Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Рейнхартовы области голоморфности в С 13
1.1. Максимальные торы и группы автоморфизмов гиперболических областей Рейнхарта 13
1.2. Классификация областей Рейнхарта и их группы автоморфизмов 16
1.3. Доказательство теоремы 1.1. 23
1.3.1. Класс Б2 23
1.3.2. Класс Б1И 23
1.3.3. Классе 25
1.3.4. Класс лиг 27
1.3.5. Классы д,з и C2\{z,z2=0} 32
1.3.6. Оставшиеся классы 32
ГЛАВА 2. Области Рейнхарта общего вида в С 33
2.1. Торы и дендриты З3
2.2. Свойства дендритов 36
2.3. Дендриты и дуги 41
2.4. Дуги и гиперповерхности 45
2.5. Доказательство теоремы 1.1. 48
2.5.1. Классы Б2, Б1И, е 48
2.5.2. Класс a\Je 48
2.5.3. Классы б), з и C2\{z,z2=0} 50
2.5.4. Классы в, ж 53
2.5.5. Класс б 54
2.5.6. Класс С2 55
2.5.7. Класс C2\{z,= 0}, С2 \ {z2= 0} 55
ГЛАВА 3. Гиперболические трубчатые области в С 58
3.1. Голоморфная классификация трубчатых областей 58
3.2. Трехмерная группа автоморфизмов 60
3.3. Трехмерная группа с одномерным коммутантом 61
3.4. Трехмерная группа с двумерным коммутантом 66
Список литературы 67
- Классификация областей Рейнхарта и их группы автоморфизмов
- Дендриты и дуги
- Трехмерная группа автоморфизмов
- Трехмерная группа с двумерным коммутантом
Введение к работе
В этой диссертации исследуются задачи о голоморфной эквивалентности для областей Рейнхарта и для трубчатых областей в С . Доказывается, что две голоморфно эквивалентные области Рейнхарта мономиально эквивалентны (теорема 1.1, стр.13), а две голоморфно эквивалентные гиперболические трубчатые области аффинно эквивалентны (здесь есть исключения, все они описаны) -теорема 3.1, стр.58. Эти результаты позволяют для двух таких областей вопрос о голоморфной эквивалентности свести к вопросу об аффинной эквивалентности некоторых двух областей на плоскости
Напомним, что область Рейнхарта в Сп - это область, инвариантная относительно поворотов (z,,... zn) i- (ехр(/(9, )z,,... ехр(/ 9„ )zn), а трубчатая область - это область, инвариантная относительно вещественных сдвигов (z,,... zn ) і— (z, + 0],...zn +&„), где вх,... вп є R - произвольные числа. Область Рейнхарта однозначно определяется своей проекцией на координаты (z,,...z„)- так называемой диаграммой Рейнхарта, а трубчатая область определяется своей проекцией на координаты (Im z,,... Im zn) -базой трубчатой области. Между областями Рейнхарта и трубчатыми областями имеется связь - голоморфное накрытие (z,,... zn) ь- (exp(/z,),... exp(izn)) переводит трубчатые области в области Рейнхарта. Это не взаимно-однозначное отображение, поэтому, собственно, трубчатые области и области Рейнхарта - разные объекты, хоть и во многом схожие. Эта тесная связь породила метод исследования по аналогии. Но у такого подхода есть серьезный недостаток - не любая область Рейнхарта является образом трубчатой (если область Рейнхарта содержит точки, принадлежащие координатным осям). Мы будем исследовать области Рейнхарта и трубчатые области отдельно.
Интерес к этим областям неслучаен - они являются естественными областями определения степенных рядов и интегральных представлений, часто возникают в анализе как классические примеры, а трубчатые области над конусами возникают в физике. Давно известны результаты, описывающие голоморфную оболочку таких областей, причем в самом общем случае. Изучались их автоморфизмы. Без сомнения, это наиболее исследованные области в многомерном комплексном анализе ([Ф]). При всем этом задача их голоморфной классификации не была окончательно решена.
В одномерном случае области Рейнхарта - это круги, кольца (с центрами в 0) и вся комплексная плоскость. Одномерный аналог задачи, рассматриваемой в диссертации, выглядит так: пусть D\ и 2 — голоморфно эквивалентные области Рейнхарта в С. Тогда D] можно перевести в / с помощью линейного отображения z ь- Az или инверсии z ь- Az" , то есть алгебраического отображения. Это - простая задача на принцип симметрии. Трубчатые области в одномерном случае - это полосы, полуплоскости (параллельные вещественной оси) и вся комплексная плоскость. Одномерный аналог задачи, рассматриваемой в диссертации, для трубчатых областей тривиален: пусть D\ и Дг - голоморфно эквивалентные трубчатые области в С. Тогда D\ можно перевести в 2 с помощью аффинного отображения z і—» Az + b, АєК, beC. Исключением является пара полоса- полуплоскость, когда экспоненциальное отображение нельзя заменить аффинным.
Диссертация посвящена двумерному случаю, когда задача становится намного сложней. Уже в одной из первых работ по многомерному анализу Пуанкаре [Poi] отметил, что бидиск и шар в С голоморфно неэквивалентны, потому что обладают неизоморфными группами автоморфизмов - у шара она 8-мерна, у бидиска - 6-мерна. Заметим, что и шар, и бидиск - это области Рейнхарта. Далее исследование задачи голоморфной эквивалентности (если такую общую задачу вообще разумно выделять) пошло двумя путями. Основной (и более поздний по происхождению) инициирован Э.Картаном, когда вводились ограничения на группу автоморфизмов области, по сути эти исследования относятся к теории групп и алгебр Ли.
Другой путь - вводить ограничения на области и решать задачу эквивалентности в С (Рейнхарт, Туллен, А.Картан). Обобщения на более высокие размерности приводили бы к очень серьезным техническим трудностям. Тем не менее, это тоже продуктивный путь - он дает конструктивные результаты. Диссертация находится в этом же ряду. Для областей Рейнхарта получен окончательный результат. Теперь ясно, что ограничения на области, которые вводились до сих пор (ограниченность, гиперболичность, ограничения на топологию областей), несущественны и объясняются только техническими причинами. Это же должно быть верно и для случая С", п 2.
Работ, посвященных задаче классификации областей Рейнхарта, достаточно много. Трубчатыми областями занимались меньше. Кратко опишем те работы, которые сыграли ключевую роль при написании диссертации.
В 1978 г. Сунада ([Sun]) исследовал голоморфную эквивалентность ограниченных областей Рейнхарта в С", содержащих начало координат. Он доказал, что в этом случае между D\ и D2 существует линейное отображение вида w. = z..., где г, константы, а а(г) - некоторая перестановка индексов / = 1 ...п. Для этого он рассмотрел алгебру Ли группы автоморфизмов таких областей. Кружилин ([Кр]) и Шимицу ([S1]) заметили, что группа поворотов образует максимальный тор в группе автоморфизмов гиперболической (например, любой ограниченной) области Рейнхарта. Этот факт оказался очень важным. Было доказано ([Кр]), что если D\ и / - гиперболические области Рейнхарта, между которыми есть биголоморфное отображение F, то между D\ и Dj. существует также биголоморфное отображение вида w = rz" 1 . ..z"1", где (atJ) - целочисленная матрица с определителем + 1, a rt константы, i,j =1 ...п. Такое отображение мы далее будем называть мономиальным.
Близко к теме диссертации примыкают работы Шимицзу [S2], [S3]. О них подробно рассказано на стр. 8.
Отметим наиболее важные работы о трубчатых областях. В 1982 году Янг в своей работе [Yang] получил следующий результат - если биголоморфно эквивалентные трубчатые области в Сп имеют ограниченные гладкие строго выпуклые базы, то такие области аффинно эквивалентны. Голоморфной классификацией трубчатых областей занимался Шимицзу - [S4], [S5]. В [S4] он доказал, что голоморфно эквивалентные трубчатые области с ограниченными базисами аффинно эквивалентны. В [S5] были рассмотрены трубчатые области в С , базисы которых представляют собой выпуклые области в R , не содержащие полных прямых и была получена голоморфная классификация таких областей.
Классификация областей Рейнхарта и их группы автоморфизмов
Рассмотрим множество рейнхартовых областей голоморфности, и выделим два подмножества: A - те области, ln-диаграмма которых занимает все R2 ( С2, С2\ {z\= 0}, С2\ {z2= 0},C2\{z,z2=0}). Б - все остальные области (ln-диаграмма - выпуклая фигура, но не все R2). Для каждой области из Б существует хотя бы одна плюрисубгармоническая функция (ПСГ-функция), ограниченная на ней. Действительно: 1). Логарифм модуля голоморфной в области функции - ПСГ-функция. 2). Линейная комбинация ПСГ-функций с положительными коэффициентами -ПСГ-функция. Вот все возможные варианты: В каждом из этих случаев нашлась ограниченная на всей области ПСГ - функция. Запишем уравнения опорных прямых для получающихся на 1п-диаграмме выпуклых фигур в виде у = кх+ с, где х = lnzi, у = 1пг2 (для случая с вертикальной опорной прямой все последующие построения очевидны). Разобьем множество Б на два - множество Б1 будет состоять из областей, у которых все опорные прямые на In-диаграмме параллельны, а множество Б2 -остальные области (то есть имеющие, по крайней мере, две непараллельные опорные прямые). В частности, в множество Б2 попадают все ограниченные области. Множество Б1 снова разобьем на два - Б1И - те области, у которых коэффициент наклона к иррационален и Б1Р - коэффициент рационален (или опорные прямые вертикальны). В областях из множества Б1 легко найти целые (голоморфные) кривые. А именно, пусть целая кривая не вырождается в точку и имеет вид: неравенство для ПСГ-функции, например, ІпІДОІ+ ІяСОК с, к 0. Получается ограниченная сверху ПСГ- функция на С, то есть константа (или - со). В нашем случае это означает, что /(0 \(0\ = const. Если const =0, то J[t)-g(t) = 0 на всем С Кривые, соответствующие этому случаю, имеют следующий вид: Если сопЛ 0, то/и g - целые функции без нулей, поэтому эти целые кривые fz. = Ке кг(,) имеют следующий вид: \ ,/єС, где г(/)- целая функция, такая, чтоg(t) Лі) Ке С \ 0. Это множество совпадает с множеством Такие же рассуждения можно провести и в оставшихся семи случаях. Если к є Q, то точки (1.1) заполняют аналитическое множество, это очевидно. Если к 0 Q, то множество таких точек не принадлежит никакому собственному аналитическому подмножеству. Теперь рассмотрим область D из Б2 подробнее. Она имеет по крайней мере две непараллельные опорные прямые на ln-диаграмме, пересекающиеся в некоторой точке А. Очевидно, что прямые, проходящие через А с промежуточными коэффициентами наклона, либо сами будут опорными (если А принадлежит границе изображения D), либо будут параллельны опорным прямым. Из получившегося диапазона мы можем выбрать бесконечно много опорных прямых с рациональными коэффициентами наклона. Рассмотрим на D полуметрики Каратеодори со и Кобаяси ко-
Пусть р, q - точки D,p q, такие что, ко (р, з0=0. Так как kD (р, q) cD (р, q), то cD (р, q)=0 и для любой ограниченной голоморфной на D функции/; будет выполнено/Хр)=/Х#). Каждой опорной прямой на ln-диаграмме с рациональным коэффициентом наклона отвечает подобная функция вида z"z@, a, /? =Z. У нас бесконечно много таких прямых и мы можем написать переопределенную систему уравнений вида Если z\{p) Ф 0, z2(p) Ф О, z\(q) Ф О, z2{q) Ф О, то из этой системы легко следует, чтор = д. Таким образом, если D не пересекается с координатными плоскостями, то она -гиперболическая. Если D включает целую кривую (уже ясно, что это может быть ТОЛЬКО ОДНО ИЗ МНОЖеСТВ { Z\ = О , Z2 Є С}ИЛИ{ Z\ = О , Z2 Є С \0}, {Z\ Є С, Z2 = 0}, {Z\ є С \ 0, Z2 = 0}), то конечно, D - не гиперболическая. Но в этом случае можно доказать следующее: область и, которая получается, если выкинуть из D имеющиеся в ней целые кривые (одну или две), является гиперболической. Действительно, пусть ґУ имеет точки, лежащие на координатной плоскости z\ = 0 (эти точки образуют круг или кольцо - может быть неограниченное), а на координатной плоскости zz — 0 точек не имеет. Система (1.2), очевидно, пригодна для поиска точек/? Ф q, таких что с (p,q) = 0 . Благодаря относительной полноте D к (1.2) можно добавить уравнение zzip) = z2(q), если его там не было, откуда легко следует, что/» = q. Другие случаи еще проще: если Г/ не имеет точек на координатных плоскостях, то она гиперболическая, если пересекается с обоими координатными осями по кругам или кольцам, то в системе будут уравнения z\(p) = z\{q) и zi(p) = zj{q). Вывод - область D из Б2 или гиперболическая, или гиперболическая + одна или две целые кривые (координатные плоскости). ЛЕММА 1.2. Пусть D - произвольная рейнхартова область голоморфности. Тогда это либо: 4). область из Б2; 5). область из Б1Р; 6). область из Б1И. Область, попавшая в один из этих классов, не может быть биголоморфно эквивалентна области из другого класса. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В любой области из Б1Р есть много целых кривых, и все они -аналитические множества. В областях из Б1И тоже много целых кривых, но они не являются аналитическими множествами, за исключением, возможно, координатных плоскостей. В областях из Б2 целых кривых нет, кроме, быть может, двух. В областях из А есть много целых кривых, и являющихся аналитическими множествами, и неаналитических. Так как при биголоморфных отображениях аналитические
Дендриты и дуги
В этом параграфе мы покажем, что изображение на диаграмме Рейнхарта образа тора из инвариантного множества Xj на самом деле не абстрактный дендрит, а простая дуга или точка. Доказательство основано на том, что тор, изображение которого на диаграмме - точка ветвления, должен перейти в тор (теорема 2.3). Нас интересуют дендриты именно той последовательности, которая была построена в 2.1 и поэтому мы оставили те же обозначения. теорема 2.2. Пусть и Ек+ \, к 2- дендриты, Ек+1 — \F([Ek\)\ или Ек+ \ — \F ([Ек])\, точки тє Ей, /е E +j, причем огс1тЕк 3. Если существуют точки (в С ) w є [т], z є [/], такие, что F: z - w, то обязательно и ordiE i 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем теорему для случая тє Еі, І є Ез, тогда F(z)= w. Доказательство для других индексов точно такое же, а обозначения более громоздкие. Предположим противное - есть такие /, т, что огйтЕг 3, но ord/Ез, 2. Разбираем крайний случай ordmEi - 3, ordtE?, = 2; если ordmEj 3 и (или) ordiE 2, то доказательство еще проще. Заметим, что если т 1о, то уменьшая, если необходимо, є, можно считать, что Vf не пересекается с 1о (обозначения из теоремы 2.1). Используя лемму 2.13, изобразим схематически все возможные комбинации, и покажем, что все они невозможны. а). Покажем, что случай А2 — A3 невозможен. Пусть BRCZ С2 - шаровая окрестность точки z такого малого радиуса R, что BRCZ F (W). Построим окрестность Z cz С точки z следующего вида: Z = Вц п\у ], где V - специальная окрестность (построенная в предыдущем параграфе) точки / є Ет, размера меньше R. Очевидно, что множество [з] делит ZHa две части. Возьмем три точки из разных компонент W \ [Ei\, настолько близкие к w, что их прообразы попадают в Z. Можно также считать, что эти прообразы не попадают на [Ез] - такой выбор точек возможен, так как компоненты W\ [Ег] - открытые множества. Какие-нибудь два прообраза попадут в одну компоненту Z \ [з] и их можно соединить жордановым путем в этой компоненте без пересечения с [Ез]. Так как по построению F X([E2\) с: [Е ], то образ этого жорданова пути будет соединять две компоненты W \ [Е{\ без пересечения с [Ег], что невозможно. б). Теперь рассмотрим случай Б2—»АЗ, когда Z\ [3] nW\ [Е{\ имеют по три компоненты. Пусть N\, N2, Л3 - компоненты W\ [Е2], а М\, Мг, Мз - компоненты Z\ ([г\Г\ [г2І]) (см. рис.). Так же, как в пункте а), можно показать, что точки х, из разных компонент 7V, не могут иметь прообразы F \xi) в одной и той же компоненте Z\ [Ej]. Поэтому точки из одной компоненты Nj не могут иметь прообразы в разных компонентах Z\ [3]- Учитывая, что прообраз 7V, должен быть открыт и так как не исключена возможность, что F" (x,)e [Е3], сделаем уточнение: F l(Nj) с М,. Это слабое утверждение, но нам достаточно и его. Итак, в случае Б2 существуют две компоненты М,, пересечение границ которых принадлежит тору [/], одно- или нульмерному. А в случае A3 точки пересечения границ двух любых компонент N, образуют вещественно- трехмерное многообразие и оно не может отобразиться внутрь множества [Г\ меньшей размерности. в). Разберем случай Б2— ВЗ. В случае ВЗ существует дуга дендрита 2, лежащая на 1о (см. рис.). Покажем, что существует точкау е[/]\[от], такая что F (y)e ([г]/]и[гг/])\[/] (см. рис.). Очевидно, можно найти точку уо e[/]\[/w], такую что F ;(yo) [/]. Точку уо можно соединить путем S с ([/]\ w])uw с точкой w. F (S) будет соединять F l(yo) и z, и наступит момент /ос 5", to w , такой что F l(to)e ([rf/]u[r2/])\[/] - иначе порядок / был бы больше 2.
В качестве у тогда можно взять /0. Рассмотрим достаточно малую окрестность найденной точки у в С2. Эта окрестность содержит точки только одной компоненты W\ [Е2], а прообраз этой окрестности содержит точки двух компонент Z\ [Ез]. Таким образом, две компоненты Z\ [Ез] уже «заняты» и для точек двух других компонент W\ [Е{\ осталась только одна компонента Z \ [Ет,]. Рассуждая, как в пункте а), приходим к противоречию. г). Случай Б2—»ГЗ. Рассуждая, как в пункте в), найдему\ &[у\\\[т\,У2 є[ ]\[/и], такие что F (y/)e([ri/]u[r2/])\[/]. Если F іуі) принадлежат одной [г,-/], то в компонентах Z\ \Е{\, общей границей которых является [г,-/], существуют прообразы точек из обеих компонент W\ [Е2] и мы можем применить пункт а). Если F ](yj) принадлежат разным [rj], то в компоненте Z\ [Е3], граница которой содержит [/}/], есть прообразы точек из обеих компонент W\ [Е2], и мы снова применяем пункт а). Случаи В2- АЗ, Г2- АЗ, А2- БЗ, Б2- БЗ, В2- БЗ, Г2- БЗ, А2- ВЗ, В2- ВЗ, Г2—»ВЗ, Г2 ГЗ разбираются аналогично пункту а), случай А2—»ГЗ - аналогично в), случай В2—»ГЗ - аналогично г). Теорема доказана. Итак, точки из «торов ветвления» могут переходить только в точки из «торов ветвления». теорема 2.3. Пусть в обозначениях теоремы 2.2 W , w є [т] - произвольные точки, доказательство. Соединим точки w и vJ1 путем в торе [т]. Если бы /и / попадали в разные торы ветвления [її] и [/г], то соединяющий /і и h путь в дендрите Еи+\ состоял бы из одних торов ветвления по теореме 2.2, а это противоречит лемме 2.6. Далее нам потребуется следующий результат (его можно считать очевидным, а можно вывести из теоремы Брауэра): лемма 2.14. Пусть [/]є D{u [т] є 2 - торы одинаковой размерности, и пусть
Трехмерная группа автоморфизмов
Две алгебры, обладающие свойством dim g =Т, таковы: А \в]. е2] = 0. [еи е{\ = 0, [ ?2, е-}] = ей В [е\, е2] = 0, [е\, е3] = 0, [е2, ез] = е2. В алгебре А все двумерные коммутативные подалгебры являются идеалами. В алгебре В только одна двумерная коммутативная подалгебра - (е\,е2) - является ) О 0 у Напомним, что аффинное преобразование переводит трубчатую область в трубчатую. Такое преобразование соответствует замене базиса в (Li, LI)R (далее у нас символ линейной оболочки всегда будет означать вещественную линейную оболочку и значок R мы будем опускать). Кроме того, при фиксированных L\ и Ьг можно различными способами выбирать третий базисный вектор Ь в алгебре g . Используя эти приемы, можно добиться, чтобы пара коммутирующих операторов ad L\ и ad Li имела одну из следующих матричных записей: В, но в В1 подалгебра t = {L\,Li)- идеал, а в В2 - нет. Из леммы 3.1 и свойств идеала следует, что алгебры А и В1 состоят из аффинных полей. Впрочем, это видно и непосредственно. Действительно, решая соответствующие системы дифференциальных уравнений, находим: Эти поля надо проинтегрировать, чтобы получить явный вид соответствующих трубчатых областей. В случае А интегральные кривые поля b выглядят следующим образом (мы выписываем только их проекции на плоскость {у\,уг) Если С = 0, то область Q обязательно содержит целую прямую, поэтому 7Q -негиперболична. Если С 0, то проекции интегральных кривых на плоскость (у и у г) имеют вид соосных парабол. После параллельного переноса и изменений масштаба, то есть аффинных преобразований, получаем три варианта: -либо 1 = {ух у22), Первая база аффинно эквивалентна Qo (класс 0). Вторая база при любом значении Т аффинно эквивалентна, например, Qrf = {у2 +1 у] у\). Третья база содержит целые прямые, поэтому соответствующая трубчатая область негиперболическая. В случае В1 интегральные кривые имеют такой вид: Если С =0, то после аффинного преобразования получаем следующие случаи: П только одна двумерная коммутативная подалгебра - (е\,е2) - является ) О 0 у
Напомним, что аффинное преобразование переводит трубчатую область в трубчатую. Такое преобразование соответствует замене базиса в (Li, LI)R (далее у нас символ линейной оболочки всегда будет означать вещественную линейную оболочку и значок R мы будем опускать). Кроме того, при фиксированных L\ и Ьг можно различными способами выбирать третий базисный вектор Ь в алгебре g . Используя эти приемы, можно добиться, чтобы пара коммутирующих операторов ad L\ и ad Li имела одну из следующих матричных записей: В, но в В1 подалгебра t = {L\,Li)- идеал, а в В2 - нет. Из леммы 3.1 и свойств идеала следует, что алгебры А и В1 состоят из аффинных полей. Впрочем, это видно и непосредственно. Действительно, решая соответствующие системы дифференциальных уравнений, находим: Эти поля надо проинтегрировать, чтобы получить явный вид соответствующих трубчатых областей. В случае А интегральные кривые поля b выглядят следующим образом (мы выписываем только их проекции на плоскость {у\,уг) Если С = 0, то область Q обязательно содержит целую прямую, поэтому 7Q -негиперболична. Если С 0, то проекции интегральных кривых на плоскость (у и у г) имеют вид соосных парабол. После параллельного переноса и изменений масштаба, то есть аффинных преобразований, получаем три варианта: -либо 1 = {ух у22), Первая база аффинно эквивалентна Qo (класс 0). Вторая база при любом значении Т аффинно эквивалентна, например, Qrf = {у2 +1 у] у\). Третья база содержит целые прямые, поэтому соответствующая трубчатая область негиперболическая. В случае В1 интегральные кривые имеют такой вид: Если С =0, то после аффинного преобразования получаем следующие случаи: Первая база - это Qi (класс 1а). Вторая база - это Qib (класс lb). Заметим, что группа автоморфизмов соответствующих трубчатых областей - 6-мерна, а не трехмерна. Третья база соответствует негиперболической области. Если С Ф 0, то после аффинных преобразований получаем следующие случаи: - либо Q - {уг хр О}, Два последних случая соответствуют негиперболическим областям. Первый случай - в точности Q2b (класс lib). Интерес представляют второй и третий случай. Введем для них обозначения Q/, и Q.+. То, что TQ и Гп голоморфно неэквивалентны, очевидно -достаточно посмотреть на их оболочки голоморфности. Гиперболичность ТІХ ервая база - это Qi (класс 1а). Вторая база - это Qib (класс lb). Заметим, что группа автоморфизмов соответствующих трубчатых областей - 6-мерна, а не трехмерна. Третья база соответствует негиперболической области. Если С Ф 0, то после аффинных преобразований получаем следующие случаи: - либо Q - {уг хр О}, Два последних случая соответствуют негиперболическим областям. Первый случай - в точности Q2b (класс lib). Интерес представляют второй и третий случай. Введем для них обозначения Q/, и Q.+. То, что TQ и Гп голоморфно неэквивалентны, очевидно -достаточно посмотреть на их оболочки голоморфности. Гиперболичность ТІХ можно вывести из следующего результата ([Eas]): Лемма 3.3 Пусть л \М — М голоморфное отображение многообразий, причем М - гиперболическое. Если М имеет такое покрытие Ui, что л-"1 (U ) - гиперболические, то и М- гиперболическое многообразие. Область Тп можно спроецировать на верхнюю полуплоскость {у2 0}, которая гиперболична, далее все очевидно. Докажем, что Тп при различных значениях h голоморфно неэквивалентны. Общая оболочка голоморфности этих областей - область Тп , поэтому биголоморфное отображение между ними продолжилось бы до автоморфизма Та . Компонента единицы Auto( Тп ) (она в действительности 4-мерна, а не 3-мерна) найдена в работе
Трехмерная группа с двумерным коммутантом
Отображение Я почти однозначное. Оно «склеивает» лишь точки, такие что z[ - zf = Атт, а отображение орбит на эллипсоиды получается взаимно однозначным. Поэтому задача легко сводится к доказательству следующего утверждения: пусть голоморфное отображение /переводит кусок сферы в кусок сферы и при этом эллипсоиды S(k) в эллипсоиды S(k ), тогда все эллипсоиды остаются на месте. Отображение / будет дробно-линейным автоморфизмом S3 и непосредственное вычисление функции к - fmJ(k) показывает, что это линейная функция к1 -к . Что и требовалось. При вычислениях удобно использовать описание автоморфизмов сферы в форме, данной в ([Poi]). В случае В2 система уравнений, определяющих интегральные кривые, следующая: В случае С = 0 база содержит прямую, соответствующая трубчатая область - не гиперболична. Если же С Ф 0, то замена zx = z]tz2 = z2 + InC приводит нас к системе , где Н = —. Если параметр #=0, то: У\ =У\Ф) У2 е(яи, п(п+\)). Это легко следует из картинки векторного поля. Отсюда получаем, что базы аффинно эквивалентны 0!Ь или Qic. Такой же результат получается, если Н - вещественное число. Пусть НєС \ R. После переноса можно считать, что у2е(0,п), Х2= ln(siny2) + Х2Ф) -ln(siny2(0)) и так как (Hz2 - z\) =0, то проекция интегральной кривой на плоскость (уиуг) имеет виду\ = Н\уг +Я2 ln(sinys)+yi(0) - Н\у2(0)- H2ln(siny2(0)), у2 е(0,п), где Н=Н\+ ІІІ2. После переименования переменных и очевидного аффинного преобразования мы получаем, что интегральные кривые в данном случае имеют вид уг = - ln(sinyi)+ Т,у\е(0,п). В этом случае база гиперболической трубчатой области имеет вид: - либо Q = {y2 -\n(siny\)},y\ (0,7l), - либо Q = {- ln(sinyi) + s у2 - ln(sirryi)}, y\ Є (0,7Т), S 0, -либоГ2 = {v2 -ln(sinyi)},jie (0,7l).Первая база - это Гіг- Вторую базу обозначим Г2, третью - Qt. Как известно [S5], преобразование , доказывая голоморфную (но не аффинную) эквивалентность этих областей. На самом деле это отображение также переводит Тп в Тп (где h = exps), a TQ переводит в Тп . Аффинно эти области, конечно, не эквивалентны. Учитывая, что области Г„ с различными h голоморфно неэквивалентны, получаем аналогичный результат для Тп . Как и в предыдущем параграфе, соответствующие трубчатые области можно найти в явном виде, но мы предпочтем более короткое рассуждение.
Сделаем несколько очевидных замечаний относительно центра Z алгебры Ли д. В трехмерном случае у неабелевой алгебры центр может быть либо одномерным, либо нульмерным. Кроме того, Z с (ЬьЬг). Если g содержит две различные коммутативные подалгебры размерности 2, то их одномерное пересечение будет центром. Поэтому если Z=0, то алгебра g содержит единственную коммутативную двумерную подалгебру - в нашем случае t = (LbL2 . Легко видеть, что в случае у dim g =2 обязательно Z =0. Из этих замечаний следует, что при dim g =2 голоморфные классы эквивалентности совпадают с аффинными. Действительно, биголоморфное отображение между областями Тп и Т- по условию порождает изоморфизм 3 мерных подгрупп GQ и GH, а он соответственно - изоморфизм соответствующих алгебр Ли. Их единственные двумерные коммутативные подалгебры t/ = (Lі,-,1.2,-) при этом переходят друг в друга. Но эти алгебры являются касательными алгебрами подгрупп вещественных сдвигов Е( Тп) и Ц 71), которые односвязны. Поэтому изоморфизм подалгебр t,- продолжается до изоморфизма подгрупп 1(ГП) и (71) и можно применить лемму 3.1. Снова напомним, что в наших построениях здесь мы не использовали предположения о том, что алгебра g описанной выше структуры является в точности алгеброй инфинитезимальных автоморфизмов трубчатой области -напротив, она может быть ее собственной подалгеброй, что чаще всего и случается. Становится ясным, почему более высокие размерности (в частности, размерность 4) не добавляют к списку исключений новых пунктов - все исключения проявились уже в первом нетривиальном случае - dim Aut (7Q) = 3.
