Введение к работе
. Актуальность темы. Одним из важных вопросов качественной теории дифференциальных уравнений является вопрос о расположении траекторий вещественно-аналитического векторного поля (системы дифференциальных уравнений) в окрестности изолированной особой точки на плоскости. Он был поставлен А.Пуанкаре. Им же были получены первые результаты в этом вопросе. В этом же направлении работали И.Бендиксон, А.Дюлак, М.Фроммер и А.М.Ляпунов. Особые усилия направлялись на изучение сложных особых точек аналитических систем методом их расщепления (раздутия) (И.Бендиксон, А.Д.Брюно, А.Дюлак, М.Фроммер), поскольку для более простых особых точек задача была решена ранее.
В подавляющем большинстве случаев предложенные алгоритмы раздутия позволяли строить фазовый портрет только с точностью до различения центра и фокуса.
В представленной работе исследуются монодромные особые точки аналитических векторных полей на плоскости, то есть такие, для которых определено преобразование монодромии, то есть отображение некоторой кривой с вершиной в особой точке в себя вдоль траекторий векторного поля. Преобразование монодромии часто называют отображением первого возвращения или функцией последования Пуанкаре. У монодромной особой точки не существует траекторий, входящих в нее с определённой касательной (характеристических траекторий). Такие особые точки часто называют особыми точками типа центр-фокус.
Основными классами монодромных особых точек, алгоритмы исследования которых были предложены в классических работах А.Пуанкаре, А.Ляпунова, В.В.Немыцкого и В.В.Степанова являются: невырожденные особые точки с невещественными собственными значениями, особые точки, линейная часть векторного поля в которых имеет вид нильпотентной жордановой клетки и особые точки без исключительных направлений.
Сложные монодромные особые точки, которые не принадлежат к перечисленным классам, исследуются с помощью того или иного метода раздутия особенностей. В совместной статье Березовской Ф.С. и Медведевой Н.Б. 1991 года был предложен один шаг процесса расщепления (раздутия) особенности векторного поля, который позволяет исследовать особые точки при условии выполнения некоторых условий Г-невырожденности где Г - диаграмма Ньютона.
В отличие от особой точки с характеристической траекторией, для построения фазового портрета в окрестности сложной монодромной особой
точки не достаточно произвести процесс раздутия. Алгоритм различения центра и фокуса (точнее устойчивого и неустойчивого фокуса) в данном случае довольно сложен и включает в себя построение нормальных форм в окрестностях элементарных особых точек, полученных после раздутия, и решение уравнений в вариациях вдоль дуг вклеенных при раздутии кривых, не содержащих особых точек, с целью построения асимптотического ряда преобразования монодромии монодромной особой точки. Описанная идеология восходит к работе А.Дюлака „О предельных циклах". Если асимптотический ряд преобразования монодромии не совпадает с асимптотическим рядом тождественного отображения, то особая точка является фокусом.
В работе Ф.С.Березовской и Н.Б.Медведевой получена формула для коэффициента при главном (линейном) члене преобразования монодромии Г-невырожденного векторного поля. Если логарифм этого коэффициента не равен нулю, то особая точка - фокус. Однако оказалось, что если все рёбра диаграммы Ньютона чётные, то главный член преобразования монодромии тождественен, то есть с его помощью невозможно получить достаточное условие фокуса и построить границу устойчивости в рассматриваемом классе. Поэтому становится актуальным вычисление второго члена асимптотики преобразования монодромии.
Принимая во внимание сложность описанного алгоритма, Ю. С. Илья-шенко предложил исследовать проблему различения центра и фокуса с точки зрения алгебраической и аналитической разрешимости. Понятие алгебраически разрешимой локальной задачи (задачи о ростках) было введено В.И.Арнольдом и означает, что ответ в задаче может быть получен путём конечного числа арифметических действий над коэффициентами струи, если росток не принадлежит некоторому исключительному множеству бесконечной коразмерности. Аналогично может быть дано определение аналитически разрешимой задачи: арифметические действия заменяются вычислением значений аналитических функций от коэффициентов струи. Известно, что проблема различения центра и фокуса является алгебраически разрешимой в первых двух из перечисленных выше классов и не является алгебраически разрешимой в третьем из них. Н.Б.Медведевой был получен положительный ответ на вопрос об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса.
Однако вопрос об аналитической разрешимости проблемы устойчивости на плоскости остаётся открытым, поскольку границы устойчивости на множествах монодромных ростков могут не продолжаться аналитиче-
ски на границы монодромных классов, тем самым возможны патологии границы устойчивости при приближении к границам монодромных классов.
Цель работы. Целью настоящей работы является построение асимптотики преобразования монодромии в некоторых классах векторных полей, имеющих монодромную особую точку, а также исследование поведения границы устойчивости.
Методы исследования. В работе применяются метод раздутия особенностей по диаграмме Ньютона, метод нормальных форм и метод Дю-лака исследования асимптотики преобразования монодромии сложного цикла.
Научная новизна. В работе построены два члена асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки аналитического векторного поля на плоскости для случаев диаграммы Ньютона с одним и двумя ребрами. Рассмотрены все возможные случаи Г-невырожденного векторного поля с одним и двумя чётными рёбрами, а также один случай с двумя рёбрами, одно из которых четно, а условия Г-невырожденности нарушаются. В каждом из этих случаев главный член преобразования монодромии тождественен. С помощью одной из полученных формул исследуется граница устойчивости в некотором классе векторных полей, имеющих монодромную особую точку. Доказано, что замыкание границы устойчивости может иметь пересечение с границей монодромного класса. Тем самым обнаружены точки на границе монодромного класса, в которых возможно возникновение патологий границы устойчивости. Этот результат является некоторым продвижением в задаче об аналитической разрешимости проблемы устойчивости особых точек векторных полей на плоскости.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты и методы могут найти приложение в качественной теории дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научных мероприятиях:
Международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г.Петровского. Москва, 21-26 мая 2007 г.
Конференция „Студент и научно-технический прогресс", Челябинский государственный университет, 2007 г.
X всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной матема-
тике. Дагомыс, 2009 г.
Международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г.Петровского. Москва, 30 мая - 4 июня 2011 г.
Семинар кафедры вычислительной математики ЧелГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приводится в конце автореферата. Работы [2], [3] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатской диссертации.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, добавления и списка литературы, состоящего из 67 наименований. Общий объём диссертации - 122 страницы.
