Введение к работе
Актуальность темы. Хорошо известно1, что если функция / Є Lp, (1 < р < со), то ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к / по норме пространства Lp и для частичных сумм ряда Фурье функции / выполняется неравенство
||Sn(/)||, Аналогичный результат справедлив и для системы Виленкина2 В работе Янг Восанг 3 было доказано, что для частичных сумм Фурье-Виленкина выполняется аналогичное неравенство Следовательно, система Виленкина является базисом в Lp для 1 < р < со Причем этот разультат Янг Восанг был доказан без всяких ограничений на образующую последовательность системы Виленкина Ситуация меняется, если / принадлежит пространствам, лежащим между Lp и Loo или L\ и Lp Вначале этот вопрос обсуждался для пространств Орлича, лежащих между L\ и Lp В монографии А Зигмунда4 для классов Орлича Lv, где ip(u) = иа(и) и а{и) - слабо колеблющаяся функция, доказано, что если /%(0,2тг),то О и где <р(и) = и f t~2ip(t) dt о *Бари Н К Тригонометрические ряды М Физматгиз, 1961 2Агаев Г Н , Виленкин Н Я , Джаварли Г М , А И Рубинштейн Мультипликативные системы функций и гармонического анализа на нуль-мерных группах Баку Изд "Элм", 1981 3Yong W-S Mean convergence of generalized Walsh-Fourier series// Trans Amer Math Soc , 218 1976,311-320 43игмунд А Тригонометрические ряды T 1,2 M Мир,1965 Схожая проблема рассматривалась в статье Файна и Ткебучавы5 для сепарабельных пространств Орлича Lv (Заметим, что сепарабельность пространств Ly равносильно тому, что для функции tp выполняется условие Дг, а именно tp(2x) < j функция / Є Ьф, где !р(и) = и J t~2(p(t) eft, то ряд Фурье-Виленкина і тем не менее сходится к ней по норме более широкого пространства Lv Была доказана точность полученного результата В работах Лукомского СФ67 был рассмотрен вопрос сходимости кратных рядов Фурье-Уолша в пространствах Орлича Лукомский СФ8 рассматривал вопрос сходимости рядов Фурье-Уолша для случая пространств LPi0[, лежащих по шкале пространств Орлича между Lp и Lx и определил в этих пространствах норму «/*.-(№))' и доказал, что если функция / Є Lp,a, то ||5„(/) — f\\P,a+\ —* О Асташкин С В 9 отметил, что пространства Lp есть ни что иное как пространства Лоренца Вопрос сходимости рядов Фурье по тригонометрической системе 5С Finet and Tkebuchava Walsh-Fourier Series and Their Genralization m Orhcz Spaces// J Math Anal Appl 221, (1996), 405-418 6Lukomskii S F Convergence of multiple series in mesure and m L// East J on Approx 1997 V3 №3 P 317-332 7Lukomskn S F Convergence of multiple Walsh senes m near Lea Orhch spaces// East J on Approx 2003 V9 №3 P 295-308 8Лукомский С Ф О сходимости рядов Фурье-Уолша в пространствах, близких к ^«.//Матем заметки 2001 Т 70 №6, С 882-889 вАсташкин С В Об экетраполяционвых свойствах шкалы 1,,,-простраиствах //Матем сб 2003 Т194 №6 С 26-42 и системе Уолша в пространствах Лоренца был также изучен Лу-комским С Ф 10 и Было доказано, что если / Є Лф,р (при некоторых условиях на функцию Ф), то тригонометрический ряд Фурье функции / тем не менее сходится в более широком пространстве Лоренца Л5,Р. гДе и была показана точность данного результата Более того, для тригонометрической системы результаты остаются справедливыми независимо от того, по какой последовательности п* стремится к бесконечности номер частичной суммы Snk{f), (пк Т +оо) В случае системы Уолша результаты отличаются Сходимость рядов Фурье по системе Уолша зависит от того, ограничены или нет в совокупности константы Лебега Ln с номерами, пробегающими последовательность {щ} Цель работы. Изучить вопросы сходимости рядов Фурье-Виленкина в простанставах Лоренца Показать, что система Виленкина не является базисом в пространствах Лоренца, однако для любой функции / Є Л$і? частичные суммы Фурье-Виленкина Sn(f) сходятся в более широком пространстве Aj Рассмотреть аналогичные вопросы для кратных рядов Виленкина Методика исследований Используются методы теорий функций действительного переменного и функционального анализа Применяются также методы теории интерполяции линейных операторов Научная новизна. Все результаты являются новыми и приводятся с полными доказательствами Основные результаты работы 10Lukomsku S F Convergence of founer senes ш Lorents spaces //East J on Approx 2003 V9 No 2 P 229-238 иЛукомский С Ф О подпоследовательностях частичных сумм рядов Фурье Уолша в пространствах Лоренца // Известия ВУЗов 2006 Математика Л*6 С 48-55 Введено понятие р-вариации числа п Є N для системы Вилен-кина Найдены оценки констант Лебега для систем Виленкина в терминах р-вариации Доказаны теоремы о сходимости простых и кратных рядов Фурье Виленина функции / Є Л$,? в пространствах Лоренца Л^ 4) Построены примеры для простых и кратных рядов Фурье- Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теретический характер Полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов по ортогональным рядам Апробация работы. Основные результаты прошли апробацию на семинарах по теории функций действительного переменного Саратовского государственного университета (руководитель - проф СФ Лукомский, 2004-2007 г г), на Воронежской зимней математической школе (2005 г), на Саратовской зимней математической школе (2006 г) г, на объединенном семинаре Саратовского государственного университета по математическому анализу (2007 г) Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух разделов, разбитых на 6 подразделов и списка литературы из 40 наименований Общий объем диссертации 108 страниц машинописного текста
Виленкина, показывающие, что ряды Фурье-Виленкина не сходятся
в пространствах более узких чем ЛаПохожие диссертации на Сходимость простых и кратных рядов Виленкина в пространствах Лоренца
![Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b]](/i/i/4274/45259.png "Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b] Кудрявцев Александр Иванович")
