Содержание к диссертации
Стр.
ВВЕДЕНИЕ . 3
ГЛАВА I. ТОПОЛОГИЯ СХОДИМОСТИ ПО МЕРЕ. ... 16
I.I Предварительные сведения ....... 16
1.2 Веса и следы на o^jf - алгебрах 29
1.3 Топология сходимости по мере в vjj*
алгебре тотально измеримых элементов 37
ГЛАВА П. ПРОСТРАНСТВА L* ДШ ПОЛУКОНЕЧНЫХ
СЛЕДОВ НА 3^ - АЛГЕБРЕ .... 51
2.1 Пространства L,* для fc^J.fco). . 51
2.2 Пространства L»* для ^^.. 67
ГЛАВА Ш. ТЕОРЕМА РАДОНА-НИКОДИМА И ПРОСТРАНСТВА 1^ ДЛЯ ВЕСОВ НА
ПОЛУКОНЕЧНОЙ З^Г - АЛГЕБРЕ. . 74
3.1 Теорема Радона-Никодима 74
3.2 Пространства V^ , ассоциированные с
локально конечным весом.на полуконеч-.
ных JoW - алгебрах ........ 87
ЛИТЕРАТУРА.... 98
Введение к работе
Теория интегрирования в алгебрах операторов возникла в связи с задачами математического обоснования квантовой механики и в настоящее время является интенсивно развивающейся частью теории алгебр операторов в гильбертовом пространстве.
Алгебраический подход к квантовой механике развивался преимущественно на "W - алгебрах, введенных в работах Мюррея и фон Неймана [зъ\ ,\з$\ ,\4Ґ\ . нм - алгебры - это слабо замкнутые комплексные * - алгебры операторов в гильбертовом пространстве, получившие также название алгебр фон Неймана. При таком подходе наблюдаемым соответствуют самосопряженные операторы, а состояниям положительные функционалы на алгебре фон Неймана, принимающие значение І. на единичном операторе. Обычное ассоциативное произведение О-- Ь двух самосопряженных операторов Cl и \> не является, вообще говоря, самосопряженным оператором. Этому произведению, в отличие от йорданова произведения
Ol " к> - ИЛ^' « ""*" « '^-) ) ВДДН0 придать какой либо физический смысл [24] . Поэтому рассмотрение алгебр фон
Неймана вызвано не столько физическими соображениями, сколько соображениями технического характера. В настоящее время теория алгебр фон Неймана - это глубоко развитая теория с многочисленными приложениями, которой посвящено огромное количество работ. Подробнее см. монографии Сакаи \45] и Таке-
саки [55]
В начале 50-х годов в работах Сигала [4 и Диксмье \27] была создана теория интегрирования относительно унитарно инвариантных мер на проекторах в полуконечных алгебрах Фон Неймана. Важным достижением Сигала, обеспечивающим разнообразные приложения его теории, является реализация L*i и и* в виде пространств измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана. Диксмье дал двойственное описание пространства L^ , построенного по точному нормальному полуконечному следу на алгебре фон Неймана. Эти результаты были развиты многими авторами \42] , \19\ , |20] .
Различные виды сходимости в алгебре измеримых операторов были рассмотрены в работах Стайнспринга \J5I) , Санкарана |4б} ,\47] , Падманапхана [43[ , Йедона \$8\ и других, вслед за которыми появились несколько работ
), в которых вводятся пространства Vjp относительно точного нормального полуконечного следа на алгебре Фон Неймана. В частности, Нельсоном \а6\ было введено пространство L. (. 1. р» ^ьо) ч как пополнение идеала интегрируемых элементов по Up -норме, и дана реализация этих пространств измеримыми операторами» Йедон \5э\ предложил другой подход. Пространства Lpil^p^oo4) он ввел, как пространство измеримых операторов интегрируемых в Ъ - ой степени. Им же было перенесено на эти пространства L^ классическое утверждение двойственности. Японский математик Сайто [Зб] рассмотрел пространства \_, - для случая й . ($, 1)
- 5 -Одним из первых достижений по распространению результатов Сигала на веса, которые являются наиболее общим аналогом интеграла на алгебре фон Неймана, стали работы А.Н.Шерстнева
Пространства w». , построенные в этих работах реализованы как пространства билинейных форм на линеале веса,
В последние годы в работах Н.В.Трунова введены пространства V*u ^L^^<^oN) ассоциированные с точным нормальным состоянием \I5J и с точным нормальным локально измеримым весом \J6j на полуконечной алгебре фон Неймана. При этом существенно использованы результаты работ \44^ , [Ьэ] Для случая точного нормального состояния дана реализация пространства 1*^ билинейными формами. Для точных нормальных локально измеримых весов, при дополнительном предположении локальной измеримости оператора, обратного к производной Радона-Никодима, пространства L* описаны локально измеримыми операторами.
В настоящее время в работах предложены различные подходы к построению пространств
U- относительно точного нормального полуконечного веса на алгебре фон Неймана. Подробный обзор современного состояния теории интегрирования на алгебрах Неймана содержится в статье А.Н.Шерстнева |23] .
В середине 60-х годов в работах Толлинга \ъ&\ и Штёрмера \52, 53J впервые были рассмотрены неассоциативные вещественные аналоги алгебр Фон Неймана -алгебры, т.е.: слабо замкнутые йордановы алгебры самосопряженных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.
После появления работ Альфсена, Шульца, Штёрмера \25[ и Шульца [49] (были введены 3 - и 3K\fJ -алгебры) бурно начала развиваться теория йордановых банаховых алгебр.
Как отмечалось выше, перечисленные результаты, полученные для алгебр фон Неймана, более естественно, с точки зрения приложения в квантовой механике, рассмотреть для
- алгебр. Так,недавно \[ Ш.А.Аюповым была построена теория интегрирования по конечному следу, рассмотрены аналоги пространств L», и L». , которые инъек-тивно вложены в Щ - алгебру тотально измеримых элементов ЗсуЯ - алгебры. Для случая полуконечных следов пространства L и L. были рассмотрены М.А.Бердику-
ЛОВЫМ В И .
Все сказанное указывает на актуальность темы диссертации, целью которой является:
а) Изучение топологии сходимости по мере в 03 ~ ал
гебре тотально измеримых элементов.
б) Построение и описание пространств Li^ СО^р^-^о)
относительно точного нормального полуконечного сле
да на 3KW - алгебрах;
в) Изучение свойств весов на Зї>\\[ - алгебрах
и доказательство теоремы Радона-Никодима.
г) Построение и описание пространств L»p U^p^)
ассоциированных с нормальным регулярным локально
конечным весом и с точным нормальным состоянием
на полуконечной 3^>V - алгебре.
При решении этих задач не всегда можно применять технику, хорошо развитую для алгебр фон Неймана. Это обусловлено тем, что в йордановых алгебрах произведение эле-метов неассоодативно, а также тем, что существуют неопера-торные (исключительные) йордановы банаховы алгебры и необратимые J\N - алгебры. Б некоторых случаях, для того, чтобы обойти эти трудности, от 3^ - алгебры отщепляется исключительная часть и используется метод исследования ^\|{ - алгебр с помощью обертывающей алгебры фон Неймана, разработанный Ш.А.Аюповым \і\ ,\з\ й , [б] , [2б] В доказательстве некоторых результатов использованы методы, отличные от случая алгебр фон Неймана (например, в исследовании пространств Li а
р <. (О , lY) . Эти методы являются новыми и в случае алгебр фон Неймана.
Перейдем к краткому изложению основных результатов диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на семь параграфов и списка литературы.
В первой главе вводятся йордановы алгебры измеримых, локально измеримых и тотально измеримых элементов, присоединенных к 3oW - алгебре. Исследованы различные свойства топологии сходимости по мере в 03** алгебре тотально измеримых элементов для 3 - алгебр.
Первая глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе приведены необходимые сведения из теории йордановых алгебр и теории йордановых банаховых алгебр. ( 3^ "" и 3uV - алгебр в смысле работ Альфсена,
Щульца и Штёрмера ^2 , ) В этом же параграфе
вводятся Q3 - алгебры (з) измеримых и локально измеримых элементов, присоединенных к J^\f| - алгебре.
1.1,22. Определение. Если К - произвольная 5^ - алгебра, К- к^ К^ - ее
разложение на oVI -' алгебру р^- и исключительную часть К^ (м. [4 ), то через >JL(f^ обозначим формальную сумму ^vA^tO о^А , пъ ) ,
где \JL\l\^p) -множество самосопряженных операто
ров, присоединенных к (\% и о\А , Y[^) - универ
сальная Ш - алгебра измеримых элементов для
ЗЬ\\[ - алгебры |\^ \з\ . Эту сумму ЛАК) назовем множеством элементов, присоединенных к ^^ -алгебре К
Из спектральной теоремы для \j] - алгебр (см. \l6\ ) и спектральной теоремы для самосопряженных операторов вытекает спектральная теорема для элементов множества
I.I.23. Опр еделение. Элемент Х^. назовем измеримым относительно ОсМГ - алгебры ^ , если в его спектральном разложении JX.- \ 3\0^<к
1 -во
идемпотенты ^ rv и S. л модулярны при некотором ^ >0 Элемент 3L^. ОхлК4) назовем локально измеримым относительно К » ели существует возрастающая к Sl последовательность центральных идемпотентов
\ 0 \ С К такая, что элементы 0 ^
измеримы
для всех w - I ,г , Ъ ,. , .
Совокупность oL(k^ всех локально измеримых элементов ЗК\^ - алгебры ^ является 03 ~
алгеброй, а совокупность измеримых элементов
является vJJ - подалгеброй в оС(М
В 1.2 рассмотрены веса и следы на J^yfj алгебрах, играющие основную роль в теории интегрирования.
I.2.I. Определение. Вес \JD , заданный на OdW - алгебре ^ назовем полуконечным, если в Р\ существует сеть положительных элементов yOl^A , возрастающая к 4 такая, что ЦІСС^-С^с для всех oL ; локально конечным, если для любого ненулевого положительного 3L-i\ существует ненулевой положительный элемент \А. К такой, что U^^L и Ц Ы\ <. ос ; регулярным, если для любого ненулевого
положительного нормального линейного функционала Ц) на |\ существует ненулевой положительный нормальный
линейный функционал V^' на (\ такой, что \^)' 4 Ц> и Ц)'^ Ц (ср. \lo\ ).
В 1.3 рассмотрены некоторые свойства топологии сходимости по мере в 03 алгебре тотально измеримых элементов.
Пусть |\ - ^^ - алгебра, ^С - точный нормальный полуконечный след на f\
1.3.1. Определение. Измеримый элемент 0^ , присоединенный к ^ , называется тотально измеримым, если существует идемпотент . такой, что
- Ю -
Множество тотально измеримых элементов 3^ алгебры f\ обозначим ^Дк^
1,3.4. Теорема. Пространство КДк ^4) полно в топологии сходимости по мере и является vjj -алгеброй.
1.3.8. Теорема. Пусть последовательность
vQl.V С !L\K ^t) сходится по мере к элементу
Ol ^- \L ^К ,^4). Тогда последовательность <* (L „\
сходится по мере к OL , где р ^. ^0 , ОО4)
Вторая глава посвящена построению и изучению пространств L» * ( 0 <. р < і. 1 ^ р < so \ относительно точного нормального полуконечного следа на ^\1ч -алгебре.
В 2.1 рассмотрен случай, когда ! Ъ ^^,1,^4) . Пусть |\- 3^(J - алгебра, Х- - точный нормальный полуконечный след на К Определим Lip - норму на идеале интегрируемых элементов nL^. * полагая
IW^^dxf)^ для з^еТИ^ И0б3-
начим пополнение OL по L»B - норме через
Так как из сходимости по Lr> - норме вытекает сходимость по мере и алгебра ЇІДк ^4) полна в топологии сходимости по мере, то естественным.образом определено вложение
II -
2.1.5. Теорем а. Естественное отображение пространства LiA^JTL) в vc\k ,^) инъективно и
В заключение параграфа 2.1 доказывается теорема, являющаяся аналогом классической теоремы о двойственности пространств и. и L» q VT "*" "q - ^)
2.I.I0. T e о p e м а. Пространство La^vA,^)
изометрически изоморфно пространству
Ц(А,<й (,!
Б 2.2 введены пространства Li^ для ft . 1,0,14) следующим образом
С помощью теоремы 1.3.8 и аналога леммы Фату для 3K^J - алгебр доказывается следующая теорема
2.2.1. Т е о р е м а. Пространство Lp VK ,^4) (0 < р < І.) - является пространством Фреше относитель-но метрики
Следующий результат доказан с использованием соответствующих свойств функциональных пространств.
2.2.7 Теорема. Пространство L^ С к ,^0)
(0 < р < V) не содержит минимальных идемпотентов тогда и только тогда, когда на нем нет ненулевых непрерывных линейных Функционалов.
Третья глава посвящена построению пространств Up поточному нормальному локально конечному весу на полуконечной - алгебре. С этой целью в 3.1 доказан некоторый аналог теоремы Радона-Никодима. Всюду в этой главе <С - фиксированный точный нормальный полуконечный след на З^КГ - алгебре f^ .
3.1.3 Т е о р е м а (Радона-Никодима). Для любого нормального полуконечного веса U на (\ существует единственный элемент IL^dt^lV) такой,что
Обратно, для любого L^vk^ Функция Ц^Ои*) является нормальным полуконечным весом на г\ ,
Полученные в 1.2, 2.1, 3.1 результаты позволяют развить теорию Ь* - пространств по весу на полуконечных ^^\f - алгебрах по аналогии со случаем алгебр фон Неймана, который был рассмотрен Н.В.Труновым
Пусть \JD точный нормальный локально конечный вес на 3KW - алгебре К Тогда существует локально
измеримый элемент д_ . , присоединенный к К такой, что VP ~ сс (IfL Л Введем следующие обозначения
- ІЗ -
3.2.1 Теорема, Отображение SL ~~* является нормой на я^ ^
Пополнение t№tLl0 по норме \\* |р
обозначим и«Д|^Ц^
3.2.2 Теорема, Пространство , сопряженное к
L->ft V п , If) , изометрически изоморфно простран
ству ци,^ U^^^^^v^V
Пусть Ъ ^ {Ч , оо) и
3.2,4 Теорема, Если вес Ц - регулярен, то І.» ь \ |\ , \^) в точности совпадает с Х* чК,^)
В заключение последнего параграфа дается описание пространств La , ассоциированных с точным, конечным, но не обязательно регулярным весом, по аналогии с [15] .
Основные положения диссертации, выносящиеся
на защиту
I. Доказана полнота Щ - алгебры тотально измеримых элементов в равномерности порожденной топологией . сходимости по мере и непрерывность операции возведе-. ния в р - ю степень в этой топологии (^0 < & < **$) '
П. Построены пространства \— * (,0 ^- й < оо) относительно точного нормального полуконечного следа на . 3^\|J - алгебре, которые реализуются тотально измеримыми элементами,
Ш« Доказана теорема Радона-Никодима для нормальных весов относительно точного нормального полуконечного следа на 3^ - алгебре.
ІУ. Построено пространство и» (,1 4. Р> < <*>"), ассоциированное с точным нормальным локально конечным весом на полукпнечной ОоЧІ - алгебре.
Основное содержание диссертации отражено в четырех работах [б0-63] В статье \д\ Актовим Ш.А. была доказана теорема Радона-Никодима для необратимых . 3 ч\[ - .' алгебр и исключительных owl - алгебр. Для обратимых Or/ - алгебр эта теорема доказана диссертантом.
Результаты диссертации докладывались на городском семинаре при кафедре функционального, анализа в ТапіГУ . им. В.И.Ленина (1983 г.), на семинаре "Теория упорядо-
ченных алгебр и ее приложение в квантовой теории вероятности" при отделе функционального анализа Института математики АН УзССР (І98І-І984 гг.), на конференциях . молодых ученых ТашГУ (1983 г.), на ежегодных конференциях молодых ученых Института математики АН УзССР (І98І-І983 гг.), на ХЛІІ Воронежской зимней математической школе (1984 г.), на семинаре "Алгебра операторов и их приложения" при кафедре математического анализа Казанского государственного университета (1984 г.).
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Шавкату Абдуллаевичу Аюпову за постоянное внимание и помощь при работе над диссертацией,;
