Содержание к диссертации
Введение
1. Построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области 29
1.1-Постановка задачи 29
1.2-Общее решение видоизмененной задачи Франкля в эллиптической части области 31
1.3- Общее решение видоизмененной задачи Франкля в гиперболической части области 36
1.4-Сшивание решения 42
1.5-Граничное условие задачи Франкля 46
2. Базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности 48
2.1-Постановка задачи 48
2.2- Нахождение собственных значений и собственных функций 49
2.3-Полнота собственных функций
2.4-Базисность системы собственных функций 54
3. Базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения 61
3.1-Постановка задачи 61
3.2-Нахождение собственных значений и собственных функций 63
3.3-Полнота собственных функций 64
3.4- Базисность системы собственных функций 69
4. Полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения 74
4.1-Постановка задачи 74
4.2-Нахождение собственных значений и собственных функций 76
4.3- Полнота собственных функций 77
5. Полнота собственных функций задачи Франкля с условием нечетности 85
5.1-Постановка задачи 85
5.2-Нахождение собственных значений и собственных функций 87
5.3-Полнота собственных функций 88
Выводы 94
Литература 95
- Общее решение видоизмененной задачи Франкля в гиперболической части области
- Нахождение собственных значений и собственных функций
- Базисность системы собственных функций
- Полнота собственных функций
Введение к работе
Общая характеристика работы
Актуальность темы.Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов . Первым исследователем в этой области был Ф.Трикоми [42]. Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явилась работа Ф. И. Франкля[43].Задача Франкля без спектрального параметра рассматривалась в работах А.В Бицадзе,М.М Смирнова,К.И Бабенко [1], [39]. Большой вклад в изучение разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа внесли работы И.М. Гельфанда,Геллерстедта(Се11ег8^с^8).А.М.Нахуіпева,М.С. Салахитдинова,Т.Д.Джураева,А.П.Солдатова,В.Н.Врагова, Т.Ш.Кальменова,К.Б.Сабитова,А.Н.Зарубина,С.П.Пулькина, В. Ф.Волкодавова,В. П. Михайлова, А. А. Пол осина,Н. Ю.Капустина, А. В. Псху. Спектральные свойства задач для уравнения смешанного типа активно изучались,начиная с 80-х годов.Т.Ш.Кальменов[14]первый доказал,что задача Трикоми имеет по крайней мере одно собственное значение для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.С.М.Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказал их полноту в эллиптической части области,являющейся круговым. Е.й. Моисеев [20-31] нашел сектора на комплексной плоскости,в которых отсутствует спектр задачи Трикоми
для уравнения Геллерстедта с переменными коэффициентами^ частности,для уравнения Трикоми).Е.И.Моисеев доказал базисность этой системы в эллиптической части области и,используя свойство базисности, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. Я.Н.Мамедов [18] распространил результаты о полноте собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа,в частности,для уравнения Трикоми,но в случае,когда эллиптическая часть области-это половина круга в соответствующей геометрии. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и для уравнения Геллерстедта[6]исследовалась в работах К.Б.Сабитова и его учеников[38].В этой работе изучены полнота и базисность собственных функций для задачи Франкля для уравнения смешанного типа в эллиптической части области.
Цель работы.Целью работы являются доказательства базисности или полноты собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности или нечетности и с разрывом градиента решения или без разрыва градиента решения на линии изменения типа уравнения.
Методы исследования.Построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области выписывается с помощью метода разделения переменных, используется функция Бесселя. Базисность собственных функций задачи Франкля и полнота собственных функций задачи Франкля исследуются с помощью теорем о полноте и базисности систем синусов и косинусов в пространстве Lp. Кроме
того,используется ортонормированная система функций Бесселя.
Научная новизна.В первой главе изучается построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области,ранее во второй главе доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности,в третьей главе доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения,в четвёртой главе доказана полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения.В пятой главе доказана полнота собственных функций задачи Франкля с условием нечетности.
Практическая и теоретическая ценность работы.
Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории краевых задач для уравнения смешанного типа и в газовой динамике.
Апробация работы.Результаты, приведенные в диссер-тациидокладывались и обсуждались на научных семинарах кафедр общей математики и функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, а также докладывались на Тихоновских чтениях в октябре 2008г.
Публикации.Основные результаты работы подготовлены, оформлены в пяти статьях и опубликованы[44-48].
Структура и объём диссертации .Диссертация состоит из оглавления,введения,пяти глав и списка литературы.В введении указана актуальность задачи и краткая история основных результатов по уравнениям смешанного типа и основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 100 страниц.
Основное содержание работы
Первая глава.
Общее решение видоизмененной задачи Франкля в гиперболической части области
Актуальность темы.Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов . Первым исследователем в этой области был Ф.Трикоми [42]. Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явилась работа Ф. И. Франкля[43].Задача Франкля без спектрального параметра рассматривалась в работах А.В Бицадзе,М.М Смирнова,К.И Бабенко [1], [39]. Большой вклад в изучение разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа внесли работы И.М. Гельфанда,Геллерстедта(Се11ег8 с 8).А.М.Нахуіпева,М.С. Салахитдинова,Т.Д.Джураева,А.П.Солдатова,В.Н.Врагова, Т.Ш.Кальменова,К.Б.Сабитова,А.Н.Зарубина,С.П.Пулькина, В. Ф.Волкодавова,В. П. Михайлова, А. А. Пол осина,Н. Ю.Капустина, А. В. Псху. Спектральные свойства задач для уравнения смешанного типа активно изучались,начиная с 80-х годов.Т.Ш.Кальменов[14]первый доказал,что задача Трикоми имеет по крайней мере одно собственное значение для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.С.М.Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказал их полноту в эллиптической части области,являющейся круговым. Е.й. Моисеев [20-31] нашел сектора на комплексной плоскости,в которых отсутствует спектр задачи Трикоми для уравнения Геллерстедта с переменными коэффициентами частности,для уравнения Трикоми).Е.И.Моисеев доказал базисность этой системы в эллиптической части области и,используя свойство базисности, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. Я.Н.Мамедов [18] распространил результаты о полноте собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа,в частности,для уравнения Трикоми,но в случае,когда эллиптическая часть области-это половина круга в соответствующей геометрии. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и для уравнения Геллерстедта[6]исследовалась в работах К.Б.Сабитова и его учеников[38].В этой работе изучены полнота и базисность собственных функций для задачи Франкля для уравнения смешанного типа в эллиптической части области.
Цель работы.Целью работы являются доказательства базисности или полноты собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности или нечетности и с разрывом градиента решения или без разрыва градиента решения на линии изменения типа уравнения.
Методы исследования.Построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области выписывается с помощью метода разделения переменных, используется функция Бесселя. Базисность собственных функций задачи Франкля и полнота собственных функций задачи Франкля исследуются с помощью теорем о полноте и базисности систем синусов и косинусов в пространстве Lp. Кроме того,используется ортонормированная система функций Бесселя. Научная новизна.В первой главе изучается построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области,ранее во второй главе доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности,в третьей главе доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения,в четвёртой главе доказана полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения.В пятой главе доказана полнота собственных функций задачи Франкля с условием нечетности. Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории краевых задач для уравнения смешанного типа и в газовой динамике. Апробация работы.Результаты, приведенные в диссер-тациидокладывались и обсуждались на научных семинарах кафедр общей математики и функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, а также докладывались на Тихоновских чтениях в октябре 2008г. Публикации.Основные результаты работы подготовлены, оформлены в пяти статьях и опубликованы[44-48]. Структура и объём диссертации .Диссертация состоит из оглавления,введения,пяти глав и списка литературы.В введении указана актуальность задачи и краткая история основных результатов по уравнениям смешанного типа и основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 100 страниц.
Нахождение собственных значений и собственных функций
Базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности Во второй главе изучаются четыре пункта задачи Франкля для уравнения Лаврентьева - Бицадзе[3]. В пункте 2.1 дана постановка задачи Франкля с нелокальным условием четности для уравнения Лаврентьева - Бицадзе
Постановка задачи.В области D = (D+U -iU -2) требуется определить решение следующей видоизмененной задачи Франкля ихх + sgnyuyy + /j?sgn(x + у)и = 0, (13) в (D+ U D-i U D-2)c краевыми условиями и(1,0) = О,0є[О,], (14) дії (0,2/) = 0,2/ Є (-1,1), (15) u(0, у) = «(0,-«/), у Є [0,1], (16) Jta+0) = f-{x, -0),0 х 1, (17) ду ay її Функция и(х,у) — регулярное решение из класса и Є C\D+ U -i UD-2) ПCZ(D+) ПC\D_), где + = {(г,в)0 г 1,0 }, —1 D-1 = {(я, 2/) : -У ж у + 1, — у 0}, _2 = {(а?, у) : х - 1 у -х, 0 х -}. В пункте 2.2 нахождение собственных значений и собственных функций. Теорема 2.2.1. Собственные значения и собственные функции задачи (13)-(17) можно представить в виде двух серий : в первой серии собственные значения Xnk = fi находятся из уравнения . JAni nk) = 0, (18) где п — 0,1,2,..., к = 1,2,..., Ja{z) — функции Бесселя[2], а собственные функции определяются формулой U-nk AJAn({j,nkr) cos4n( - в) в +, AJAn({inkP) cosh4nip BD_I, (19) AJ4n( nkR)cosh4n(f в _2, х = г cos 9, у = г sin в, при 0 в f, г2 = х2 + у2 в D+, х = pcoship,y = psintn/;, при 0 р 1, —сю ф О, р2 = х2 — у2 в D_b х = R sinh р,у = —R cosh у?, при 0 у? +оо, R2 = у2 — х2 в D-2, во второй серии собственные значения Ап находятся из уравнения Г/2 (20) где п = 1,2,..., А; = 1,2, ...,а собственные функции определяются формулой А п-гфпкг) cos(4n - 1)( - 6 )BL +, йпк = I -AJ -iifinkP) sinh(4n - 1)ф BD_I, (21) AJ±n-\(jjinkR) cosh(4n — l)(p BD-2. В пункте 2.3 доказана полнота собственных функций. Теорема 2.3.1. Система функций ,7Г {cos4n(- - 0)} 0, ,7Г {ooe(4n-!)(--«)}»!, полна в пространстве Lp(0, ),Р 1,т.е.если ///(0)cos(4n)( -0) = 0, n = О,1, 2,..., /o5/(0)cos(4n-l)(-0)d0 = O, n = 1,2,..., / Є MO, f), -Р 1, то /(0) = 0 в LP(0, f). Лемма 2.3.1. Если /(0) є Lp(0,f),j 1, /o5/(0)cos4n(-0)cZ0 = O, n = 0,1,2,..., то/(0) = -/(-0) V/(0)eLp(O,). Теорема 2.3.2. Система собственных функций (19)-(21)задачи (13-17) полна в пространстве L2(D+) и образует в нём базис. В пункте 2.4 доказана базисность собственных функций в эллиптической части области в пространстве L i. Теорема 2.4.1. Система функций {cos(4n)( - 0)} 0, (22) {cos(4n-l)(-0)}-=1, (23) образует базис Рисса в L2(0, ). Замечание 2.4.2. Отметим,что система косинусов(22)и (23)является решением следующей задачи на собственные функции и собственные значения: w"+(4n)2u = O,0G(O, ), « (0) = и ф = 0. Система функций (23)ортогональна и является решением другой краевой задачи на собственные функции и собственные значения : + (471-1) = 0, (0, и ( ) = «(0) = 0. Третья глава. Базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения В третьей главе рассматриваются собственные функции задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом нормального решения на линии изменения типа уравнения.
Доказано,что эти собственные функции образуют базис Рисса в эллиптической части области и доказана базисность Рисса системы косинусов на отрезке [0, ],которые входят в выражения для собственных функций. Базисность Рисса была доказана для собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и непрерывным градиентом решения. В пункте 3.1 дана постановка задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом нормального решения на линии изменения типа уравнения.
Базисность системы собственных функций
Автор рад представившейся возможности выразить благодарность своему научному руководителю академику РАН Е.И.Моисееву за постановку задач, постоянное внимание к работе и полезные советы.Также автор благодарен всем сотрудникам кафедр общей математики и функционального анализа и его применений факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени.М.В.Ломоносова. Моя огромная благодарность моей жене Фарахназу за любовь,поддержку,доброту,понимание и терпение и своему доброму сыну Мохаммаду.
Построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области В настоящей главе изучается общее решение видоизмененной задачи Франкля для уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области с помощью метода разделения переменных, используя функцию Бесселя . Первая глава состоит из пяти пунктов. В первом пункте рассматривается постановка задачи. Во втором пункте-общее решение видоизмененной задачи Франкля в эллиптической части области. В третьем пункте - общее решение видоизмененной задачи Франкля в гиперболической части области. В четвёртом пункте - сшивание решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области. В пятом пункте - граничное условие задачи Франкля для уравнения смешанного типа . 1.1-Постановка задачи. Найти общие решения следующей задачи Франкля в области D = (Z?+uLL). Uxx + (sgn(y))uyy + fj,2u = 0, (1.1) в (D+uD_) с краевыми условиями u(l, 0)= 0,0 Є [0, J], (1.2) ди -(0,2/) = 0,2/ Є (-1,1), (1.3) u(0,2/) = -u(0,-2/),3/Є [0,1], (1.4) функция «(ж, J/)— регулярное решение из класса и є С0(ЩЦЛ1) n C2(L +) n С2( _) и г/(ж, +0) = — и(х, —0) —(ж +0) = — -(х, -0), 0 ж 1, (1.5) ду ду Л+ = {(г,0)О г 1,О 0 J}, область!)+ограничена сегментом [-1,1] оси ОХ и кривой 7= {(ж, у) : я2 + у2 = 1,ж 0,2/ 0}, и сегментом[0,1]оси ОУ. D- = {(х, у):-у х у + 1,=± у 0}и 1 {{х,у):х-1 у -х,0 х -}. зо 1.2- Общее решение видоизмененной задачи Франк ля в эллиптической части области Чтобы найти общее решение уравнения (1.1) в эллиптической части области D, перейдем к полярной системе координат, х = rcos6,y = rsmO, (1.6) Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим их = иггх + щвх, иу = urry + щОу, (1.7) хх =: ггХТх) і гв х х +Щв(рх)2 + иггхх + щвхх, (1.8) У уу t rryy) і Ur0Tytfy +Щв{0у)2 + игГуУ + щвуу, (1.9) Поэтому уравнение (1.1) в полярной системе коорднат примет вид: urr{(rx)2 + (гу)2) + 2игв{гхвх + гу(9у) + ( + Гуу) + ивв({вх)2 + ()2) Причём, . л . — sin6 л cos# . .. Гж = COSV,ry = siiiy, = ,#у = . (1-11) дифференцируем ещё раз из формулы (1.11), sin2 9 cos2 9 г rxx — 5 ryy 2 sin 9 cos 9 — 2 sin # cos # . . xx = 2 = 2 (1-12) Подставим формулы (1.12)в(1.10).Тогда получается / 2Л 9 Лх / — sin # cos 0 sm0cos0x wrr(cos 9 + sin 6/) + 2ur0{ 1 ) r r ,sin2 cos204 ,, — sin0N9 ,cos049x +Mr —- + + —Г" + — r r r r ,2 sin 0 cos 9 2sin0cos#4 9 ,„ . + ( 2 2 ) + A = - (1ЛЗ) Отсюда следует, что 1 1 urr + -?zr + -zUeo + М2 = 0- (1-14) Решение уравнения( 1.14)будем искать в виде и = Щг)ф(9), (1.15) Wr — i?r0, wrr = Иггф, щ$ = Яфвв-Где функции і?, 0 удовлетворяют соответственно уравнениям Rrr \Rr І фвв . 2 п /і i —- + -— + -g- + A = 0. (1.16) R r R rz ф Замену функции 0(6 ) = acosA 9 + &sinA0. (1.17) В результате получим уравнение вв = -А2. (1.18) Ф Отсюда следует, что r2Rrr + rRr - X2R + r2fi2R = 0. (1.19) и, следовательно, r2Rrr + rRr + (rV - А2)Я = 0. (1.20) Осуществим в уравнении (1.20)замену переменной z = //гдалее имеем dz dR dRdz dR dr dr dz dr dz и d2R _ 2d2R dr2 dz2 Подставим формулы (1.21)в (1.20).Тогда получается z2fi2d2R z idR 2 2 поэтому + ъ + - = Регулярные решения этого уравнения определяются через функцию Бесселя[2.с.13],
Полнота собственных функций
В настоящей главе изучаются собственные функции задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом нормального решения на линии изменения типа уравнения. Доказано,что эти собственные функции образуют базис Рисса в эллиптической части области.Одновременно доказана базисность Рисса системы косинусов на отрезке [О, ],которые входят в выражения для собственных функций. Ранее базисность Рисса была доказана для собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и непрерывным градиентом решения.
В первом пункте рассматривается постановка задачи. Во втором пункте нахождение собственных значений и собственных функций. В третьем пункте рассматривается полнота собственных функций. В четвёртом пункте - базисность системы собственных функций. 3.1-Постановка задачи. В области D = (D+ U D_i U D-2) требуется найти собственные значения и собственные функции задачи Франкля ихх + sgnyuyy + fi2sgn(x + у)и = 0 (3.1) бі в (D+ U D-i U D_2) с краевыми условиями и(1,0) = О,0є[О,], (3 (0,2/) = 0,j/(-l,l), (3 u(o, г,) =-«(о,-г/), у є [0,1], (з В классе функций где D+ = {(r,0)O r l,O 0 }, -1 D_i = {(ж,у) : -у ж 2/ + 1, — у 0}, _2 = {(ж, 2/) : х - 1 2/ -ж, 0 ж -}. С условием сопряжения на линии изменения типа уравнения ди, п. ди ґ ЛЧ Л , /Л — ж,+0) = —ж,-0, 0 ж 1, 3 #2/ %/ 3.2-Нахождение собственных значений и собственных функций Теорема 3.2.1.Собственные значения и собственные функции задачи (3.1)-(3.5) можно представить в виде двух серий : в первой серии собственные значения \пк = /j k находятся из уравнения : J4n+2(Hnk) = 0, (3.6) где П = 2,..., fink—корень уравнения(3.6), Ja(z)— функции Бесселя [2],а собственные функции определяются формулой : l nk AJAn+2{Hnkr) cos(4n + 2)( - в) в D+, AJAn+2{ nkp) cosh(4n + 2)ф в D_b (3.7) -AJAn+2(HnkR) cosh(4n + 2)у? в ZL2, во второй серии собственные значения \пк = fink находятся из уравнения JAn+li nk) = О, (3.8) где п — 0,1,2,..., к = 1,2,..., (jink)—корень уравнения (3.8),а собственные функции определяются формулой : ипк = { AJ4n+i(/w) cos(4n + l)(f - в) в +, AJAn+i(pnkP)sinh(4n + 1)ф в _i, (3.9) —AJin+ifankR) cosh(4n + 1)ср в D_2. x = r cos в, у = г sin #, приО 6 , г2 = х1 + 2/2 в +, a; = р cosh ф,у = р sinh -0, при 0 р 1, —оо ф 0, р2 = х2 — у2 в D_i, х — R sinh (р,у = —R cosh /?, при 0 у? +0O, R2 = у2 — х2 в D_2. Доказательство теоремы 3.2.1 проводится проверкой выполнения условий(3.1)-(3.5). 3.3-Полнота собственных функций Теорема 3.3.1.Система функций {cos(4n + 2)(- ?)} 0, {coe(4n + l)(J- )} , полна в пространстве Др(0, ),-Р 1,т.е.если // /(0)coe(4n + 2)(J- 0)d ? = O, /с — U X . -; // f(6) cos(4n + !)( -0) W = O, ) " ! га = 1,2, / Є LP(0, f), Р 1, то /(0) = 0 в LP(0, f). Доказательство .Для доказательства полноты собственных функций(3.7)-(3.9)нам понадобится.
