Введение к работе
Актуальность темы. Функтор вероятностных мер Р занимает одно из важных мест в топологии. Это происходит, во-первых, потому, что в последние 15-20 лет идет интенсивное исследование топологических свойств ковариаитных функторов в различных категориях топологических пространств, связанных, в частности с введением класса нормальных функторов. Во-вторых, повысился интерес к бесконечномерным объектам, существующим в "природе", а функтор Р, переводящий произвольные тихоновские пространства в выпуклые подмножества локально выпуклых пространств, поставляет такие объекты. Кроме того, функтор вероятностных мер и его подфункторы имеют наиболее богатую геометрическую структуру среди известных к настоящему времени ковариаитных функторов. В отличие от других ковариаитных функторов исследование функтора Р ведется на стыке по крайней мере трех математических дисциплин: топологии, функционального анализа и теории вероятностей. Этим объясняется разнообразие методов, применяемых при исследовании вероятностных мер, и большие возможности для приложений получаемых результатов.
Одним из важнейших свойств топологического пространства является метризуемость. В настоящей работе исследуются свойства метрических и равномерных пространств вероятностных мер.
Цель работы. Для произвольного метрического пространства (X, р) указать метрику Р(р), порождающую топологию пространства Р(Х), Исследовать расширение Смирнова по метрической близости пространства Р{Х). Обобщить данные результаты на категорию равномерных пространств.
Методы исследования. В диссертации используются различные методы общей топологии и функционального анализа.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Главные из них заключаются в следующем:
-
Указана метрика, порождающая топологию Р{Х) для метрического пространства X.
-
Доказана теорема о продолжении вложения Р{Х) t-* Р(срХ) на пространство ср^р)Р{Х)) где срХ — расширение Смирнова пространства (Х>Р).
3. Для равномерного пространства {X,U) построено равномерное
пространство (Р(Х), P(U)), порожденное семейством псевдометрик Р(Ра)> где рп — семейство всех равномерно непрерывных ограниченных псевдометрик на X.
-
Доказано, что равномерность P{U) порождает на Р{Х) исходную (*-слабук>) топологию.
-
Доказана теорема о продолжении вложения Р(Х) «-+ Р(зиХ) на пространство зр(щР(Х), где syX — пополнение Сэмюэля по предком-пактной равномерности пространства X.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, работающим в различных областях общей топологии, прежде всего в теории меры.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры общей топологии и геометрии МГУ.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 9 параграфов, и списка литературы из 15 наименований. Общий объем диссертации - 43 страницы.
