Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Оптимизация в классе импульсных управляющих воздействий .
I. Адаптивный метод 22
2. Метод возмущений для регулярно возмущенных задач 25
1. Постановка задачи 25
2. Некоторые асимптотические разложения 28
3. Малая коррекция .29
4. Корректирующие задачи 33
5. Пример .; 38
3. Слабоуправляемые системы 40
1. Постановка задачи 40
2. Базовая задача 40
3. Некоторые асимптотические разложения 41
4-. Малая коррекция 43
5. Корректирующие задачи 46
4. Метод возмущений для сингулярно возмущенных задач 49
1. Постановка задачи 49
2. Вспомогательные асимптотические разложения 51
3. Базовая задача 54
Ц-. Малая коррекция 57
5. Пример 65
ГЛАВА II. Оптимизация возмущенных линейных систем в классе кусочно-постоянных управлений .
I. Прямой опорный метод 67
2. Алгоритм приближенного решения регулярно возмущенных задач 70
1. Постановка задачи. Базовая задача 71
2. Анализ возмущенной задачи. Малая коррекция 73
3. Пример 77
3. Приближенная оптимизация слабоуправляемых систем .78
I» Постановка задачи. Базовая задача 78
2. Анализ возмущенной задачи. Малая корреция 79
3. Пример 83
4. Приближенная оптимизация сингулярно возмущенных систем 84
1. Постановка задачи 84
2. Вспомогательные асимптотические разложения 85
3. Базовая задача 88
4. Малая коррекция при отсутствии точек переключения вблизи терминального момента 90
5. Малая коррекция при наличии точек переключения вблизи терминального момента 94
6. Пример 101
Литература
- Некоторые асимптотические разложения
- Некоторые асимптотические разложения
- Постановка задачи. Базовая задача
- Вспомогательные асимптотические разложения
Введение к работе
Многие задачи динамики полета 5, 27, 55, 79, 83, I06J управления работой ядерных реакторов Г80 "7 , электротехники flllj , управления экономическими системами [36, 657 и др. [4, 48, 62-64, 76, 96J приводят к дифференциальным, интегро-дифференциальным, разностным уравнениям, содержащим некоторые малые (или большие) параметры. Соответствующие малые параметры порождаются малыми индуктивностями, моментами инерции, малыми массами, малой тягой двигателя; в дискретных задачах - малым шагом.
Одним из главных инструментов решения задач, содержащих малые параметры (возмущенных задач) является метод возмущений. Основная идея его заключается в разделении описания возмущенной системы на основную, "каркасную" структуру и детализирующую,"тонкую" структуру. При этом детализация рассматривается как возмущение основной, порождающей схемы, а полная картина поведения системы приближенно оценивается путем определенной коррекции результата анализа порождающей системы, т.е. наложения на этот результат некоторых поправок, вычисление которых значительно проще непосредственного исследования сложной системы.
Применение метода возмущений (метода малого параметра) традиционно для теории дифференциальных уравнений. Понятно, что и в теорию оптимального управления метод возмущений проник достаточно быстро и естественно. Однако наиболее серьезный интерес к нему возник лишь в последнее время в связи с постановкой задач, опи-вывающих действительно сложные системы. Как отмечено в [^J' применение метода малого параметра асимптотических методов в теории оптимального управления полезно по целому ряду причин, из которых отметим, например, следующие : а) теория возмущений позволяет установить соответствие между идеализированной, упрощенной и исходной сложной, возмущенной моделями; б) с помощью асимптотического анализа удается получить качественную картину решения, и на ее основе предложить эффективные вычислительные процедуры для приближенного решения исходных задач; в) малые параметры в задачах оптимального управления могут быть введены искусственно, и тогда теория возмущений выступает в качестве метода исследования исходной, в каком-либо смысле "плохой" (например, некорректной) задачи.
В зависимости от характера возмущений соответствующие задачи оптимального управления могут оказаться регулярно возмущенными, т.е. непрерывными возмущениями некоторой задачи, или сингулярно возмущенными. В отличие от регулярных возмущений сингулярные характеризуются следующим свойством: при наличии отличного от нуля возмущения-тип системы меняется так, что для определения решения возмущенной задачи требуется большее число дополнительных условий, нежели для определения решения невозмущенной. Применение методов теории возмущений (асимптотических методов) в задачах оптимального управления сингулярно возмущенными системами оказывается особенно полезным в связи с тем, что прямое решение сингуляно возмущенных задач затруднено или практически невозможно из-за вычислительной неустойчивости вследствие "жесткости" Гб9, 74, 75, 127]
Регулярно возмущенные задачи оптимального управления изучались широко по двум основным направлениям. Первое связано с построением асимптотики решения, в частности, с вопросами предельного перехода и чувствительности решения (первый член разложения в ряд Тейлора по малому параметру) в случае открытой области управления. Второе направление посвящено построению асимптотики решения, воп- - б - росам предельного перехода и др. в том случае, когда область значений управляющих воздействий есть замкнутое ограниченное множество, и управления могут быть разрывными функциями временного аргумента.
В первом случае [I, 64, 65, 78J возможно применение классической техники Пуанкаре для построения асимптотики решения краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтрягина.
Первые результаты по исследованию регулярных возмущений и предельному переходу в задачах оптимального управления с ограничениями на область значений управляющих воздействий в виде неравенств были получены Ф.М. Кирилловой Г44, 45J. В указанных работах приведены условия, при которых для оптимального управления в возмущенной задаче быстродействия имеет место непрерывная зависимость как от начальных данных, так и от параметров возмущения. В дальнейшем такие задачи исследовали Каллам ["87J , Ю.Н. Киселев [41J , В.Б. Колмановский [46, 47J , Черноусько Ф.Л. Г7б7 , Н.Н. Красовский [49 7 , Е.С. Левитин [56,57J и другие авторы 3, 59, 60, 64-67, 78, 81, ИЗ, 122].
Ю.Н. Киселев Г40-42] первым рассмотрел проблему построения асимптотического решения задачи оптимального управления при ограничениях на компоненты управляющей вектор-функции. Он исследовал квазилинейную задачу быстродействия с возмущенными начальными условиями при ограничениях (I). С точностью 0() Ю.Н. Киселев построил асимптотические приближения к оптимальному управлению и экстремали Л.С. Понтрягина, указал условия [ 43J , при которых в линейной задаче быстродействия имеет место аналитическая зависимость минимального значения критерия качества и точек переклю- чения оптимального управления от начальных условий, получил разложения по малому параметру минимального значения критерия качества и точек переключения оптимального управления.
Обобщению результатов Ю.Н. Киселева посвящена работа В.А. Плотникова, А.й. Третьяка [*67] ,где рассмотрена существенно нелинейная задача быстродействия.
А.А. Белолипецкий ["3J изучал некоторые линейные задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями.
В [81, 99j предложен метод построения асимптотики решения возмущенной задачи оптимального управления с ограничениями, идея которого заключается в нелинейной замене независимой переменной t » "замораживающей" точки переключения оптимального управления невозмущенной задачи. При этом используются интерполяционные полиномы Лагранжа.
Приближенный метод синтеза управления, оптимального по быстродействию, для линейных задач с малым параметром изложен в работе В.Н. Калинина Гз9І.
Среди регулярно возмущенных задач оптимального управления большое внимание исследователей привлекают задачи оптимизации так называемых слабоуправляемых систем. Эти системы характеризуются тем свойством, что соответствующие невозмущенные системы (формально получаемые из возмущенных при нулевом значении параметра) не зависят от управления. Такие системы изучались в целом ряде работ в связи с управлением движением летательных аппаратов, в том числе и космических - в книгах Г.Л. Гродзовского, Ю.Н. Иванова, В.В. Токарева [*27J , В.Н, Лебедева [55J , Н.Н. Моисеева [62-64J , Ф.Л. Черноусько, Л.Д. Акуленко, Б.Н. Соколова p?7j в работе Ф.Л. Черноусько [?вJ ; в связи с управлением экономическими системами - А.А. Первозванским, В.Г. Гайцгори [65J. Наличие малого параметра в слабоуправляемых системах характери- зует малость отношения управляющих воздействий, например, силы тяги аппарата, к неуправляемым величинам, например, к силе веса. Исследование слабоуправляемых систем при ограничениях типа (I) содержится в работах А.А. Любушина 59 J , Н.Н. Моисеева, Ф.Л. Черноусько [l22j , А.А. Первозванского, В.Г. Гайцгори [65J , Ф.Л. Черноусько [76 J » Ф.Л. Черноусько, В.Б. Колмановского [78J.
Изучение сингулярно возмущенных задач оптимального управления имеет ряд специфических сложностей по сравнению с регулярно возмущенными задачами. Например, в сингулярном случае порядок вырожденной задачи (получаемой из исходной, если положить малый параметр равным нулю), как правило, понижается, что существенно затрудняет изучение асимптотики оптимальных решений [ІЗ, НО, 116, 117, 126 J . Указанный факт в то же время характеризует важное свойство сингулярно возмущенных задач: понижение порядка систем является актуальным вопросом в численной реализации решений в силу ограниченности памяти ЭВМ и того, что численные методы решения систем невысокого порядка на современных ЭВМ разработаны достаточно полно.
Теория сингулярных возмущений интенсивно развивается многими авторами, ей посвящено большое количество монографий и обзоров - В. Базова [бJ , А.Б. Васильевой [8 J , А.Б. Васильевой, В.М. Волосова ["ilj , А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова [9, 10 J , А.Б. Васильевой, М.Г. Дмитриева ГіЗ J ,Кокотовича, 0іМолли, Сэн-нути Гпо] , С.А. Ломова [58J , Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розова [бі], О*Молли [Пб, 117] и др. [34, 35, 88, 90, 94, 95, 97, 102, 119, 122, 12б].
Основополагающими в теории сингулярных возмущений являются работы А.Н. Тихонова [70-72J . Он рассмотрел начальную задачу для системы дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных:
При S-D получается невозмущенная система уравнений
А.Н. Тихонов дал ответ на вопрос о том, к какому из решений ityCfyZCt)} системы (3) и при каких условиях стремится реше- те {Ц(І)9НІ)) заДачи (2) ПРИ -*Л
Эффективным методом решения сингулярно возмущенных задач является метод пограничных функций, который развит на основе результатов А.Н. Тихонова. Детальную разработку метод пограничных функций получил в работах А.Б. Васильевой [7J , А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова /9, I0J . Идея метода заключается в том, что асимптотическое разложение решения системы (2) ищется в виде z&V* z(iy+Ux(t,v w (Здесь под X(l,t) понимается пара {MCt,),Z(l,)} )> ГДЄ есть так называемый регулярный ряд с коэффициентами, зависящими от г а
Пх ст, v=nox(t)+int zct) t.. есть пограничный ряд - степенной ряд по , коэффициенты которого зависят от"быстрой переменной"' "=.. Эти коэффициенты называются пограничными функциями или пограничными членами; они описывают поведение решения в малой окрестности точки і = О (так называемой "зоне пограничного слоя"), а вне пограничного слоя экспоненциально затухают. В книге [9J подробно изложен алгоритм получения произвольного члена разложения (4). Метод пограничных функций удалось распространить и на решение краевых задач дифференциальных уравнений, а также других классов задач [2, 9, 10, 38, 73, Ш] .
Метод пограничных функций является мощным аппаратом решения краевых задач, вытекающих из необходимых условий оптимальности для целого ряда задач оптимального управления. Хотя этот метод предполагает, как правило, достаточную гладкость управляющих функций, он получил широкое применение при решении таких важных классов задач, как, например, задачи аналитического конструирования регулятора ["85, 93, 109, 112, 114, II5J .
Сингулярно возмущенные задачи оптимального управления при отсутствии ограничений на значения управляющих воздействий, исследование предельного перехода и построение асимптотики решения в таких задачах рассматривались в работах l2, 29, 97, 98, 105, III, 119, 124, 125J (помимо вышеупомянутых работ, посвященных задачам аналитического конструирования регулятора). Названные задачи в случае нефиксированного времени исследованы в Г7, 9, 123 J . Построение предельной задачи в отмеченных работах производится с помощью асимптотического анализа краевой задачи принципа максимума для возмущенной задачи. Существенно при этом, что получение предельной задачи из исходной возмущенной, если положить в последней =0, возможно не всегда; формулировка алгоритма построения предельной задачи представляет собой самостоятельную задачу.
Среди сингулярно возмущенных задач оптимального управления без ограничений на значения управляющих функций относительно более глубоко изучены задачи управления линейными системами с квадратичным критерием качества. С учетом специфики задач здесь удает ся довести решение до получения синтеза. Асимтотическое решение - II - линейно-квадратичных задач изучается, главным образом, с помощью двух подходов. Первый основан на рассмотрении краевой задачи, получаемой из необходимых условий оптимальности. Этому направлению посвящены работы [ЗО, 84, 103, 109, 118, 119, 128J. Другой подход основан на изучении матричного дифференциального уравнения Риккати, соответствующего исходной линейно-квадратичной задаче [23-26, 92, 95, 109, II8-I2l].
В работах Т.Р. Гичева, А.Л. Дончева [89, 100, 101J изучен, в частности, предельный переход при Е~*0 в решениях задач оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества при линейных сингулярно возмущенных дифференциальных связях.
Принципиальное усложнение исследования решения сингулярно возмущенных задач оптимального управления происходит, если на значения управляющих воздействий наложены ограничения ІиЩйі.І-ЇЛ, п.Иф,Т], (5) где Цс(і) есть компоненты вектора управления. Ограничения (5) приводят к появлению негладких решений и асимптотическое решение таких задач, вообще говоря, не удается проводить по традиционной схеме путем исследования соответствующих краевых задач принципа максимума.
Одними из первых сингулярно возмущенных задач с ограничениями вида (5) были исследованы задачи оптимального быстродействия. При некоторых предположениях Коллинз f86J провел анализ точек переключения оптимального управления в следующей линейной задаче: на траекториях системы с помощью скалярных ( 7=/ ) измеримых вектор-функций, удовлетворяющих условию (5), минимизировать время перехода Т из - 12 -начального состояния y(D)=f, 2(0)=Z С?) в начало координат у(Т)=о, гсЪ-о. (8)
Коллинз установил, в частности, что точки переключения оптимального управления задачи (5)-(8) делятся на три группы. Точки из первой группы расположены вблизи начальной точки. Вторая группа содержит точки, близкие к точкам переключения оптимального управления соответствующей предельной задачи. Наконец, третья группа содержит точки, расположенные в некоторой малой окрестности конечного момента времени.
Кокотович и Хаддад в Г107, I08J продолжили исследование Коллинза для случая многомерных управляющих воздействий (т. е.
7^-1 ) Дальнейшее изучение возмущенных задач быстродействия проводилось в [21, I04J . Для простого случая скалярных управляющего воздействия, быстрой и медленной переменных В.А. Есиповой
Г37~? удалось применить метод пограничных функций при построении асимптотики решения задачи.
Важным классом задач, которым посвящено большое число публикаций [2, 22, 23, 28, 30-33, 50-54, 68, 88, 9IJ, являются задачи терминального управления сингулярно возмущенными системами. В работах М.Г. Дмитриева Г30-32І рассматривалась следующая задача оптимального управления типа Майера: ^Лг(і)у^ЛкИ)ї+В&(ігс), Z(0)=?0>, при ограничениях на управление (5). В предположении, что матрица устойчивая (т. е. все ее собственные числа - ІЗ - имеют отрицательные вещественные части) и при некоторых дополнительных требованиях установлена сходимость оптимальных управления и траектории задачи /g при "** +0 к оптимальным управлению и траектории некоторой специальной (вырожденной) задачи Р0 ; причем имеет место ванное явление скачка в функционале вырожденной задачи. Впервые явление скачка в функционале было отмечено в работе [32J.
Анализ точек переключения в задаче (9), (5) выполнен в [2J; линейному случаю этой задачи посвящена работа [68J. В [22, 23) исследована задача (9), (5) в случае, если с~<{, а быстрые переменные - компоненты вектора 2 - могут быть быстро осциллирующими функциями. Предельный переход по малому параметру в задачах типа Майера с дифференциальными связями, не разрешенными при ~0 относительно производных, изучался в [51J . Задача Майера для систем сингулярно возмущенных интегро-дифференциаль-ных уравнений исследована в f28j . Некоторым более общим по сравнению с (9), (5) задачам Майера посвящены работы [82, 88, 9IJ. А.Л. Дончев в [88J изучил устойчивость по критерию качества в сингулярно возмущенной задаче Майера, построив функционал предельной задачи /-J так, чтобы наряду с близостью траекторий и управлений в задачах Р и Р имелась бы и близость критериев.
Из приведенного краткого обзора видно, что до настоящего времени как в регулярно, так и в сингулярно возмущенных задачах оптимального управления типа Майера с ограничениями на значения управляющих воздействий исследованы лишь некоторые аспекты поведения решений : сходимость метода малого параметра в оптимизации слабоуправляемых систем, непрерывность решения по сингулярным возмущениям, построение предельной задачи, учет скачков в функционале для сингулярно возмущенных задач и некоторые другие. При- чем эти результаты относятся к задачам со свободным или закрепленным правым концом траекторий.
Отсутствуют результаты,касающиеся решения указанных задач в классе ограниченных кусочно-постоянных функций с заданными равноудаленными (на некоторую постоянную величину jx ) точками, в которые возможны переключения (такие управления мы в дальнейшем будем называть импульсными).
В последние годы белорусской школой математиков, занимающихся проблемами оптимизации (Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, О.И. Костюкова и др.) предложен конструктивный подход [14-16, 19, 20J к решению линейных задач оптимального управления. Данный подход, основанный на результатах [Ї5, 17, 18J , развивается в направлении максимального учета краевых условий, ограничений на управляющие воздействия и других особенностей задач оптимального управления; он позволяет решать задачи как в классе импульсных управлений, так и в классе кусочно-постоянных. В рамках конструктивного подхода получены, в частности, результаты, относящиеся к оптимизации возмущенных систем. Настоящая диссертационная работа примыкает к этому подходу. Она посвящена изучению возмущенных линейных задач оптимального управления типа Майера с ограничениями на значения управляющих воздействий и с терминальными условиями, построению асимптотических приближений к решениям таких задач. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.
В первой главе исследуются возмущенные задачи оптимального управления в классе импульсных управляющих функций. Строятся асимптотические приближения к решениям поставленных задач. Алгоритм построения основан на малой коррекции оптимальных управлений некоторых невозмущенных задач (так называемых базовых). Существуют различные методы решения класса линейных задач оптимального управления, к которому относятся соответствующие базовые задачи. Для наших целей наиболее удобен адаптивный метод [I5J , поскольку кроме оптимального управления он дает дополнительную информацию, необходимую для малой коррекции. В первом параграфе главы приводятся основные понятия, которыми оперирует адаптивный метод.
Во втором параграфе изучается регулярно возмущенная задача оптимального управления: d(ftn(%)~>max, (10) еСГ (її) юти, da) H(f<)2Crj =$(/*), С") где j? - Ті - вектор состояния системы, V - скалярное управ ление, $(j4.)-m~ вектор; ifj1*),^), Л(М)} Н(Н) ~ векто ры и матрицы соответствующих размеров; /*f- малый неотрицатель ный параметр. Управления if(') выбираются из множества у(') КУ" сочно-постоянных функций lf(T), Т6[0у Т%], сохраняющих свои значе ния U(i) на заданных отрезках квантования [иЪу(Ь+)гъ),1~ ~0)iy„,,ifL (t*-itrL), причем эти значения ограничены неравен ствами d^i)^ U(i) d*(l), і = 0, /, „,, if і. Функции ll(')^V(') (импульсные функции) называются допустимыми уп равлениями задачи (ІО)-(ІЗ), если порожденные ими траектории сис темы (II) удовлетворяют терминальному условию (13). Если же ра венство (13) выполняется с точностью до малой величины порядка
К (эту малую величину обозначаем О(И ) ), то управ- ление будем называть %- допустимым. Допустимое ( #.- допустимое) управление назовем У - оптимальным, если оно отклоняется от оптимального управления по целевому функционалу (10) на величину D(fi*n).
Предполагается, что параметры А(у094(р*)9С(М, $(№)> //М, *%0(М задачи (10)-(13) допускают асимптотические разложения до I- го члена ( С-0 і ... ~ некоторое заданное число) с постоянными коэффициентами: l(f)r*ffi> Wfl^fHf 2&}^f1^' (Под асимптотическим разложением до ft- го члена для функции ^(М мы будем понимать в данном случае многочлен 2Z. ftfC с коэффициентами, вообще говоря, зависящими от И, такой, что
Этот факт в настоящей диссертационной работе обозначается так: также предполагается, что При сделанных предположениях во втором параграфе путем развития схемы, предложенной в Г15J , разработан алгоритм построения - оптимальных ^- допустимых управлений задачи (10)-(15); и ft- любые наперед заданные числа, 0— $>* а— Параграф оканчивается решением примера, иллюстрирующего предложенный алгоритм,
В 3 также рассматривается задача (10)-(13), но теперь предполагается, что система (II) является слабоуправляемой, т.е. &„~0. В этом случае необходимо дополнительно потребовать, чтобы где Zofc) есть решение системы так как иначе при достаточно малых Ji в задаче (ІО)-(ІЗ) не существует допустимых управлений. Предполагается также, что 6.ФР. Как и в предыдущем параграфе, предложена процедура построения S- оптимальных #- допустимых управлений в задаче (ІО)-(ІЗ), где $ и я - любые наперед заданные натуральные числа такие, что &&4і4І.
В 4 исследуется сингулярно возмущенная линейная задача: C'zCtJ+dycrj -> max, J? где -7- вектор, У~ ft-i~ вектор, Q- 7ҐІ— вектор; /= = if(-) — скалярное управление из множества импульсных функций V(-)t определенного ранее; Л, В, С, Д , И, &, 6> С, d,
7 и - постоянные матрицы и векторы соответствующих разме-ров; / - малый положительный параметр. Предполагается, что матрица Л устойчивая, т.е. вещественные части всех ее собственных чисел отрицательны; кроме того требуется, чтобы ХДЛк[я Н]= -7П, ТП^К^. Как и для предыдущих задач, для задачи (15) предложен алгоритм построения У~ оптимальных Я- допустимых управлений; У и Я, % "? $ 'zO, - любые наперед задан- ные целые числа. Решен пример, иллюстрирующий работу алгоритма. Пример описывает управление некоторой механической системой.
Во второй главе диссертации в классе ограниченных кусочно-постоянных управляющих воздействий изучаются линейные возмущенные задачи оптимального управления типа Майера с подвижными правыми концами траекторий. Глава посвящена построению асимптотических приближений к оптимальным управлениям поставленных задач. Как и в первой главе, процедуры построения основаны на малой коррекции оптимальных управлений специальных невозмущенных (базовых) задач. Линейные задачи оптимального управления, к которым относятся базовые задачи, монно решать различными методами. В данном случае наиболее удобно применять прямой опорный метод [l4-[| , так как он позволяет получить не только оптимальное управление базовой задачи, но и дополнительную информацию, необходимую для малой коррекции. Первый параграф второй главы посвящен изложению основных понятий прямого опорного метода.
В 2 исследуется регулярно возмущенная задача оптимального управления того же вида, что и в соответствующем параграфе первой главы: & =А(р)х+4(ри, z(OhX0(pX (іб) но теперь управления Ю[т), Г^/ 4J, выбираются из класса кусочно-постоянных функций. Предположения относительно параметров задачи те же, что и в 1.2. Предложен алгоритм построения асимптотических приближений к точкам переключения оптимального управления в задаче (16), что позволяет для любого целого числа к^О построить #—допустимое управление, являющееся и ті- оптимальным (Определения допустимых, «-допустимых, $ — оптимальных управлений при оптимизации в классе кусочно-постоянных управляющих функций вводятся как и в случае импульсных управляющих воздействий (глава I)). Работа алгоритма иллюстрируется примером.
Б 3 идеи второго параграфа распространяются на случай сла-боуправляемых систем. Предложенный в параграфе алгоритм применен к решению задачи управления колебаниями математического маятника.
В заключительном четвертом параграфе второй главы рассматривается сингулярно возмущенная задача того же типа,что и в 1.4: ^-Съ+Ц+и,0)^о, (17) ІиСІШ. *ФМ но оптимизация осуществляется в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий. Предполагается, что параметры задачи (17) помимо требований, наложенных на них в 1.4, удовлетворяют по крайней мере одному из условий: 1)С-0, и-0 \ 2) d-O. Требуется также, чтобы ЇШігі(Н-(ІА &)-7fc. Предложен алгоритм построения ft - допустимых управлений, являющихся и *k - оптимальными, где п^О - любое наперед заданное целое число.
Точки переключения таких управлений делятся на две группы: первая состоит из точек, расположенных вблизи точек переключения оптимального управления специальной базовой задачи; вторая группа содержит точки, близкие к конечному моменту ^ Предложенный в параграфе алгоритм иллюстрируется на примере оптимизации движения одной механической системы.
Таким образом, в целом данная диссертационная работа посвящена конструктивному подходу к проблеме асимптотического решения возмущенных задач оптимального управления типа Майера.
Материалы диссертации докладывались на научных конференциях молодых ученых БГУ им. В.И. Ленина (Минск, 1982, 1984 гг.), на XII Всесоюзной школе-семинаре по адаптивным системам (Могилев, 1984 г.), на Всесоюзной школе молодых ученых "Вычислительные методы и математическое моделирование" (Минск, 1984 г.), на У Всесоюзном совещании "Управление многосвязными системами" (Тбилиси, 1984 г.). Материалы диссертации были представлены на Международной конференции по математическим методам в исследовании операций (София, НРБ, 1983 г.). Работа неоднократно обсуждалась на Минском городском семинаре по конструктивной теории оптимального управления.
Основные результаты работы опубликованы в Г129-1381 ,
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Нумерация формул независимая в каждом параграфе. Ссылки внутри одной главы сопровождаются номерами соответствующего параграфа, а ссылки вне данной главы - номером той главы и параграфа, где находится соответствующая формула. Нумерация параграфов независимая внутри глав. Перед номером параграфа одной главы /V , упоминаемого в другой, ставится номере Формулу (14) введения обозначим (В.14).
Приведем некоторые обозначения, используемые в работе. Если число 1-А, +1,..., I, то мы будем писать 1~ К,6. Точка поверх буквы означает дифференцирование соответствующей функции по аргументу 2> ; штрих означает транспонирование. Под векторами понимаются вектор-столбцы (если не оговорено противное). -единичная матрица; иногда указывается ее размер: . О - нуль, нулевой вектор или матрица соответствующего размера. Символ означает вектор-столбец, элементами которого являются числа Я(ъ), записанные сверху вниз в порядке возрастания числа из множества / . [G НJ — матрица, состоящая из элементов матриц G и Ht выписанных рядом. Символ [o(w, / J означает матрицу (вектор-строку), столбцами которой (элементами) являются векторы (числа) ё(), записанные слева направо в порядке возрастания
Остальные обозначения поясняются в тексте.
Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность профессору, доктору физико-математических наук Р. Габасову за привлечение к работе над данной темой и ряд ценных замечаний и моему научному руководителю доценту, кандидату физико-математических наук А.И. Калинину за постоянное внимание к работе.
Некоторые асимптотические разложения
В соответствии с определениями, приведенными во введении, управление ННСЬ),І ІІ удовлетворяющее неравенствам (7), назовем допустимым, если порожденная им траектория системы (б) удовлетворяет терминальному условию (8). Если же равенство (8) выполняется с точностью 1)(Н ) » то управление будем называть к- допустимым.
Допустимое (к— допустимое) управление назовем -оптимальным, если оно отклоняется от оптимального управления Ын(ъ) І&Т, по целевому функционалу на величину
В настоящем параграфе предлагается алгоритм, позволяющий для любых чисел к,У, $ 0}t9 K $tt, построить У— оптимальное ft- допустимое управление поставленной задачи. Основная идея алгоритма состоит в малой коррекции оптимального управления следующей задачи, которая получается из исходной задачи (I) при М
Эту задачу назовем базовой или порождающей по отношению к исходной возмущенной. В классе импульсных управляющих воздействий ба - 28 зовая задача эквивалентна следующей дискретной задаче терминального управления: матрица R0 и вектор ZQ есть старшие коэффициенты разложений (12).
Исходная возмущенная задача оптимального управления при любом фиксированном значении параметра М, , а также базовая задача- принадлежат тому же классу линейных задач, что и (I.I), поэтому понятия опоры и сопутствующих ей величин у названных задач вводится по аналогии.
Рассмотрим опорную матрицу ${ » $& (И) возмущенной задачи (5)-(8), соответствующую некоторой опоре 7 ,. Поскольку опорная матрица вводится по формуле (1.6), параметры H Wf4), fL R Cf )9 Х-ХСМ) которой допускают асимптотические разложения (В.14), (12), то имеет место следующее асимптотическое разложение до -го члена: коэффициенты этого разложения таковы:
Пусть множество Т есть опора базовой задачи. Нетрудно видеть, что старший коэффициент Л0С1 ) разложения (15), построенный формально согласно (16) по опоре , является опорной матрицей базовой задачи при этой опоре. Следовательно, матрица A T ) невырожденная. Поэтому при достаточно малых JU невырожденной является и опорная матрица (15) задачи (5)-(8). Таким образом, всякая опора базовой задачи будет опорой и в возмущенной задаче (5)-(8) при достаточно малых И .
Рассмотрим теперь вектор потенциалов $L ft(H)f котраекто рию lf/-\ff(№tzj и коуправление Д-Д(М, ) возмущенной задачи, соответствующие опоре 7лм, базовой задачи (а следовательно, и возмущенной). Названные величины строятся согласно формулам параметры правых частей которых допускают асимптотичес кие разложения до I - го члена. Учитывая невырожденность матрицы Л0(1ру), получаем следующие асимптотические разложения:
Среди рассматриваемых управлений ищем допустимое управление UJ[i) задачи (5)-(8). Из равенства (24) и терминального условия (8) получаем уравнение относительно опорных компонент искомого допустимого управления: (Верхний индекс в скобках означает связь с соответствующей опорой). В силу равенств (19) в асимптотическом разложении оценки субоптимальности 6 (М опорного управления /#. 71, f задачи (5)-(8) пропадут все слагаемые, зависящие от знака величинД ({)= = №(ъ) - коуправления базовой задачи при опоре 7л, б T(f Поэтому окончательно:
Некоторые асимптотические разложения
В предыдущем параграфе мы рассмотре ли задачу (2.1)-(2.4) в предположении, что старший коэффициент "V0 асимптотического разложения вектора Ь( JU) отличен от нуля. Те перь исследуем эту задачу в случае, когда т.е. когда система (2.2) является слабоуправляемой. В данном случае процедура приближенного решения задачи (2.1)-(2.4), предложенная в 2, не применима, поскольку базовая задача (2.13) теряет смысл. Предположение (I) влечет за собой требование равенства так как иначе при достаточно малых М в задаче (2.1)-(2.4) не существует допустимых управлений. Дополнительно потребуем, чтобы
Запишем задачу (2.1)-(2.4) в дискретной форме (2.5)-(2.8). Отметим, что в данном случае старший коэффициент Т0 асимптотического разложения (2.12) вектора Ъ(М) равен нулю в силу предположения (I).
Оказывается, что общая схема приближен ного решения задачи (2.1)-(2.4), предложенная в 2, применима и в случае слабоуправляемых систем, если в качестве базовой взять следующую задачу оптимального управления:
В классе импульсных управляющих функций базовая задача может быть записана в дискретной форме: и вектор есть коэффи циенты асимптотических разложений (2.12).
Рассмотрим опорную матрицу Аш(№) возмущенной задачи (2.5)-(2.8), соответствующую некоторой опоре 7 . Эта матрица определяется по формуле (1.6) и, поскольку входящие в формулу параметры И-H(H)t R. R-(M)f T=ZfM) допускают вышеуказанные асимптотические разложения, имеет место разложение матрицы Л(л (М следующего вида: (суммирование в (4) начинается с члена первой степени малого параметра Ji- ). Коэффициенты разложения (4) таковы:
Пусть множество 7 является опорой базовой задачи (3). Несложно проверить, что старший коэффициент (/ J разложения (4), построенный в (5) формально по опоре f4 , есть опорная матрица базовой задачи, отвечающая этой опоре. Поэтому (Т ) есть невырожденная матрица. Тогда при достаточно малых J6 невырожденной будет и опорная матрица (4) возмущенной задачи. Таким образом, всякая опора базовой задачи является опорой и в возмущенной задаче (2.5)-(2.8).
Вектор потенциалов Jt Siff ), котраектория Ц -Ц СИ ), коу-правление/1= /vвозмущенной задачи, соответствующие опоре / базовой задачи (а, следовательно, и возмущенной), строятся по формулам (1.7)-(1.10), параметры которых Ч-Ъ(ял) fC-R(M)t С = C(JK)9 Н- WfOy m ЛоъМ допускают асимптотичес кие разложения. Из этих разложений и невырожденности матрицы следует справедливость таких разложений: коэффициенты которых находятся по формулам: где функции (Р;(і) определены в (5). Рассмотрим базовую задачу (3). Непосредственно проверяется тот факт, что старшие члены JC Д (t) 1 /, разложений (6), построенные по опоре f базовой задачи, являются соответственно вектором потенциалов и коуправле-нием базовой задачи при этой опоре.
Постановка задачи. Базовая задача
Вектор потенциалов № в данном случае является не чем иным, как вектором множителей Лагранжа.
Для почти всех задач вида (1)-(4) имеет место следующее утверждение Г16 1 : Для оптимальности допустимого управления U(w, lrfi необходимо и достаточно существование такой опоры / , что для опорного управления (у) Т Л выполняется условие максимума (17).
Итерация прямого опорного метода, заключающаяся в переходе от старого опорного управления fy ТІЛ к новому fu 72 1, основана на принципе уменьшения оценки субоптимальности J$(U, 7 ) и состоит из процедуры замены управления
и процедуры замены опоры на Tim На каждой итерации получается управление, на котором выполняются все ограничения задачи (1)-(4), а критерий качества монотонно улучшается от итерации к итерации. Алгоритм метода оканчивается процедурой доводки и приводит к опорному управлению (u Т t. удовлетворяющему критерию оптимальности.
В классе скалярных кусочно-постоянных управляющих функций и$),{&Т-[0,1 , рассматривается следующая задача Майера, зависящая от малого неотрицательного числа М, : максимизировать функционал вдоль траекторий системы при ограничениях на управления и выполнении терминальных условий вектор состояния системы, Q(M)-ffl- вектор; матРии-ы и векторы соответствующих размеров. Предполагается, что функции Я(М),о(М)9 (М), S(f \ Н(№), о(М Допускают асимптотические разложения до /- го члена ( (=0}it.,, - заданное число) по степеням малого параметра Требуется также, чтобы
Задача, подобная (1)-(4-), но в классе импульсных управляющих воздействий, рассматривалась в 1.2. Допустимые, ft - допустимые, І - оптимальные управления в задаче (1)-(4) определяются по аналогии с импульсным случаем.
Кусочно-постоянное управление, удовлетворяющее неравенствам назовем допустимым, если порожденная им траектория системы (2) при достаточно малых J4 удовлетворяет терминальному условию (4). Если же равенство (4) выполняется с точностью 0(Н ) » то управление называется к- допустимым. . управление Допустимоедопустимое)уназывается S - оптимальным, если оно отличается от оптимального по критерию качества на величину
В настоящем параграфе предлагается алгоритм, позволяющий для любого заданного числа Ji Dtl построить ft- допустимое управление, являющееся и оптимальным. Наряду с возмущенной задачей (1)-(4-) рассмотрим следующую не зависящую от параметра J4 задачу оптимального управления: х A0x+v и, хсО)-хов, Іікфі, іГ, (б) К хф =Л 3»1и)= е xCij " Т
Эту задачу назовем базовой. Базовая задача получается из возмущенной при М-О. Задача (6) может быть решена прямым опорным методом (1), применение которого приводит к опорному управлению JUIC)9 72lJJ, удовлетворяющему критерию оптимальности. Соответствующее коуправление базовой задачи обозначим через Д(0)(т). Предположим, что это коуправление обращается в нуль на интервале / лишь в
Покажем, что в возмущенной задаче (1)-(4) при достаточно малых JH существует допустимое управление Ь(і0(І) следующего вида: Это управление получается из оптимального управления (7) базовой задачи путем смещения точек переключения ". в точки ;(№), /=/W.
Запишем по формуле Коши траекторию X (Ь/У системы (2) при управлении (7) и траекторию этой системы при управлении (8). Последнее выражение подставим в терминальное условие (4); произведя несложные преобразования, получим уравнение, задающее неявные функции
Здесь Ті- вектор-функция ftytf)?4) определяется в соответствии с формулами (1.7), (1.8) и в нашем случае является решением уравнения В силу асимптотических разложений (5) для матрицы Л(М и вектора 4(М Функция %-(i, f ) также допускает асимптотическое разложение до /—го члена: где Асимптотическое разлонение до ъ- го члена допускает и вектор причем X. (ъ), z: 7 траектория системы if= -f4 t(t»-z«. (I3)
Итак, параметры уравнения (9) имеют асимптотические разложения (5), (II), (12), Обозначим через Ж(Т1 %%1 rn»fO #2 вектор-функцию, стоящую в левой части этого уравнения. В силу сказанного данная функция допускает асимптотическое разложение
Кроме того, якобиан отличен от нуля,поскольку невырождена матрица как опорная матрица базовой задачи, построенная по опоре / ш Но тогда в силу теоремы о неявной функции в некоторой правосторонней окрестности нуля однозначно определены непрерывные функции
Таким образом, при достаточно малых Н существует единственное допустимое управление UM (iy задачи (1)-(4) вида (8) с точками переключения Ц[МУ І-ІуТҐІ, отвечающими условию Т:(0)- f { Покажем, что это управление будет оптимальным в задаче (1)-(4). Несложно убедиться в том, что функции fj.[(b) допускают асимптотические разложения
Вспомогательные асимптотические разложения
В соответствии с отмеченным в I (формулы (I.I5), (I.I6)), отклонение опорного управления {Up, % .% задачи (1)-(4) от оптимального управления tlt )(z)i І Т, по критерию качества удовлетворяет неравенству где оценка субоптимальности 6( M)Z 6(U /( 7 ) опорного уп равления {U/ц, Трх] имеет вид: а коуправление u(i,My{ Tt задачи (1)-(4) строится по опоре
Рассматривая оценку субоптимальности (33) для опорного управления [Мм, 7 (мЯ ъ СИЛУ приведенных выше фактов заключаем, что управление К (і), г Т, вида (26) с точками переключения С (м) /г /t 7ґІ} і +№$!0) L /,Р9 является I-оптимальным в возмущенной задаче (1)-(4). Тогда управление вида (26) с точками переключения 2/= / Cf )t J-/Jnf it+fltf0 , І= 7р отличающееся от U Ul T, на множестве меры 0( ), есть 1-оптимальное 1-допустимое управление возмущенной задачи. Из сказанного также следует, что оптимальное управление VCo)(i), i T9 базовой задачи является О-оптимальным О-допустимым в возмущенной.
Если достигнутая точность отклонения построенного управления Къ (і) от оптимального не достаточна, то переходим к построению 2-оптимального 2-допустимого управления задачи (I)-(4). С этой целью вначале убедимся в том, что при достаточно малых Н существует допустимое управление Ujn(t) возмущенной задачи вида (26) Записывая траекторию системы (2) при этом управлении по формуле Коши и подставляя в краевое условие получаем уравнение относительно Т.- t:(M-) / = 1 771 где Я (tit...,Тт м) есть левая часть соотношения (27) с
С помощью уже применявшихся рассуждений убеждаемся в том, что Б некоторой правосторонней окрестности нуля однозначно определены непрерывные функции Tj(j )yj удовлет-воряющие уравнению (34). Т.е. при достаточно малых Jt существует единственное допустимое управление иЛъ) вида (26) с точками переключения tj(f), j= I?77L, разлагаются в асимптотические ряды коэффициенты которых находятся из уравнений, аналогичных (24). Отметим, что Т: , 7= 1,7719 есть коэффициенты разложений (29).
Множество при достаточно малых fa будет, очевидно, опорой возмущенной задачи. Вектор потенциалов Л(2 (М, соответствующий этой опоре, допускает асимптотическое разложение где 3tw — вектор потенциалов базовой задачи, вектор Ji определен в (30).
Из приведенных рассуждений и вида (33) оценки субоптимальности опорного управления, есть управление вида (26) с точками переключения будет 2-оптимальным в задаче (1)-(4).
Это управление отличается от 2-оптимального управления U'*.№)> на множестве v/(7 J и, следовательно, является 2-оптимальным 2-допустимым управлением возмущенной задачи (1)-(4).
Если достигнутой точность отклонения построенного управления от оптимального не достаточна, то перехо- дим к построению 3-оптимального 3-допустимого управления в задаче (1)-(4) и т.д. Построение производится по изложенной выше схеме.
Рассмотрим задачу оптимального управления следующей механической системой. Две тележки, имеющие массы М и соответственно, соединены между собой пружиной, длина которой в ненапряженном состоянии равна {,. Коэффициент жесткости пружины - fi , Тележки движутся прямолинейно под действием силы
F приложенной к большей тележке (массы /7 ). Величина силы есть кусочно-постоянная функция, не превышающая по абсолютной величине положительного числа У. Силы сопротивления при движении тележек пропорциональны их скоростям с коэффициентами для большей тележки и 4t для меньшей. В нулевой момент времени тележки покоятся, расстояние между ними равно /. Требуется найти закон изменения силы f при котором большая тележка пройдет в заданный момент времени ^ через заданное положение ті с максимальной скоростью. Пусть Хм - координата большей тележки, X — меньшей. Уравнение движения большей тележки таково:
