Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Пространство В МО и оценки средних значений стр 24
1. Предварительные сведения стр. 24
2. Продолжимость функций в пространствах с ограниченной средней осцилляцией стр.32
3. Оценки средних значений функции с ограниченной средней осцилляцией стр. 44
4. Дополнительные свойства функций с ограниченной средней осцилляцией стр. 57
Глава 2. Операторы свёртки и Винера-Хопфа стр. 65
5. Оператор свёртки в пространстве В МО стр. 65
6. Операторы Винера - Хопфа и с суммарным ядром в пространстве ВМО стр. 70
7. Оператор свёртки в пространстве ВМОк стр. 89
8. Оператор Винера-Хопфа в пространстве ВМОк стр. 92
Глава 3. Операторы с однородными ядрами стр. 98
9. Ограниченность операторов с однородными ядрами в ВМО{Ъ>+) и VMO{Kl) стр. 98
10. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО(В}) стр. 102
11. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО(0,1) стр. 111
12. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО{~ 1,1) стр. 124
13. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМОк стр. 135
14. Интегральный оператор Харди-Литтлвуда в пространстве ВМО(Кп) стр. НО
Литература стр. из
Список обозначений стр. 148
- Продолжимость функций в пространствах с ограниченной средней осцилляцией
- Дополнительные свойства функций с ограниченной средней осцилляцией
- Операторы Винера - Хопфа и с суммарным ядром в пространстве ВМО
- Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО(0,1)
Введение к работе
Глава 1. Пространство В МО и оценки
средних значений стр 24
Продолжимость функций в пространствах с ограниченной средней осцилляцией
В диссертации рассматриваются операторы свёртки, Винера-Хопфа и с однородными степени -1 ядрами в пространстве В MOfc, к Є Z+ -функций с ограниченной средней осцилляцией к -того порядка. Такие операторы имеют многочисленные приложения и;хорошо изучены в пространствах суммируемых или гладких функций. Эти исследования;по уравнениям типа свертки отражены в монографиях Ф.Д: Гахова и Ю.И. Черского [3], И.Ц; Гохберга и И.А. Фельдмана [6]; 3; Пресдорфа [22], а по уравнениям с однородными степени-1 ядрами в монографиях Л,17 Михайлова [21]; А.П. Солдатова [29], Н.К. Карапетянца и O.F. Самко [16], [34]j И;Б.Симоненко ИІНГОК Чинь Минь [ЗО], Р.В: Дудучавы [9], и др..В одномерной теории в пространствах ЬР 1 р оо, эти классы операторов тесно связаны между собой (с помощью экспоненциальных замен), я также с сингулярными интегральными операторами (с: помощью преобразования Фурье- в; случае сверток и преобразования Меллина- в случае операторов с однородными степени -1: ядрами). Эти связи приводят к соответствию-оператор Ф=Ф-ядро = символ, что позволяет формулировать в терминах символа и его индекса основные свойства операторов, связанные с описанием; их: спектральных и фредгольмовских свойств. Пространства ВМО уже давно возникли в различных, вопросах, связанных с интегральными і операторами. Именно,в:их терминах; например; описывается образ:дробных интегралов и потенциалов Рисса в так называемом предельном случае теоремы Соболева, когда а. = пр: В терминах принадлежности к ВМО описываются классы функций; для которых коммутатор с: сингулярным- интегральным оператором оказывается компактен и др..Пространства ВМО высших порядков оказываются тесно, связанными с пространствами типа Бесова. Различные аспекты, связаные с ВМО пространствами нашли отражение в монографиях A. Torchincky [43]; Дж. Гарнетт [2]; Б.С. Кашин, А.А. Саакян [17], П. Кусис [18] и др., ас ВМОкъ к eN в монографии R. A. DeVore, R.C. Sharpley [33] и диссертации P.M. Рзаева [26] (см: также [27], [28]).
Заметим, что специальный интегральный оператор с однородным степени -1 ядром, а именно, оператор Харди - Литтлвуда вида играющий важную роль в различных вопросах анализа был рассмотрен в работе Б.И: Голубова [5], где была показана его ограниченность в про-станстве ВМО(К\) и в то же время там же было отмечено,. что сопряженный к нему оператор (В /)(х) = J f(t) - уже не действует в ВМО, а действует в пространстве Re Н1 (см. также [37]-[40], где подобные операторы рассматриваются из весовых Ьр в весовое ВМО). Отметим, что для вольтерровских операторов свертки действие из весовых пространств Ьр в весовое ВМО рассматривалось в работах [13]-[15]. Основными объектами, рассматриваемыми в диссертации являются интегральные операторы свертки
Для последнего оператора интересны случаи, когда сингулярная точка а: = 0 лежит на границе (случаи отрезка [0,1] или полуоси), либо является внутренней точкой (случаи отрезка [-1,1] или оси).
В диссертации такие операторы рассматриваются в пространстве ВМО\ специфические внутренние свойства которых требуют иного подхода, отличного от случая Ьр - пространств, даже в вопросах ограниченности, и приводятся результаты об ограниченности, фредгольмовости и обратимости. Интересно отметить, что при переходе к пространству ВМОк, к Є N, условия ограниченности зависят от порядка- к а условия, фредгольмовости для сверток -те же, что и при А; — 0. При изучении фредгольмовости: возникает необходимость в использовании весовых свёрточных колец, с весом имеющим разное поведение на ±оо. Отметим, что операторы свертки в весовых классах суммируемых функций1 рассматривались, например, в [3], [7], [8], [11], [23]-[25], [34] и др.
При рассмотрении интегральных операторов, как свертки, так и с однородными степени -1 ядрами оказалось, что важную роль играют оценки средних значений функций по интервалам в зависимости от самого интервала и; его длины. При этом принципиальными моментами отличными от случая хорошо известных ([19] - [21] і (см. также[1] [10], [35] в многомерном случае)) пространств;LP(R+), 1 р сю, являются два. Во первых, для:операторов свёртки и с однородными степени -1; ядрами хорошо оценивается полунорма (так называемая ), но одного этого недостаточно-и появление дополнительных условий, кроме традиционных условий суммируемости ядра, связано с оценкой "всей" нормы, что эквивалентно описанию условии локальнойгИнтегрируемостиї(#/)(:г) или {Kf){x). Во вторых, иэто также важно, здесь мыне можем использовать традиционные связи с операторами свёртки на оси (или Винера-Хопфа на полуоси) ввиду несохранения г классов ВМО при: экспоненциальных заменах, связывающих подобные операторы. В диссертации приводятся достаточные условия ограниченности интегральных операторов К с однородными степени -1 ядрами в пространствах функций с ограниченной средней осцилляцией на полуоси, на отрезке ина- оси. Эти условия оказываются существенно различны для конечного и бесконечного отрезка и, кроме того, зависят от того будет ли особая точка х = 0 внутренней или граничной. Кроме того, эти условия ограниченности требуют привлечения более сложных колец, отличных от винеровского кольца, при изучении фредгольмовости. На этом пути удается рассмотреть интегральные операторы вида XI — К на полуоси, отрезке и оси. В последнем случае дополнительная сложность связана ещё с тем, что обычный приём 2x2 матричного растяжения: и перехода к системе уравнений на полуоси не обязан: сохранять классы В МО. Строится, подходящее множество символов, что позволяет изучать обратимость и фредгольмовость А/ — К. Для пространств ВМОк переход к случаю к О приводит к ряду новых эффектов, что в і наибольшей степени проявляется для казалось бы "более простого" интегрального оператора по полуоси, условия разрешимости которого оказываются зависящими от порядка к..Кроме того, в диссертации изучаются некоторые внутренние свойства пространств ВМОк, такие как необходимое условие принадлежности пространству, условия продолжимости с полуоси на ось нулем, чётным, нечетным образом и др.
Дополнительные свойства функций с ограниченной средней осцилляцией
Отметим, что в случае аналитических символов, когда К = К или К — К+, условия теоремы могут быть упрощены.
В 12 рассматривается интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО{—1% 1). На этот раз мы имеем эффект от того, что особая точка лежит внутри отрезка. Условия ограниченности оператора по отрезку [—1,1], те же, что и в случае [0,1], с заменой А;(1,у) на k(±l,y) и к ним ещё добавляется условие симметрии (0.26).
Исследование фредгольмовости в этом случае также основывается на переходе к матричному оператору с ядром вида (0.33). Однако на сей раз в отличии от операторов вида (0.3) по всей оси операторы по отрезку [—1,1] не коммутируют. Это не позволяет простыми средствами вывести выполнимость условий Сарасона [41] на интегральный скачок, определённый выше, позволяющих по решению системы из вектора решений на [0,1] склеивать решение для оператора К уже в ВМО[—1,1]. Здесь при исследовании фредгольмовости удается использовать тот факт, что матрица-символ, соответствующая оператору XI—К при матричном переходе вида (0.33) оказывается циклической и это позволяет её легко факторизовать.
Далее, подобно 9, строится кольцо, но в этом случае максимальные идеалы уже лежат в полосе — U Ivaz 0. В этом кольце справедливы теоремы Винера, Винера-Леви. И выполняется
Теорема 0.17. Пусть функция к(х, у) однородна степени -1, удовлетворяет условиям (0.41) и GN{X) = A-f /0 k(l,y)ytxdy символ оператора N- = Лі". + К. Если ?N{Z) ф О,, при всех z Є G из полосы —к Imz О, то оператор N обратим в пространстве BMOk(R,+). В; случае отрезка [0,1] условия ограниченности операторов К+, К+, К = К- + К+ вида (036) в пространстве BMOk0,.1) совпали с условиями ограниченности этих операторов в пространстве В МО (0,1), которые были г доказаны; в 11. Это означает, что все выводы 11, касающиеся обратимости и фредгольмовости оператора К в пространстве ВМ0(О,1), будут справедливый в общем случае для пространства, ВМОк(0,1) .Они; получаются простой заменой пространства ВМО(0;1) на ВМОк(0; 1). В 14 показывается ограниченность в- ВМО(Ип) оператора;Хардш -Литтлвуда /3f(x) = ф Jjyxj f(y)dy. Отметим, что многие результаты данной диссертации можно перенести и на пространства ВМО $. (определение см- в [26] -[28]). Основные результаты полученные в диссертации следующие., 1 ..Найдены условия ограниченности: интегральных операторов свертки и Винера-Хопфа в пространтсве ВМОк. 2 . Найдены условия ограниченности интегральных операторов.с однородными степени -1: с граничной и внутренней- сингулярной точкой в в пространтсве ВМОк. 3. Выяснена зависимость от порядка к условий обратимости операторов с однородными ядрами в пространстве ВМОк и связь с площадными; задачами; в теории- аналитических функций; 4; Описаны условия продолжимости; функций из BMOk{R\) на ось нулем; четным, нечетным образом. 51 Введено понятие интегрального скачка для описания локальных свойств функций из . ВМОк. Содержание настоящей работы докладывалось на Международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" института математики НАН: Беларуси, в городе Минск в 2001 г., на Международном Российско-Узбекском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и, информатики" в городе Нальчике в 2003 г., на Международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" института математики НАН Беларуси в городе Минск в 2003 г., на Международном, Российско-Казахском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" в городе Нальчике в 2004 г. и неоднократно на семинаре "Линейные операторы и функциональные пространства" кафедры дифференциальных и интегральных уравнений РГУ под руководством профессора Н.К. Карапетянца. Основное содержание диссертации опубликовано в статьях [44-53]. Результаты работ [45], [51], [52], [12] получены совместно с Н.К. Карапетян-цем, в которых научному руководителю принадлежит постановка задачи, определение общей схемы построения весовых колец с разным поведением веса на полуосях, а также идея оценки средних от функций из В МО по шарам, а автору - реализация этих рекомендаций и проведение детальных доказательств. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук профессору Николаю Карапето-вичу Карапетянцу за постановку задачи, помощь и постоянное руководство при выполнении настоящей работы.
Операторы Винера - Хопфа и с суммарным ядром в пространстве ВМО
Доказательство. Действительно для любого с. что и приводит к (2.12) при выборе с = fjQ. Л Лемма2.12. Справедливы следующие утверждения a) Если feBMOiR1) CvMO{Rl), VMOfR1)), то для любого т R1 необходимо, соответственно, будет b) Если же feBMO{-oo, Т)ПВМО(Т, оо) tfVMO{-oo, т)ПУМО{т, оо),. /VMO(-oo, г)ПУМО(т, со) Y и выполнено условие (2.13)(дополнитель но (2.14)), то feBMOiR1) (vMO(Rx), VMOfR1), соответственно . Доказательство. Справедливость необходимого условия а) сразу следует из левой части неравенства (2.11) и определения пространств В МО, VMO, VMO. Доказывая Ь) для ВЫ О, очевидно достаточно рассмотреть лишь интервалы, содержащие г. В случае симметричных интервалов І = (т є, т+є), утверждение b) следует из правой части неравенства (2.11) и определения пространств ВМО, VMO, VMO, при этом гДе WfWt - норма в ВМО(т, оо) и ВМО(—оо, т) соответстсвенно. В случае, если / Вт- несимметричный интервал, используем возможность перехода к симметричному интервалу, то есть неравенство (2.12), откуда m/(/) 4m/0(/), где /0 = (т — є, г + є) симметричный интервал с є = max(a — т], \Ь — т), причём \1\ \10\ 2\1\. Поэтому Это завершает доказательство леммы для случая ВМО. Справедливость её в случае несимметричных интервалов для VMO, VMO следует из перехода (2.12) к симметричным интервалам и сравни мости / и /о согласно неравенству / /0 2/. Л Случай конечного или полубесконечного интервала из леммы 2.12 не следует. Тем не менее ив этих случаях можно рассуждать аналогично. Предварительно для т Є (а, Ь) положим су = min(r — а,Ь — т). Л е м м a 2.13. Справедливы следующие утверждения а) Пусть feBMO(a,b) (VMO(a,b)) иг Є (а, 6). Тогда необходимо sup \jT,e(f)\ оо, (lim7r,,(/)=0Y, (2.16) б) Если же feBMO(a,r)nBMO(r,b) ( или / МО(а,т)ПУМО(т,Ь)) и выполнено условие (2.16), то f.BMO{a,b) (VMO(a,b)). Доказательство. Справедливость необходимого условия а) сразу следует из неравенства (2.11), где следует брать 0 є min(r — а,Ь — т). Оценка (2.15) для симметричных интервалов 1 С (а, Ь) сохраняется. Поэтому здесь нужно лишь рассмотреть случай, когда / Э т - несимметричный интервал. Пусть для определённости т — а Ь — т (в случае равенства г = всегда возможно перейти к симметричному интервалу IQ и использовать неравенство (2.11)). При \1\ т — а по прежнему можно перейти к симметричному интервалу /о и использовать неравенство (2.11). Наконец, если \1\ т-а, то т/(/) щ Jj \f(x)\dx Sl\f{x)\dx, то есть Осталось рассмотреть случай полубесконечного интервала. Пусть, например, г Є / = (а,со). Л є м м a 2.14. Справедливы следующие утверждения a) Пусть feBМО (а, оо) (VMO(a, оо)) и т Є (а,оо). Тогда необходимо sup 7г,(/) оо, (lim7r,,C/) = 0). (2.17) b) Если же /еВМО(щт)Г\ВМО(т, оо) (/єКМО(а,т)ПКМ0(т,оо)) и выполнено условие (2:17), то /єВМО(а} оо) (КМО(а, со)). Доказательство. Справедливость необходимого условия а) сразу следует из неравенства (2.И), где следует брать 0 є г — а. Оценка (2Л5) для симметричных интервалов;/ С (а, оо) сохраняется. Поэтому здесь нужно лишь рассмотреть случай, когда 7 Э г - несимметричный интервал. Пусть I — (6,с). Если / С (а, 2т — а), то по прежнему можно перейти к симметричному интервалу JQ и использовать неравенство (2.11). Наконец, рассмотрим случай с 2т — о. Разобьём интервал / на два IQ и /ь где /о — (Ь ,2г — 6) - симметричный интервал относительно г, /1 = (2т-6,с). /(Я щ. j/( )- Дф: щ. jf №) - / fe + /д - //0-f +7 jf №) - № 2(77 ,(/)+7 (/)-+ //0) + /7l. Так как /о С (а,2г — а) - фиксированный интервал, то //0 со. Кро ме того, l/jj с(1 Н-1п2т — 6 + 11111 11)11/11 С!(с2 + lnJi). Отсюда Lfril с3С2+ 17111 оо. Следовательно feBMO(a ,оо). Вслучае про странства VMO доказательство очевидно, так как при достаточно малом интервале / получим / С (а, 2т— а) и можно перейти к симметричному интервалу То и использовать неравенство (2Л1).
Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО(0,1)
Доказательство. Обозначим а±{і) - сужение веса a(t) на R _ и аналогичный смысл будут иметь обозначения hi±(i)t h2±{t). Наша цель показать, что если hj(t) Є L, то есть a(i)hj(t) Є IqfR1), то и h = h\ h2 Є L, то есть a(t)h(t) Є Li(RL). Имеем где учтено, что -a+(i)(/ii_ /i2_)(i) = 0, a_ ()( 1+ 2+)( ) = 0. Далее, в силу уже проведенных рассуждений для колец Zi±, имеем a+{t)(h1+ /г2+)( ) Є i(Ri) и a_(i)(Ai_ V)(0 Є (Rl). Для A2 имеем А2 с+Л2_іа+/і2+і, где учтено, что а+(х) с+а+(а; — і) при х 0, і 0 и аналогично оцениваем для Аз - А5.
Чтобы окончательно завершить доказательство, нам нужно проверить полумультипликативность веса при всех і,2 Є- R1, а не только при t\t2 0, как в (6.22) - (6.23). Этого легко добиться, даже если изначально полумультипликативности нет, переходя от веса a(i) к весу а (і), где Замечание 6.1. При рассмотрении колец Ь\± следовало дополнительно провести аналогичные рассуждения, чтобы убедиться, что вес может быть продолэюен с сохранением полумультипликативности. Так, в случае a(t) = 21og2(2 — t), t 0 можно положить a(t) — 2, t 0 и a{t) = a(t), t 0 (в этом случае c+ = c_ = 1, ск-(0) = a;+(0) = 2 так что 7 = 1). В случае же веса a(t) = (1 + t)s полагаем a(t) = a(t), t 0 и a(t) = 1/ і 0 (в этом случае с+ = с_ = Г, а_(0) = а+(0) — 1 и
Замечание 6.2. Нетрудно понять, что вес a(t) будет приводим к допустимому; если, при сохранении (6.24)- (626), вместо (6.22), (6.23) выполнены условия почти мультипликативности: a(t\ +2). d+a(t\)a(t2), tufa- 0; a(h + 2) 5: - ( 1)0:( 2)) 1) 2 0, или даже почти полуаддитивности a(ti + 2) d+(a( i);+ ( 2))) ii 2 0, a(ii + t2) rf_(a( i)-+of(t2))i «i,t2 0. Доказательство легко получается непосредственной проверкой.
Следствие 6,2. Пусть a(t) положительная непрерывная на;[0,оо) функция удовлетворяет условиям: a) a(t) почти полумультипликативна-при t 0, с константой d; b) ct(t) почти возрастает при t 0 с константой і с; с) справедливо равенство lim п -=-0.- Тогда ее чет-ное продолжение вида р (i) = a(t), t 0-«/?() = уа(-і), t 0, с некоторой константой у определяемой через с, d и а(0), является допустимым весом в смысле опеределения 16.1.
Замечание 6.3: В условиях следствия 6.2 в а) вместо "почт и мультипликативности" можно требовать - "почти полуаддитивность. Лемма 6.7 показывает, что в расширенном кольце, построенном с помощью условий (6.19) и (6.20), так что a(t) = log2(2 — і) при t 0 и a(t) = (1 + t)s при і 0, теоремы Винера и Винера - Леви верны. Убедимся, что то же имеет место, если к этим условиям присоединено, условие (6.21). Для этого рассмотрим свёртку { h2)(t) = (h1+ h2+)(t)+ (Лі_. h2+)(t) + (h1+. h2-)(t) + + (hi- h2-)(t) = Bi + Bi+ Bi + Bt. Нам нужно убедиться, что (hi h2)+(x) Є І (Д+), если hj+(x) Є LV(R+), j — 1, 2; Так как (hi-,. h2-)(x) = 0 при x 0,.то достаточно рассмотреть В{, В2, -Вз Для слагаемого Bi мы получим (/ii+ /i2+)+( ) = (h\+ h2+)(t) и IJBijji/ Ц/ii-f i[/i2+v 00. Аналогично, продолжая в ?2, - ядро нулем и учитывая, что Li Lv С L„ получаем, что ВзЦ„ Йі+„Й2_і:. оо. Наконец, \B2\V fti_i/i2+IU Таким образом (/її Лг)(і) Є 1 (./ ,), так что Ь\ - кольцо. Наконец; верность теорем Винера и; Винера - Леви; выводится, как и ранее, из (6.18) и аналогичных рассуждений: Однако на сей раз приходится ещё использовать и свойства факторизации; Прежде всего приведём для удобства в виде отдельной леммы приведённое выше. рассуждение относительно свёртки. Лемма 6.8. Пусть hj(x) 1( 1) и hj+(x) є-L„(R\),. 1. 7Ъгдя (Л1- Й2)+(я;) (Лу. Предполагая теперь, что мы рассматриваем оператор Винера - Хопфа с ядром /і( ) є і и символом А+ h() можно получить обычный для уравнения Винера - Хопфа результат о нетеровости, для чего достаточно убедиться, что ядра операторов свёртки с символами вида I ) принадлежат к расширенному кольцу L. Известно (см. [4], с. 69), что Из (6.29) - (6.30) видно, что ядра ln(t) имеют вид либо tk e+f, либо tk е _, fceN. Ясно, что любые степенные (а тем более логарифмические) веса не выводят из Lit так что (6.19), (6.20) выполнены. Условие (6.21) для tket выполнено автоматически, а для tk е проверяется очевидным образом с помощью неравенства Гельдера.
