Введение к работе
Актуальность темы. Неевклидовы геометрии - интереснейший раздел геометрии, который имеет большие приложения как в самой математике, так и в теоретической физике. Несмотря на то, что неевклидовы геометрии сейчас являются уже классической областью математики, они по-прежнему служат источником большого числа интересных задач.
В последние десятилетия большое место отведено исследованиям по применению в геометрии различных алгебр. Начало применениям алгебр в неевклидовых геометриях положили А.П.Котельников и Э.Штудк.
Они (одновременно и независимо друг от друга) показали, что многообразия прямых трехмерных пространств постоянной; кривизны могут быть отождествлены со сферами евклидовых пространств над комплексными, двойными или дуальными числами. Таким образом, был создан так называемый принцип перенесения, до сих пор используемый в линейчатой геометрии.
Большой вклад в развитие этого принципа внесли работы представителей Казанских и Московских геометрических школ (А. П. Котельников, Л. Н. Зейлигер, П. А. Широков, А. П. Норден, В. В. Вишневский, М. Е. Цыпкин, Б. А. Розен-фельд, И. П. Белкин и др.).
Ряд приложений геометрии пространств над алгебрами был осуществлен в рамках метода нормализации Нордена.
Так, А. ГГ. Норден, А. П. Широков, А. С. Подковырин, Н. В. Талантова, В. В. Шурыгин, Э. Г. Нейфельд получили новые результаты в биаксиальной геометрии, линейчатой геометрии многомерных неевклидовых и аффинных пространств, пользуясь идеями метода нормализации.
Теория нормализации подробно изложена в монографии [3], где излагается общая теория нормализованных поверхностей многомерного проективного пространства и их внутрен-
них аффинных связностей, а также нормализованного пространства и поверхностей аффинного и центроаффинного пространств.
Общей теории дробно-линейных преобразований посвящено много работ Б.А.Розенфельда, И.М.Яглома, З.А.Скопеца и их совместных работ.
В работе [5] И.М.Яглом подробно изучает девять геометрий на плоскости. Рассматриваются интерпретации Пуанкаре собственной плоскости Лобачевского, эллиптической плоскости, идеальной области плоскости Лобачевского, ко-евклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей и показывается, что во всех случаях движения изображаются дробно-линейными подстановками переменной из алгебры комплексных, двойных или дуальных чисел. В работе рассмотрено, что представляют собой прямые и циклы соответствующих плоскостей.
В работе [2j М.А.Микенберг рассматривает плоскость Лобачевского в модели Пуанкаре. В многообразии орициклов плоскости Лобачевского строится аналог группы Лагерра, при действии которой длина дуги орицикла (дуга заключена между двумя характеристическими точками), сохраняется.
В работе [1] Мелентьев А.И. для алгебр R{i,e),R{E,e), R[w,e) (алгебры комплексно-двойных, бидвойных и дуально-двойных чисел) рассматривает двойную сферу и с помощью "точечного" соответствия, заданного в алгебре, проводит нормализацию соответствующей двойной сферы. Показывается, что геометрия "точечного" соответствия рассматриваемой алгебры совпадает с внутренней геометрией нормализованной двойной сферы.
В статье [4] А.П.Широков возвращается к идее работы [1]. Найдены значения компонент связности, которая возникает в результате автополярной нормализации вещественной сферы. Определены условия, при которых полученная связность будет квазиевклидовой, эквиаффинной, иметь нулевую кри-
визну.
Цель работы. Применить метод нормализации Нордена к изучению двумерных и трехмерных неевклидовых пространств с невырожденным и вырожденным абсолютами.
Основными задачами данного исследования являются следующие:
-
Изучение связностей, которые возникают в результате автополярной нормализации абсолютов трехмерных неевклидовых пространств.
-
Изучение свойств конгруэнции прямых автополяр-но нормализованных абсолютов трехмерных неевклидовых пространств.
-
Изучение свойств операторов инфинитезимальных движений и конформных преобразований неевклидовых плоскостей.
Методы исследования. Используется метод нормализации Нордена, метод тензорного анализа, аппарат дифференцирования Ли. Исследование ведется локально.
Научная новизна и основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту. Положив в основу изучения неевклидовых пространств метод нормализации Нордена, в работе удалось получить следующие основные новые результаты:
1. Показано, что автополярная нормализация линейчатой сферы пространства ^з, определяемая отображением точек z -* и в плоскости двойного переменного, индуцирует на этой сфере связность, определяемую законом перенесения двойной величины. Установлены условия, при которых полученная связность будет эквиаффинной, квазиевклидовой и иметь нулевую кривизну.
-
Показано, что автопоиярная нормализация вырожденного абсояюта пространства 2R*3, определяемая отображением точек г-»«в плоскости дуального переменного, индуцирует на абсолюте связность, которая подчиняется закону перенесения дуальной величины. Определены свойства полученной связности.
-
Установлено, что если соответствие между точками z, и, принадлежащими плоскости дуального переменного, синектическое, то конгруэнция нормалей первого рода автополярно нормализованного абсолюта нормальна к семейству поверхностей нулевой кривизны.
-
Лля трехмерных неевклидовых пространств с невырожденными абсолютами установлен следующий факт:
Пусть конгруэнция нормалей первого рода поверхности М трехмерного неевклидова пространства нормальна к поверхности М. Если конгруэнция нормалей второго рода автополярно нормализованной поверхности М нормальна, то поверхность М имеет нулевую кривизну.
5. Рассматривая конформные интерпретации Пуанка
ре двумерных неевклидовых пространств с выро
жденными абсолютами на плоскости дуального пе
ременного, мы нашли операторы, представляющие
инфинитезимальные движения и конформные пре
образования моделей неевклидовых плоскостей [0,-1-1],
[0,-1] (обозначения введены И.М.Ягломом в работе
[5]). Определили, что свойства указанных выше опе
раторов аналогичны свойствам операторов, пред
ставляющих инфинитезимальные движения и кон-
. формные преобразования плоскостей Hi и lS?.
б. Обозначим через L - множество орициклов плоскости lSi в модели Пуанкаре. Опираясь на результаты работы [2J, где изучался аналог геометрии Ла-герра в многообразии орициклов плоскости Яг, мы получили, что в многообразии L тоже возникает аналог геометрии Лагерра.
Научное и прикладное значение. Работа содержит богатый геометрический материал. Полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов в тех высших учебных заведениях, где изучаются основания геометрии, ри-мановы пространства и простралства аффинной связности, проводятся исследования по дифференциальной и неевклидовой геометрии.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
На итоговой научной конференции преподавателей и сотрудников Казанского университета 1993 г.. На научном семинаре кафедры геометрии Казанского университета /рук. профессор А.П.Широков, сентябрь 1995г./. На семинаре, посвященном столетию со дня рождения П.А. Широкова /г. Казань, февраль 1995г./. На XXXI научной конференции, посвященной 35-летию Российского государственного университета Дружбы народов /г.Москва, май 1995/.
Публикации. По результатам диссертации опубликовано шесть работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 19 параграфов, и списка использованной литературы. Содержание работы изложено на 129 страницах машішошісного текста, список литературы включает 41 названий.
