Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Задачи управляемости в математической физике для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, приобрели особенную популярность в последнее время в связи с возросшей возможностью их численного решения на современной вычислительной технике, хотя потребность в решении этих задач была и раньше, и теоретические исследования на эту тему ведутся уже не одно десятилетие. В диссертации доказана теорема о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением и переопределением на выходящем потоке для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости.
Вот далеко не полный список математиков, занимавшихся этими проблемами: Прилепко А.И., Иванков А.Л., Орловский Д.Г., Волков Н.П., Султангазин У.М., Тихонов И.В., Карег H.G., Lekkerkerker G.G., Heitmanek J., Greiner G., Voigt J.
Цель работы
1. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи в случае финального переопределения для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением в одном случае является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных, а в другом случае множитель в индикатрисе рассеяния, зависящий также только от пространственных переменных.
2. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние на выходящем потоке. При этом управлением в одном случае является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных, а в другом случае множитель в индикатрисе рассеяния, зависящий также только от пространственных переменных.
Научная новизна работы
Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:
Локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением в случае, когда управлением является функция источников, принадлежащая пространству Lp, и в случае, когда управлением является индикатриса рассеяния, принадлежащая пространству Lp, при 2 < р < со с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.
Локальная однозначная разрешимость обратной задачи с переопределением на выходящем потоке для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае, когда управлением является функция источников, принадлежащая пространству Lp, и в случае, когда управлением является индикатриса рассеяния, принадлежащая пространству Lp, при 2 ^ р < со с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.
Приложение.
Диссертация носит теоретический характер.
Апробация работы
Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах в МГУ под руководством академика Садовничего В.А. и профессора Прилепко А.И., на научном семинаре в МЭИ под руководством профессора Дубинского Ю.А., на научном семинаре в ИПМ под руководством профессора Масленникова М.В. и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математической физики под руководством профессора Скубачевского А.Л.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 3 печатные работы, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, общих сведений, четырех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 167 страницах машинописного текста. Список литературы включает 45 источников.
Используемая в автореферате нумерация теорем соответствует их нумерации в диссертации.
