Введение к работе
Актуальность те?.ш. Динамике полиномиальных отображений С -* <С посвящены фундаментальные работы ііслиа и Фату 1918-1920 гг. Несколько поэне появились работы і-лолиа, Фату и Ригта [і - з] , посвященные проблеме коммутации, то есть описанию коммутирующих шогочленов 4, 9 :
12 = И . (Я
Несмотря на то, что в этих работах нет явного упоминания об интегрируемости, их можно отнести к числу основополагающих в этом направлении.
Именно существование коммутирующего отображения было положено в основу подхода к определении интегрируемости в ра-5отах А.П.Веселова [4-5] . Мотивировкой для него послужили, в частности, замечательные результаты конечнозонноп теории
1. JvlIul G-. ШупсІМ ил to. ptA,tbu.ta'dtii dm
лъгг} v, S3 , p. {зі- 2.is'.
I. Fcctou. P. Su*, і1 \k.v\oJUon. euna\jtlyuZ ct Чм
№14 , v.3 , F. І-ЧЗ. 3 Rett J VetAKurtaSlt -u^a^vo^ -fvAvUicns. ' Ъ*м. О***- ^^- ^..^2-3, v.2F,p.*39-m.
l. Зеселов А.П. Интегрируемые отображения и алгебры Ля. -
ДАН СССР, 1987, т.292, !' 6, с. 1289-1291. з. Веселов А.П. іінтегриоуемне отображения. - УМН, 1991,
т.46,
оператора шредингера, показывающие, что существование оператора А нечетного порядка, коммутирующего с оператором Шредингера L — ~ Ззс4-*'^*) с периодическим потенциалом:
[Ь,АО = 0 (2)
влечет замечательные спектральные свойства оператора 1—< / см. Гб]/.
Лальнешше исследования показали, что аналогия мевду ^1} и (2) является довольно глубокой. Это подтверждается, в частности, результатами настоящей диссертации, посвященной двум важным конструкциям в динамике отображений и квантової; теории.
Первая конструкція принадлежит А.П.Веселову f4j и.описывает семейства коммутирующих полиномиальных отобраяений
Вторая была открыта М.А.Ояьшанецкиы и A.M.Переломовым (ч] , которые предложили обобщение квантовой задачи Калодаеро-Сазерленда:
Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков СП. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абалевн многообразия. - УМН, 1976, т.31, J& 1, с. 55-136.
OtsfveWtsky НЛ.} P«uo*tCV 'A.M. QtUUvtu**
РЦ*.. AW, v. 1 , p. T--43.
И в той, и в другої* конструкции параметром является простая алгебра Ли.
Последняя задача являлась предметом детального исследования в работах Св] , где было доказано существование h- коммутирующие операторов / интегралов / в задаче (з) и ее обобщениях, связанных с простыми алгебрами Ли.
Как было показано в [9] , при специальных значениях параметров взаимодействия соответствующее коммутативное кольцо квантовых интегралов становится значительно богаче / сверхполное кольцо в терминах эД / Задача об описании таких колец в размерности, бользеіі 1, обсуждалась И.І.І.Кричевером [юД , который назьюал соответствующий оператор Шредингера алгебраическим. Б размерности 1 эта задача сводится к решению уравне-
8. HtcW
v. 64 , p. 3Z9-3T3 j CWvps^l&Lo Иг^Ыл.; 4<3S% , v. Є1- э p. 24-49 , p- АЭЧ-гОЗ .
-
CUaA^Iv 0. k- э Ve^eiov /V.P. Олльу^^ЬМхгЄ
-
Кричевер И.лі. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. - УГ.1Н, 1977, т.32, В 6, С.183-2Ш.
щш коммутации (2) и дія операторов взаимно простых порядков исследована в работе [її), а для операторов не взаимно простих порядков - УІ.Іі.Крдчевером [12] .
Важность обобщений оператора Калодаеро-Сазерленда (з) объясняется, в частности, птотезоі; [9], утверадающей, что есє сверхполные коммутативные кольца дилї'єреіпгіальнш: операторов, содержащие оператор Шредшгера в размерности > 2, связали с этими обобщениями.
Цель работы. 1. Исследовать динамику коммутирующих полиномиальных отображение взвеаеннкх СР.
-
Построить для каждой простой комплексной алгебрк ли сверхполное коммутативное кольцо дифференциальнцх операторов, содержащее оператор Иредингера в IK .
-
Указать некоторые явные аормулы для общей собственной функции построенного коммутативного кольца дифференциальных операторов.
?»етодика исследования. Ключевую роль играпт конструкции, связанные с системами корней простих алгебр Ли. Такне существенным образом используются результаты работ [8 1.
T.V. U
jfYUJbk. Soc. 2d ,-132-a, p. 42o-^o Кос. R^«i Soc. Vo*«L. A4& ? -1318 , p. 5SI - $83 .
12. Кричевер И.U. Коммутативные кольца обыкновенных линейных дифференциальных операторов.- Сункн.анализ и его пр:іло2с., 1978, т. 12, У 3, с.20-31.
Научная новизна. Б диссертации получены следующие новые результати:
-
Исследована динамика коммутирующих полиномиальных отображений взвешенных С Р*4". связанных с алгебрами Ли.
-
Для каждой простой комплексной алгебры Ли построено сверхполное коммутативное кольцо дифференциальных операторов, содержащее оператор Шредингера в IR .
-
Указаны некоторые явные формулы для общей собственной функции построенного коммутативного кольца.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации уже наши применение в теории симметрических пространств.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в ИГУ на семинаре по геометрии и математической физике, на семинаре по геометрии интегрируемых систем, а также на совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им. И.Г.Петровского.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы, в работах 1/-4/, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, содержащих 10 параграфов, и стека литературы. Общий объем работы - 108 машинописных страниц. Библиография включает 43 наименования.
