Введение к работе
ф АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Одним из важнейших разделов современного комплексного анализа является теория операторов свертки. Сюда входят вопросы разрешимости неоднородных уравнений свертки и их систем, сюръективности сверточных операторов, представления решений однородных уравнений посредством решений простейшего вида, продолжение решений однородных уравнений свертки, а также смежные вопросы теории ішорисубгармонических, аналитических функций и аналитических функционалов многих' ком-( плексных переменных.
Уравнения свертки и, в частности, дифференциальные уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков. Это объясняется, с одной стороны,, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки. Например, вопросы полноты систем экспоненциальных функций тесно, связаны с задачей изучения решений однородного уравнения свертки.
Указанная тематика; широко исследовалась в работах Шш-керле, Р. Кармикаэля, Мугвя, Р» Боаса, А. 0. Гельфонда, А. Ф. Леонтьева, 5. Мата>гран«а, Л„ Эренпрайса, В. П. Паламодова, Л. Хермандера, П. Лелона, А. Ыартшо, D. Ф. Коробейника, И. Ф. Красичкова-Терновского, К.. 0„ Кизелкава, В. В. Напалкова, Б.А. Тейлора, К. А. Беренстейр і, О. В. Епифанова, В. В. Коржакова, Л. Грумана, Д. 0. Струной.'Р., Со Пжухаметова и др.
Наиболее полно уравнения свертки изучены в одномерном случае* Это объясняется правде всего тем, что аналитические
функции одного комплексного переменного обладают "хорошими" свойствами в силу дискретности нулевого множества таких функций. Изучение уравнений в случае многих переменных наталкивается на существенные трудности, связанные с проблематикой теории функций многих комплексных переменных.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1) Изучить вопросы разрешимости неоднородных уравнений свертки и их систем в выпуклых областях многомерного комплексного пространства. Определить условия сюръек-тивности сверточных операторов.
-
Найти условия продолжимости решений однородного уравнения свертки в выпуклых областях из С.
-
Исследовать задачу представления решений однородного сверточного уравнения посредством элементарных решений (экспоненциальных полиномов).
-
Рассмотреть проблему интерполяции в пространствах целых функций с оценками-роста и ее применение к представлению решений однородных уравнений свертки.
-
Исследовать вопросы единственности выпуклых носителей аналитических функционалов, порождающих операторы свертки.
МЕТОДЫ .ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследования, проводимые в диссертации основаны на использовании аппарата преобразования Лапласа и результатах из функционального анализа, связанных с линейными отображениями в различных функциональных, пространствах. .
Указанные методы позволят сводить задачи из теория операторов свертки к проблемам в теории целых в шгорисубгармонй-ческнх функций. Сода входяг теоремы деления в пространствах
целых функций о тонкими оценками на poor, теорема о сложении индикаторов целых и плюрисубгармонических функций, интерполяция в пространствах целых функций с оценками и др. Решение этих проблем основывается на тщательном изучении асимптотического поведения целых и плюрисубгармонических функций.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
Получены условия разрешимости неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях из в?*. Эти условия формулируются в терминах вполне регулярности роста характеристической функции оператора свертки вдоль некоторых направлений в С11, связанных с геометрией выпуклых областей. В этих же терминах установлен критерий объективности сверточного оператора в произвольных выпуклых областях пространства С".
Найдены условия для одновременного аналитического продолжения решений однородного уравнения свертки, аналитических в выпуклой области, в более широкую выпуклую область. Последняя связана с угловым распределением нулевого множества характеристической функции оператора свертки. Эти условия обобщают все известные ранее результата со рассматриваемой проблеме и являются принципиально новыми и в случав одной переменной.
В диссертации рассматривается также проблема представления произвольного решения однородного уравнения свертки, аналитического в выпуклой области, посредством элементарных реве-ний ( экспоненциальных полиномов ). Показано, что при условии вполне регулярности роста характеристической функции вдоль предельных направлений ее нулевого множества решения однород-
ного сверточного уравнения представляются в виде ряда, состоящего из линейных комбинаций интегралов от элементарных решений. Этот результат является обобщением фундаментального принципа Эренпрайса-Паламодова для уравнений в частных производных
Исследуется проблема интерполяции в пространствах целых функций многих переменных с тонкими оценками на рост. Найдены условия интерполяции, которые обобщают ранее известные результаты по этой проблеме и формулируются в терминах, аналогичных случаю одного переменного. Полученные результаты применяются к' представлению решений однородного уравнения свертки в виде ряда интегралов ( а не линейных комбинаций интегралов ) от елементарних решений.
Изучается также пространство самих аналитических функционалов, порождающих операторы свертки. Рассматривается, в частности, проблема единственности выпуклых носителей аналитических функционалов. Ранее ата проблема ревалась ляль в некоторых частных случаях. В диссертации разработан новый метод исследования задачи единственности выпуклых носителей. На его основе получены условия единственности для общего случая.
Результаты диссертации носят теоретический характер. Эти результаты « разработанная в диссертации техника могут быть использованы при изучении асимптотических свойств целых и плю-рисубгармоннческих функций, для представления аналитических функций рядами экспонент и рядами более общего вида, в задачах интерполяции в С\ Результаты диссертации могут использоваться также в теории дифференциальных и функциональных уравнений в их приложениях.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались
на Всесоюзных конференциях а школах-семинарах ( Красноярск 1987 г., Саратов 1988 г., Ташкент 1989 г., Ростов-яа-Дону 1989 г., Нижний Новгород 1991 г. ), на семинарах в Институте математики УЩ РАН, в Башкирском, Харьковском госуниверситетах, в Математическом институте им. В.А. Стеклова. -
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1351 - [451.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит-из введения и шести глав. Список литературы содержит 90. наименований. Объем диссертации - 237 с.
