Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелокальные по времени краевые задачи 24
1.1. Нелокальная по времени краевая задача для иевырождающихся уравнений составного типа 24
1.2. Нелокальная по времени краевая задача для вырождающихсяуравнений составного типа . 30
1.3. Нелокальная по времени задача для гиперболических уравнении 42
Глава 2. Нелокальные по пространственным переменным краевые задачи для уравнений составного типа 50
2.1. Задача с нелокальными граничными условиями интегральноговида 50
2.2. Задача для уравнения третьего порядка с интегральными условиями G5
Глава 3. Обратные задачи для гиперболических уравнений 88
3.1. Обратная задача с неизвестным составным внешним воздейстиием для гиперболических уравнений с условиями переопределения па временных слоях 88
3.2. Обратная задача с интегральным условием переопределения . . 109
3.3. Обратная задача с неизвестным составным внешним с составным условием переопределения 121
Заключение 134
Библиографический список 136
- Нелокальная по времени краевая задача для иевырождающихся уравнений составного типа
- Задача с нелокальными граничными условиями интегральноговида
- Обратная задача с неизвестным составным внешним воздейстиием для гиперболических уравнений с условиями переопределения па временных слоях
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время в связи с проблемами в области естествознания возникла необходимость обобщения классических задач математической физики, а также исследования новых задач, к которым можно отнести, в частности, нелокальные задачи для дифференциальных уравнений.
Нелокальные задачи для разного рода уравнений рассматривались рядом авторов, среди которых следует отметить в первую очередь А.В. Бицадзе, А.А. Самарского, В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Н.И. Ионкина, А.Л. Скубачсвского, L. Byszewski, А.И. Кожанова, Л.С. Пулькину, И.С. Ломова, J. Chabrowski, F.M. Либермана, В.В. Шелухина.
Нелокальные условия могут возникать в случае, когда граница области недоступна для непосредственных измерений, однако информацию об изучаемом явлении во внутренних точках области получить можно.
Одними из первых работ, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений в частных производных являются работы J.R. Cannon, который доказал существование и единственность классического решения одномерного уравнения теплопроводности, удовлетворяющего условиям an(t)
и(аг,0) = р(х), х > 0, / u(x,t)dx = E(t), x(t) > 0, t > 0.
В 1977 году Н.И. Ионкин рассмотрел задачу для уравнения теплопроводности с интегральным условием А.А. Самарского. Данное интегральное условие возникает в задачах, описывающих процессы диффузии частиц в турбулентной плазме, а также в задачах распространения тепла в тонком нагретом стержне.
Изучение процессов влаголереноса в капиллярно-пористой среде, их анализ привел к задачам с нелокальными интегральными условиями для уравнений гиперболического и составного типов. Исследованиями смешанных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений занимались A. Bouziani, S. Mesloub, S.A. Mcssaoudi, Г.Д. Гордезиани, Г.А. Авалишвили, Л.С. Пулькина, С.А. Бейлин, А.И. Кожанов.
Краевые задачи с интегральными условиями для параболических и
гиперболических уравнений активно изучаются в последнее время, однако аналогичные задачи для тех или иных уравнений третьего порядка изучены сравнительно мало.
К необходимости изучения задач с нелокальными интегральными условиями, например, приводят коэффициентные обратные задачи. Обратные задачи возникают в самых различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, разведке полезных ископаемых, биологии, медицине, контроле качества промышленных изделий и т.д., что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики. Среди обратных задач для гиперболических уравнений выделим как наиболее близкие нам коэффициентные обратные задачи в цилиндрических областях. Подобные задачи исследованы сравнительно мало - можно отметить лить А.Д. Искендерова, который исследовал единственность решений, А.Х. Амирова, А.И. Кожанова и И,Р. Валитова, доказавших существование решений.
В настоящей диссертационной работе исследуются нелокальные краевые задачи, как но временной, так и но пространственной переменным, для уравнений составного типа, нелокальная по времени прямая, а также обратные задачи для гиперболических уравнений.
Целью работы является:
-
доказательство существования и единственности решения нелокальной по времени краевой задачи для невырождающихся и вырождающихся уравнений составного типа;
-
доказательство существования и единственности решения нелокальной по временной переменной задачи для гиперболических уравнений;
-
доказательство существования решения нелокальной по пространственным переменным задачи для уравнений составного типа с интегральными граничными условиями;
4) доказательство существования решения краевой задачи с инте
гральными условиями для дифференциального уравнения третьего по
рядка;
5) доказательство существования, единственности и устойчивости ре
шения обратных задач с неизвестной правой частью для линейных ги-
псрболических уравнений второго порядка.
Методы исследования. При доказательстве существования искомого решения рассматриваемых начально-краевых задач используются метод продолжения по параметру, а также методы априорных оценок и регуляризации. Единственность решения устанавливается посредством априорных оценок. Разрешимость обратных задач с дополнительным переопределением решения на временных слоях (с интегральным переопределением) устанавливается с помощью сведения их к нелокальным (локальным) краевым задачам для "нагруженных"уравнений.
Научная новизна.
-
Доказано существование и единственность решений нелокальных по времени краевых задач для как невырождающихся, так и вырождающихся уравнений составного типа, а также гиперболических уравнений.
-
Доказано существование решения нелокальных по пространственным переменным задач для уравнений составного типа с интегральными условиями.
-
Доказано существование, единственность и устойчивость решения обратных задач с неизвестной правой частью для линейных гиперболических уравнений второго порядка.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач с нелокальными условиями, а также обратных задач. Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.
Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научном семинаре кафедры математического анализа (научные руководители - профессора К.Б. Сабитов, И.А. Калиев, 2003 - 2006 гг.), кафедры прикладной математики и механики (научный руководитель - профессор В.Ш. Шагалов, 2006 г.), кафедры теоретической физики (научный руководитель - профессор А.И. Филиппов, 2006 г.) Стерлитамакской государственной недагогиче-
ской академии, ма научном семинаре Института механики УНЦ РАН (научные руководители - профессора СВ. Хабиров, Р.С. Сакс, Т.А. Ак-рамов, г. Уфа, 2006 г.), на научном семинаре Института Математики им. С.Л. Соболева СО РАН (научный руководитель - профессор А.И. Кожанов, г. Новосибирск, 2006 г.), а также на следующих научных конференциях: «Современные проблемы физики и математики* (г. Стерлитамак, 2004г.), «Международная научная студенческая конференция» (г. Новосибирск, 2006 г.), «Современные проблемы диф. уравнений, теории операторов и космических технологий» (г. Алматы, 2006 г.), «International Conference Tikhonov and Contemporary Mathematics» (Moscow, 2006).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 147 страниц. Библиография 94 наименования.
Нелокальная по времени краевая задача для иевырождающихся уравнений составного типа
Данное интегральное условие возникает в задачах, описывающих процессы Диффузии частиц в турбулентной плазме, а также в задачах распространения тепла і! тонком нагретом стержне J53]. Исследованиям задач для параболических уравнений посвящены работы СМ. Алексеевой и Н.И. Юрчука 2, А. Bonziani її N-E. Benonar [72, 73, A. Botiziani [GG], 08], J.R. Cannon и Van der Iloek [77 ,[78], А.И. Кожапова [36], З.А. Нахушевой [45, [4G.
Работа flGj А.В. Бнцадзе и А.А. Самарского повлекла за собой систематиче-скис исследования нелокальных начально-краевых задач дли эллиптических уравнении. Вопросам разрешимости задач с нелокальными условиями для эллиптических уравнений посвящены работы А.Л. Скубачевского [55], [5G], Е.М. Галахова и А.Л. Скубачевского [20], А.Л. Скубачевского и Г.М. Стеблова j57.
Изучение процессов влагопереноса в капиллярно-пористой среде, их анализ припел к задачам с нелокальными интегральными условиями для уравнений гиперболического и составного типов.
Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнении можно разделить па два класса. Первый класс представляет собой задачи, нелокальные условия которых задаются в виде интегралов вдоль характеристик. Задачи этого класса рассмотрены, в часности, в работе З.А. Нахуше-вой [45], Второй класс представляет собой смешанные задачи с классическими начальными данными, граничные же условия в этих задачах заменены интегральными.
Среди работ, и которых исследованы смешанные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений, можно отметиті. следующие статьи A. Bonziani [67], S. Mcsloub и A. Bonziani (84], S. Mcsloub и S.A. Messaoudi [85], Г.Д. Гордезиапи и Г.А. Авалишвили [21], Л.С. Пулькина [49], С.А. Бейлнп ]G5, А.И. Кожанов и Л.С. Пулькина [40].
Следует отметить, несмотря на то, что краевые задачи с интегральными условиями для параболических и гиперболических уравнений активно изучаются в последнее время, аналогичные задачи для тех или иных уравнении третьего порядка изучены сравнительно мало - можно указать лишь работы [С9 - [71]. В нашей работе мы постарались частично (в весьма незначительной степени) восполнить указанный пробел.
К необходимости изучения задач с нелокальными интегральными условиями, например, приводят коэффициентные обратные задачи. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, разведке полезных ископаемых, биологии, медицине, контроле качества промышленных изделии и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.
Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для уравнений с частными производными изучались многими авторами. Прежде всего, можно отметить работы А.И. Прилепко ]47], ]48], Ю.Е. Аниконова ]4] - [G], СМ. Алексеевой и II.И. Юрчука [2], К. Rcktorys [8G, Ю.Я. Белова 13, [14, 15] H.IL Иван нова [24], Б. А. Бубнова [17], Н.Я. Безпоіценко J10] - [11], А. И. Кожапова [31, [32], [39], О.А. Колтуновского [41, [42] и других.
Среди обратных задач для гиперболических уравнений выделим как наиболее; близкие; нам коэффициентные обратные задачи в цилиндрических областях. Подобные задачи исследованы сравнительно мало - можно отметить лини, работы А.Д. Искепдерова [29], в которой исследовалась единственность решении. А.Х. Амирова [3[, А.И. Кожапова и И.Р. Валитова [19], И.Р. Вали-тона [18], в которых доказывал осі) существование решений.
Задача с нелокальными граничными условиями интегральноговида
В параграфе исследуется разрешимость краевой задачи с интегральными условиями для уравнении составного типа, называемых иногда псевдогиперболическими. Вместо обычных граничных значении задаются условия, связывающие граничные значения с некоторым интегралом от решения.
В главе 1 рассматривалось уравнение (1.1) составного типа. Здесь мы также будем обращаться к нему, исследуя краевые задачи с интегральными граничными условиями.
Определим пространство V:
Воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть А ость число из отрезка J(),lj. Рассмотрим оемейспю красных задач: найти функцию її(ж, ), являющуюся і; цилиндре Q решением уравнения и такую, что для неё выполняются условия Обозначим через Л множество тех чисел из отрезка [0,1}, для которых краевая задача (2.9д), разрешима в пространстве V при произвольных функциях g(x,t), V{)(x) и Vi(x) из пространств (Q), 1( ) и ( ) соответственно. Как известно, если множество Л не пусто, открыто и замкнуто одновременно, то оно совпадает со всем отрезком [0,1]. Множество Л не пусто, поскольку число 0 принадлежит ему [82]. Доказательство открытости и замкнутости множества Л осуществляется с помощью априорных оценок решений задачи (2.9д), (2.10) - (2.12). Установим их наличие.
Пусть Qt есть цилиндр Обозначим Рассмотрим равенство
С помощью оценки (2.25) мы и докажем открытость и замкнутость множества Л.
Для доказательства открытости множества Л достаточно покачать, что при принадлежности числа Ао множеству Л число А = До + А при малой величине (А будет принадлежать ему же.
Итак пусть Ао есть элемент множества Л, и пусті» v(x,t) есть произвольная функция из пространства V. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения п такую, что для пес выполняются условия (2.10) (2.12).
Вследствие принадлежности числа Ац множеству Л и функции g(x,i) — \ &(x,tjv) пространству L2(Q) данная к])аевая задача будет иметь решение u(x,t), принадлежащее пространству V.
Следовательно определен оператор G, переводящий пространство V в себя: G(v) = и. Покажем, что при малой величине А этот оператор будет сжимающим.
Пусть Vi(x,t) и V2(x,t) -две произвольные функции пространства V, щ(х,{.) и u-2{x,t) соответствующие им образы при действии оператора G.
Обозначим Имеют место равенства
Учитывая вид функции Ф, повторяя доказательство оценки (2.25), нетруд-по получиті) неравенство \\w\\y А /?offor, W постоянная /?о зависит лишь от исходных данных задачи. Если теперь А будет таким, что выполняется неравенство А RQ 1, то оператор G как раз и станет сжимающим оператором, А у сжимающего оператора есть неподвижная точка - и из пространства V, для которой выполняется равенство G(u) — и. Очевидно, что функция и(х, і) будет удовлетворят!) уравнению
Обратная задача с неизвестным составным внешним воздейстиием для гиперболических уравнений с условиями переопределения па временных слоях
В задаче требуется вместе с решением определить неизвестную правую часть, при этом задаются как условия обычной начально-краевой задачи, так и некоторые условия переопределения, заданіїIJе по сечениям t = const.
Обратная задача с неизвестной правой частью составного вида изучалась ранее лишь в случае параболических уравнений [31.
В работе 29] исследовалась единствен и ость решений гиперболической обратной задачи, приведенной в подобной постановке, в работе 3] доказывалось существование решений. Здесь рассматривается новая задача, полученное решение обладаем1 большей гладкостью по сравнению с установленной в работе 3.
Пустії 1 ость ограниченная область пространств Я" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q есть цилиндр Q х (0,7 ) конечной высоты Т, х = (xi,...,xri) есть точка области Q, t есть точка интервала (0,Т), S есть боковая граница цилиндра Q : S = V х (0,Т). Далее, пусть a(x,t), b(x,t), h0(x,t), hi(x,t),...,hm(x,t), p[x), ф{х), щ{х),...,и,п(х) есть заданные функции, определенные при - фиксированные точки полуинтервала (0, Xі] такие, что выполняются неравенства
Рассмотрим обратную задачу: найти функции u(x,t). ryi(x)...., qm(x), связанные в цилиндре Q уравнением
В рассматриваемой обратной задаче условия (3.2) (3.4) суть условия обычной первой начально-краевой задачи, условия же (3.5) есть условия переопределения, необходимые для нахождения дополнительных неизвестных функций qi(x),...} qm(x). Уточним, что условия (3.5) предполагают, что известна информация о состоянии среды или же известна информация об иной характеристике, соответствующей процессу, описываемому уравнением (3.1) в т различных моментов времени.
