В первой главе изложены основы бифуркационного анализа колеба-телных и волновых процессов посредством формализма фредгольмовых уравнений, дано краткое описание необходимых элементов теории фредгольмовых уравнений.
Во второй главе изложены результаты бифуркационного анализа фредгольмовых уравнений с круговой симметрией, изложен алгоритм построения амплитуд бифурцирующих решений.
Рассмотрены банаховы пространства Е, F и гильбертово пространство Я такие, что Е непрерывно вложено в F, F непрерывно вложено в Я, и семейство фредгольмовых отображений нулевого индекса / : Е х Жт —» F, гладкое по совокупности переменных, представленное в виде
Л(е)х + В(х, х, є) + С(х, х, х, є) + о(||^|||;),
где Л{е) — гладкое семейство линейных фредгольмовых операторов нулевого индекса, В, С — квадратичный и кубический операторы.
Предполагается что, задан слабо гладкий гомоморфизм Т : SO(2) —> 0(H) — из группы SO'(2) в группу ортогональных линейных преобразований гильбертова пространства Я (его непрерывность не предполагается) 1. Гомоморфизм Т задает ортогональное действие на пространстве Я:
GxH—>Я, (д,х)\—>у = Тд{х) V(g,x)eGxH.
Предполагается, что Е и F инвариантны, а / эквивариантно относительно данного действия:
Тд(Е)сЕ, Tg(F)cF, f{Tg{-),e) = Tg{f{-,e)) Vє Є Шт.
1 Слабая гладкость означает, что индуцированное действие 50(2) на любом конечномерном инвариантном подпространстве N С Н является гладким.
Из эквивариантности / следует эквивариантность его производной (в
имеет следую-
нуле) А(є) = а(0,є) и инвариантность подпространства N := Кег Л(0). Пусть Е = NR*, F = NR, dimN = 4, A(e)(N) С N, A(e)(R*) С R. Предполагается, что в N задан базис {еі, е2, єз, Є4} (не зависящий от є), в котором матрица А±(е) оператора Аа(є) '= А(є) щий вид:
\
( сц(є) -/ (є) О О
/?і(є) аі(є) О О
О 0 а2(е) -/32(e)
\ 0 0 &(є) а2(є) J
Собственные значения матрицы Aj(e) суть следующие комплексные числа:
Аі = с*і(є) ± г/?і(є); А2 = аг(е) ± г/% (є).
В диссертации всюду требуется выполнение условия регулярности в нуле для отображения
є і—> І «і (є), /?і(є), а2(є), /^)
означающего, что ранг матрицы Якоби этого отображения в нуле равен четырем.
Пусть V : Е —> Л/", Q = X—"Р — ортопроекторы (в Н). В соответствии с методом Ляпунова-Шмидта, исходное операторное уравнение f(x, є) = О записывается в виде системы двух уравнений
/(4)(u + v,e) = О,
/(oo-4)(w + V,e) = О,
и = Vx, v = Qx,
/(4)(ж,є) := Vf(x,e), /(00-4)(ж, є) := Qf(x,e).
Из второго уравнения этой системы следует, в силу теоремы о неявной функции, существование зависимости v = Ф(и,є) = Ф(, є), = и 2. Отображение Ф называется редуцирующим.
Лемма 1. Имеет место следующее соотношение: Ф(, є) — о()-
После перехода к ключевому уравнению
0(,е) := е^К,е) + в(2)(Є,е) + 0(3>(,є) + о(||3) = О, где
рассмотрено, с целью его анализа, общее алгебраическое отображение с круговой симметрией 0 : М4 —> R4:
Є() = (ЄіЮ,Є2Й),ЄзК),Є4(Є))т,
fc к = $$, к = (къ /с2, /сз, fc4), Л,- Є Z+, |/с| = Ал + к2 + /с3 + кА.
Кругвая симметрия приводит к коммутируемости 0 со стандартным
действием окружности (группы SO (2)) на R4), заданным соответствием
Т : {ехр(гу?), z] \— (exp(pup)zi, exp(qi(p)z2)T (3)
(вектор ^ЄІ4 тождествлен с комплексным вектором z = (z\, z2)T Є С2, 2і = і + г^2, ^2 = з + г^), HOD(p, q) = 1 (симметрия типа р : g).
Теорема 1. Для гладкого отображения 0; удовлетворяющего условию круговой симметрии типа 1:2, имеет место следующее представление:
(
«і -ft 0 0 \ /ЧЛ
+
\
/Зі оц О О О 0 а2 -/ О 0 / а2 J
2Символом л обозначается "снятие" координат с вектора и N
/
\
/
66 + 66
\
аг -bi О 0
й - е2
о о
—С/{Х\ — d^X2 C3Z1 + d3X2 J
bi аг О 0
+
+
0 0 a2 -62
/
0 0 b2 a2 j
/
\
б б
C\X\ + diT2 -c2Xi — d2X2 0
+
+
c2Ii + ^2 C1X1 + diT2 0
О О С3Ї1 + d3X2
\
О О C4X1 + d^X2
+o(KI4) = 0,
где 2i,^2,^3, — образующая система инвариантов.
Коэффициенты а*, /?і, Щ, ^, q, ( в представлении отображения G, указанном в теореме, явно выражаются через "операторные коэффициенты" /(х,є).
Теорема 3. Для отобраоюенил Q, эквивариантного относительно действия типа 1:3, имеет место следующее представление:
+
+
\6/
+
+ОШІ4) = о,
где Ті,І2,Тз,І4 — образующая система инвариантов.
Коэффициенты аг-, Pi, CLi, 6j, сг, ( в представлении отображения 0, указанном в теореме, явно выражаются через "операторные коэффициенты" f(x,s).
Уравнение 0(0 = 0 заменено уравнением 0(0 = О,
в(0 = (^(0, ё2(0,вз(0,в4К))т,
в котором компоненты Qj представляют собой следующие скалярные произведения:
i(0 := ((О, *i), 02(О := (9(0,1),
з(0 := (9(0,), 4(0 := ((О, Ы ,
*1 := Кь 6,0, 0)т, wi := (-6, &, О, 0)т,
*2 := (0, 0, &, &)т, ^2 := (0,0, -&, 3)Т-
Функции 0 являются инвариантами. Более того, для них имеют место следующие представления:
Єї (О = aiJs - hi* + («і + Cili + diX2) Jx + о(|Є|4), 2(0 = № + а& + (А + сйТі + d2l2) Тх + о(||4), 03(О = а21з - Ь2Та + («2 + с3^і + dzX2)Х2 + о(||4), 4(0 = № + a2J4 + (/ + C4Z1 + /4) + о(|Є|4)-Перейдя к комплексным переменным, получим соотношения
01 + гв2 = щ ( + ъХА) +Хг (Лі + «А + гиїЗз) + о(||4), где Ai := «і + г/?і, и\ := аі + г&і, v\ := Сі + гс2, гиі := di + ггіг, и 0з + г04 = и2 ( + гХ4) + ^2 (А2 + ^2 + w2X2) + о(||4),
где Л2 := а2 + г/?2, и2 := а2 4- ib2, v2 := с3 + гс4, u>2 := /3 + id*. Из системы двух уравнений (с комплексными коэффициентами)
Єі + гЄ2 = 03 + гв4 = О
получим
2з + гХ4 = ~Щ% (Лі + угХг + ^) + о(||4)
и .
п2Хі (Лі + v{Ii + г^ііг) - щХ2 (Л2 + и22і + w2X2) + о(||4) = 0.
Сгруппировав в последнем соотношении подобные слагаемые, получим приведенное уравнение
1ИХХ + [12Х2 + АХ\ + 2ВХ{Х2 + СХ\ + о(||4) = 0, (4)
\l\ — Щ.\\, fJ,2 = —ЩХ2, А = «2^1, В = —UiW2: С = W2^l — ^1^2-
Из этих уравнений можно находить соотношения между амплитудными, угловыми (фазовыми) переменными и параметрами (например, в теории колебаний — зависимость между амплитудой и периодом колебания), определять количество бифурцирующих решений и вычислять асимптотические представления для амплитудных переменных.
Переход к приведенному уравнению не приводит (при щ ф 0 и и2 ф 0) к потере решний и поялению новых решений. Выигрыш от перехода состоит в том, что главная часть ключевого уравнения заменяется на явную зависимость Хз,Х4 от ХХ:Х2 и систему двух скалярных уравнений относительно Xi,X2. Причем степени полиномов в левых частях этих уравнений равны 2. На основе этой системы легко осуществить дискри-минантный анализ.
В случае общего положения, приведенное уравнение можно представить, после овеществления и соответствующих преобразований перемен-
ных, в виде системы уравнений (для резонанса 1:2)
УІ±УІ + 5iyi + 52у2 = О, У\У2 + hyi + %2 = О,
левая часть которой представляет собой нормальную форму минивер-сальной деформации омбилической особенности (гиперболического или, соответственно, эллиптического типа — в зависимости от знака перед у\ в первом уравнении) относительно контактных преобразований [1] векторных полей вида
%) — А(уЩ<р(у)), <р(0)) = О
{А(у) — гладкий пучок обратимых матриц, <р — локальный диффеоморфизм) . В гиперболическом случае дискриминантное множество Е допускает (теорема 2) параметризацию
5i =rcos(V>)> ^2 = rsm(ifj):
г ( 3 1 \
1 — cos((/? — ф) \ 4 4
5A =
* / 3 1'
cos(?/;)(l —cos(y?-H/>)+cos(2<>)) — - cos(
sin(^) (l+cos()—cos(2) — - sin(3y?) ),
1 — cos(
Дополнение Q, = К4 \ E является объединением четырех открытых попарно непересекающихся подмножеств
fi-^UO^U ^4 1 U ^4
таких, что: при 6 Є ЄЦ1 имеется два (регулярных) решения (их топологические индексы противоположны по знаку) и при этом топологический индекс нулевого решения равен — 1; при 6 Є Sl\ система приведенных
уравнений имеет лишь одно ненулевое решение и топологический индекс нуля равен 1; при 5 Є 1^1 имеется четыре решения: два из них индекса —1 (включая нулевое) и два — индекса 1; при д Є 1\ имеется четыре решения, из которых два индекса 1 (включая нулевое) и два — индекса -1.
Аналогичное разбиение пространства параметров имеет место и в эллиптическом случае, с учетом, что сумма топологических индексов всех решений равна 2.
В случае слабого резонанса р : q (|р| + \q\ > 5) вычисления существенно упрощаются, так как вторая пара образующих инвариантов hi -А приобретает порядок выше четвертого и, следовательно, не оказывает влияния на формирование главной части приведенного уравнения.
В третьей главе сформулированы аналоги теорем 1,3 о структуре ключевых отображений для конкретных типов динамических систем (теоремы 5,6,8,9) и описана процедура вычисления амплитуд бифурцирую-щих периодических решений дифференциальных уравнений.
Первый пример — система обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью
х = Х(х,е), хЄШп, є Є Ж3,
при условии, что Х(0, є) = 0 и две пары комплексно сопряженных точек
Аі(е)Ді(є), Лі (є), Лі (є)
спектра матрицы
трансверсалыю пересекают мнимую ось с резонансом (остальная часть спектра находится при всех рассматриваемых значениях є внутри левой комплексной полуплоскости).
Такое пересечение мнимой оси описывается системой равенств ReAi(0)=0, ReA2(0) = 0, ImAi(O) = w1} ImA2(0)=a;2,
qcji=pcj2 p.qeZ, HOD(p,q) = l.
Предполагается выполнние условия трансверсальности:
, , d(ReAbRe,A2,k)
det я? \ "Г >
к(є) =qlm (Аі(є)) - p Im (А2(є)), ш = — = —.
P q
От исходного уравнения делается переход к операторному уравнению:
/(s,e)=0,
в котором х = x(t) принадлежит банахову пространству П^ — непрерывно дифференцируемых Т — периодических функций, / — фредгольмово отображение:
/(-, є) : x(t) —- y(t), y(t) = x(t) - X(x(t), є),
действующее из Пу в банахово пространство П^ — непрерывных Т -периодических функций.
Посредством схемы Ляпунова-Шмидта это уравнение сводится к уравнению
9(0 = 0, єК4
с круговой симметрией.
Второй пример — динамическая система с квадратично-кубической нелинойстью из класса "систем гидродинамического типа" [26], [2].
Рассмотривается обобщенное двумерное уравнение Навье-Стокса [2], [36]
v + -- v = i/A(y) + fj,v + cgrad (Р) + ХВ I ^, ^ J (5)
(A — двумерный лапласиан) с условием несжимаемости
div(v) = 0 (6)
на координатной плоскости. Предполагается, что кроме традиционного вектора силы вязкости vA(v) уравнение содержит вектор дополнительных сил торможения цу и упругой вязкости АБ(|^, |^) [14], [2]. При этом (см. [14])
fdv d2v\ 1
где D = (la- "^ Іе ) ~ тензор скоростей деформации, d = det D.
Рассмотрены решения, периодические по Х\)Х2 (случай уравнения на плоском торе). Поиск решение в виде
v := sgradW = (-g , g) ,
где ф — вихревая функция, приводит, после применения двумерного ротора, к скалярному уравнению
Л(ф) = [А(ф), ф] + „А\ф) + »А(ф) + В (g, g, g) , (7)
где [ф, (f\ — якобиан функций ф, (р.
Посредством одной из процедур дискретизации по пространственным переменным (например, разностной аппроксимацией или специальным галеркинским приближением [36], [26], [2]) получается обобщенная конечномерная система гидродинамического типа
w = A(w) + [Mw,w] + B(w,w,w), w Є Шп,
в которой М — симметричная матрица; матрица А, вообще говоря, не является симметричной (ее спектр может содержать комплексные числа
с ненулевыми мнимыми частями), [,] — кососимметрическая билинейная операция, часто задающая структуру алгебры Ли на Mn, B(w, го, w) — некоторое кубическое отображение.
В случае галеркинской аппроксимации по базисной системе
с\ = 2cos(:ri), с2 = 2cos(#2), С3 = 2cos(:ei -\-х2),
si = 2sin(a;i), s2 = 2sin(x2), s3 = 2sin(a;i + x2), получается (теорема 7) динамическая система
w = Aw + B(w,w) + C(w,w,w), w Є R6,
(8)
в которой
' -<*i p + Єї -p - єі -Si
—61 q + s2
-q - e2 -Si
0 0
0 0 0 0 p + q + О(є) -S2
\
A =
\
(р + д) + 0(є)
\
(
W3W5 - W4WQ
-W^Wq — W4W5
B(w,w) =
—WiW5 + W2Wq
WiWq + W2W5
)
\
5i= V — [A, S2 — 2v — Li.
Коэффициенты C(w,w,w) допускают явное представление. Параметры Єї, є2 появляются за счет малых "шевелений" периодов по переменным Х\, х2.
Анализ этого уравнения по схеме Ляпунова-Шмидта при значениях
параметров 5, є, близких к нулю, дает простанство мод .
Of N :=" КеГ ~dz^ = Spanc^92,g^9A} ,
где 9l = {cos(pt): -sin(pi), 0, 0, 0, 0)T, g2 = (sin(pi), cos(pt), 0, 0, 0, 0)T,
g3 = (0, 0, cos(gi), -sin(ctf), 0, 0)T, gA = (0, 0, sin(gi), cos(g*), 0, 0)T.
В диссертации описана структура кючевого уравнения и соответствующего ему приведенного уравнения, на основе которого осуществлен вывод формул асимптотического вычисления амплитуд бифурцирующих циклов.
Третий пример — простейшее нелинейное скалярное уравнение из класса уранений Соболевского типа [34]:
дАи д2и , д2и ди о
dt2dx2 dt2 дх2 дх Поиск периодических волновых решений в виде и = w(kx — Lot) (v = j — скорость распространения волны) приводит, после подходящих масштабирующих преобразований, к уравнению
d4w d2w dw о
-^-т + ^2^-у + є-5- + «і + w = 0
дат cte2 ох
(параметр є считается малым). В итоге получается задача построения
периодического решения ОДУ четвертого порядка.
Такое же уравнение получается в случае задачи о волновых движениях упругой балки на упругом основании [13].
Если рассмотреть бифурцирующие волновые решения, допускающие представление
w(x, t) = п sm(py + (pi) + r2 sm{qy + <рг) + о(гъ r2),
+ а^-г + 6-^- + с^— + du + и6 = 0.
у = к x—uj , р, q Є Ті, НОД (р, g) = 1, то получим совокупность решений, в пределах которого реализуется большое разнообразие профилей и "скоростных" свойств изучаемых волн.
Изучение решений (вблизи нуля) уравнения f(w) = 0, при локализации параметров
«2 = 5 + ^i, «і = 4 + 62,
осуществлено через редукцию Ляпунова - Шмидта в пространство ключевых координат k = (w, є*;), где {е&} — набор мод бифуркации, к < 4, е\ — \/2cos(a;), е2 = \/2sin(a;), ез = \/2cos(2a;), Є4 = \/2sin(2a;).
Гомоморфизм T : G —> О(Н) группы G = SO (2) в группу ортогональных линейных преобразований гильбертова пространства Я, заданный соотношением
Tg(w)(x) =w(x + (p)
(ip — каноническая координата элемента д Є SO(2), д = (gi3), д\\ = gi2 — cos(<^), ^21 = —912 = sin(^)), определяет слабо гладкое ортогональное действие
G х Я — Я, (р,ги) .—> у = Tg{w) V{g,w) Є G x Я.
Пространства 7, F инвариантны относительно данного действия. Ключевое отображение эквивариантно относительно индуцированного полусвободного действия SO(2) в пространстве ключевых параметров R4. Следовательно, к нему применимы все утверждения и выводы второй главы.
Конечномерные уравнения, как конечномерные усечения фредгольмовых уравнений
Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования периодических решений дифференциальных уравнений и изучением их свойств. Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Дж. Биркгофа, А.А. Андронова и Э. Хопфа и др.
Несмотря на значительные достижения в развитии теории бифуркаций периодических решений дифференциальных уравнений, многие ее задачи остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения системы вблизи вырожденной точки покоя при наличии сильных резонансов. Мало разработано алгоритмов приближенного построения и качественного анализа периодических решений, бифурцирующих из сложного фокуса динамической системы в ситуации многомодового вырождения. Системы с такими особенностями появляются в радиофизике (при исследовании автоколебаний в RC-генераторах), в реальных моделях экономики, популяци-оныой динамики, химической кинетики и других разделах современного естествознания.
Среди наиболее часто используемых в наше время методов исследования бифурцирующих решений выделяется метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно и др.) и метод Ляпунова-Шмидта с его многочисленными модификациями. Многие разработки в области конструктивного анализа задач такого типа основаны на идее усреднения (Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, A.M. Самойленко, Б.И. Мосеенков, Е.А. Гребеников, Ю.А.Рябов, М.Н.Киоса, С.В.Миронов, В.Г.Задорожний и др.). Большинство созданных на этой идее подходов достаточно эффективно работает лишь в случаях систем стандартного вида. Задача же приведения произвольного уравнения к стандартному виду, вообще говоря, не тривиальна. В настоящее время нет универсальных алгоритмов ее решения. И даже для уравнений стандартного вида трудно признать полностью завершенной конструктивную теорию бифурцирующих циклов.
Алгоритмы, основанные на применении теоремы Плисса - Кэли о центральном подмногообразии с последующими нормализациями и огрублениями уравнения, суженного на центральное подмногообразие, также не являются универсальными, так как основаны на некоторых упрощающих предположениях.
Таким образом, при наличии большого числа работ по изучению зарождения периодических волн, вихревых структр и циклов динамических систем вблизи сложного фокуса (см., например, [4], [30], [38], [20] и литературу в этих источниках) поиск алгоритмов, эффективных в построении и анализе ветвящихся периодических решений дифференциальных уравнений, остается по-прежнему актуальной задачей.
В данной диссертации изложена процедура приближенного вычисления и анализа ветвления периодических решений ДУ, развивающая и дополняющая вычислительные схемы, опубликованные в [33], [9]. Методологическую основу предлагаемой вычислительной процедуры составляют теория гладких 50(2)—эквивариатных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах.
При рассмотрении дифференциальных уравнений с большим числом параметров зачастую точные или приближенные формулы решений не дают полного представления о происходящих бифуркациях. Картина предстает намного более полной и ясной, когда результат анализа решений дополнен анализом дискриминантного множества (совокупности значений параметров, при которых существуют вырожденные решения и при переходе через которые изменяется состав решений). Дискриминант-ное множество делит пространство управляющих параметров на ячейки, каждой из которых соотвествует состав решений, неизменный по количеству и качеству (при вариациях параметров вдоль ячеек). Изложенная в диссертации процедура позволяет решать в том числе и задачу дискри » минантного анализа параметрических семейств периодических решений.
Контактные преобразования и версальные деформации особенностей фредгольмовых отображений
В работе использована трактовка дифференциальных уравнений в виде операторного уравнения /л W = Ь, wE, be F, (1) в котором f\ — гладкое фредгольмово отображение (с параметром) банахова пространства Е в банахово пространство F. Решение такой задачи осуществляется переходом (редукцией) к конечномерному уравнению Ш = А Є М, PeN, (2) в котором #д(0 = -1 (/л( ()); М и N — области в Шп, р и ф — гладкие вложения М и N в Е и F соответственно. Идея исследования нелинейных систем посредством сведения к конечномерному алгебраическому уравнению применялась многими специалистами по анализу нелинейных краевых задач (см. работы М.А. Красносельского, П.П. Забрейко, М.М. Вайнберга, В.А. Треногина, Н.А. Сидорова, Б.В. Логинова, J.E. Marsden и др., координаты которых имеются, например, в обзоре [17]). Эта же идея использована в настоящей диссертации.
Проблематика диссертации сгруппирована вокруг уравнений с круговой симметрией. Уравнения с круговой, бикруговой и поликруговой симметриями изучались в работах Б.В.Логинова, В.Г. Звягина, В. Крав-цевича, Ю.И. Сапронова, В.А. Смольянова, А.В. Гнездилова, Е.В. Ла-дыкиной и др. Разнообразным вопросам анализа дифференциальных уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (см. монографии и статьи Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, П. Олвера, A.M. Виноградова (с соавторами), В.Ф. Зайцева, А.Т. Фоменко, В.А. Треногина, Б.В. Логинова и др. [15], [18], [27], [28], [37]). Ряд аспектов теории вариационных и общих операторных уравнений с групповой симметрией развивался при непосредственном воздействии эквивариантнои теории Морса (А.Т. Фоменко, В.В. Шарко и др.) и теории ветвления решений нелинейных эквивариантных уравнений (J.E. Marsden, Н.А. Бобылев, Б.В. Логинов, В.А. Треногий, З.И. Баланов и др.).
Цель работы и основные задачи. Основные научные результаты данной диссертации допускают абстрактную формулировку в терминах фредгольмова уравнения со слабой круговой симметрией, рассмотренного вблизи (порождающей) особой точки с четырехмерным вырождением. Центральная конструктивная идея диссертации — сведение (редукция) задачи об изучении решений уравнения (1) (в условиях круговой симметрии) к аналогичной задаче для конечномерного алгебраического уравнения (ключевого уравнения) (2) с его последующим качественно-численным анализом. Цель работы — реализация этой идеи в задаче резонансного циклогенеза.
К главным составляющим основной задачи отнесены: 1) описание алгебраической структуры главной части ключевого уравнения, 2) описание геометрической структуры дискриминантного множества уравнения (1), 3) описание раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к Е), 4) приближенное построение амплитуд ветвей бифурцирующих периодических решений.
В диссертации предложено решение основной задачи для класса динамических систем, включающего в себя автономные системы обыкновен ных дифференциальных уравнений, системы гидродинамиеского типа, уравнения колебаний упругой балки на упругом основании и др.
Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных уравнений, современного анализа гладких отображений и теории инвариантов. Методологическая основа — схема Ляпунова-Шмидта, рассмотренная в рамках общей теории гладких 0(2)-эквивариантных фредгольмовых уравнений (в бесконечномерных банаховых пространствах). Материал диссертации развивает и дополняет более ранние результаты исследований Б.М. Даринского, Ю.И. Сапронова, В.А. Смольяпова и Е.В. Ладыкиной [33], [9], [12].
Алгоритм вычисления ключевого уравнения
Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми. 1. Дано описание алгебраических структур главных частей ключевых отображений для класса динамических систем, включающего в себя уравнения колебаний упругой балки, автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений и системы гидродинамиеского типа.
2. Разработаны и обоснованы алгоритмы приближенного вычисления амплитуд периодических решений, бифурцирующих из точек покоя при наличии резонансов. 3. Разработан и апробирован алгоритм приближенного вычисления параметризаций трехмерных сечений дискриминантных множеств (для задачи о периодических решениях ДУ). 4. Проведено вычисление асимптотик амплитуд резонансно бифурцирующих циклов автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы гидродинамического типа и уравнения колебаний упругой балки на упругом основании. Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых уравнений в бифуркационном анализе циклов динамических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов.
Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2006 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург, 2007, 2008 гг.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ, на семинаре по глобальному и стохастическому анализу (ВГУ, рук. — проф. Ю.Е. Гликлих) и на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук — проф. В.А. Костин).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В статьях, написанных с соавторами ([52], [53], [57], [58], [59]), соавторам принадлежат лишь постановки отдельных задач и разбор отдельных примеров. Статья [59] входит в "перечень ВАК". Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 61 наименований. Общий объем диссертации — 106 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (4 рисунка), выполненной в среде Maple. Содержание работы. В первой главе изложены основы бифуркационного анализа колеба-телных и волновых процессов посредством формализма фредгольмовых уравнений, дано краткое описание необходимых элементов теории фредгольмовых уравнений. Во второй главе изложены результаты бифуркационного анализа фредгольмовых уравнений с круговой симметрией, изложен алгоритм построения амплитуд бифурцирующих решений. Рассмотрены банаховы пространства Е, F и гильбертово пространство Я такие, что Е непрерывно вложено в F, F непрерывно вложено в Я, и семейство фредгольмовых отображений нулевого индекса / : Е х Жт —» F, гладкое по совокупности переменных, представленное в виде Л(е)х + В(х, х, є) + С(х, х, х, є) + о( ;), где Л{е) — гладкое семейство линейных фредгольмовых операторов нулевого индекса, В, С — квадратичный и кубический операторы. Предполагается что, задан слабо гладкий гомоморфизм Т : SO(2) — 0(H) — из группы SO (2) в группу ортогональных линейных преобразований гильбертова пространства Я (его непрерывность не предполагается) 1. Гомоморфизм Т задает ортогональное действие на пространстве Я: GxH— Я, (д,х)\— у = Тд{х) V(g,x)eGxH. Предполагается, что Е и F инвариантны, а / эквивариантно относительно данного действия: Тд(Е)сЕ, Tg(F)cF, f{Tg{-),e) = Tg{f{-,e)) V ? Є 50(2), є Є Шт. 1 Слабая гладкость означает, что индуцированное действие 50(2) на любом конечномерном инвариантном подпространстве N С Н является гладким.
Случай 4-мерной динамической системы
Переход к приведенному уравнению не приводит (при щ ф 0 и и2 ф 0) к потере решний и поялению новых решений. Выигрыш от перехода состоит в том, что главная часть ключевого уравнения заменяется на явную зависимость Хз,Х4 от ХХ:Х2 и систему двух скалярных уравнений относительно Xi,X2. Причем степени полиномов в левых частях этих уравнений равны 2. На основе этой системы легко осуществить дискри-минантный анализ.
В случае общего положения, приведенное уравнение можно представить, после овеществления и соответствующих преобразований перемен ных, в виде системы уравнений (для резонанса 1:2) УІ±УІ + 5iyi + 52у2 = О, У\У2 + hyi + %2 = О, левая часть которой представляет собой нормальную форму минивер-сальной деформации омбилической особенности (гиперболического или, соответственно, эллиптического типа — в зависимости от знака перед у\ в первом уравнении) относительно контактных преобразований [1] векторных полей вида %) — А(уЩ р(у)), р(0)) = О {А(у) — гладкий пучок обратимых матриц, р — локальный диффеоморфизм) . В гиперболическом случае дискриминантное множество Е допускает (теорема 2) параметризацию 5i =rcos(V ) 2 = rsm(ifj): г ( 3 1 \ 1 — cos((/? — ф) \ 4 4 5A = / 3 1 cos(?/;)(l —cos(y?-H/ )+cos(2 )) — - cos( /?)—- cos(3y?) sin( ) (l+cos( /?+ )—cos(2 /?)) — - sin(y ) — - sin(3y?) ), 1 — cos( p — "0) V 4 4 Дополнение Q, = К4 \ E является объединением четырех открытых попарно непересекающихся подмножеств fi- UO U 4 1 U 4 таких, что: при 6 Є ЄЦ1 имеется два (регулярных) решения (их топологические индексы противоположны по знаку) и при этом топологический индекс нулевого решения равен — 1; при 6 Є Sl\ система приведенных уравнений имеет лишь одно ненулевое решение и топологический индекс нуля равен 1; при 5 Є 1 1 имеется четыре решения: два из них индекса —1 (включая нулевое) и два — индекса 1; при д Є 1\ имеется четыре решения, из которых два индекса 1 (включая нулевое) и два — индекса -1.
Аналогичное разбиение пространства параметров имеет место и в эллиптическом случае, с учетом, что сумма топологических индексов всех решений равна 2. В случае слабого резонанса р : q (р + \q\ 5) вычисления существенно упрощаются, так как вторая пара образующих инвариантов hi -А приобретает порядок выше четвертого и, следовательно, не оказывает влияния на формирование главной части приведенного уравнения. В третьей главе сформулированы аналоги теорем 1,3 о структуре ключевых отображений для конкретных типов динамических систем (теоремы 5,6,8,9) и описана процедура вычисления амплитуд бифурцирую-щих периодических решений дифференциальных уравнений. Первый пример — система обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью х = Х(х,е), хЄШп, є Є Ж3, при условии, что Х(0, є) = 0 и две пары комплексно сопряженных точек Аі(е)Ді(є), Лі (є), Лі (є) спектра матрицы FIX трансверсалыю пересекают мнимую ось с резонансом (остальная часть спектра находится при всех рассматриваемых значениях є внутри левой комплексной полуплоскости). Такое пересечение мнимой оси описывается системой равенств ReAi(0)=0, ReA2(0) = 0, ImAi(O) = w1} ImA2(0)=a;2, qcji=pcj2 p.qeZ, HOD(p,q) = l. Предполагается выполнние условия трансверсальности: , , d(ReAbRe,A2,k) det я? \ "Г к(є) =qlm (Аі(є)) - p Im (А2(є)), ш = — = —. P q От исходного уравнения делается переход к операторному уравнению: /(s,e)=0, в котором х = x(t) принадлежит банахову пространству П — непрерывно дифференцируемых Т — периодических функций, / — фредгольмово отображение: /(-, є) : x(t) —- y(t), y(t) = x(t) - X(x(t), є), действующее из Пу в банахово пространство П — непрерывных Т -периодических функций. Посредством схемы Ляпунова-Шмидта это уравнение сводится к уравнению 9(0 = 0, єК4 с круговой симметрией. Второй пример — динамическая система с квадратично-кубической нелинойстью из класса "систем гидродинамического типа" [26], [2]. Рассмотривается обобщенное двумерное уравнение Навье-Стокса [2], [36] v + -- v = i/A(y) + fj,v + cgrad (Р) + ХВ I , J (5) (A — двумерный лапласиан) с условием несжимаемости div(v) = 0 (6) на координатной плоскости. Предполагается, что кроме традиционного вектора силы вязкости vA(v) уравнение содержит вектор дополнительных сил торможения цу и упругой вязкости АБ( , ) [14], [2]. При этом (см. [14]) fdv d2v\ 1 где D = (la- " ІЕ ) тензор скоростей деформации, d = det D. Рассмотрены решения, периодические по Х\)Х2 (случай уравнения на плоском торе). Поиск решение в виде v := sgradW = (-g , g) , где ф — вихревая функция, приводит, после применения двумерного ротора, к скалярному уравнению Л(ф) = [А(ф), ф] + „А\ф) + »А(ф) + В (g, g, g) , (7) где [ф, (f\ — якобиан функций ф, (р. Посредством одной из процедур дискретизации по пространственным переменным (например, разностной аппроксимацией или специальным галеркинским приближением [36], [26], [2]) получается обобщенная конечномерная система гидродинамического типа w = A(w) + [Mw,w] + B(w,w,w), w Є Шп, в которой М — симметричная матрица; матрица А, вообще говоря, не является симметричной (ее спектр может содержать комплексные числа с ненулевыми мнимыми частями), [,] — кососимметрическая билинейная операция, часто задающая структуру алгебры Ли на Mn, B(w, го, w) — некоторое кубическое отображение. В случае галеркинской аппроксимации по базисной системе с\ = 2cos(:ri), с2 = 2cos(#2), С3 = 2COS(:EI -\-Х2), si = 2sin(a;i), s2 = 2sin(x2), s3 = 2sin(a;i + x2), получается (теорема 7) динамическая система w = Aw + B(w,w) + C(w,w,w), w Є R6, (8) в которой - i p + Єї -p - єі -Si 0 0 0 0 —61 q + s2 -q - e2 -Si 0 0 0 0 0 0 p + q + О(є) -S2 \ 0 0 0 0 0 0 0 0 A = 0 0 0 0 -52 J \ (р + д) + 0(є) \ ( W3W5 - W4WQ -W WQ — W4W5 B(w,w) = —WiW5 + W2WQ WIWQ + W2W5 ) \ 0 0 5i= V — [A, S2 — 2v — Li. Коэффициенты C(w,w,w) допускают явное представление. Параметры Єї, є2 появляются за счет малых "шевелений" периодов по переменным Х\, х2. Анализ этого уравнения по схеме Ляпунова-Шмидта при значениях параметров 5, є, близких к нулю, дает простанство мод . Of N :=" КеГ dz = Spanc 92,g 9A} , где 9l = {cos(pt): -sin(pi), 0, 0, 0, 0)T, g2 = (sin(pi), cos(pt), 0, 0, 0, 0)T, g3 = (0, 0, cos(gi), -sin(ctf), 0, 0)T, gA = (0, 0, sin(gi), cos(g ), 0, 0)T. В диссертации описана структура кючевого уравнения и соответствующего ему приведенного уравнения, на основе которого осуществлен вывод формул асимптотического вычисления амплитуд бифурцирующих циклов. Третий пример — простейшее нелинейное скалярное уравнение из класса уранений Соболевского типа [34]: дАи д2и , д2и ди о dt2dx2 dt2 дх2 дх
