Введение к работе
Актуальность темы исследования. Исследование нелинейных уравнений и, в частности, исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений (НСИУ) обусловлено необходимостью решения практических задач механики, современной физики и биологии Нелинейные уравнения применяются и для описания различного рода краевых задач; они являются более универсальными для качественного исследования этих задач.
Впервые исследование НСИУ по предложению академика Кельды-ша М.В. было проведено в работах Гусейнова А.И., опубликованных в 1947-1948 г.
Нелинейные уравнения типа Гаммерштейна, в частности, НСИУ применяются в теории упругости, квантовой механике и ядерной физике; к ним приводят и различные задачи фильтрации.
Исследование нелинейных уравнений является в настоящее время приоритетным в связи с большим интересом, проявляемым к ним зэ-рубежом и в нашей стране.
Цель работы. 1. Исследование нелинейных уравнений типа Гаммерштейна и альтернативного класса уравнений, содержащих сингулярные интегралы в пространствах Lp, На.
2. Доказательство нелокальных теорем разрешимости для различных классов НСИУ с ядром Коши и ядром Гильберта в действительной и комплексной областях, в пространствах Lp и гсльдеровских классах непрерывных функций.
Методика исследования. В настоящей работе применяются различные методы нелинейного анализа, в частности, метод монотонности, а также метод априорных оценок.
Научная новизна. Исследованию нелинейных уравнений типа Гаммерштейна за последние десятилетия посвящено множество работ зарубежных и отечественных авторов Наши исследования дополняют эху область и расширяют класс допустимых линейных и нелинейных операторов, в частности, широко использованы случаи сингулярной композиции линейных и нелинейных операторов.
В работе исследуются линейные сингулярные интегральные опера-горы различного типа и получены теоремы однозначной разрешимости НСИУ самых различных классов в пространствах Lv, а также в гельдеровских пространствах непрерывных функций.
Исследованию таких уравнений посвящены работы известных ма-
тгматиков X Avana, X Брезиса, Ф. Браудера, ММ. Вайнборга, М А Красносельскою и др
По теории линеґшьіх и нелинейных сингулярных интегральных уравнений написан ряд монографий (Мусхелишвили Н И . Векуа II.П., Гахов ФД., Михляч С.Г., Пресдорф 3., Погожельский В., Гусейнов А И. и Мухтаров X Ш ).
Впервые нелокальные теоремы разрешимости для НСИУ были получены в работах Магомедова Г.М. В нашей работе дается обобщение этих результатов, изучены новые классы НСИУ, применены различные методы исследования уравнений. Впервые получены теоремы нелокальной разрешимости для НСИУ на комплексной плоскости при минимальных ограничениях на нелинейный оператор.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты, а также новая методология исследования общих уравнений типа Гаммерштейна могут быть применены для исследования конкретных нелинейных уравнений. Исследование НСИУ открывает возможность применения этих результатов для описания новых классов различных задач математической физики, а также нелинейных граничных задач теории аналитических функций.
Полученные результаты могут быть применены к прикладным задачам в теории упругости, в гидро- и аэродинамике и в других облает *х современной «ризики. Они представляют интерес для специалистов математической и теоретической физики, теории аналитических функций и нелинейного анализа.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах кафедр математического анализа и теории функции и функционального анализа математического факультета ДГУ, на городском семинаре по математике в г.Махачкале; на Первой Северо-Кавказской региональной конференции Махачкала (1986), на конференции "Функционально дифференциальные уравнения" (1988), па Четвертой Северо-Кавказской региональной конференции "ФДУ и их приложения" (Махачкала, 1977), на VII Международной конференции " Математика. Экономика. Экология. Образование" (Новороссийск, 1999), на Международной научной конференции ДНЦ РАН (Махачкала. 1999, на Международной конференции "Современные проблемы математики" (Махачкала, 2004)
Публикации. Основные результаты опубликованы в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата
Объем и струк гура работы. Диссертационная работа изложена
на 84 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 45 наименований.
