Введение к работе
Актуальность темы. Теория сингулярных возмущений, интенсив
ное развитие которой началось после опубликования известных
работ академика А.Н.Тихонова, привлекает внимание многих ма
тематиков, что объясняется ее большой прикладной значимостью.
В теории автоматического регулирования сингулярно возмущен
ные модели естественным образом возникают при анализе систем,
динамика которых складывается из разнотемповых движений. Ес
ли при этом управляемый процесс должен удовлетворять услови
ям периодичности под воздействием периодически меняющихся
управляющих воздействий, возникают сингулярно возмущенные
задачи периодической оптимизации. Оптимальные процессы коле
баний механических систем, колебания в оптимальных системах
автоматического регулирования, оптимальное управление химико
- технологическими процессами - вот далеко не полный перечень
тех разделов науки и техники, где возникают такие задачи. Наи
более известными работами по теории сингулярно возмущенных
систем являются работы Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского,
В.Вазова, А.Б.Васильевой, МХ.Дмитриева, ВДрагана и А.Халаная,
П.В.Кокотовича, Р.Е.О'Молли, ФЛ.Черноусько. В работах
Е.Г.Гилберта, Г.Гуардабасси, С. Лефшеца, МТ.Мурадяна,
А.И.Перова, КЛ.Тонкова изучаются вопросы периодической опти
мизации или примыкающие к ним (необходимые условия опти
мальности, существование и единственность периодических ре
шений, продолжимость решений и др.) Сингулярно возмущенным
периодическим задачам посвящены работы В.Вазова, ЕР.Ранга,
Н.Левинсона, И.М.Волка, М.Г.Дмитриева, В.Я.Глизера,
НДМурадовой.
Класс сингулярно возмущенных задач управления успешно изучается в литературе с точки зрения получения эфективных приближенных методов решения, преодолевающих вычислительную жесткость, связанную с большой размерностью этих систем и наличием разномасштабных переменных. Асимптотические методы анализа систем такого типа требуются как для аналитического исследования свойств их решений, так и для последующего их численного интегрирования. В активе теории сингулярных возмущений имеется много различных асимптотических методов, эффективно применяющихся для декомпозиции систем управления, развитых А.Б.Васильевой, М.Г.Дмитриевым, С.А.Ломовым, Крыловым - Боголюбовым - Митропольским, Люстерником - Ви-шиком, В.В.Стрыгиным и В.А.Соболевым.
Системы с разномасштабными переменными неудобны для непосредственного анализа вследствии их высокой размерности и
нарушения свойств регулярности отдельных решений, а также изменения качественной структуры системы и ее порядка при малом изменении параметров. С этой точки зрения наиболее подходящим математическим аппаратом являются методы понижения размерности задач управления, основывающиеся на геометрическом подходе и сочетающие в себе асимптотические и качественные методы анализа. Одним из таких методов является метод интегральных многообразий, основы которого были заложены в работах Н.Н. Боголюбова, развитый в работах Ю.А.Митропольского и ОБЛыковой и другими авторами. Разработанные для задач методы декомпозиции позволяют свести анализ разнотемповых систем к анализу однотемповых, т.е. построить более простую модель, с высокой степенью точности отражающую поведение исходной модели. Малые возмущения в задачах оптимального управления могут быть введены искусственно, тогда теория сингулярных возмущений выступает как метод исследования исходной, в некотором смысле "плохой" (например, некорректной) задачи. Примерами могут служить задачи управления с большим коэффициентом усиления, с использованием метода штрафа - так называемое "дешевое управление". Различным аспектам, возникающим в задачах особого управления посвящены работы O'Malley, AJameson, МТ.Дмитриева, В.Я.Глизера, Г.А.Куриной, С.Т.Завалишина,А.Н.Сесекина, ВДрагана, А.Халаная. В данной диссертации на основе метода интегральных многообразий и метода декомпозиции сингулярно возмущенных систем предлагается метод сведения сингулярно возмущенной периодической задачи управления к начальной регулярно возмущенной задаче меньшей размерности.
Цель работы: Разработка метода декомпозиции сингулярно возмущенных периодических задач оптимального управления, основанного на исследовании интегральных многообразий и разработка алгоритма решения как задач автоматического управления с разнотемповыми переменными, так и для задач "дешевого" управления. Реализация алгоритмов в пакетах символьных вычислений: MAPLE, MATHEMATICA, MATHCAD.
Методы исследования. В работе используются методы теории интегральных многообразий и теории сингулярных возмущений, а также сведения из общей теории автоматического управления, функционального анализа и линейной алгебры.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Для сингулярно возмущенных матричных уравнений
Риккати разработан метод сведения периодической задачи к начальной задаче меньшей размерности.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при качественном исследовании сингулярно возмущенных систем автоматического управления с периодическими коэффициентами, задач "дешевого" управления, а также для определения периодических решений матричных уравнений Риккати, содержащих параметр при части производных. Разработанные алгоритмы могут быть применены для исследования широкого круга задач.
Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на XV Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Ульяновск, сентябрь -1990), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Москва, ВИНИТИ АН СССР, апрель - 1991), Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Самара, май - 1992), на XI Российском коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (Сызрань, июнь - 1993), на IV научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, май - 1994), на III Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Самара, июль - 1994), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, декабрь - 1994), на Международном семинаре "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems" (Переславль - Залесский, июнь - 1995), а также были представлены на международный симпозиум Mathematical Theory of Networks and systems" (Regensburg, Germany, august - 1993), Международный семинар "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, июнь - 1995). "Inaugural Workshop of the International Institute for General Systems Studies" (Slippery Rock University, USA, July -1995).
Публикации. Все результаты диссертации опубликованы. Ниже приведен список из 10 работ автора по теме диссертации. Из них 1 работа выполнена в соавторстве с В.А.Соболевым.
