Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время, в связи с широким применением вычислительной техники, одним из перспективных способов нераэрушающего контроля объектов является принцип компьютерной томографии, который находит свое применение в медицине, дефектоскопии, микроскопии, астрофиоихе и фиоихе атмосферы Земли. При построении математической модели томографии используют обратные задачи для уравнения переноса, состоящие в определении параметров среды по известному радиактивному излучению на границе среды.
Первая работа по обратным задачам для уравнения переноса принадлежит Г.И.Марчуку (1964) и была вызвана интересом по интерпретации информации с искусственным спутников Земли. Следующая по хронологии публикация принадлежит А.И.Прилешю (1973), в которой были приведены различные постановки оадач и обсуждались способы исследования.
Настоящая работа продолжает исследования Д.С.Акиконова, связанные с использованием специальных типов источников внешнего излучения для определения важнейших характеристик среды.
Цель работы - исследование возможности определения коэффициента ослабления уравнения переноса по его решению, известному только на границе области. Для этого предлагается использовать специальный тип источника, создающего разрывное излучение. Кроме проблем единственности, рассматриваются вопросы создания соответствующих алгоритмов и программ, и проверки их качества.
Методика исследования. При изучении свойств решения краевой задачи для уравнения переноса применяются некоторые разделы теории интеграла Лебега, а также предельные свойства непрерывных и ограниченных функций.
Обратная задача, рассматриваемая в диссертации, сводится к задаче обращения преобразования Радона от искомой функции, которая достаточно хорошо исследо-ванна и в диссертации не рассматривается.
Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, состоят из следующих.
-
Изучена непрерывность храевой задачи для стационарного моиоэнергетиче-схого уравнения переноса при возможной разрывности функции, входящей в краевое условие. Ранее подобные результаты получены Т.А.Гермогеновой, Д.С.Анихоновым при-ограничениях, которые, вообще говоря, в диссертации не выполняются.
-
Доказана единственность решения обратной задачи об определении коэффициента ослабления уравнения переноса при специальном типе источника.
-
Исследованы достаточные условия разрыва решения уравнения переноса и описан внешний источник, моделирующий излучение разрывного типа.
-
Создан алгоритм вычисления приближенного решения и проведена его численная реализация.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты автора представляют теоретический интерес и могут быть использованы в других оадачах, в частности, при исследовании непрерывных свойств храевой задачи для уравнения переноса.
Практическая значимость работы заключается в исследовании математической модели томографии. Наличие в диссертации вычислительного алгоритма и его численная реализация позволяют надеяться в перспективе на практическое использование результатов.
Аппробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи" (Новосибирск, 1992), на международном симпозиуме по компьютерной томографии (Новосибирск, 1993), на Российско - Японском семинаре "Дифференциальные уравнения в прикладной математике" (Хабаровск,1994). Автор выступал с докладами на семинаре член-
корреспондента РАН Г.А.Михайлова в ВЦ СО РАН (1993), на семинаре профессора Ю.Е.Авиконова в ИМ СО РАН (1993).
Диссертация докладывалась автором на семинаре "Дифференциальные уравнения и математическая физика" в ИПМ ДВО РАН.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1-4].
Структура диссертации. Диссертация изложена на 64 страницах машинописного текста, состоит из введения и трех глав, разбитых на девять параграфов. Список литературы содержит 71 наименование работ отечественных и зарубежных авторов.
