Введение к работе
Актуальность темы. Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались для различных дифференциальных уравнений многими математиками. Одними из первых работ, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений в частных производных являются работы J.R. Cannon и К. Rektorys, опубликованные в 1963 году.
Исследование нелокальных по пространственным переменным задач для параболических уравнений были продолжены в работах Л.И. Камынина, Н.И. Ионкина, Л.А. Муравья и А.В. Филиновского, СМ. Алексеевой и Н.И. Юрчука, A. Bouziani и N-E. Benouar, A. Bouziani, Н.И. Иванчова, J.R. Cannon и Van der Hoek, З.А. Нахушевой, Ю.Т. Сильченко, А.И. Ко-жанова, Л.С. Пулькиной.
Начало систематических исследований нелокальных начально - краевых задач для эллиптических уравнений было положено в статье А.В. Бицадзе и А.А. Самарского. Весьма глубокие результаты в разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений получили А.К. Гущин и В.П. Михайлов, А.К. Гущин, Б.П. Панеях, А.Л. Скубачевский, Е.М. Галахов и А.Л. Скубачевский.
Одним из источников задач с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений явилась работа А.В. Лыкова, посвященная моделированию некоторых процессов тепло- и массообмена. В работах А.М.Нахушева выявлена тесная связь нелокальных задач для гиперболических уравнений с нагруженными уравнениями. Нелокальные задачи с интегральными граничными условиями для гиперболических уравнений весьма активно исследуются, отметим работы A. Bouziani, S. Mesloub и A. Bouziani, Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили, С.А. Бейлина, Л.С. Пулькиной, А.И. Кожанова и Л.С. Пулькиной, В.Б. Дмитриева.
Большой вклад в развитие теории нелокальных задач для дифференциальных уравнений различных классов внесли монографии А.Л. Скубачев-
ского и A.M. Нахушева.
В настоящей диссертации исследуется разрешимость пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями А.А. Самарского с переменными коэффициентами и с интегральными условиями по времени для уравнений третьего порядка, а также краевых задач с интегральными граничными условиями по пространственным переменным и с нелокальными по одной из временной переменной условиями для ультрапараболических уравнений.
Для (2т+1)-параболических уравнений краевые задачи в локальных постановках достаточно хорошо изучены в работах Ю.А. Дубинского (1968, 1971), И.Е. Егорова и В.Е. Федорова (1995). Нелокальные задачи с заданием связи решения и его производных на линиях t = 0 и t = Т для уравнений третьего порядка рассматривались в работах А.П. Львова (2002, 2004). Также нелокальные задачи для операторно-дифференциальных уравнений нечетного порядка были рассмотрены в монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, СВ. Попова (2000). В работе A.M. Абдрахманова, А.И. Ко-жанова (2007) для подобных уравнений рассматривалась краевая задача с заданием граничного условия функционального (в частности, интегрального) вида, и была установлена разрешимость исследуемой задачи при выполнении условия взаимной однозначности линейного оператора, построенного по граничному условию (в случае граничного условия интегрального вида этот оператор является оператором Фредгольма второго рода). В работе A.M. Абдрахманов (2010) исследована разрешимость краевой задачи для уравнений нечетного порядка с заданием на границе условия, связывающего значения конормальнои производной со значениями некоторого интегрального оператора от решения. Кроме цитированных выше работ, можно отметить лишь работы A. Bouziani (1997, 1998), в которых рассматривались краевые задачи в иных, нежели в настоящей работе, постановках.
Уравнения с кратными характеристиками активно изучаются в школе академика АН Республики Узбекистан Т.Д. Джураева. Но нелокальные
задачи, в частности, задачи с интегральными условиями для таких уравнений ранее не исследовались. В настоящей диссертации исследуется разрешимость краевых задач с интегральными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза.
Краевые задачи для ультрапараболических уравнений были изучены в работах С.А. Терсенова, М.М. Лаврентьева, С.Г. Пяткова. В работе А.И. Ко-жанова (2009) рассмотрена задача моделирования популяций, которая сведена к исследованию разрешимости нелокальной краевой задачи для квазилинейного ультрапараболического уравнения с астрономическим временем t и биологическим временем а, т. е. возрастом. Доказаны теоремы существования и единственности регулярных решений. Работ, посвященных разрешимости краевых задач с граничными условиями интегрального вида для ультрапараболических уравнений практически нет, можно отметить лишь работы A. Bouziani (1997, 2001), в которых рассматривались краевые задачи в иных, нежели в настоящей работе, постановках. Нелокальные краевые задачи, в частности, задачи с интегральными условиями как по времени, так и по пространственной переменным, для ультрапараболических уравнений ранее не изучались.
Цель работы. Доказательство теорем существования и единственности, изучение свойств решений нелокальных краевых задач для новых классов уравнений нечетного порядка - (2m + 1)-параболических уравнений, ультрапараболических уравнений, уравнений с кратными характеристиками.
Методы исследования. При доказательстве существования искомого решения рассматриваемых краевых задач используются метод продолжения по параметру, метод регуляризации, а также метод априорных оценок.
Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем:
доказана разрешимость пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями А.А. Самарского для уравнений третьего порядка;
доказана разрешимость краевых задач с интегральными граничными
условиями по времени для уравнений третьего порядка;
доказана разрешимость краевых задач с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза;
доказана разрешимость краевых задач с интегральными граничными условиями для ультрапараболических уравнений;
доказана разрешимость краевой задачи с нелокальными условиями по временной переменной для ультрапараболических уравнений.
Теоретическая и практическая ценность. Данная работа имеет фундаментально - теоретическое значение. Все полученные результаты являются новыми. Область их практического применения - теория краевых задач для неклассических уравнений математической физики. Более конкретная задача, на решение которой направлена данная работа - построение теории разрешимости нелокальных краевых задач для неклассических уравнений - в частности, для (2т + 1)-параболических уравнений, для уравнений с кратными характеристиками (аналогичных линеаризованным уравнениям Кортевега - де Фриза) и ультрапараболических уравнений. В число перспективных направлений применения результатов для дальнейших исследований, можно отметить постановку и исследование новых краевых задач для неклассических уравнений математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинаре кафедры общей математики МИТИ (ф) СВФУ под руководством д.ф.-м.н. М.Г. Гадоева, профессора С.А. Исхо-кова (Мирный, 2010, 2011), на семинаре "Неклассические уравнения математической физики "Института математики СО РАН под руководством профессора А.И. Кожанова (Новосибирск, 2011), на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными "НИИ математики СВФУ профессора И.Е. Егорова (Якутск, 2011), на Всероссийской научной конференции и Всероссийской школе - семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации "(Якутск, 2009), на Всерос-
сийской научно - практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь и научно-технический прогресс в современном мире"(Мирный, 2009, 2010), на XLVIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2010), на V и VI Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2007, 2011).
Работа выполнена при поддержке гранта ЯГУ для студентов и аспирантов (2010 г.), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России "на 2009-2013 гг. по мероприятию 1.3.1. и при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки Российской Федерации, №02.740.11.0609.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах: 4 статьях и 5 тезисах докладов [1]-[9].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 5 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 92 страницы. Список цитируемой литературы содержит 93 наименования. Формулы, теоремы и замечания в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер формулы в параграфе.
