Введение к работе
Актуальность работы. Изучение свойства Банаха-Сакса восходит к работе Банаха и Сакса 1930 г. Их классическая теорема утверждает, что для любой слабо сходящейся к нулю последовательности хп Є Lp(l < р < оо) существуют подпоследовательность {хПк} С {хп} и константа С > 0 такие, что
\\J2xnk\\Lp
для любого т Є N. Соответствующий результат для случая 2 < р < оо также следует из работы М.И.Кадеца и А.Пелчинского.
Пусть X - банахово пространство и р > 1. Ограниченная последовательность {хп} Є X называется p-BS-последовательностью (BS-последовательностью, соответственно), если существует подпоследовательность {уп} С {хп} такая, что
С = swpm~p\\y^yk\\x <ос, lim —||yV||x = 0 ) .
men ^ Vm^m U J
Будем говорить, что X обладает р-свойством Банаха-Сакса (свойством Банаха-Сакса) и писать X Є pBS (X Є ВS)} если любая слабо сходящаяся к нулю последовательность содержит p-BS-последова-тельность (BS-последовательность).
Очевидно, что любое банахово пространство обладает 1-свойством Банаха-Сакса (в силу ограниченности слабо сходящихся последовательностей). Множество
Г(Х) = {р: р>1, X epBS}
называется индексным множеством пространства X и представляет собой отрезок [1,а] или полуинтервал [1,а) для некоторого а > 1. Число а называют индексом Банаха-Сакса пространства X и пишут 7(Х) = а, еслиГ(Х) = [1,а], и -/(X) = а - 0, если Г(Х) = [1,а).
С. Какутани показал, что любое равномерно выпуклое банахово пространство обладает свойством Банаха-Сакса, а В. Шленк доказал, что пространство Li[0,1], не являющееся равномерно выпуклым, также обладает свойством Банаха-Сакса.
В ряде работ Е.М. Семенова, СВ. Асташкина, Ф.А. Сукочева, С.А. Ракова были найдены индексы Банаха-Сакса некоторых функциональных пространств Лоренца, Марцинкевича, Орлича. Были доказаны общие теоремы, позволяющие вычислять индекс Банаха-Сакса функциональных пространств в терминах индексов Бойда, а также показано, что для пространств Орлича и Лоренца свойство Банаха-Сакса тесно связано с сепарабельностью пространств. Было показано, что сепара-бельная часть некоторых пространств Марцинкевича не обладает этим свойством.
В диссертации изучается индекс Банаха-Сакса пространств последовательностей с симметричным базисом. Главное отличие индексов Банаха-Сакса функциональных пространств и пространств последовательностей заключается в том, что для пространств последовательностей отсутствует естественное для функциональных пространств ограничение на индекс сверху - индекс Банаха-Сакса не превосходит 2. Кроме того, есть ряд различий для пространств, определенных на конечном и бесконечном промежутках. В работе рассматриваются пространства с бесконечным индексом, вычисляется индекс пространств 1Рд, а также построен пример рефлексивного пространства последовательностей с симметричным базисом, не обладающего свойством Банаха-Сакса.
Впервые функции Радемахера были введены в работе Радемахера. Особенно большое значение уделялось изучению поведения сумм
^2 f'k(x) при п —> оо в связи с законом больших чисел и его уточнений.
к=\
Система Радемахера порождает в перестановочно-инвариантных пространствах подпространства с симметричным базисом. Исследованию свойств системы Радемахера в общих симметричных пространствах посвящены многочисленные работы, например, В.А. Родина, Е.М. Семенова, М.Ш. Бравермана и И. Райно. Глава 6 диссертации посвящена изучению индекса Банаха-Сакса подпространств Радемахера симметричных пространств.
Понятие индекса Банаха-Сакса играет большую роль в исследовании геометрии банаховых пространств. В настоящее время вариации классического свойства Банаха-Сакса активно изучаются в связи с различными вопросами теории интерполяции (см., например, работы следующих авторов: J. Flores, A. Kryczka, A. Shangua).
Целью работы является изучение р-свойства Банаха-Сакса сим-
метричных функциональных и секвенциальных пространств.
Методика исследований. Использовались идеи и методы современной теории функций и функционального анализа, в частности, метод вещественной интерполяции.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
Описаны все пространства, обладающие оо-свойством Банаха-Сакса.
Вычислен индекс Б ан аха_ Сакса пространства lp>q, 1 < р, q < оо.
Исследована взаимосвязь индексов Банаха-Сакса пространства с симметричным базисом и пространства, сопряженного к нему.
Найдены пространства, подпространствами Радемахера которых являются 1Рд, 1 < р < 2,1 < q < оо.
Изучена связь индексов Банаха-Сакса симметричного пространства и его подпространства Радемахера.
Построен пример симметричного пространства, подпространство Радемахера которого не обладает свойством Банаха-Сакса.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории симметричных пространств, для изучения р-свойства Банаха-Сакса.
Аппробация работы. Результаты этой работы докладывались на Саратовской зимней школе, посвященной памяти акад. П.Л.Ульянова (Саратов, 2008); XVI и XVII Международных конференциях "Математика. Экономика. Образование"(Новороссийск, 2008, 2010); XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Москва, МГУ, 2008); Воронежских зимних математических школах (Воронеж, 2009, 2010); на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений "(Москва, 2009); международной конференции "Всплески и их приложения "(Санкт-Петербург, 2009); Крымской осенней математической школе (2009), а также на семинарах в университетах Воронежа и Самары.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[9], в том числе [1,2,4] из перечня ВАКа. Из совместной работы [4] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 глав и списка литературы. Объем диссертации - 80 страниц. Библиографический список содержит 72 наименования.
