Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Собственные колебания в волноводе с прямоугольным поперечным сечением 13
1.1. Существование собственных колебаний нечетных по двум поперечным переменным 13
1.2. Существование собственных колебаний нечетных по одной поперечной переменной 31
1.3. Существование собственных колебаний в пленарном волноводе 41
1.4. Существование собственных колебаний в многомерном волноводе 44
Глава 2. Допустимые квазисобственные колебания в некоторых неограниченных областях 50
2.1. О допустимых квазисобствеиных колебаниях в волноводе 50
2.2. О допустимых квазисобственных колебаниях газа около плоской периодической решетки 62
Глава 3. Принцип предельной амплитуды в неограниченном брусе (модельные задачи) 65
3.1. Задача Дирихле 66
3.2. Задача Неймана 76
3.3. Принцип предельной амплитуды для полубруса 80
3.4. Замечания 84
Литература 86
Приложение 95
- Существование собственных колебаний нечетных по одной поперечной переменной
- Существование собственных колебаний в многомерном волноводе
- О допустимых квазисобственных колебаниях газа около плоской периодической решетки
- Принцип предельной амплитуды для полубруса
Введение к работе
#
Во многих областях физики имеет важное значение исследование собственных колебаний в неограниченных волноводных областях. Первые значимые исследования спектральных свойств лапласиана в областях с бесконечной границей были проведены Реллихом [82] и Джоунсом [69]. В частности, ими было показано, что лапласиан имеет собственные значения для класса локальных возмущений достаточно гладких полуцилиндрических областей. Вероятно, ввиду математической сложности этих работ, им уделялось мало внимания в различных приложениях. В первую очередь возрождение интереса к данной тематике обусловлено в связи с явлением аэроакустического резонанса, изучение которого актуально, например, при проектировании турбомашин (газовых, паровых и гидравлических турбин, насосов, компрессоров ), трубопроводов, камер сгорания реактивных двигателей и т.п. (обзор некоторых экспериментальных работ содержится в [79]). Общей теории, позволяющей эффективно описать закономерности поведения соответствующего спектра собственных значений, еще не создано. Этим и объясняется актуальность диссертационной работы.
Впервые экспериментальные исследования собственных колебаний около симметричной решетки пластин в прямоугольном канале были описаны в [77]. Отметим также работы экспериментального характера [3,4,18,19,61]
В работах Сухинина СВ. [41-43] содержится теоретическое доказательство существования собственных частот акустических колебаний около периодической решетки профилей и исследованы их свойства при помощи аналитической теоремы Фредгольма.
В работе Попова А.Н.[33] было показано существование собственных колебаний для случая бесконечно тонкой пластинки в волноводе с акустически мягкой границей. Первый численный пример существования собственных колебаний в двумерном волноводе с жёсткой границей, в центре которого поме-
щено круглое препятствие достаточно малого радиуса, был дан Калланом, Лин-тоном и Эвансом [63]. Дальнейшее развитие эти исследования получили в работе Эванса, Левитина, Васильева [66], где проведено доказательство существования собственных колебаний для некоторого класса препятствий в двумерном волноводе. В работе Сухинина СВ., Бардаханова С.ГЦ47] теоретически и экспериментально в двумерной постановке исследовано явление аэроакустического резонанса для случая бесконечно тонкой пластины в канале. Было показано существование собственных колебаний независимо от длины и положения пластины в канале. Экспериментальные данные и результаты численных исследований показали хорошее совпадение.
Существование собственных колебаний не ограничивается только двумерной постановкой задачи, как было показано Урселлом в работе [85] для случая сферы достаточно малого радиуса, расположенной в середине волновода с по-стоянным круговым поперечным сечением в R . Отметим также работы СВ. Сухинина [44,46], Дэвиса, Парновского [65], в которых исследован случай тонкостенных препятствий в цилиндре, и работу А. И. Макарова [27], в которой рассмотрен случай крестообразного препятствия, образованного двумя прямоугольными пластинами, в волноводе квадратного сечения. Во всех приведенных выше работах предполагалось, что волновод и препятствия имеют акустически жесткую границу.
Необходимо также упомянуть работы Камоцкого И.В., Назарова СА.[20,21] в которых исследуется задача дифракции плоской акустической волны на периодической границе при значениях частот, близких к резонансным. В частности, ими рассмотрен случай полуполосы, в которой помещены два круга одинакового радиуса, и показано, что при надлежащем выборе расположения центров кругов и достаточно малом их радиусе существует экспоненциально убывающая на бесконечности собственная функция задачи Неймана (см.[21], теорема 4.3). При этом соответствующее собственное значение вложено в непрерывный спектр данной задачи. Ими же развит невариационный метод изучения собственных волн, основанный на свойствах расширенной матрицы рассеяния [22].
С учетом вышеизложенного, встала задача исследования собственных колебаний в случае трехмерного волновода с прямоугольным поперечным сечением при наличии препятствий достаточно произвольной геометрии. Основной трудностью при исследовании собственных колебаний в неограниченных вол-новодных областях является наличие непрерывного спектра, заполняющего неотрицательную полуось. Наличие определенного рода симметрии позволяет сузить пространство решений так, что в некоторых случаях удается доказать существование наименьшего собственного значения, погруженного в непрерывный спектр.
В первой главе диссертационной работы исследуется вопрос существования нетривиального решения однородной задачи Неймана (задача N):
Ди + А,и = 0 (Х>0) вО, (0.1)
ди/дп=0 на Э Q, (0.2)
интегрируемого с квадратом вместе со своими первыми частными произвол-ными. Здесь Q. = П0\ В, Qo = {(х, у, z)eR , xe{-d\,d\\y^(—d2,d2), 2eR}, В - компактное множество. Рассмотрены следующие случаи.
А. Множество В ограничено кусочно-гладкими поверхностями и №(В) > 0.(3десь и далее /4 означает ^-мерную меру). Предполагается, что В симметрично относительно плоскостей х — 0 и у = 0.
Б. Множество В представляет собой объединение двух бесконечно тонких пластин В\ и #2, расположенных в плоскостях ;е=0 и у=0, соответственно, симметрично относительно оси Oz. Пластины В і и В2, границы которых достаточно гладкие, пересекаются, образуя крестообразное препятствие. Предполагается, что В[ г\В2 ={(x,y,z)eQ0: x = 0,y = Q,a
3 > 0 такое, что множество Bj n {(x,y,z) є П0 : л: +у <8,a
В. Множество В ограничено кусочно-гладкими поверхностями и /л^(В)>0.
Предполагается, что В симметрично относительно плоскости у = 0.
V*'
Г. Множество В - бесконечно тонкая пластина с достаточно гладкой границей, которая расположена в плоскости у — О. В силу симметрии области Сі, рассмотрены сужения задачи N на множество функций нечётных по переменным хну в случаях А и Б (задача N2) и - на множество функций нечётных по переменной у в случаях В и Г (задача N"p). Получены теоремы существования собственных функций задачи /Vа в случаях А, Б и - задачи N"p в случаях В, Г соответственно. Используя принцип мини-макса в операторной форме, доказано (теоремы 1.1-1.5), что собственные колебания в задаче N" существуют: в случае А, если выполняется неравенство:
f \
пх
d;
+
\а\
\a\ "2 J
в случае Б — всегда; и собственные колебания в задаче Nир существуют: в случае В, если выполняется неравенство:
dCl > 0 ; (0.3)
(0.4)
в случае Г — всегда.
При этом наименьшее собственное значение задачи N принадлежит интервалу (0, я2 /4rf,2+ я2 /4rf22), а наименьшее собственное значение задачи N"p принадлежит интервалу (0, тг /4d2 ) Здесь
Ba=BnQaQ, CfQ={(x,y,z)eCl0: х>0, у>0}, Bup=BnCluQp, Qu0p = {(x,y,z)eQQ: у>0}>
Кроме того, показано существование собственных колебаний для некоторого класса локально-возмущённых волноводов как при наличии препятствий, так и при их отсутствии.
Также рассмотрена задача N в области П = С1{кикг), где Cl(k\,k2) = П0 \ В(кик2), П0 = {(х, у, z)e R3: хє R, yt(-d2,d2), ze R}, B(k\,ki) - двупараметриче-ское семейство растяжений множества В, определяемое формулой
B{k\Jt2) = {(x,y,z)e Q0: (x/kt,y,z/k2) єВ},кик2>\. Доказано, что, если множество В удовлетворяет условиям случая В и выполнено неравенство (0.4), то задача W для достаточно большого значения к\ +к2 имеет собственное значение в интервале (0, я /4d2 ). В конце первой главы полученные ранее результаты для трехмерных волново-
V дов естественным образом обобщаются на случай препятствий с s плоскостями
симметрии (1 в многомерном волноводе, поперечным сечением которого является и-мерный параллелепипед.
Спектральные свойства оператора Лапласа в некоторых областях с бесконечной границей исследовались не только в выше упомянутых работах Джоун-са и Реллиха, а также в работах Д.М.Эйдуса [50,51], А.Г.Рамма [32,35], Одэ [76], A.M. Ильина [17], Литмана [70], А.А. Винника [9], Моргенрётера , Верне-ра [75], Витча [92], А.В. Филиновского [49] и других.
j\ Наличие собственных значений лапласиана является существенным усло-
вием возникновения явления резонанса, которое заключается в том, что решение соответствующей начально-краевой задачи для волнового уравнения с правой частью, периодически зависящей от времени, неограниченно растет при t -ь + оо, если частота вынужденных колебаний со принадлежит некоторому дискретному множеству на вещественной оси. Отметим, что отсутствие собственных значений оператора Лапласа не приводит к отсутствию резонансов вообще. Для иллюстрации сказанного приведем несколько примеров. Пусть к - размерность "выходов на бесконечность" области Q. Известно, что :
?Щ а) если Q — ограниченная область (в этом случае k = 0) и со (#>> 0) равно од-
ному из собственных значений лапласиана с соответствующим граничным условием, то может иметь место резонанс порядка 0{ t) при t —> + оо ([87]); б) если 1 - неограниченный цилиндр с постоянным поперечным сечением ( здесь к = 1) и если со (а> > 0) равно одному из собственных значений опера-тора Лапласа в поперечном сечении, то возможен резонанс порядка 0( t ) при t -» + оо (см. [88]);
в) если П есть трехмерная область R2x(0, d) ( в этом случае к = 2) и если со 2
равно одному из чисел вида {jtnlct)2, где «є N, то возможен резонанс порядка
0( In t) при t ->+оо (см. [87]);
г) если Q = R ( к = 1), ш = 0 , то возможен резонанс порядка 0( t) при /-> + <»
(см. [88]);
д) если Q = R ( к = 2), со = 0 , то возможен рост решения нестационарной зада
чи порядка O(lnt) при /-»+<» (см,, например [87]);
е) если ficR2- внешность компактного множества с гладкой границей
(к = 2), о = 0 , то решение внешней начально-краевой задачи Неймана может расти как С In t при f-> + со, как это было показано в работах [30, 31, 89].
Для к 3 наличие резонансов не установлено. Примеры б) - е) показывают, что отсутствие собственных значений лапласиана не приводит к отсутствию резонансов вообще. Причиной возникновения резонансов в приведенных примерах является то, что резольвента неограниченна в некоторой своей точке ветвления. Нетривиальные решения соответствующей однородной задачи для уравнения Гельмгольца, которые соответствуют этим точкам ветвления, являются собственными функциями в обобщенном смысле.
Во второй главе диссертационной работы исследуется один класс нетривиальных решений (наличие которых может вызывать резонансные явления) однородной задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в двумерной волновод-ной области, образованной из пары противоположно направленных полуполос, соединенных гладким образом. Данная задача имеет важное значение в физике, так как она описывает транспортные свойства некоторых квантовых волноводов.
Пусть связное множество OcR, граница которого принадлежит С , таково, что существует р> 0 такое, что Q\ {(х,у)е R2: \х\< р} состоит из полу-полос^і= {(х,у)е R2 : х<-р, щ <у < Ь]} и П2= {(х,у) є R2 : х> р, а2< у < Ь2}. Предполагается, что множество Сі \ (Пі и Пг) ограничено. Пусть U(x,y) - решение следующей задачи Дирихле;
AU + tfU^O в Q (k>0), (0.5)
/=0 на ЭП. (0.6)
На бесконечности ставятся условия излучения в виде разложений в ряд Фурье при я«-1
и при X» 1
J7*, ч
^-(j-«i)
L М
exp(-('crjx) + 0(|x| )
(0.7)
-2,
L 1г
exp(rcrj дг) + 0(|лг[ ),
(0.8)
\ '2
1 у
где ls~bs- as (s = 1,2), <т) = Jk2 -
a* = const, Recr* > 0, Im a* > 0, 7+ иу_- наибольшие целые числа, удовлетворяющие неравенствам:
( V
Ґ ^2 ЯЛ
\ h J
Остаточный член функции gradU тоже предполагается 0(|х| ) при [д:|»1. Далее вводится
Определение 2.1. Нетривиальное решение UeC (Сї)Г\С (С2) вышеупомянутой задачи Дирихле (0.5) - (0.8) называется допустимой квазисобственной функцией (д. кс. ф.), при этом к называется допустимой квазисобственной частотой(д. кс. ч.). Доказаны следующие утверждения: Теорема 2,1. Пусть область Q удовлетворяет условиям, упомянутым выше и
1 1 *—'
С/єС*(П)пС'(П)
есть д. кс. ф. задачи (0.5) — (0.8). Тогда для нее справедливы представления: а) при х» 1
Щх,у) =
V+ (х, у), если —- < N,
a\h sm[k(y-a)] + V+(x,y), если —-eN;
(0.9)
б) при х«—1
U(x,y) =
V~(x,y), если —- gN,
ацг sm[k(y-a)]+V~(x,y), если —-eN,
~ Ж
(0.10)
У* (x,y)= 2 «)sin u2
J>-
l_'2
(y~a2)
exp (i
(0.11)
+00
V (x,y)= aj sin
—(у-щ)
- l\
exp (-І
(0.12)
Следствие 2.1. Пусть область Q удовлетворяет условиям, упомянутым вы-/єСЛ(П)пС'(П) есть д. кс. ф. задачи (0.5) — (0.8) с квазисобственной
частотой к такой, что к1\1ж и к Іііж не принадлежат N.
Тогда U есть собственная функция оператора Лапласа с условием Дирихле и соответствующее ей собственное значение Я равно k2.
Используя метод, восходящий к работе Д.М. Эйдуса [50], получены условия, при которых отсутствуют Д. КС. ф.
Теорема 2.2. Пусть область Q удовлетворяет условиям, упомянутым выше и пусть
пгх <0 на дО, (0.13)
где «і есть первая координата вектора нормали п , направленного в область
случае, если а\= аг и Ъу=Ъг,то дополнительно предполагается, что Q^Qq, где Q0 = { (х,у)eR2, хеR, а\ <у < b\ }.
Тогда для задачи (0.5) — (0.8) не существует допустимых квазисобственных функций.
Отметим работу Макайвера, Линтона [71] в которой получены условия отсутствия собственных функций оператора Лапласа в волноводных областях, поперечное сечение которых имеет постоянный диаметр, если спектральный параметр принадлежит интервалу (- оо, Л<>2), где Л02 есть наименьшая точка существенного спектра. В этой связи надо заметить, что собственные значения лапласиана Дирихле могут принадлежать интервалу (О, Л02)[82,69], так и могут быть вложены в непрерывный спектр (впервые на эту возможность было указано в работе A.M. Ильина [17]). Примеры существования собственных значений задачи Дирихле, погружённых в непрерывный спектр, были построены Витчем [92].
Наряду с изучением резонансных явлений много усилий было приложено для нахождения конфигураций неограниченных областей, для которых выполняется принцип предельной амплитуды (ППА) .
Под упомянутым принципом традиционно понимается следующее: решение задачи
Un+AU = fe'M, /(0) = ^,(0) = 0 (0.14)
допускает асимптотику
U(t) = eitolv+o(\)y *-> + оо. (0.15)
Здесь А - линейный оператор в гильбертовом пространстве H,v- решение стационарной задачи
Av-e>2v=f, (0.16)
Уравнение (0.16) в задачах теории дифференциальных уравнений может
иметь не единственное решение. В этом случае выделяют класс единственности
и требуют принадлежности решения к этому классу. В работах А.Г. Рамма
[35,36], В.П. Михайлова [29] ППА формулируется в слабой форме ( в смысле
(С, 1) - сходимости) и определяется равенством:
1 т
v= — \U{t)e-'aidt + o(\), Т-У+оо. (0.17)
Т о
Наряду с ППА рассматривают принцип предельного поглощения (ППП). Говорят, что для оператора А выполнен ППП в точке о), если для любого / из некоторого плотного в И множества имеет место равенство
limv(fij + /e) = v((»), (0.18)
1!>I где v(cy) - есть решение уравнения (0.16). В работе А.Г. Рамма [36] показана
равносильность ППП и ППА в форме (0.17). Если со2 принадлежит непрерывному спектру оператора А, то ППП можно рассматривать наряду с ППА как способ выделения единственного решения уравнения (0.16). Обзор работ, посвященных ППА и ППП содержится в работе Д.М.Эйдуса [51], библиографию этого вопроса также можно найти в монографиях [8,38,83].
В третьей главе данной работы рассматриваются модельные примеры вол
новодов с квадратным поперечным сечением при отсутствии препятствий.
Исследовано асимптотическое поведение при больших значениях времени ре-
TJV шений начально-краевых задач Дирихле и Неймана для волнового уравнения с
правой частью, периодически зависящей от времени. Получены достаточные условия выполнимости ППА.
Заканчивая введение, добавим несколько слов о структуре диссертации и
об обозначениях. Диссертация состоит из введения, трёх глав, библиографии и
приложения. Главы разделены на параграфы с двойной нумерацией: номер
главы и номер параграфа в главе разделены точкой. Нумерация теорем, лемм,
следствий и определений также двойная, сквозная в каждой главе. Большинст
во обозначений, используемых в тексте диссертации, являются общеприняты-
Crf ми. Разъяснение символов обычно даётся при первом их упоминании. Ситуа-
ции, когда одним и тем же символом обозначаются разные понятия будут ясны из контекста.
Существование собственных колебаний нечетных по одной поперечной переменной
В данном параграфе мы рассмотрим случай препятствий в волноводе, обладающих одной плоскостью симметрии. Рассмотрим задачу (2)-(4) нахождения достаточно гладкой функции и (х, у, z), удовлетворяющей условию нечетности по переменной у u{x-y,z) = -u(x,y,z), (75) Рассматриваются два вида препятствий: Случай В. Препятствие В - компактное множество ненулевого объема, ограниченное кусочно-гладкими поверхностями. Предполагается» что В симметрично относительно плоскости у = 0. Случай Г. Препятствие В есть бесконечно тонкая пластина ненулевой площади с кусочно-гладкой границей. При этом предполагается, что препятствие расположено в плоскости у = 0. Введем обозначения: ПоР={(х,у,г) =а0:у 0}, Вир=ВпС , Пир = Пи0р \Bvp. Напомним, что X есть проекция множества Q на плоскость у = 0. Пусть uup(x,y,z) есть решение краевой задачи (2)-(4), удовлетворяющей условию (75). Очевидно, что иир{х,у,z) является решением краевой задачи, которую в дальнейшем будем называть задачей Nup: Определение 1.3. Собственным значением задачи Ы р называется значение параметра Л, для ко что X есть проекция множества Q на плоскость у = 0. Пусть uup(x,y,z) есть решение краевой задачи (2)-(4), удовлетворяющей условию (75). Очевидно, что иир{х,у,z) является решением краевой задачи, которую в дальнейшем будем называть задачей Nup: Определение 1.3. Собственным значением задачи Ы р называется значение параметра Л, для которого существует нетривиальное решение задачи N . Нетривиальное решение иир (х, у, z) будет называться собственной функцией задачи Л . Имеют место утверждения, аналогичные леммам 1.1 и 1.2, где Лд = я2 (Adl , Н\ - пространство Соболева, полученное замыканием в полунорме (12), где П" надо заменить на Qup, подмножества класса бесконечно диф ференцируемых функций в Qup, удовлетворяющих условиям: а ) функция и (х, у, z) — 0 для (x,y,z) є X, б ) носитель «(Л:, у, z) ограничен в Qup. Имеет место Теорема 1.3. Пусть В — такое компактное препятствие, ограниченное кусоч-есть пробная функция, принадлежащая пространству Соболева Н10 аналогичная функции, данной в формуле (18). Далее пользуемся методом доказательства теоремы 1.1. Введем обозначения, аналогичные (20), где в интегралах верхний индекс "а" заменим на "up". Покажем, что имеет место подразумевает, что последнее выражение положительно для достаточно большого R. Теорема 1.3 доказана. Следствие 1.2. Пусть В есть компактное множество ненулевого объема с кусочно-гладкой границей. Пусть симметричное относительно плоскости у = 0 препятствие В лежит в области {(x,y,z)eQo: \у\ аУ2}. Тогда существует наименьшее собственное значение задачи Nup, принад лежащее интервалу (0, Л 0 ).
Доказательство аналогично доказательству следствия из теоремы 1.1 и поэтому опущено. Замечание 1.1. Рассмотрим случай волновода без препятствия. Известно (см. например,[88] ), что в волноводе с постоянным поперечным сечением лапласи ан Неймана не имеет собственных значений. Пусть теперь волноводная область (W является кусочно-гладким локальным возмущением области По таким, что вы полняются условия: т д) П симметрично относительно плоскости у = 0. Пример трехмерного волновода, удовлетворяющего условиям а)-д), показан на рис. 3. в приложении. Тогда существует собственная функция задачи (1) - (3) нечетная по переменной у и соответствующее собственное значение принадлежит интервалу торого существует нетривиальное решение задачи N . Нетривиальное решение иир (х, у, z) будет называться собственной функцией задачи Л . Имеют место утверждения, аналогичные леммам 1.1 и 1.2, где Лд = я2 (Adl , Н\ - пространство Соболева, полученное замыканием в полунорме (12), где П" надо заменить на Qup, подмножества класса бесконечно диф ференцируемых функций в Qup, удовлетворяющих условиям: а ) функция и (х, у, z) — 0 для (x,y,z) є X, б ) носитель «(Л:, у, z) ограничен в Qup. Имеет место Теорема 1.3. Пусть В — такое компактное препятствие, ограниченное кусоч-есть пробная функция, принадлежащая пространству Соболева Н10 аналогичная функции, данной в формуле (18). Далее пользуемся методом доказательства теоремы 1.1. Введем обозначения, аналогичные (20), где в интегралах верхний индекс "а" заменим на "up". Покажем, что имеет место подразумевает, что последнее выражение положительно для достаточно большого R. Теорема 1.3 доказана. Следствие 1.2. Пусть В есть компактное множество ненулевого объема с кусочно-гладкой границей. Пусть симметричное относительно плоскости у = 0 препятствие В лежит в области {(x,y,z)eQo: \у\ аУ2}. Тогда существует наименьшее собственное значение задачи Nup, принад лежащее интервалу (0, Л 0 ). Доказательство аналогично доказательству следствия из теоремы 1.1 и поэтому опущено. Замечание 1.1. Рассмотрим случай волновода без препятствия. Известно (см. например,[88] ), что в волноводе с постоянным поперечным сечением лапласи ан Неймана не имеет собственных значений. Пусть теперь волноводная область (W является кусочно-гладким локальным возмущением области По таким, что вы полняются условия: т д) П симметрично относительно плоскости у = 0. Пример трехмерного волновода, удовлетворяющего условиям а)-д), показан на рис. 3. в приложении. Тогда существует собственная функция задачи (1) - (3) нечетная по переменной у и соответствующее собственное значение принадлежит интервалу (0,7i2jAdl). Для доказательства достаточно рассмотреть в качестве пробной функцию
Существование собственных колебаний в многомерном волноводе
В данном параграфе излагаются результаты, обобщающие теоремы 1.1 -1.4. на многомерные волноводы. Пусть неограниченная область По имеет вид 2о =( =( 1, Х2,..., xn+i )eR"+1: -dt xt di для і =1,2,..., п ; хп+х eR}, для di 0 (і =1, 2,..., «), В Qo помещено ограниченное препятствие Я, которое может быть и несвязным. В зависимости от вида препятствия рассмотрим следующие случаи. А . Компактное множество В, ограниченное кусочно-гладкими поверхностями таково, что і„+\(В) Ф 0. Кроме того, предположим, что В симметрично относительно s координатных плоскостей [xik = О}, к = l,..,s; s = 1,..,л. Б . Компактное множество В, ограниченное кусочно-гладкой границей так, что /Wi(5) = 0 и В расположено в плоскости {х\= 0}. Рассматривается задача нахождения нетривиального достаточно гладкого решения и однородной задачи Неймана, удовлетворяющего в Q = По\ В уравнению краевому у Определение 1,4. Собственным значением задачи N (соответственно задач № и №р) называется значение параметра А, для которого существует нетривиальное решение задачи N (соответственно задач /Vі и N"p). При этом само нетривиальное решение называется собственной функцией соответствующей задачи. Через Co (Qa,Mp) обозначим подмножество класса бесконечно дифференцируемых функций в С1а( соответственно в fp), обладающих свойствами: а)и(л:) = 0 для х&Г-ир. б) носитель и(х) ограничен в Па,цр. Обозначим через H]0(Qa,up)пространство С.Л. Соболева, полученное замыканием Со (ПвіЧР) в полунорме Е(и,0.аир). Имеют место утверждения, аналогичные леммам 1.1, 1.2. Лемма 1.3. Непрерывный спектр задачи N" (N"p ) есть интервал [Лд2, +со) Лемма 1.4. Пусть Тогда Ma Aa2 ( соответственно Up Kp2 ) олее того, если Лой Ла (соответственно Х р Аир2\ то Х (/УО есть наименьшее собственное значение задачи № (N"p), и если А$= A2 (AQ"P = AUP2), то в интервале (-оо, Аа ) (соответственно в интервале (-со, Аир )) не существует собственных значений задачи N" (N"p). Имеет место Теорема 1.6. Собственные значения задачи АҐ существуют в интервале (0, Лд ), если выполняется неравенство Доказател ьство. Рассмотрим следующую функцию (122) где R 0 и функция р(г) определена формулой (16) . По построению функция щ принадлежит H]Q(Qa). Для доказательства теоремы достаточно показать выполнение неравенства: для достаточно большого R. Имеет место очевидное равенство для достаточно большого R, где A\ к A2- положительные постоянные, не зависящие от R. Из (124) - (126), с учетом неравенства (121) следует справедливость неравенства (123). Теорема 1.6 доказана.
Введем дополнительные обозначения: Кроме того, пусть %,& ) есть достаточно гладкая функция такая, что «( ) = Теорема 1,7. Собственные значения задачи Nup существуют и при-надлежащ интервалу (0, А.ир ). Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1.4. Пусть пробная функция имеет вид где функция р(т) определена формулой словию на дО. условию конечности энергии и-вектор внешней нормали к dQ. В дальнейшем, задачу (117) - (119), как и в предыдущих параграфах, будем называть задачей N Кроме того, будем рас сматривать задачу JV нахождения функции иа(х) решения краевой задачи (117) - (119), удовлетворяющего условиям нечётности по переменным xjf ,хІ2,...,xt , — для случая А и задачу N нахождения функции иир(х) - решения краевой задачи (117) - (119), удовлетворяющего условию нечетности по переменной х\, - для случая Б . Определение 1,4. Собственным значением задачи N (соответственно задач № и №р) называется значение параметра А, для которого существует нетривиальное решение задачи N (соответственно задач /Vі и N"p). При этом само нетривиальное решение называется собственной функцией соответствующей задачи. Через Co (Qa,Mp) обозначим подмножество класса бесконечно дифференцируемых функций в С1а( соответственно в fp), обладающих свойствами: а)и(л:) = 0 для х&Г-ир. б) носитель и(х) ограничен в Па,цр. Обозначим через H]0(Qa,up)пространство С.Л. Соболева, полученное замыканием Со (ПвіЧР) в полунорме Е(и,0.аир). Имеют место утверждения, аналогичные леммам 1.1, 1.2. Лемма 1.3. Непрерывный спектр задачи N" (N"p ) есть интервал [Лд2, +со) Лемма 1.4. Пусть Тогда Ma Aa2 ( соответственно Up Kp2 ) олее того, если Лой Ла (соответственно Х р Аир2\ то Х (/УО есть наименьшее собственное значение задачи № (N"p), и если А$= A2 (AQ"P = AUP2), то в интервале (-оо, Аа ) (соответственно в интервале (-со, Аир )) не существует собственных значений задачи N" (N"p). Имеет место Теорема 1.6. Собственные значения задачи АҐ существуют в интервале (0, Лд ), если выполняется неравенство Доказател ьство. Рассмотрим следующую функцию (122) где R 0 и функция р(г) определена формулой (16) . По построению функция щ принадлежит H]Q(Qa). Для доказательства теоремы достаточно показать выполнение неравенства: для достаточно большого R. Имеет место очевидное равенство для достаточно большого R, где A\ к A2- положительные постоянные, не зависящие от R. Из (124) - (126), с учетом неравенства (121) следует справедливость неравенства (123). Теорема 1.6 доказана. Введем дополнительные обозначения: Кроме того, пусть %,& ) есть достаточно гладкая функция такая, что «( ) = Теорема 1,7. Собственные значения задачи Nup существуют и при-надлежащ интервалу (0, А.ир ). Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1.4. Пусть пробная функция имеет вид где функция р(т) определена формулой (16). Очевидно, что у/2{х)еНх0{О р). Непосредственным вычислением проверяется, что справедливо асимптотическое представление при Л- + оо для достаточно малого фиксированного є. Теорема 1.7 доказана. Замечание 1.3. Пусть теперь связное множество П является локальным кусочно-гладким возмущением области Qo таким, что выполнены условия: а) QcQ0 и 0 /VH (Q V По) ; б) П симметрично относительно плоскости xh - 0; В этом случае волноводная область Q может иметь углубления на одной стенке волновода (см. рис.5 в приложении ). Тогда, если выполняется неравенство
О допустимых квазисобственных колебаниях газа около плоской периодической решетки
В данном параграфе исследуется класс допустимых квазисобственных функций (см. определение 2.2 ниже ) — нетривиальных решений однородной задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца во внешност исследована в работах В.Ф. Бадюкова (см., например, [2]). Методика исследования в настоящем параграфе аналогична методике, изложенной в 2.1, поэтому все доказательства будут опущены. Пусть В - совокупность областей с гладкой границей {дВ є С2 ) таких, что В периодично вдоль оси OYc периодом 2я, т.е. где j - ( 0,1), BQ - часть множества В, принадлежащая полосе Предполагается, что Во ограничено. Пусть Q =R \В, С10=со0\В0, Рассматривается функция U(x,y)e(f(Q)r\C\Q), являющаяся решением однородной задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца: При х » 1 функция U(x,y) удовлетворяет условию излучения в форме ([1,40-42]): существует R 0 такое, что для д: R функция U(xy) имеет представления: где где [m] есть целая часть числа т. щ Далее необходимо Определение 2.2. Нетривиальное решение задачи (32) - (35) называется допустимой квазисобственной функцией, если k 0 и имеют место асимптотики (7). При этом к называется допустимой квазисобственной частотой соответствующей задачи, Имеют место утверждения, аналогичные изложенным в 2.1. Теорема 2.4. Пусть область В удовлетворяет условиям, упомянутым выше и U(x,y)eCr(D.)r\C (П) — допустимая квазисобственная функция задачи (32) — (35). Тогда для функции U справедливы представления при х \ » 1: Следствие 2.2. Если к (kN) - допустимая квазисобственная частота задачи (32) - (35), то соответствующая допустимая квазисобственная функция U(x,y) является собственной функцией самосопряженного расширения опера-тора (-Д) в пространстве 2п- периодических по переменной у функций, удовлетворяющих однородному условию Дирихле на д П, и соответствующее собственное значение равно k2. Теорема 2.5. Пусть область Q удовлетворяет всем условиям, упомянутым выше, и пусть выполнено условие (15). Кроме того предполагается, что В Ф 0. Тогда допустимой квазисобственной функции задачи (32) - (35) не существует. и одномерно периодической решетки гладких препятствий в R2. Существенной особенностью этих функций является то, что они могут не убывать в полосе одного периода решетки. При выполнении условия "безловушечности" получены условия отсутствия допустимых квазисобственных функций. Ранее аналогичный результат был установлен СВ. Сухининым [41] для класса функций, убывающих при удалении от решетки препятствий. Единственность решений краевых задач рассеяния на периодических гофрированных поверхностях была исследована в работах В.Ф. Бадюкова (см., например, [2]). Методика исследования в настоящем параграфе аналогична методике, изложенной в 2.1, поэтому все доказательства будут опущены. Пусть В - совокупность областей с гладкой границей {дВ є С2 ) таких, что
В периодично вдоль оси OYc периодом 2я, т.е. где j - ( 0,1), BQ - часть множества В, принадлежащая полосе Предполагается, что Во ограничено. Пусть Q =R \В, С10=со0\В0, Рассматривается функция U(x,y)e(f(Q)r\C\Q), являющаяся решением однородной задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца: При х » 1 функция U(x,y) удовлетворяет условию излучения в форме ([1,40-42]): существует R 0 такое, что для д: R функция U(xy) имеет представления: где где [m] есть целая часть числа т. щ Далее необходимо Определение 2.2. Нетривиальное решение задачи (32) - (35) называется допустимой квазисобственной функцией, если k 0 и имеют место асимптотики (7). При этом к называется допустимой квазисобственной частотой соответствующей задачи, Имеют место утверждения, аналогичные изложенным в 2.1. Теорема 2.4. Пусть область В удовлетворяет условиям, упомянутым выше и U(x,y)eCr(D.)r\C (П) — допустимая квазисобственная функция задачи (32) — (35). Тогда для функции U справедливы представления при х \ » 1: Следствие 2.2. Если к (kN) - допустимая квазисобственная частота задачи (32) - (35), то соответствующая допустимая квазисобственная функция U(x,y) является собственной функцией самосопряженного расширения опера-тора (-Д) в пространстве 2п- периодических по переменной у функций, удовлетворяющих однородному условию Дирихле на д П, и соответствующее собственное значение равно k2. Теорема 2.5. Пусть область Q удовлетворяет всем условиям, упомянутым выше, и пусть выполнено условие (15). Кроме того предполагается, что В Ф 0. Тогда допустимой квазисобственной функции задачи (32) - (35) не существует.
Принцип предельной амплитуды для полубруса
Теперь исследуем асимптотическое поведение решений начально-краевых задач для уравнения (1), удовлетворяющих начальным условиям (2), в области Q+={(x,y,z)eR3: xe(0, + oo)f(y,z)e(0(ff)x(0,ff)}. Пусть Г; ={(зд2)еП+;л = 0}, Г2=5П4 \Г1. Тогда будем рассматривать следующие краевые условия: Введем обозначения в зависимости от выбора краевых условий на Г і и Г2: под задачей (I) ( соответственно (II); (III); (IV) ) понимается начально-краевая задача для уравнения (1) с условиями (2), (51), (53) (соответственно (2), (51), (54); (2), (52), (53); (2),(52),(54)). Справедливы следующие теоремы. Теорема 3.3. Пусть й 0. Для решения начально-краевой задачи (I) выполняется ППА и имеют место асимптотики: а)если a)zg.N или,если J(w2) = 0, то Теорема 3.4. Пусть (DtO. Для решения начально-краевой задачи (II) выполняется ППА и справедливы асимптотики: а)если ct}2Z+ или, если J(u 2) 0, то Здесь/ц (х) задается формулой (11). б) Если со1 eN и J(co2)&0, то имеет место резонанс вида 5 случае б) ППЛ выполняется тогда и только тогда, когда имеет место условие ортогональности для всех натуральных чисел к,1 таких, что $+11=ш2. Теорема 3.6. Для решения начально-краевой задачи (IV) справедливы асимптотические оценки; а) если со 0, o2gN или J(o)2)=0,mo cos (Ay) cos (/z) и функция fk,i(x) дана формулой (40). 1. Все асимптотические оценки при t - + со в 3.1 - 3.3 выполняются равно мерно в любом компактном подмножестве в П и Q+, соответственно. г 2. Все утверждения обобщаются на случай областей fl = Rx5 и 1 = [О, + оо)х S, где S есть -мерный куб. Для этого необходимо утверж Теперь исследуем асимптотическое поведение решений начально-краевых задач для уравнения (1), удовлетворяющих начальным условиям (2), в области Q+={(x,y,z)eR3: xe(0, + oo)f(y,z)e(0(ff)x(0,ff)}. Пусть Г; ={(зд2)еП+;л = 0}, Г2=5П4 \Г1. Тогда будем рассматривать следующие краевые условия: Введем обозначения в зависимости от выбора краевых условий на Г і и Г2: под задачей (I) ( соответственно (II); (III); (IV) ) понимается начально-краевая задача для уравнения (1) с условиями (2), (51), (53) (соответственно (2), (51), (54); (2), (52), (53); (2),(52),(54)). Справедливы следующие теоремы. Теорема 3.3. Пусть й 0. Для решения начально-краевой задачи (I) выполняется ППА и имеют место асимптотики: а)если a)zg.N или,если J(w2) = 0, то Теорема 3.4. Пусть (DtO. Для решения начально-краевой задачи (II) выполняется ППА и справедливы асимптотики: а)если ct}2Z+ или, если J(u 2) 0, то Здесь/ц (х) задается формулой (11). б) Если со1 eN и J(co2)&0, то имеет место резонанс вида 5 случае б) ППЛ выполняется тогда и только тогда, когда имеет место условие ортогональности для всех натуральных чисел к,1 таких, что $+11=ш2. Теорема 3.6. Для решения начально-краевой задачи (IV) справедливы асимптотические оценки; а) если со 0, o2gN или J(o)2)=0,mo cos (Ay) cos (/z) и функция fk,i(x) дана формулой (40). 1. Все асимптотические оценки при t - + со в 3.1 - 3.3 выполняются равно мерно в любом компактном подмножестве в П и Q+, соответственно. г 2.
Все утверждения обобщаются на случай областей fl = Rx5 и 1 = [О, + оо)х S, где S есть -мерный куб. Для этого необходимо утверждение, аналогичное лемме 3.2. Лемма 3.5. Пусть Л (N) есть количество представлений натурального числа N в виде суммы к квадратов натуральных чисел. Тогда для Л (Л/) справедлива Эта лемма вытекает из следующего результата работы [64]: Количество точек с целочисленными координатами Rk (N), лежащих в шаре Pj х] N, удовлетворяет оценке 1=1 Из (68) следует, что для равномерной сходимости кратных рядов Фурье достаточно потребовать, чтобы /еС +2 (Q). ІЩ 3. Изменение краевых условий Неймана (52) на условия Дирихле (51) на Г і приводит к отсутствию всяких резонансов для решения соответствующей нестационарной задачи. Резонансы отсутствуют и в случае краевого условия третьего рода: Для определенности рассмотрим начально-краевую задачу (1), (2), (53), (69). Тогда решение стационарной задачи, полученной после преобразования Лапласа (7), имеет вид (9), где коэффициенты Фурье и (х,р) заданы формулой дение, аналогичное лемме 3.2. Лемма 3.5. Пусть Л (N) есть количество представлений натурального числа N в виде суммы к квадратов натуральных чисел. Тогда для Л (Л/) справедлива Эта лемма вытекает из следующего результата работы [64]: Количество точек с целочисленными координатами Rk (N), лежащих в шаре Pj х] N, удовлетворяет оценке 1=1 Из (68) следует, что для равномерной сходимости кратных рядов Фурье достаточно потребовать, чтобы /еС +2 (Q). ІЩ 3. Изменение краевых условий Неймана (52) на условия Дирихле (51) на Г і приводит к отсутствию всяких резонансов для решения соответствующей нестационарной задачи. Резонансы отсутствуют и в случае краевого условия третьего рода: Для определенности рассмотрим начально-краевую задачу (1), (2), (53), (69). Тогда решение стационарной задачи, полученной после преобразования Лапласа (7), имеет вид (9), где коэффициенты Фурье и (х,р) заданы формулой
