Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке 16
1.1 Основные понятия и классы отображении 17
1.2 Аппроксимация дифференциальных включений 21
1.3 Задача Чаплыгина для дифференциальных неравенств и условие Важевского 27
1.4 Постановка задачи и основные предположения 29
1.5 Основная теорема 33
1.6 Примеры исследования устойчивости систем дифференциальных неравенств и включений 39
1.7 Теоремы о неустойчивости 49
Глава 2 Устойчивость систем дифференциальных включений 55
2.1 Постановка задачи об устойчивости систем дифференциальных неравенств и включении на бесконечном промежутке 56
2.2 Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений 62
2.3 Равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений с управлением и липшицевой правой частью 68
2.4 Равномерная экспоненциальная устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением 77
Заключение 85
Библиография 88
- Задача Чаплыгина для дифференциальных неравенств и условие Важевского
- Примеры исследования устойчивости систем дифференциальных неравенств и включений
- Постановка задачи об устойчивости систем дифференциальных неравенств и включении на бесконечном промежутке
- Равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений с управлением и липшицевой правой частью
Введение к работе
Вопросы устойчивости имеют огромное теоретическое и практическое значение. Основы теории устойчивости были заложены в конце XIX века A.M. Ляпуновым в его знаменитой диссертации "Общая задача об устойчивости движения" [48].
Дальнейшему развитию теории устойчивости были посвящены известные монографии А.И. Лурье [47], Н.Г. Четаева [87], И.Г. Малкина [49], Н.Н. Красовского [45], В.И. Зубова [40], Н.П. Еругина [37, 38].
Основными методами теории устойчивости являются первый и второй методы Ляпунова. Первый метод делает заключение об асимптотической устойчивости или неустойчивости на основе изучения системы линейного приближения с постоянными коэффициентами. Обзор работ по применению первого метода Ляпунова дан в [31, 39].
Второй (прямой) метод предполагает известной функцию Ляпунова — функцию координат, имеющую смысл обобщенного расстояния до стационарного состояния. В этом случае заключение об устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости делается по свойствам производной, вычисленной в силу уравнений системы. Второй метод Ляпунова, в том числе метод вектор-функций Ляпунова, получил развитие в работах В.М. Матросова [50, 51, 52], М.М. Хапаева [81, 82, 83], А.А. Воронова [30, 32], Е.В. Воскресенского [33, 34, 35], О.В.Анашкина
[З, 4, 5] и др.
Начиная с середины сороковых годов XX века стали появляться работы, посвященные задачам об асимптотической устойчивости, когда область начальных возмущении нельзя считать малой. В значительной степени эти исследования были вызваны задачами, возникшими в теории автоматического регулирования. Эта теория была развита в разных направлениях многими авторами [2, 22, 30, 32, 44, 45, 49, 57, 59].
В начале шестидесятых годов возникла идея объединить методы дифференциальных неравенств С.А. Чаплыгина [86] с возможностью использования совокупности нескольких функций Ляпунова. В работе [50] на основе объединения этих концепций были разработаны методы определения условий устойчивости на базе векторных функций Ляпунова и развит принцип сравнения. Эти обобщения основаны на работе Т.Важсвс-кого [92] о дифференциальных неравенствах. Наиболее полное математическое обоснование принципа дано в [52]. Метод конкретизирован для систем с распределенными параметрами [42, 65], а также для динамики систем процессов и динамики абстрактных систем. [54], где используется принцип сравнения с несколькими векторными функциями Ляпунова и системами сравнения. Обзор результатов, полученных при помощи метода сравнения, дан в серии статен В.М. Матросова [53].
В это же время интенсивное развитие получила задача об устойчивости движения по отношению к части переменных. Такая задача возникает прежде всего в прикладных проблемах, когда для нормального функционирования объекта достаточно обеспечить его устойчивость лишь по части переменных. Исследования в этой области отражены в работах [8, G3, 81] и наиболее полно систематизированы в работе [62].
В настоящее время основные теоремы теории устойчивости перенесены на дифференциальные включения.
Важные результаты по существованию и свойствам решении дифференциальных уравнений с многозначной правой частью (дифференциальных включений) были представлены в работах А.Ф. Филиппова [77, 78, 80], где также была установлена связь дифференциальных включений с задачами оптимального управления. Исследование дифференциальных включений потребовало изучения свойств многозначных функций. Достаточно обширная библиография таких работ содержится в [25, 27, 76]. Используемый в данной работе математический аппарат (теория опорных функций, элементы выпуклого анализа и теории многозначных отображений) изложен в [23, 24, 27, 69].
Характерной чертой описания многих реальных динамических систем яблястся разномасштабность скоростей изменения различных групп фазовых переменных. Эффективное средство исследования подобных систем (систем с радсляющимися движениями) — метод усреднения. Вопросы обоснования и развития метода усреднения изучались в работах Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [26, 46, 55]. Обширная библиография по вопросам усреднения содержится в [56].
Первые результаты по усреднению дифференциальных включений были получены В.А. Плотниковым [60, 61]. Для дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными основные теоремы об аппроксимации по медленным переменным доказаны в работах О.П. Филатова н М.М. Хапасва [72, 73, 74, 75].
Задача устойчивости систем дифференциальных включений решалась различными методами [2, 9, 36, 66, 84, 85]. Также как и для систем обык-
новенных дифференциальных уравнений, весьма эффективным средством исследования устойчивости дифференциальных включений является метод усреднения. Это направление получило развитие в работах [G7, 68, 70,71, 76,80,81,83,91,90].
В работе М.Ы. Хапаева [83] предложено обобщение второго метода Ляпунова, ориентированное на многочастотные системы, содержащие резонансные гармоники. Для таких систем строится обобщенная функция Ляпунова. Правые части исследуемых систем периодические по быстрым переменным и удовлетворяют условиям существования и единственности решения. Для оценки резонансных частот предложен метод, основанный на учете свойств частот в окрестности точки, исследуемой на устойчивость (в частности, требуется равномерное увеличение резонансной частоты по абсолютной величине при удалении от точки резонанса). В этой работе представлен ряд теорем об устойчивости на бесконечном промежутке времени. Для многочастотных систем устойчивость точки резонанса достигается за счет асимптотической устойчивости в этой точке усредненной системы. Теоремы об устойчивости на асимптотически большом отрезке Т(ц) = [0,1//(] (// — малый параметр, 0 < // < 1) доказаны при значительном ослаблении накладываемых условий. В частности, рассмотрен случай, когда точка резонанса Xq является устойчивым положением равновесия усредненной системы, то есть когда нет асимптотической устойчивости. Устойчивость обеспечивается существованием положительно определенной функции Ляпунова Vq(x), производная которой в силу усредненной системы неположительна. При таких предположениях определяется длина отрезка времени Т(//), на котором решение исходной системы по переменной х не вый-
дет из 5-окрестностп точки, исследуемой на устойчивость. Введенное здесь понятие устойчивости по части переменных и параметру — (х, fi)-устойчивости, — использовалось в работах [8, 70].
В работах О.В. Анашкина и М.М. Хапаева [6] для исследования устойчивости системы дифференциальных уравнений с малым параметром //. в случае, когда система без возмущений имеет неасимптотически устойчивое нулевое решение, был разработан аппарат вспомогательных функций, сочетающий идеи второго метода Ляпунова и асимптотического метода усреднения [26], В работах О.В. Анашкина [3, 4] для получения теорем об устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений используется подход, основанный на оценке поведения функции Ляпунова с помощью усреднения ее полнон производной вдоль решения некоторой достаточно простой системы, которая хорошо аппроксимирует изучаемую систему. Этот метод впервые был предложен М.М, Ха-паевым в [82] и применялся в [7, 8] для исследования на //-устойчивость в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром fi (0 < // -С 1), возникающих в теории нелинейных колебаний. Этот метод оказался очень эффективным средством при изучении устойчивости решений нелинейных систем обыкновеннных дифференциальных уравнений также и в смысле классических определений А.М.Ляпунова [5]. В работах М.И. Каменского [10, 41] метод усреднения используется для исследования устойчивости периодических решений дифференциальных уравнений нейтрального типа и систем квазилинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.
При исследовании устойчивости систем дифференциальных уравнений или включении с использованием теорем сравнения [50] возникает за-
дача о качественном поведении решений системы дифференциальных неравенств относительно координат векторной функции Ляпунова, предполагаемых неотрицательными. Таким образом появилась необходимость исследования вопроса об устойчивости неотрицательных решении системы дифференциальных неравенств. Основные результаты в этом направлении получены для систем, удовлетворяющих условию квазимонотонности Важсвского. Исследованию систем дифференциальных неравенств посвящены работы А.И. Перова [58], Н.В. Азбелева[1], А.А.Воронова [30] и др. В статье О.П.Филатова [70] установлена связь устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств с малым параметром fi (0 < ft -С 1) и системы дифференциальных уравнений, полученной методом усреднения, доказаны соответствующие теоремы об устойчивости на асимптотически большом и на бесконечном промежутке времени. В настоящей работе рассматривается вопрос об устойчивости системы дифференциальных неравенств более общего вида, когда быстрые переменные определяются уже не дифференциальным уравнением, а удовлетворяют включению, причем условие квазимонотонности на правые части системы не накладывается. Медленные переменные, по которым проводится исследование на устойчивость, в настоящей работе, как и в [70], предполагаются неотрицательными.
В 2001 году была опубликована статья Г. Граммеля (G.Grammel) [90], где расматривался вопрос о связи равномерной экспоненциальной устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением и равномерной экспоненциальной устойчивости автономного дифференциального включения, полученного методом усреднения. При этом, правая
часть исходной системы предполагалась периодической по быстрой переменной. В статье [91], опубликованной в 2004 году, тот же вопрос рассмотрен для систем с липшицевой правой частью. В работе О.П.Филатова [71] приводится критерий равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциальных включений с медленными переменными на основании дифференциального включения сравнения, которое, в частности, может быть получено при помощи частичного усреднения исходной задачи. В настоящей работе, в отличие от [90, 91], для дифференциальных уравнений с управлением в качестве системы сравнения выбирается в общем случае неавтономное дифференциальное включение, полученное с помощью частичного усреднения. Кроме того, ослабляются требования на правые части исходной и усредненной систем. В частности, рассматривается равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений (с шумом) с нелипшицевон правой частью, при условии, что дифференциальное включение, определяющее систему сравнения, односторонне лппшицево (OSL). При доказательстве теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости нелнпшицевых дифференциальных уравнений с управлением существенно используется критерии устойчивости дифференциальных включении О.П. Филатова [71].
Содержание диссертационной работы.
Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы.
Первая глава посвящена исследованию устойчивости систем дифференциальных включений на асимптотически большом отрезке времени.
Первые три параграфа носят вспомогательных! характер. В них содержатся сведения из многозначного анализа и теории дпфференцпаль-
пых включений, необходимые для дальнейшего изложения. Рассматриваются задачи аппроксимации дифференциальных включении сверху и снизу. Вводится понятие опорной функции. Приводятся достаточные условия аппроксимации дифференциальных включений из работ [64, 69, 75]. Приводятся также некоторые сведения из теории дифференциальных неравенств из работ [54, 58, 86, 92].
Далее в этой главе для систем дифференциальных неравенств и включений с медленными и быстрыми переменными рассматривается вопрос об устойчивости по медленным переменным на асимптотически большом промежутке T(to,fi) = [tQ,tQН-//-1], () Є К.+, fi —> 0. Доказывается основная теорема об устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включении на асимптотически большом промежутке времени, а также лемма об устойчивости дифференциального включения с медленными переменными. Приводится пример, иллюстрирующий основную теорему, и пример, показывающий невозможность обобщения основной теоремы на случай сильной связи быстрых и медленных переменных. Рассматривается также вопрос о неустойчивости системы дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом промежутке времени.
Во второй главе проводится исследование устойчивости дифференциальных включений на бесконечном промежутке. В первом пераграфс ставится задача об устойчивости системы дифференциальных неравенств и включений с быстрыми и медленными переменными. Во втором параграфе доказывается теорема об устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке. В третьем и четвертом параграфах этой главы
рассматривается вопрос о равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциальных уравнений с управлением. Доказываются теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциальных уравнений с управлением для случаев липшпцевой и нелнпшицевой правой части. Все доказанные теоремы проиллюстрированы соответствующими примерами.
В заключении сформулированы основные результаты исследования.
Всюду ниже для теорем, лемм и формул принята двойная нумерация: первая цифра означает номер главы, вторая — номер утверждения или формулы. В конце введения приведен список основных обозначении, используемых в дальнейшем изложениии.
На защиту выносятся:
доказательство теоремы об устойчивости по медленным переменным при постоянно действующих возмущениях неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке;
доказательство теоремы об устойчивости по медленным переменным при постоянно действующих возмущениях неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений;
доказательство теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости нслипшицевых дифференциальных уравнений с управлением.
Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в работах [11]—[21] и обсуждались на семинаре "Нелинейное моделирование и управление" Второго Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике (Самара, Самарский государственный уни-
версптет, июль 2001 г.), на Пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, октябрь 2004 г.), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, Воронежский государственный университет, институт математики им. В.А.Стсклова РАН, январь 2005 г.), Воронежской весенней математической школе "Понтря-гинские чтения — XVI" (Воронеж, Воронежский государственный университет, май 2005 г.), на Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование н краевые задачи" (Самара, Самарский государственный технический университет, нюнь 2005 г.), на Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, Самарский государственный университет, июль 2005 г.), 55-ой, 56-ой и 58-ой межвузовских научных конференциях СамГПУ (Самара, Самарский государственный педагогический университет, 2001, 2002 и 2004 гг.), научном семинаре кафедры уравнений математической (ризики Самарского государственного университета под руководством доктора физико-математических наук, профессора Филатова О.П. (Самара, 2000 - 2005 гг.), научном семинаре по дифференциальным уравнениям при Самарском государственном педагогическом университете под руководством доктора физико-математических наук, профессора Волкодавова В.Ф. (Самара, 2001 г.).
В заключение выражаю искреннюю признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Олегу Павловичу Филатову за постоянное внимание и помощь в работе.
Список основных обозначений
х = dx/(It.
х\\ = \1^2Х1 — евклидова норма вектора х Є К".
Vi=i
< ж,г/ > — скалярное произведение векторов х,у R.
В(а, г), В(а,г) — соответственно открытый и замкнутый шар евклидова пространства с центром в точке а радиуса г.
В"(г0) = {х Є R" : ||ж]| < г0} — шар в пространстве R".
Щ($) = {х Є Rn : \\х\\ <6, х>0}.
А х В — декартово произведение множеств А и В (Ах В = {(а,Ь): а Є А,Ь Є В}).
А + В — алгебраическая сумма множеств
(А + В = {а + Ъ: а Є A,b Є В}).
\А\ — модуль множества А С К" (|А| = sup ||я||).
[А]г — замкнутая r-окрестность множества А С R".
р(а,В) — евклидово расстояние от точки а Є М" до множества ВСЕ" (р{а,В) = 'тїр{а,Ь)).
Iiq(A,B) — полуотклонение множества А С R" от множества Л CM" (A0(A,Z?) = inf{r: А С [В]г}).
/г(Л, В) — отклонение множества А от множества В (/г(Д В) = тах{/ю(А,В),Ло(В,-4)}).
К— класс непрерывных строго монотонных функций, определенных на R+ н равных 0 в точке 0.
Л'(К") — класс непустых компактных множеств из R".
Ку(Шп) — класс непустых компактных выпуклых множеств из R".
с(Л, ф) — опорная функция множества ІСІпв направлении вектора ф Є Rn {с(А, ф) = sup < а, ф >).
М{c(F,ф)} — усредненная опорная функция.
T(tQ,fi) = [to, to + 1///] — асимптотически большой промежуток при /(-»0.
L(n, D) — класс многозначных отображений (см. определение 1.2).
Lo(n, А)) — класс многозначных отображении (см. определение 1.3).
Задача Чаплыгина для дифференциальных неравенств и условие Важевского
Начиная с середины сороковых годов XX века стали появляться работы, посвященные задачам об асимптотической устойчивости, когда область начальных возмущении нельзя считать малой. В значительной степени эти исследования были вызваны задачами, возникшими в теории автоматического регулирования. Эта теория была развита в разных направлениях многими авторами [2, 22, 30, 32, 44, 45, 49, 57, 59].
В начале шестидесятых годов возникла идея объединить методы дифференциальных неравенств С.А. Чаплыгина [86] с возможностью использования совокупности нескольких функций Ляпунова. В работе [50] на основе объединения этих концепций были разработаны методы определения условий устойчивости на базе векторных функций Ляпунова и развит принцип сравнения. Эти обобщения основаны на работе Т.Важсвс-кого [92] о дифференциальных неравенствах. Наиболее полное математическое обоснование принципа дано в [52]. Метод конкретизирован для систем с распределенными параметрами [42, 65], а также для динамики систем процессов и динамики абстрактных систем. [54], где используется принцип сравнения с несколькими векторными функциями Ляпунова и системами сравнения. Обзор результатов, полученных при помощи метода сравнения, дан в серии статен В.М. Матросова [53].
В это же время интенсивное развитие получила задача об устойчивости движения по отношению к части переменных. Такая задача возникает прежде всего в прикладных проблемах, когда для нормального функционирования объекта достаточно обеспечить его устойчивость лишь по части переменных. Исследования в этой области отражены в работах [8, G3, 81] и наиболее полно систематизированы в работе [62]. В настоящее время основные теоремы теории устойчивости перенесены на дифференциальные включения.
Важные результаты по существованию и свойствам решении дифференциальных уравнений с многозначной правой частью (дифференциальных включений) были представлены в работах А.Ф. Филиппова [77, 78, 80], где также была установлена связь дифференциальных включений с задачами оптимального управления. Исследование дифференциальных включений потребовало изучения свойств многозначных функций. Достаточно обширная библиография таких работ содержится в [25, 27, 76]. Используемый в данной работе математический аппарат (теория опорных функций, элементы выпуклого анализа и теории многозначных отображений) изложен в [23, 24, 27, 69].
Характерной чертой описания многих реальных динамических систем ЯБЛЯСТСЯ разномасштабность скоростей изменения различных групп фазовых переменных. Эффективное средство исследования подобных систем (систем с радсляющимися движениями) — метод усреднения. Вопросы обоснования и развития метода усреднения изучались в работах Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [26, 46, 55]. Обширная библиография по вопросам усреднения содержится в [56].
Первые результаты по усреднению дифференциальных включений были получены В.А. Плотниковым [60, 61]. Для дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными основные теоремы об аппроксимации по медленным переменным доказаны в работах О.П. Филатова н М.М. Хапасва [72, 73, 74, 75].
Задача устойчивости систем дифференциальных включений решалась различными методами [2, 9, 36, 66, 84, 85]. Также как и для систем обык новенных дифференциальных уравнений, весьма эффективным средством исследования устойчивости дифференциальных включений является метод усреднения. Это направление получило развитие в работах [G7, 68, 70,71, 76,80,81,83,91,90].
В работе М.Ы. Хапаева [83] предложено обобщение второго метода Ляпунова, ориентированное на многочастотные системы, содержащие резонансные гармоники. Для таких систем строится обобщенная функция Ляпунова. Правые части исследуемых систем периодические по быстрым переменным и удовлетворяют условиям существования и единственности решения. Для оценки резонансных частот предложен метод, основанный на учете свойств частот в окрестности точки, исследуемой на устойчивость (в частности, требуется равномерное увеличение резонансной частоты по абсолютной величине при удалении от точки резонанса). В этой работе представлен ряд теорем об устойчивости на бесконечном промежутке времени. Для многочастотных систем устойчивость точки резонанса достигается за счет асимптотической устойчивости в этой точке усредненной системы.
Примеры исследования устойчивости систем дифференциальных неравенств и включений
В работах О.В. Анашкина и М.М. Хапаева [6] для исследования устойчивости системы дифференциальных уравнений с малым параметром //. в случае, когда система без возмущений имеет неасимптотически устойчивое нулевое решение, был разработан аппарат вспомогательных функций, сочетающий идеи второго метода Ляпунова и асимптотического метода усреднения [26], В работах О.В. Анашкина [3, 4] для получения теорем об устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений используется подход, основанный на оценке поведения функции Ляпунова с помощью усреднения ее полнон производной вдоль решения некоторой достаточно простой системы, которая хорошо аппроксимирует изучаемую систему. Этот метод впервые был предложен М.М, Ха-паевым в [82] и применялся в [7, 8] для исследования на //-устойчивость в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром fi (0 // -С 1), возникающих в теории нелинейных колебаний. Этот метод оказался очень эффективным средством при изучении устойчивости решений нелинейных систем обыкновеннных дифференциальных уравнений также и в смысле классических определений А.М.Ляпунова [5]. В работах М.И. Каменского [10, 41] метод усреднения используется для исследования устойчивости периодических решений дифференциальных уравнений нейтрального типа и систем квазилинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.
При исследовании устойчивости систем дифференциальных уравнений или включении с использованием теорем сравнения [50] возникает за дача о качественном поведении решений системы дифференциальных неравенств относительно координат векторной функции Ляпунова, предполагаемых неотрицательными. Таким образом появилась необходимость исследования вопроса об устойчивости неотрицательных решении системы дифференциальных неравенств. Основные результаты в этом направлении получены для систем, удовлетворяющих условию квазимонотонности Важсвского. Исследованию систем дифференциальных неравенств посвящены работы А.И. Перова [58], Н.В. Азбелева[1], А.А.Воронова [30] и др. В статье О.П.Филатова [70] установлена связь устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств с малым параметром fi (0 ft -С 1) и системы дифференциальных уравнений, полученной методом усреднения, доказаны соответствующие теоремы об устойчивости на асимптотически большом и на бесконечном промежутке времени. В настоящей работе рассматривается вопрос об устойчивости системы дифференциальных неравенств более общего вида, когда быстрые переменные определяются уже не дифференциальным уравнением, а удовлетворяют включению, причем условие квазимонотонности на правые части системы не накладывается. Медленные переменные, по которым проводится исследование на устойчивость, в настоящей работе, как и в [70], предполагаются неотрицательными.
В 2001 году была опубликована статья Г. Граммеля (G.Grammel) [90], где расматривался вопрос о связи равномерной экспоненциальной устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением и равномерной экспоненциальной устойчивости автономного дифференциального включения, полученного методом усреднения. При этом, правая часть исходной системы предполагалась периодической по быстрой переменной. В статье [91], опубликованной в 2004 году, тот же вопрос рассмотрен для систем с липшицевой правой частью. В работе О.П.Филатова [71] приводится критерий равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциальных включений с медленными переменными на основании дифференциального включения сравнения, которое, в частности, может быть получено при помощи частичного усреднения исходной задачи. В настоящей работе, в отличие от [90, 91], для дифференциальных уравнений с управлением в качестве системы сравнения выбирается в общем случае неавтономное дифференциальное включение, полученное с помощью частичного усреднения. Кроме того, ослабляются требования на правые части исходной и усредненной систем. В частности, рассматривается равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений (с шумом) с нелипшицевон правой частью, при условии, что дифференциальное включение, определяющее систему сравнения, односторонне лппшицево (OSL). При доказательстве теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости нелнпшицевых дифференциальных уравнений с управлением существенно используется критерии устойчивости дифференциальных включении О.П. Филатова [71].
Первая глава посвящена исследованию устойчивости систем дифференциальных включений на асимптотически большом отрезке времени.
Первые три параграфа носят вспомогательных! характер. В них содержатся сведения из многозначного анализа и теории дпфференцпаль пых включений, необходимые для дальнейшего изложения. Рассматриваются задачи аппроксимации дифференциальных включении сверху и снизу. Вводится понятие опорной функции. Приводятся достаточные условия аппроксимации дифференциальных включений из работ [64, 69, 75]. Приводятся также некоторые сведения из теории дифференциальных неравенств из работ [54, 58, 86, 92].
Постановка задачи об устойчивости систем дифференциальных неравенств и включении на бесконечном промежутке
Далее в этой главе для систем дифференциальных неравенств и включений с медленными и быстрыми переменными рассматривается вопрос об устойчивости по медленным переменным на асимптотически большом промежутке T(to,fi) = [tQ,tQН-//-1], () Є К.+, fi — 0. Доказывается основная теорема об устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включении на асимптотически большом промежутке времени, а также лемма об устойчивости дифференциального включения с медленными переменными. Приводится пример, иллюстрирующий основную теорему, и пример, показывающий невозможность обобщения основной теоремы на случай сильной связи быстрых и медленных переменных. Рассматривается также вопрос о неустойчивости системы дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом промежутке времени.
Во второй главе проводится исследование устойчивости дифференциальных включений на бесконечном промежутке. В первом пераграфс ставится задача об устойчивости системы дифференциальных неравенств и включений с быстрыми и медленными переменными. Во втором параграфе доказывается теорема об устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке. В третьем и четвертом параграфах этой главы рассматривается вопрос о равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциальных уравнений с управлением. Доказываются теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциальных уравнений с управлением для случаев липшпцевой и нелнпшицевой правой части. Все доказанные теоремы проиллюстрированы соответствующими примерами.
В заключении сформулированы основные результаты исследования. Всюду ниже для теорем, лемм и формул принята двойная нумерация: первая цифра означает номер главы, вторая — номер утверждения или формулы. В конце введения приведен список основных обозначении, используемых в дальнейшем изложениии. На защиту выносятся: — доказательство теоремы об устойчивости по медленным переменным при постоянно действующих возмущениях неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке; — доказательство теоремы об устойчивости по медленным переменным при постоянно действующих возмущениях неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений; — доказательство теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости нслипшицевых дифференциальных уравнений с управлением. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в работах [11]—[21] и обсуждались на семинаре "Нелинейное моделирование и управление" Второго Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике (Самара, Самарский государственный уни версптет, июль 2001 г.), на Пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, октябрь 2004 г.), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, Воронежский государственный университет, институт математики им. В.А.Стсклова РАН, январь 2005 г.), Воронежской весенней математической школе "Понтря-гинские чтения — XVI" (Воронеж, Воронежский государственный университет, май 2005 г.), на Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование н краевые задачи" (Самара, Самарский государственный технический университет, нюнь 2005 г.), на Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, Самарский государственный университет, июль 2005 г.), 55-ой, 56-ой и 58-ой межвузовских научных конференциях СамГПУ (Самара, Самарский государственный педагогический университет, 2001, 2002 и 2004 гг.), научном семинаре кафедры уравнений математической (ризики Самарского государственного университета под руководством доктора физико-математических наук, профессора Филатова О.П. (Самара, 2000 - 2005 гг.), научном семинаре по дифференциальным уравнениям при Самарском государственном педагогическом университете под руководством доктора физико-математических наук, профессора Волкодавова В.Ф. (Самара, 2001 г.).
В заключение выражаю искреннюю признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Олегу Павловичу Филатову за постоянное внимание и помощь в работе.
Равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений с управлением и липшицевой правой частью
Решение задачи Кошті (1-13) возможно не единственное, так что возникает интегральная воронка с вершиной в точке ((ъ2/о)- При условии (1.14) среди решений этой интегральной воронки имеются верхнее y(t,tQ,yo) и нижнее y(t,t[),yo) такие, что любое решение задачи (1.13) y(t,t(f,yo) удовлетворяет неравенству
Число г может быть +оо, или таким, чтобы при t — т изображающая точка вдоль верхнего (нижнего) решения стремилась к границе А. Без условия Важевского верхнего решения может и не существовать.
Теорема 1.5 (теорема Важевского, [58], [92]). Пусть в системе (1.13) f Є С (А), А — открытая область о 1х W1, в области А выполняются условия Важевского (1.14)- Тогда существует промежуток [іо,т), на котором определено верхнее решение у(-) задачи (1.13) с начальным условием у (to) = уо Є А. Пусть дана непрерывно дифференцируемая на промежутке [to, г) функция и : [to,r) К" такая, что u{to) Уо (t- u{t)) Є А при t Є [ta-,r). Если имеет место дифференциальное неравенство u(t) f(t,u(t)) при t Є /о г)? то u(t) y(t) при t[t0,T).
Теорема Важевского может быть обобщена и распространена на случай, когда функции и(-) пли / являются разрывными (обзор обобщений теоремы Важевского приведен, например, в [54]). Рассмотрим теперь только неотрицательные решения задач (1.12) и (1.13). В этом случае из теоремы 1.5 (теоремы Важевского) следует, что свойство устойчивости (а также асимптотической устойчивости) тривиального решения системы (1.13) наследуется системой (1.12). Это утверждение было использовано В.М.Матросовым при доказательтве теоремы об устойчивости системы дифференциальных уравнении в работе [50], где возник вопрос об устойчивости системы дифференциальных неравенств относительно координат векторной функции Ляпунова, предполагаемых неотрицательными. В настоящей работе будет рассмотрен вопрос об устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений. В этом случае наличие малого параметра в системе и условие неотрицательности решений по медленным переменным позволяет отказаться от условия Важевского. Рассмотрим систему дифференциальных неравенств и включений вида Здесь x = (xi,... ,xn) — вектор из нормированного пространстваШп; t Є R+; / = (/i,...,/„) — векторнозначная функция, / : E+ x Bn(ro) x Rmx[0,/ ] — ]Г,гдеВп(г0) ={їЄГ: x r0},r0 0;G:l+xlmx [0, // ] — Kv(Wn), где Кv(Wn) — множество всех непустых компактных выпуклых множеств из пространства "1; R : IR+xB"(ro)x]Rmx[0,// ] — Kv(Rm); }t — малый параметр, 0 ft }i , (t 0. Знак " " в (1.15) понимается в смысле покоординатной частичной упорядоченности векторов из R". Определение 1.8 Под "решением, системы (1.15) с начальными условиями x{to) — хо 0, у (to) = Ї/О Є Km будем понимать абсолютно непрерывную функцию w(t) = (x(t),y(t)), x(t) 0, удовлетворяющую системе (1.15) почти при всех t 0 из промежутка определения Tr (w), который допускается и конечным. — совокупность всех решений системы (1.15) с начальными условиями iv(to) = WQ. Определение 1.9 [70] Систему (1.15) будем называть #,// - устойчивой, если V є 0 3 fiQ 0 3 (5 0; для любых начальных условий (t0,wQ) Є R+ х Вп+(6) xMm, V/i Є (0,/ о], V t Є TDj Лід любого решения системы (1.15) выполняется неравенство ж() є. Если последнее неравенство выполняется только в промежуткеT[)(w)n[to,і$ + /І-1] = Їі)(іо5ж0ії/0і/г)? mo систему (1.15) будем называть х, -устойчивой на асимптотически большом отрезке. Здесь и далее для удобства построения и применения методов исследования устойчивости будем рассматривать устойчивость тривиального решения, так как исследование любого другого решения с помощью па-мены переменной может быть сведено к исследованию тривиального решения. Рассмотрим вопрос об устойчивости системы (1.15) на асимптотиче ски большом отрезке T(to,fi) = [to,to + //-1] ,to Є K+,/f — 0, установив г связь со свойствами решений системы дифференциальных включений, полученной методом усреднения. Предположим, что выполняются условия: a) отображение / измеримо по t; b) функция / ограничена почти при всех t: \\f\\ с, с — постоянная; c) фуНКЦИЯ / удовлетворяет УСЛОВИЮ \\f{t,XUyi,ll) - /( 2,У2,0)[ / i - 21 + "і(ІІЇ/і - У-г\\) + ?2(fi)i где I — постоянная; jua2 К — класс непрерывных строго монотонных функций, определенных на R+ п равных 0 в точке 0; d) отображение G ограничено почти при всех t, то есть \G(t,у,ц)\ sup{ 7 : д Є G(t,y,f.t)} с, с— постоянная; e) отображение G удовлетворяет условию Липшица по переменной г/, то есть h(G(t,yi,fi),G(t:y2,ft)) l\\yi — уа почти при всех t и Vy,//, где h(Л, В) — отклонение множества А от множества В; f) функция G(t,y,fi) равномерно непрерывна по ц в точке /г = 0 почти Vi, то есть Ує 0 3ftQ 0 такое, что при 0 // щ и любом у почти всюду по t выполняется неравенство h(G(t,y,(t),G(t, у,0)).
