Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Последовательности характеристических функций в симметричных пространствах 15
Глава II.Подпоследовательности системы Хаара в L 25
1. Дополняемость подпространств LA , порожденных подпоследовательностями системы Хаара 25
2. Критерий эквивалентности подпоследовательности системы Хаара стандартному базису 38
Глава III. Оценки коэффициентов ряда Фурье по системе Хаара 54
1. Связь оценок коэффициентов Фурье-Хаара с геометрическими свойствами симметричных пространств 54
2.Внутренние р -оценки сверху и снизу 62
3.Ряды Фурье-Хаара с монотонными коэффициентами 70
Глава ІV. Последовательности независигжх случайных величин 74
1.Одно экстремальное свойство функций Радемахера 74
2. Устойчивые случайные величины и выпуклость банаховых функциональных пространств 79
Литература 91
- Дополняемость подпространств LA , порожденных подпоследовательностями системы Хаара
- Критерий эквивалентности подпоследовательности системы Хаара стандартному базису
- Связь оценок коэффициентов Фурье-Хаара с геометрическими свойствами симметричных пространств
- Устойчивые случайные величины и выпуклость банаховых функциональных пространств
Введение к работе
Теория ортогональных рядов, являющаяся частью теории функций,, находит в настоящее время широкое применение в самых разнообразных областях математики. При этом наряду с разработкой общей теории ортогональных рядов продолжается изучение конкретных ортогональных систем..
Симметричные функциональные пространства, появившиеся в работах по теории интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу, представляют собой достаточно широкий класс пространств, который охватывает, в частности, классические пространства L ь
На стыке этих двух областей математики возникает много нерешенных проблем. Так, известные для пространств Li, теоремы порождают вопросы о справедливости аналогичных фактов в том или ином классе симметричных пространств. С другой стороны, решение
некоторых задач в шкале пространств L b приводит к появлению
неклассических симметричных пространств.
Предварительные сведения
Симметричным пространством /см. Г?] f [26] / называется банахово пространство Е измеримых функций на L)^J или на полуоси (О , оо) , удовлетворяющее двум условиям:
І/ из|хСІ)Иу<*)|, ^Е следует, что ХеЕ .ЦЭС|ВД|;
2/ если функция X равноизмерима с U- Є , то ОС Е
и ||ос|| = I) ч|| .
Невозрастающая перестановка X модуля функции X определяется равенством
х*(-Ь) = uvf [а > о : у" {{%: \ои(г)\ >CL}) * -fc] .
Здесь и всюду в дальнейшем At - мера Лебега, Существенную информацию о свойствах симметричного пространства Е несет в себе функция Т ^-^116^|L , где < - оператор растяжения, определяемый для каждого Х>0 формулой
для случая j = Е(Г^»і])и формулой
(<5гх.)(±) = хСтг-Ч)
для Е - Ё (^^ Напомним, что числа
. і4 Jai^-^
t>d bo% "С
А *
Е т for
называются, соответственно, верхним и нижним индексами Бонда симметричного пространства Е , Фундаментальной функцией симметричного пространства Ьі на \_0^і] или (о; оо) называют функцию
где "Ь<е[о,і] или((7^) соответственно, - характеристическая функция множества fic(o,w), Равенство
^)=^) ' 0**<о
определяет функция растяжения функции ^("fc) . Поведение 2)
О со ~ ЬЩ —л ?— ~ нижний показатель растяжения Cf ;
=^1Ср ——л— ~ верхний показатель растяжения (JP ;
функция ^^ (х) является квазивогнутой, поэтому О^j^Su^i . Через иЫ>Х мы обозначаем носитель функции X(-fc) , т»е.
Функции Хаара определяются следующим образом
где khK і n=0,l,2,...
Замыкание линейной оболочки последовательности С Cl ^ } 1^= d обозначается [ ^lJL=4
Запись тл- ^ означает, что существует константа К(Ь?) такая, что
Пусть 1. <Ъ^&<) такая, что для любого К и для любого набора {0C{J ^ векторов из X выполнено неравенст-
во і к і
/соответственно (r||XL|)T < С 11(1 1*4| ^l^llx /.
Если эти неравенства выполнены лишь для наборов из попарно дизъюнктных элементов, то говорят, что JC допускает верхнюю Ь -оценку / соответственно, нижнюю ^-оценку/ [j26] .
Основные результаты
Первая глава диссертации посвящена исследованию последовательности характеристических функций в симметричных пространствах. Непосредственно из определения вытекает следующее свойство пространств Lb , 1^Ъ<оо ; если {^{1}(^!1 - последовательность дизъюнктных измеримых подмножеств отрезка LO, і J , то
для произвольной последовательности чисел {С< }С1± Если в качестве {в^]^!4 брать произвольную последовательность подмножеств \_0,±~] , то ||27 C.L Э6е, ||l не определяется, вообще говоря, последовательностями {Cjjj^ и {/и(|г)31А , а зависит от расположения подмножеств ek}k-i
В связи с этим возникает вопрос: какому условию должна удовлетворять последовательность []^(^^)\С1± » чтобы норма ряда 21 [ Cf, 9?eL в симметричном пространстве / являлась с точностью до эквивалентности функцией только от [^k]^ и { ^()]^ ? Здесь доказывается следующая теорема.
Теорема I.I* Цусть Е - симметричное пространство на[0,1J , удовлетворяющее двум условиям:
а/ Ьит. II6L |L г. - О
б/ s^g < 1 .
Цусть H^a^l »0 =(И (^ІҐШШ^Х'І- /ш>
В силу неравенства Гельдера и условия Цк=0 ок = 1
(efi^fe(x)i^"t"")tfi;(i:icKi(x/2'ff ... /8.іі5/
Хорошо известно, что пространство Lb 2-вогнуто при bejJ-iZ] / Q263 t с. 45/, поэтому в силу теоремы 3.I..I
*=о fen n.=o fe=i т п Ц,' Ц
Из неравенств /ЗД.4-6/ вытекает ограниченность оператораТ) в L-b . Как видно из доказательства,
не превосходит константы безусловности с.Х. в Lh . Ограниченность 1 j в любом симметричном пространстве, удовлетворяющем условию
вытекает из общих интерполяционных теорем/ 7] , с. 196/. ТёоремаЗЛ.;2 полностью доказана.
Теорема ЗД..З. Пусть Е - сепарабельное симметричное пространство, удовлетворяющее условию /3*1.1/, 1 иг <\k^i klL с константой К , не зависящей от [С^^] , имеет место тогда и только тогда,, когда пространство ? допускает верхнюю h -оценку. Доказательство. Достаточность. Известно, что из верхней р -оценки при bel,) следует, что существует константа С,є(0)С) такая, что для любого flf[ и произвольного набора х.}._ векторов из выполнено неравенство / L43 » с* 147/. Учитывая безусловную базисность с.Х. в EI , получаем Ц ^х^іиАіі(К(адЬ2)^іЕ< со 2> Необходимость доказывается аналогично доказательству необходимости в теореме 3*1.1.. Рассмотрим более подробно случай пространств L ь " Следствие 3.1.1. Пусть 1<|>^2. , ><9 . Существует такая константа |Ч/1(Ь,)>0 , что 4щ( Z lc,/^-)llZcftXlLffil^felPr)"--. /3-і- Доказательство. Положим Тогда левая часть неравенства /3,1.7/ вытекает из /3.1.4-6/. Это утверждение является аналогом известной теоремы Пэли о коэффициентах Фурье по ограниченным ортонормированным системам. / L7H , с. 236/. Правая часть неравенства /3.1.7/ при t)(l,2.) следует из теоремы 3*1.3, т.к. Lb является Ь -выпуклым, а следовательно допускает верхнюю b -оценку. При P~Z неравенство /3.1.7/ очевидно. Замечание. Неравенство /3,1.6/ означает, что для (э (і 12] последовательность принадлежит Ь^ , еслиХЄЬь . Для Ь = 1 это утверждение уже не имеет место. Действительно, если Yl-0 II *m HLl = 1 h 0^ І ZkJc^(xj\ =1 для любого H=l>Z,...,lTl . Более того, даже при дополнительном предположении, что |СкЬ|<1 »21 с^Л <{ GuMeQ -бо- не следует, что последовательность принадлежит % . Соответствующий пример строится индуктивным образом. Положим Если Сц f 1<П . определены, то С^ = 1 , если на Д. Функция (t,j)Q;L неотрицательна и Известно, что где 9 не зависит от ft. / ^И-3 , с. 90/. Поэтому Неравенство /ЗЛ.7/ перестает быть справедливым при = 0 . Действительно, если пк > о у п >m то левая часть стремится в о как uir fn , а в силу не равенства Хинчина НЕ wЙII < h?m (n>fe)Q ЬР С помощью стандартных соотражений двойственности следствие 3.1.1 можно распространить на случай Ь>2 Следствие 3.1.2. ItycTb 2. 2. Внутренние Ь -оценки В этом параграфе исследуется вопрос о том, в каких симметричных пространствах Е-Е(О?0о) выполняется неравенство (ft,fe)eQ (n»b)Q где [вки - последовательность дизъюнктных подмножеств^, об), fuYg, 4-2^. Здесь оказывается полезным следующее понятие. Определение 3.2.1. Будем говорить, что банахово функциональное пространство X допускает внутреннюю Ь -оценку сверху /соответственно, снизу/, 1^Ь< оо f если существует константа К такая, что для произвольного набора дизъюнктных функций {-ft}u=l и произвольных [%'i}l^± » $fW* выполняется неравенство /соответственно ||(Щ gL|P)P Кх < К II Zu* Ых ' Как уже отмечалось в первом параграфе, если пространство Е, удовлетворяет условию /3.1.I/, то нормы S(^Qa^Xfl"r (n,k)Q aR п Ь эквивалентны. Из этого следует, что неравенство /3.2.1/ имеет место тогда и только тогда, когда Е_ допускает внутреннюю 2-оценку сверху. Важность неравенства /3.2.1/ объясняется тем, что во многих симметричных пространствах нахождение значительно проще для дизъюнктных подмножеств Г Єі»ь] Найдем точные условия справедливости внутренней b -оценки для пространств Орлича, Лоренца и Марцинкевича. Лемма 3.2.1. Пусть Банахово функциональное пространство допускает внутреннюю Ь -оценку сверху тогда и только тогда, когда сопряженное пространство X допускает внутреннюю &-оценку снизу. Лемма 3.2.1 следует из стандартных соображений двойственности /см. L26] , с. 48-49/. Теорема 3.2.1. Пусть Следующие утверждения эквивалентны: I/ пространство Лоренца Л ^ допускает внутреннюю -оценку снизу; 2/ пространство Марцинкевича /ч у допускает внутреннюю -оценку сверху; 3/ существует константа К такая, что для произвольного набора чисел выполняется неравенство Доказательство., I/ равносильно 2/ в силу леммы 3*2Л. Докажем, что 2/ влечет 3/. Пусть дал 1^ І^И. , 0<"t< <*> Тогда из 2/ следует, что Это означает, что / L^D » c» 155/. Рассмотрим теперь для I^L^IO. xL(t)=S/Ul J. Аг) ; / ^--1 І- \ u, (г)=ЗЄ , і (t). u Легко видеть, что * Xй" -t Следовательно 2/ влечет 3/. Докажем обратное. Из /3.2.3/ следует, что Тогда существует "t0 Є fo, л>) такое, что / f . \* v А у ft.) Op Таким образом, существуют {Al)L=4 и [Ді.]і.=і " подмножества (о, w) такие, что при L =j и выполняются неравенства й>АйУЖ4і ;^^) te -*<- ' <"' -ьа *-д, і.* Поэтому В последнем равенстве Используя /3.2.3/, получаем Теорема полностью доказана. Введенные понятия внутренних Ь -оценок сверху и снизу связаны с понятиями верхних и нижних Ь -оценок, Ь-выпуклостью и b -вогнутостью. Следствие 3.2.1. Внутренняя Ь -оценка сверху в пространстве Марщнкевича влечет верхнюю b -оценку. Внутренняя b -оценка снизу в пространстве Лоренца влечет нижнюю b -оценку. Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть пространство Марцинкевича Мф допускает внутреннюю b -оценку сверху. В статье С93 доказано, что Мф удовлетворяет верхней b -оценке тогда и только тогда, когда для любого И. и для любого набора чисел ("bljui »"ti.ef^) справедливо неравенство где vfj +^/а -i. . Последнее условие эквивалентно томуг что при произвольных -j^ С (о, с») S^Ot) «sK--t* .../3.2.4/ Покажем, что /3.2.3/ влечет /3.2.4/. Для этого подставим в /3.2.3/ Мы получим, что В силу произвольности X это означает, что *>*(*)< к Ш* Последнее неравенство влечет /3.2.4/. Второе утверждение следствия 3..2Д получаем из соображений двойственности/см. лемму 3.2.1/. Отметим, что обратные утверждения не верны. Так, функция удовлетворяет /3.2.4/. Однако условие /3.2*3/ для нее не выполнено. Действительно, подставим в /3.2.3/ L - -1 П * Т Тогда получим Последнее неравенство противоречиво. Теорема 3*2.2» В произвольном симметричном пространстве нутость влечет внутреннюю b -оценку. Доказательство. Известно, что Ь -выпуклость X означает, что существует симметричное пространство і такое, что ||ос|1х*|||х|р||| / 26] , с. 54/. Кроме того, в произвольном симметричном пространстве у 6СЛИ l-*-l}ui ~ Дизъюнктный набор неотрицательных функций, а U[]/lv ~ произвольные функции.такие, что / С 22J , с. 171/. Учитывая все это, получаем для -fjb-^ » Г<ЬЛи=1 из определения 3.2*1 Второе утверждение теоремы 3.2.2 получаем из соображений двойственности. Теорема 3.2.3. Пространство Орлича Lp допускает внутреннюю b -оценку сверху /соответственно,снизу/ тогда и только тогда, когда существует константа К.Є (0?) такая, что для произвольных \L > і , С > 1 выполнено неравенство F(a(j)>K:apF(^) — /з-2-5/ /соответственно р*([ЦТ)4КИ Fi^) / Доказательство* Необходимость. Пусть для l^L^fl J т. є(0№) Известно, что ж, fo,-t)"LF Г~4(^-) где f* - функция обратная к _f Подставляя f-L и СЬ в /3,2.2/, получаем 1 -і 1 Пі) Ґ'(Ц F'^HK^rU) Из последнего неравенства стандартными вычислениями получаем /3.2.5/. Достаточность. Известно, что /3.2.5/ эквивалентно Ь -выпуклости пространства [_> с* / С22] , с» 168/. По теореме 3.2.2 Ь -выпуклость Lp влечет внутреннюю b -оценку сверху.. Утверждение об оценке снизу получаем из соображений двойственности. Следствие 3.2.2. В пространстве Орлича понятия внутренней Ь -оценки сверху /соответственно, снизу/, верхней /нижней/ Ь -оценки, b -выпуклости /вогнутости/ совпадают. 3. Ряды Фурье-Хаара с монотонными коэффициентами П.Л.Ульянов рассмотрел ряды Фурье-Хаара с монотонными коэффициентами и доказал, что на этом множестве нормы пространств L» и , 1 ^ р < эквивалентны / С10 3 /. Ниже этот результат усиливается в двух направлениях: находится точная граница в классе симметричных пространств, для которых имеет место такая эквивалентность, и монотонность коэффициентов заменяется более слабым условием. Обозначим через \zr замыкание L со по норме і /I х(Щг Оно обладает некоторыми экстремальными свойствами в классе симметричных пространств / \_2Q~\ /. Рассмотрим класс последовательностей {С^ь}^, ^^г\ » удовлетворяющих следующему условию: существует такое А<=(#»<х>) , что для 1*к* 2"- , і «/ТКг"1"1 l^fcl ^AlCj^J .../3.3.1/ Теорема 3.3.I. Пусть j^ - симметричное пространство. Для того чтобы нормы были эквивалентны на множестве последовательностей, удовлетво- ряющих /3.3.1/ для некоторого А ^(0,0) необходимо и достаточно, чтобы Е=>&. Доказательство. Для любого натурального fit построим последовательность L 0 »n>m . Тогда у -> m /у fe __ 1 yrm + i . где ^("t) " Функции Радемахера. Согласно предположению В статье [І28П доказано, что из последнего неравенства вытекает вложение Этим установлена первая часть теоремы. Для доказательства достаточности рассмотрим отношение полуупорядоченности в Lf X < Ц, <=> при любом Гф,1] [х*Ш^ * [U*(i)di . Обозначим L-mla |Сиь| m =гш 1С ul'hU Покажем, что 00 П . ,^ - л/fe ^K=* ЄЛ+і < \tkUQCA < K,o mfcVi - - - /3.3.2/ Функции и равноизмеримы при любом натуральном и , поэтому Так как х* + %*у ос + % для любых функций X. и ^ / 7] , с. 169/, то Тр m ? УТгпі +С Xі-f СиПГЧ +hcHk.t>* = = ^^^+^+^+^ Проводя подобные рассуддения для последующих индексов и устремляя и к 00 , получаем правую часть /3.3.2/. Левая часть доказывается аналогично. По условию /3.3.1/ иг„ -б A d поэтому - 73 -Так как El^Li / L73 t c» I24A T0 Аналогичным образом из вложения получаем где М і % - константы. Ясно, что Таким образом на множестве последовательностей, удовлетворяющих /3.3.1/. Теорема полностью доказана. В статье 21 J Ж.Гамлен и П.Гадет показали, что при (1 ) замыкание линейной оболочки любой подпоследовательности системы Хаара /с.Х./ в L ь изоморфно либо t, , либо 1_д ь .В книге/ 26 ] , с. 178/ приводится обобщение теоремы Ж.Гамлена и ШГадета на случай симметричных пространств с нетривиальными индексами Бойда. Напомним, что функции Хаара определяются следующим образом: Значения функций Хаара в двоично-рациональных точках для наших целей несущественны, поэтому мы полагаем их равными нулю. Через L &&-! . = 4 будем обозначать замыкание линейной оболочки подпоследовательности с.Х. Нумерация фикции подпоследовательности соответствует порядку их следования в с»Х. Метод доказательства Ж.Гамлена и П.Гадета позволяет утверждать следующее: подпространство, порожденное в L подпоследовательностью cJU либо содержит подпространство, изоморфное L , либо само содержится в подпространстве, изоморфном Как показывают простые примеры, структура L h.] в L может быть сложной.. Например, в статье 1 16Ц построена подпоследовательность с Л», порождающая в Lw подпространство,, не являющееся об - пространством. Рассмотрев ту же подпоследовательность в L А г по двойственности получаем, что порожденное подпространство не является оС. -пространством Подпоследовательность порождает в L ± подпространство X Р которое содержится в подпространстве г изоморфном е , однако JC не имеет безусловного базиса. Это следует из результатов статьи Г 24 J . П.Энфло и Т-Стабёд доказали„ что если дополняемое подпространство X. в L.j_ содержит подпространство, изоморфное L 4. ,. то X изоморфно 1_» ./ ]Г20] / Используя этот результат, получаем: если подпоследовательность с.Х» порождает дополняемое подпространство X в 1_д , то X изоморфно либо 11 , либо L і . Поэтому представляется интересным выделение класса подпоследовательностей с„Х., порождающих дополняемое подпространство в L . Определение 2.1 1 І Подпоследовательность с.Х. {] oL . 1к= І, будем называть подпоследовательностью без разветвлений если для любого KL множества либо пусты, либо совпадают соответственно с иі р0К и ё \шр d. L для некоторых t Jfl Подпоследовательностями без разветвлений являются, например, последовательности; [%ЯК.] І4 ж і ZK » -zn ]yi=i Теорема 2 Д. Подпоследовательность сЛ. без разветвлений порождает в l i дополняемое подпространство. Доказательство. Нам потребуются следующие понятия. Определение 2.1.2. Группу функций Хаара к будем называть кустом, если входящие в неё функции можно занумеровать следующим образом: Рассмотрим теперь { (Xі j\" - подпоследовательность с.Х. без разветвлений. Для удобства изложения мы предполагаем, что {w-kl не содержит нулевой функции из С.Х. Доказательство будет проходить по следующей схеме: для произвольного натурального ft строятся функции I о L J к 4. » К0ТРые порождают то же подпространство, т.е. и позволяют определить проектор оказывается, что для произвольной функции -f L последовательность f р -f j _± фундаментальна в L » поэтому определен проектор Зафиксируем произвольное YL И рассмотрим {.ОЦД- Построение функций [_ Q. і j і _ будет проходить в два этапа. Этап I. Выделим из { d\}\-± максимальные по числу элементов группы функций, каждая из которых является кустом. Выделение производим в порядке возрастания номеров функций. Оставшуюся группу функций разбиваем на максимальные по числу элементов ветки. Перенумеруем полученные группы функций в порядке возрастания номеров первых элементов. Окончательно имеем Первая глава диссертации посвящена исследованию последовательности характеристических функций в симметричных пространствах. Непосредственно из определения вытекает следующее свойство пространств Lb , 1 Ъ оо ; если { {1}( !1 - последовательность дизъюнктных измеримых подмножеств отрезка LO, і J , то для произвольной последовательности чисел {С }С1± Если в качестве {в ] !4 брать произвольную последовательность подмножеств \_0,± ] , то 27 C.L Э6е, L не определяется, вообще говоря, последовательностями {Cjjj и {/и(г)31А , а зависит от расположения подмножеств ek}k-i В связи с этим возникает вопрос: какому условию должна удовлетворять последовательность [] ( )\С1± » чтобы норма ряда 21 [ Cf, 9?eL в симметричном пространстве / являлась с точностью до эквивалентности функцией только от [ k] и { ()] Здесь доказывается следующая теорема. при любых L С [ОД] , yu(e jJ-CLk и произвольных CL 9 необходимо и достаточно Ясно, что в формулировке теоремы 21 Сі Э6 Из теоремы I..I получены следствия для пространств Орлича L , Лоренца Л & и Марцинкевича ii . Для пространств J\(o /соответственно \A.q /, удовлетворяющих условия О Хсо ф i. t из теоремы I.I следует, в частности, что последовательность ортонормированных функций ек ( /соответственно. еЬ ЧД М I /, где б. 7. - дизъюнктные подмножества [ОДJ f (eO k эквивалентна в Л / JM / стандартному базису &± / tQ / тогда и только тогда, когда выполнено /0.1/ Вторая глава диссертации посвящена исследованию подпоследовательностей системы Хаара /с.Х./ в Li . Известен следующий результат Ж.Гамлена и П.Гадета [21 1 : для Ьє(1, ) замыкание линейной оболочки любой подпоследовательности с.Х. в L_u изоморфно либо ь » либо L ь Ситуация при Ъ-1 сложнее Это связано с тем, что не всякая подпоследовательность с.Х, порождает в L дополняемое подпространство. Введем следующее определение. Определение 2,1.1. Подпоследовательность с.Х. fcL .3 1 будем называть подпоследовательностью без разветвлений при условии, что для любого ЇЬ множества либо пусты, либо совпадают соотвественно с 5u№fl-g и subpa./ для некоторых С И. и t И. . Теорема 2.1. Подпоследовательность с.Х. без разветвлений порождает в L дополняемое подпространство. В качестве следствия получаем, что подпространство L , порожденное подпоследовательностью с.Х. без разветвлений, изоморфно ЛИбО t , ЛИбО L 4 Отметим, что подпоследовательность с.Х. может порождать подпространство, изоморфное 2 ,. не будучи эквивалентной стандартному базису 2 . / [19 J /. Второй параграф второй главы посвящен нахождению необходимого и достаточного условия на подпоследовательность с.Х., при котором она эквивалентна стандартному базису t . Определение 2.2.1. Пусть fol,)00, - подпоследовательность с.X Последовательность А ]и0 подмножеств o,lJ будем называть цепочкой для {a.n}Lt если А+ А- и существуют последовательность знаков {" "ІІТІ и последовательность дизъюнктных подмножеств множества натуральных чисел [Д } 0 такие, что для любых М?пг Є/VL u jb» dK(] иУра рї при ft W. В статье 21 J Ж.Гамлен и П.Гадет показали, что при (1 ) замыкание линейной оболочки любой подпоследовательности системы Хаара /с.Х./ в L ь изоморфно либо t, , либо 1_д ь .В книге/ 26 ] , с. 178/ приводится обобщение теоремы Ж.Гамлена и ШГадета на случай симметричных пространств с нетривиальными индексами Бойда. Напомним, что функции Хаара определяются следующим образом: . Значения функций Хаара в двоично-рациональных точках для наших целей несущественны, поэтому мы полагаем их равными нулю. Через L &&-! . = 4 будем обозначать замыкание линейной оболочки подпоследовательности с.Х. Нумерация фикции подпоследовательности соответствует порядку их следования в с»Х. Метод доказательства Ж.Гамлена и П.Гадета позволяет утверждать следующее: подпространство, порожденное в L подпоследовательностью cJU либо содержит подпространство, изоморфное L , либо само содержится в подпространстве, изоморфном Как показывают простые примеры, структура L h.] в L может быть сложной.. Например, в статье 1 16Ц построена подпоследовательность с Л», порождающая в Lw подпространство,, не являющееся об - пространством. Рассмотрев ту же подпоследовательность в L А г по двойственности получаем, что порожденное подпространство не является оС. -пространством Подпоследовательность порождает в L ± подпространство X Р которое содержится в подпространстве г изоморфном е , однако JC не имеет безусловного базиса. Это следует из результатов статьи Г 24 J . П.Энфло и Т-Стабёд доказали„ что если дополняемое подпространство X. в L.j_ содержит подпространство, изоморфное L 4. ,. то X изоморфно 1_» ./ ]Г20] / Используя этот результат, получаем: если подпоследовательность с.Х» порождает дополняемое подпространство X в 1_д , то X изоморфно либо 11 , либо L і . Поэтому представляется интересным выделение класса подпоследовательностей с„Х., порождающих дополняемое подпространство в L . Определение 2.1 1 І Подпоследовательность с.Х. {] oL . 1к= І, будем называть подпоследовательностью без разветвлений если для любого KL множества либо пусты, либо совпадают соответственно с иі р0К и ё \шр d. L для некоторых t Jfl Подпоследовательностями без разветвлений являются, например, последовательности; [%ЯК.] І4 ж і ZK » -zn ]yi=i Теорема 2 Д. Подпоследовательность сЛ. без разветвлений порождает в l i дополняемое подпространство. Доказательство. Нам потребуются следующие понятия. Определение 2.1.2. Группу функций Хаара к будем называть кустом, если входящие в неё функции можно занумеровать следующим образом: Рассмотрим теперь { (Xі j\" - подпоследовательность с.Х. без разветвлений. Для удобства изложения мы предполагаем, что {w-kl не содержит нулевой функции из С.Х. Доказательство будет проходить по следующей схеме: для произвольного натурального ft строятся функции I о L J к 4. » К0ТРые порождают то же подпространство, т.е. и позволяют определить проектор оказывается, что для произвольной функции -f L последовательность f р -f j _± фундаментальна в L » поэтому определен проектор Зафиксируем произвольное YL И рассмотрим {.ОЦД- Построение функций [_ Q. і j і _ будет проходить в два этапа. Этап I. Выделим из { d\}\-± максимальные по числу элементов группы функций, каждая из которых является кустом. Выделение производим в порядке возрастания номеров функций. Оставшуюся группу функций разбиваем на максимальные по числу элементов ветки. Перенумеруем полученные группы функций в порядке возрастания номеров первых элементов. Окончательно имеем где 2) - либо куст, либо ветка. Рассмотрим Z) ± . Заменим функции, входящие в 2)± , соответствующими функциями из равенств /2.1.2/ или /2,1.4/ в зависимости от структуры 2 , причем в равенстве /2.1.2/ в качестве LD возьмем такой индекс, чтобы выполнялось неравен ство Следствие 1.3. Пусть (т) - функция на Со, 1J , удовлетворяющая условиям следствия 1.2. Цусть при произвольных в со,1] , yu ( ) = 0( и любых С Х? необходимо и достаточно выполнения условия /1»2/. Следствие 1.3 означает, что при условии 0 )(у % ? і последовательность где (] - дизъюнктные подмножества [0,1 J , ju(e.0=CLk , эквивалентна в JM стандартному базису С0 тогда и только тогда, когда выполнено условие /1.2/. Замечание. Так как то свойства, сформулированные в следствиях I.I-3, являются характеристическими для пространств Lrr ,. Л-ц ж LLq . Например, если в симметричном пространстве для некоторой последовательности дизъюнктных подмножеств «[Ь,!], к/ то tL изоморфно У 1 р р. . В статье 21 J Ж.Гамлен и П.Гадет показали, что при (1 ) замыкание линейной оболочки любой подпоследовательности системы Хаара /с.Х./ в L ь изоморфно либо t, , либо 1_д ь .В книге/ 26 ] , с. 178/ приводится обобщение теоремы Ж.Гамлена и ШГадета на случай симметричных пространств с нетривиальными индексами Бойда. Напомним, что функции Хаара определяются следующим образом: где 1 к Z ; 11=0,1,2.,... . Значения функций Хаара в двоично-рациональных точках для наших целей несущественны, поэтому мы полагаем их равными нулю. Через L &&-! . = 4 будем обозначать замыкание линейной оболочки подпоследовательности с.Х. ГоС 7 _ Нумерация фикции подпоследовательности соответствует порядку их следования в с»Х. Метод доказательства Ж.Гамлена и П.Гадета позволяет утверждать следующее: подпространство, порожденное в L подпоследовательностью cJU либо содержит подпространство, изоморфное L , либо само содержится в подпространстве, изоморфном Как показывают простые примеры, структура L h.] в L может быть сложной.. Например, в статье 1 16Ц построена подпоследовательность с Л», порождающая в Lw подпространство,, не являющееся об - пространством. Рассмотрев ту же подпоследовательность в L А г по двойственности получаем, что порожденное подпространство не является оС. -пространством Подпоследовательность где к =1,2.,6,6 ; 1=0,1,..., -1 ; И.я2,3,... порождает в L ± подпространство X Р которое содержится в подпространстве г изоморфном е , однако JC не имеет безусловного базиса. Это следует из результатов статьи Г 24 J . П.Энфло и Т-Стабёд доказали„ что если дополняемое подпространство X. в L.j_ содержит подпространство, изоморфное L 4. ,. то X изоморфно 1_» ./ ]Г20] / Используя этот результат, получаем: если подпоследовательность с.Х» порождает дополняемое подпространство X в 1_д , то X изоморфно либо 11 , либо L і . Поэтому представляется интересным выделение класса подпоследовательностей с„Х., порождающих дополняемое подпространство в L . Определение 2.1 1 І Подпоследовательность с.Х. {] oL . 1к= І, будем называть подпоследовательностью без разветвлений если для любого KL множестваffi"'"1^ < 1С max ilik - /3.2.3/
У^ h -выпуклость влечет внутреннюю b -оценку, b -вог-
І < If и t=_i Дополняемость подпространств LA , порожденных подпоследовательностями системы Хаара
Критерий эквивалентности подпоследовательности системы Хаара стандартному базису
Связь оценок коэффициентов Фурье-Хаара с геометрическими свойствами симметричных пространств
Устойчивые случайные величины и выпуклость банаховых функциональных пространств
Похожие диссертации на Ортогональные ряды в симметричных пространствах
![Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b]](/i/i/4274/45259.png "Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b] Кудрявцев Александр Иванович")
