Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Место и роль фондовых рынков в рыночной экономике 16
1.1. Общая характеристика фондовых рынков: структура, объемы, динамика 16
1.2. Долгосрочное финансирование хозяйства 22
1.3. Краткосрочное финансирование хозяйства 27
1.4. Финансирование государства... ...29
Глава 2. Коллокацнонные модели прогнозирования фондового рынка: функциональный подход ...35
2.1. Прогнозирование финансовых показателей и концепции финансовых рынков.35
2.2. Задачи прогнозирования финансовых показателей в терминах коллокации -"восстановления" функции путем подбора аналитической аппроксимации к определенному числу заданных линейных функционалов... 46
2.2.1. Решение локальной задачи коллокации 49
2.2.2. Решение глобальной задачи коллокации ...52
2.3. Элементы теории гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром 55
2.4. Решение задач коллокации с помощью воспроизводящего ядра 63
2.5. Оценка точности решений... ...68
Глава 3. Колдокационные модели прогнозирования фондового рынка: статистический подход 78
3.1. Параметрические модели ковариационных функций ..78
3.2. Средний квадратический прогноз ,,92
3.2.1. Алгоритм модели.. .93
3.2.2. Средний квадратический прогноз финансовых показателей . ...101
3.3. Средняя квадратическая коллокация 106
3.3.1. Оценка сигналов 106
3.3.2. Оценка функционалов 108
3.3.3. Точность прогноза средней квадратическои коллокации 111
3.3.4. Свойства оценок 111
3.3.5. Аналитическая коллокация 114
3.3.6. Оценка линейного функционала "логарифмической прибыли" за период упреждения 116
3.4. Параметрическая коллокация 118
3.4.1. Алгоритм модели 118
3.4.2. Свойства оценок параметрической коллокации 123
3.4.3. Оценка точности прогноза 124
3.5. Связь оценок параметрической коллокацин с решением не корректно поставленных задач .. 130
Глава 4. Коллокация и стохастические модели прогнозирования фондового рынка 138
4.1. Коллокация и регрессионные модели прогнозирования ...138
4.1.1. Классические регрессионные модели и параметрическая коллокация 138
4.1.2. Нарушения основных предпосылок классических регрессионных моделей и способы их учет... 149
4.1.3. Сравнительный анализ коллокационных прогнозов финансовых показателей 168
4.1.4. Факторные модели фондового рынка... 178
4.1.5. Модели средней квадрати ческой коллокации и равновесные модели формирования доходности финансовых активов... 197
4.2. Коллокация и модели временных рядов 202
4.2.1. Общая линейная модель 203
4.2.2. Модель авторегрессии и средний квадратический прогноз... ..210
4.2.3. Модель скользящего среднего 216
4.2.4. Смешанные модели авторегрессии-скользящего среднего,... 219
4.2.5. Модели авторегрессии- проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) 221
4.2.6. Сравнительный анализ прогнозов АРПСС и коллокационных прогнозов ...229
Глава 5. Прогнозирование уровней финансовых индексов в рамках стационарных моделей "логарифмической прибыли" 244
5.1. Модель экономического броуновского движения ..245
5.2. Коллокационная модель прогнозирования уровней финансовых индексов по однородной информации ...256
5.3. Коллокационная модель прогнозирования уровней финансовых индексов по разнородной информации 263
5.4. Сравнительный анализ результатов прогнозирования уровней финансовых индексов 268
Заключение..
Список литературы
Приложение 1. Результаты прогнозирования
- Элементы теории гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром
- Средний квадратический прогноз финансовых показателей
- Связь оценок параметрической коллокацин с решением не корректно поставленных задач
- Сравнительный анализ коллокационных прогнозов финансовых показателей
Введение к работе
В условиях высокоразвитой экономики фондовый рынок приобретает ведущее значение в системе финансовых рынков. Процессы еекьюригазации в той или иной степени затронули большинство стран мира. Фондовые рынки превращаются в один из важнейших источников инвестиционных ресурсов как для фирм развитых стран, так и для финансирования проектов в развивающихся государствах [92],[122].
Характерной чертой современного финансового рынка является его растущая глобализация. Капитал переходит границы стран, формируется качественно новый мировой рынок ценных бумаг. Глобализация выражается не только в сближении и сращивании рынков ценных бумаг развитых стран, но и в быстром становлении развивающихся рынков и "втягивании их в орбиту мирового рынка, благодаря чему финансовый рынок становится глобальным не только по своему географическому охвату, но и по размаху его влияния на экономическую жизнь всех стран современного мира"[49,с.4]. Вопросы связанные с объемами, динамикой и ролью фондовых рынков в экономике, кратко изложены в первой главе данного диссертационного исследования.
В условиях глобализации фондовых рынков, гибкость и эффективность инвестиционного механизма в значительной степени определяется наличием высокоразвитых институтов профессионального финансового посредничества - институциональных инвесторов. Так, например, в США -стране с наибольшим оборотом ценных бумаг, и в целом ряде других развитых стран, воль институциональных инвесторов неуклонно возрастает.
Наиболее динамично развивающимися институциональными инвесторами в настоящее время являются страховые, пенсионные и взаимные фонды. Около 40% работающего населения США участвует в тех или иных пенсионных схемах. Активы пенсионных фондов (составлявшие всего 179 млрд дол. в 1970 г.) в середине 90-х гг. превысили 3 трлн. дол., взаимных фондов - 2 трлн. дол. 1147, с. 12]. В 1990 г. институциональные инвесторы контро лировали активы на сумму свыше 6 трлн. дол., инвестированные главным образом в обыкновенные акции, корпоративные и правительственные об лигации.
Рост портфелей институциональных инвесторов оказал влияние на многие финансовые инструменты и технологии управления инвестициями, что привело к дальнейшему развитию теории инвестиций.
Одним из важнейших результатов современной теории инвестиций по праву считается портфельная теория Гарри Марковица. В фундаментальной работе Г. Марковица "Выбор портфеля" [173] проблема редуцирования риска при составлении портфеля ценных бумаг решена путем диверсификации с привлечением вероятностного анализа, называемого mean - variance analysis (средне-дисперсионный анализ). Теория Марковица - это первая значительная проба сил вероятностно-статистических методов с целью минимизации неизбежного экономического и финансового риска путем рационального составления портфеля ценных бумаг"[!48,с 86].
Развитие российского фондового рынка вызвало интерес отечественных экономистов и математиков к изучению математических моделей портфельного анализа, разработанных зарубежными исследователями, и их адаптации к российским условиям (см., например, работы [34],[35],[38],
С теорией инвестиций тесно связан ряд исследований по теории эффективного рынка, теории, стимулировавшей применение динамических теоретико-вероятностных моделей прогнозирования финансовых показателей, основанных на теории случайных процессов. Теория эффективного рынка посвящена проблеме "адекватности" рыночных цен финансовых активов. В рамках гипотезы эффективности рынка, рыночные цены отражают "истинную стоимость" финансовых активов и тем самым исключают арбитражные возможности. Отсутствие арбитражных возможностей приводит к предположению о мартингальности цен, т.е. невозможности построения прогнозов, кроме тривиального: прогноз цены на "завтра" по данным на "сегодняшний" день есть значение цены "сегодня". Тем не менее, участники рынка не оставляют попыток прогнозирования "будущего движения" цен в рамках гипотезы эффективною рынка. Этот "оптимизм" связан е тем, что "довольно сложная внутренняя структура финансового рынка даег некоторую надежду на возможность предсказания если уж и не самого движения цен, то, по крайней мере, на возможность конструкции достаточно надежных границ их будущего движения" [148,с.77]. Вопросы, связанные с концепцией эффективно функционирующего рынка рассмотрены в разделе 2.1 данной диссертационной работы.
Прогнозирование финансовых показателей было и остаётся одним из значимых для практики разделов современной финансовой теории. К настоящему времени создан целый арсенал динамических теоретико-вероятностных моделей прогнозирования финансовых показателей, основанных на теории случайных процессов (обширный обзор можно найти, ! о например, в монографиях [147],[148],[33],[138]), однако, в силу сложности структуры финансового рынка, еще рано говорить о завершенности процессов, связанных с "уточнением" существующих моделей прогнозирования и разработкой новых подходов. Этот факт и определяет актуальность данного диссертационного исследования. Объектом исследования выступает фондовый рынок и его финансовые инструменты. Предметом исследования является математический аппарат, положенный в основу прогнозных моделей финансовых показателей (цен, индексов, доходностей) инструментов фондового рынка в условиях неопределенности.
Одной из тенденций обобщения регрессионного анализа и анализа временных рядов, получившей развитие в конце шестидесятых годов, является вовлечение более топких математических методов - методов функционального анализа. Коллокационные модели прогнозирования, теоретические основы которых описаны во второй главе данной работы, представляют собой обобщение регрессионных моделей и моделей временных рядов на бесконечномерные гильбертовы пространства (гильбертовы пространства с воспроизводящим ядром).
Термин "коллокация" (англ, collocation - взаиморасположение; расстановка) после работы советского математика и экономиста Л.В. Канторовича "Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных" [73] широко используется в современной вычислительной математике для приближенного решения дифференциальных уравнений.
Под коллокацией, с математической точки зрения, понимается опре деление функции путем подбора аналитической аппроксимации к определенному числу заданных линейных функционалов [81,стр.29].
"Математическая" ("чистая") коллокация нашла широкое применение при решении интерполяционных задач. Дальнейшее обобщение теории коллокации связано с применением к объектам стохастической природы, и, вслед за работами Г. Морица [174, с. 421-4301 под "колдокацией" понимается обобщение метода наименьших квадратов на случай бесконечномерных гильбертовых пространств.
Практическая реализация коллокационных моделей опирается на связь теории гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром с ковариационной теорией случайных процессов. В рамках этой связи воспроизводящее ядро трактуется как ковариационная функция случайного процесса [93], и, решение коллокационных задач получает статистическую трактовку. Статистическому подходу решения задач коллокации посвящена третья глава данного диссертационного исследования.
Ковариационные функции исследуемых случайных процессов (автоковариационные и взаимные ковариационные), также как и воспроизводящее ядро при функциональном подходе, играют основополагающую роль в коллокационных моделях.
Метод построения ковариационных функций, основанный на определении "существенных" параметров эмпирической кривой ковариаций, изложен в разделе 4.1.
Статистическая трактовка задач коллокации (получившая название -"средняя квадратическая коллокация") может рассмаїривагься как обобщение среднего квадратического прогноза Колмогорова-Винера на случай, когда заданные линейные функционалы не являются дельта - функционалами. Алгоритм модели среднего квадратического прогноза приводится в разделе 3.2. Модели средней квадратической коллокации рассмотрены в разделе 3.3.
Коллокационные модели обладают большой универсальностью и позволяют решать задачи прогнозирования, используя при этом самую разнообразную информацию об объекте (как в финансово-экономическом так и в математическом смысле). Основное достоинство коллокационных моделей в том, что методика прогноза по любой из них сводится к простейшим матричным операциям.
Одним из обобщений моделей средней квадратической коллокации является модель параметрической коллокации. Эта модель позволяет адекватно оценивать значения случайных процессов с трендом, что особенно важно при прогнозировании таких случайных процессов, как цены финансовых активов, финансовые индексы.
Параметрическая модель коллокации объединяет реіреесионньїе модели прогнозирования (прогноз тренда) и модели средней квадратиче-екой коллокации (прогноз сигнала) в единообразную схему. Теория параметрической коллокации, а также возможности ее применения для прогнозирования финансовых показателей, изложены в разделе 3.4. данного диссертационного исследования.
Принадлежность объекта прогнозирования к бесконечномерному функциональному пространству приводит к тому, что задача его "восстановления" (прогнозирования) по дискретным измерениям различных его "проявлений" относится к гипичным некорректно поставленным задачам (improperly posed problems) - нарушено условие о единственности решения. В разделе 3.5 задача прогнозирования в рамках модели параметрической коллокации рассмафивается с позиции решения некорректно поставленных задач.
Четвертая глава данного диссертационного исследования посвящается стохастическим прогнозным моделям (регрессионным моделям и моделям временных рядов), реализованным в современных пакетах прикладных программ (в частности, в системе Statistica фирмы Statsoft Inc.), и, нашедшим широкое применение в финансовом анализе (например, [50],[79], [89]), в частности, в факторных моделях фондового рынка, моделях ценообразования финансовых активов {САРМ, АРМ) [172],[188],[189], [185],
Показана взаимосвязь этих моделей с коллокационными моделями, и, выполнен сравнительный анализ прогнозов финансовых показателей: в разделе 4.1 - коддокация и регрессионные модели; в разделе 4.2 - коллока-ция и модели временных рядов.
Цель данного диссертационного исследования - разработка моделей прогнозирования финансовых показателей, обладающих большей прогнозной способностью по сравнению с существующими моделями ( в частности, с моделями временных рядов и регрессионными моделями, алгоритмы которых реализованы в системе Statistica).
Методологической базой для достижения поставленных целей, в данной работе, является набор кодлокационных моделей, использующих дополнительную информацию в виде ковариационных функций, изучаемых случайных процессов.
Научная новизна диссертационного исследования. На базе коллока-ционных моделей в данной диссертационной работе построены модели прогнозирования уровней финансовых индексов в рамках определенных гипотез о процессе "логарифмической прибыли". Теоретические основы и практическое применение этих моделей к прогнозированию количественных характеристик инструментов фондового рынка описаны в пятой главе диссертационного исследования.
Эта глава начинается с построения простейшей модели прогнозирования значений финансовых индексов в рамках теории П. Самуэльсона экономического броуновского движения (ЭБД) с дискретным временем (раздел 5.1). Построены модели, позволяющие выполнить точечный и интервальный прогнозы финансовых индексов в рамках модели ЭБД с дискретным временем и оценить точность прогноза.
Затем, в разделах 5,2 и 5.3, описываются теоретическое обоснование и алгоригмы моделей прогнозирования уровней финансовых индексов по однородной и разнородной информации в рамках гипотезы стационарности процесса "логарифмической прибыли". Эти модели, именуемые кол-локационными, базируется на ковариационной теории Колмогорова-Винера прогнозирования стационарных процессов,
В разделе 5.4 выполнено сопоставление точностных характеристик краткосрочного прогнозирования финансовых индексов, имеющих отношение к Российской Торговой Системе (РТС), по эталонным и разработанным в диссертации моделям.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти їлав, заключения, списка литературы и пяти приложений. Общий объем составляет 380 страниц машинописного текста, в том числе 304 страницы основного текста, 61 таблица, 53 рисунка. Список литературы включает 195 наименований.
Элементы теории гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром
Как следует из рисунков, максимальное значение показателя, в основном, приходится на 1996, 1997 гг., в дальнейшем уровень задолженности начал несколько снижаться. Исключение составляют Япония (см. рис. 1.2 ), где финансовый кризис привел к необходимости увеличения государственных расходов, и Франция (см. рис. 1.3), где изменение показателя незначительно.
В России практически только в конце 1991 - начале 1992 гг. стала создаваться реальная основа для функционирования рынка государственных ценных бумаг. Фондовый рынок был представлен [88, c,8J: облигациями государственного российского республиканского внутреннего 5% -ного займа 1990 г.; облигациями российского внутреннего выигрышного займа РСФСР 1992 г.; государственными краткосрочными бескупонными облигациями (ГКО); облигациями внутреннего государственного валютного займа (облигациями Внешэкономбанка (ВЭБ)); облигациями государственного федерального займа с переменным купоном (ОФЗ-ПК); облигациями государственного сберегательного займа (ОСЗ); облигациями золотого федерального займа. Наибольшее распространение среди перечисленных государственных ценных бумаг получили ГКО со сроком погашения 3,6 и 12 месяцев. Эмитентом выступало государство в лице Министерства финансов РФ. Удельный вес привлеченных в госоюджет страны средств в объеме эмиссии государственных облигаций (российский портфель ГКО-ОФЗ) составил за 1996 г. - 3,2%, за 1997 г. - 6,7% [91,с.73]. Поскольку финансовое положение многих российских участников фондового рынка оставалось неудовлетворительным, основными покупателями государственных облигаций стали иностранные инвесторы и тем самым рынок во многом стал зависимым от их поведения. Чтобы поднять заинтересованность участников фондового рынка в покупке ГКО приходилось повышать их доходность. И, если инфляция в стране, в последние годы, не превышала 20% в год, то доходность государственных краткосрочных облигаций достигала 200%, а иногда и выше [78]. Это привело к тому, что в процесс их приобретения активно включились российские коммерческие банки, тем самым серьезно ослабив свои инвесгиционные возможности для поддержки реального сектора экономики. Начался "масштабный перелив финансовых ресурсов из сферы производства в финансовый сектор!!.
В то время как источники доходов бюджет сокращались, расходы по обслуживанию государственного долга (процентные расходы) росли. В 1997 г. они составили 28% всех расходов федерального бюджета против 16% год назад, в 1998 г., достигли, примерно 30%, а в 1999 г приблизились к 35%. Такая тенденция явилась следствием неблагоприятной структуры государственного долга из-за преобладания коротких и дорогих заимствований по ГКО. Наращивая государственный долг, Россия не создавала надежного источника его погашения из-за отсутствия в стране экономического роста. Массированный наплыв "горячих денег" на данный сегмент фондового рынка привел к снижению его доходности, а значит, и привлекательности, вследствие чего начался интенсивный отток средств иностранных инвесторов, которому также способствовал кризис 1997 г.
Кризис 1997 г проходил в три фазы [98],[99]: первая произошла 28 октября. Обвал котировок на российском фондовом рынке был вызван массированными продажами облигаций нерезидентами, отреагировавшими на рекордное падение индекса Доу-Джонса в США. Вторая фаза (с 11 ноября по 3 декабря) возникла вследствие резкого повышения доходности бразильского фондового рынка, являющегося "индикатором" для нерезидентов, работающих с российскими бумагами и краха южно-корейского фондового рынка (который тесно связан с российским - доля южнокорейских инвесторов, по неофициальной информации, в обшей сумме иностранных инвестиций в ГКО достигает 30%), вызванного девальвацией местной валюты, Третья фаза кризиса началась 11 декабря. Причиной явилось резкое падение практически всех значимых мировых фондовых индексов к концу 10 декабря. В конце 1997 - начале 1998 гг. доля нерезидентов в инвестиционном процессе на российском рынке государственных ценных бумаг снизилась с 30% до 18%. Это привело к крупным валютным затратам для конверсии рублевого долга в СКВ, чтобы иностранные инвесторы смогли вывезти ее за границу. В середине 1998 г. правительство лишилось возможности оплачивать ГКО в наступавшие сроки, и это привело к "обвалу" финансовой пирамиды вместе с которой "обвалился" и сам рынок, поскольку подавляющая доля государственных ценных бумаг на российском фондовом рынке приходилась на ГКО. В конечном итоге для российского государства "выпуск ГКО обернулся не ростом дохода для покрытия бюджетного дефицита, а финансовой обузой" [ 88,c.60j.
Таким образом, в России пока не удалось реализовать преимущества финансового рынка в обеспечении производственного процесса, преимущества связанные: с оперативным удовлетворением потребности хозяйствующих субъектов в денежных средствах; с качественным удовлетворением потребностей предприятий в финансовых ресурсах.
Дальнейшее развитие фондового рынка невозможно без создания благоприятного иивестиционною климата: условий и мотиваций инвестирования {решение проблемы управления на лткроуровне)[36],[ 104],[ 129],[ 130]; а также применения и дальнейшего развития теории инвестиций (и, в частности, теории прогнозирования) в процессе принятия конкретных инвестиционных решений (решение проблемы управления на микроуровне). Только в этом случае может быть достигнут значительный рост капитализации российского рынка ценных бумаг, который станет важным источником капитала и послужит подъему национальной экономики. Этот факт и определяет актуальность данного диссертационного исследования.
Средний квадратический прогноз финансовых показателей
Вторым условием Гаусса-Маркова для классической регрессионной модели является независимость дисперсии случайного члена от номера (момента) наблюдений (гомоскедастичность - одинаковый разброс). Нарушение этого условия принято называть гетероскедастичностью (неодинаковый разброс). Явление гетероекедастичности возникает, как правило, при анализе неоднородных объектов. Например, при построении зависимости прибыли фирмы от размера основного фонда (или каких-либо других факторов) гетероскедастичность вызвана тем, что у больших фирм колебания прибыли будут выше чем у малых. Это же относится и к анализу спроса на актив от доходов инвестора и т.д.
Гетероскедастичность, как и автокорреляция, может проявляться в зависимости от характера данных (наблюдений). Например, при анализе временных рядов может возникнуть ситуация, при которой значения данных будут увеличиваются со временем, в этом случае и дисперсия ошибки может со временем увеличиваться.
Метод наименьших квадратов при наличии гетероекедастичности позволяет получить несмещенные оценки парамеїров модели, но оценка дисперсии ошибки, и, следовательно, границы доверительных интервалов оценок параметров модели и прогноза зависимой переменной будут неверными, так как они вычисляются на основании предположения гомо-скедастичности ошибок.
Для проверки на гетероскедастичность существует большое количество тестов [76],[154],[164],[165],[175],[176],[193]. На практике часто используются тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфельда -Квандта, тест Глейзера. При тестировании ранговой корреляции по Спирмену, вычисляется коэффициент ранговой1 корреляции между остатками регрессии е и значениями регресеора X: где п - объем выборки; /_), - разность между рангами X и е. Для проверки нулевой гипотезы об отсутствии гетероскедастичности используется тестовая статистика гх. е" п " Если значение статистики превысит 1,96 при уровне значимости в 5%, или 2,58 при уровне значимости 1% при использовании двустороннего критерия, то нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. Тест Голдфельда Квандта применяется в том случае, когда имеются предположения: о прямой зависимости дисперсии ot ошибки регрессии ct от величины некоторой независимой переменной X в наблюдении t; случайный член є, распределен нормально и не подвержен автокорреляции. Алгоритм теста имеет следующую последовательность (см., например, [97],[62],[138]): 1,Упорядочивание п данных в выборке по величине независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедаегач-ноегь; данные упорядочиваются по возрастанию, если предполагается прямая пропорциональная зависимость между af и Х( и по убыванию, если предполагается, что зависимость между ними обратно-пропорциональная. 2. Исключение с средних наблюдений в этом упорядочении с целью построения двух независимых "частных" регрессий по данным п ={п - с)/2 в начале выборки и по данным п ={п - с)12 в конце выборки. В результате проведенных экспериментов С. Голдфельд и Р. Квандт получили оптимальные соотношения между числом элементов в выборке п и числом данных в частных регрессиях п : при п = 30 , п »11, при п = 60 , п » 22. 3. Проведение двух независимых "частных" регрессий - первых п и последних п наблюдений и построение соответствующих остатков е\ и 4. Вычисление сумм квадратов остатков "частных" регрессий: ф{. єЬе2. Если предположение относительно природы гетероскедастично сти верно, то дисперсии ошибок регрессии в последних п наблюдениях будут больше (меньше), чем в первых и наблюдениях при прямой (обратной) пропорциональной зависимости между о(иХ(, и это скажется на сумме квадратов остатков в рассматриваемых частных регрессиях. По этому в качестве теста на выявление гетероскедастичности остатков рег рессии предлагается использовать статистику F, вид которой определяется предположением зависимости между дисперсией ошибок регрессии atll регрессором Xt\ F = efej I ebei - в случае обратной пропорциональности , F = е2е21 е\е\ - в случае прямой пропорциональности . Статистика F имеет распределение Фишера с (п - к - 1) степенями свободы , где к - число объясняющих переменных в регрессионном уравнении. Если значение статистики превышает критическое значение при определенном уровне значимости, то нулевая гипотеза Но об отсутсгвии гетероскедастичности отвергается. В тесте Глейзера снимается предположение о пропорциональности дисперсии ошибки ретрессорам и проверяется функциональная зависимость вида
Для различных значений у оценивается регрессия а от А при помощи обычного МНК и вычисляются абсолютные величины остатков. Проверяется гипотеза об отсутствии гетероскедастичности: если оценка параметра Э значимо отличается от пуля, гипотеза отвергается. Меняется значение у и процедура повторяется. При определении характера гетероскедастичности ориентиром служит наилучшая из значимых оценок р.
Если для оценки параметров регрессии при наличии гетероскедастичности применить обычный МНК, то оценки будут состоятельными и несмещенными, но матрица ковариаций оценок смещена и несостоятельна.
Связь оценок параметрической коллокацин с решением не корректно поставленных задач
Алгоритм прогнозирования в рамках общих линейных моделей ARIMA - АРПСС в системе Statistica состоит из следующих этапов (см., например [28],[33],П П,[107]): идентификация модели; оценка параметров; » исследование адекватности; построение прогноза. Идентификация моделей ARIMA - АРПСС. Цель этапа идентификации - выявление конкретного типа общего семейства линейных моделей АРПСС (предварительная грубая оценка начальных значений параметров: р - порядка авторегрессии; d - порядка разности; q - порядка скользящего среднего, которые затем уточняются при помощи более эффективных методов оценивания). Процедура идентификации выполняется в следующем порядке: 1) вычисляются разности ряда до тех пор, пока они не окажутся стационарными относительно математического ожидания и дисперсии. Это операция позволяет получить оценку параметра d\ 2) производится предварительное оценивание параметров в модели авторегрессия - скользящее среднее APCC(p,q) Основной инструмент, при помощи которого решается поставленная задача - автокоррелягтонпая и частная автокоррелягтонпая функции, но поскольку эти функции не известны, на практике приходится иметь дело с их оценками - выборочными автокорреляционными и частными автокорреляционными функциями.
На основании поведения выборочной автокорреляционной функции с ростом лага к можно судить о стационарности и нестационарности процесса: если выборочная автокорреляционная функция не имеет тенденции к затуханию, то можно говорить о нестационарности ряда и выполнять п. 1) для определения порядка d разностного оператора ; если выборочная автокорреляционная функция имеет тенденции к затуханию, то можно говорить о стационарности ряда (параметр d - 0) и перейти к определению параметров модели в классе смешанных моделей авторегрессии - скользящего среднего, которые при определенных оіраничениях на параметры более точно описывают стационарные временные ряды.
При идентификации смешанных моделей АРСС стационарных процессов, наиболее часто встречающихся в приложениях, используются следующие закономерности, которые связывают параметры моделей и поведенне автокорреляционной и частной автокорреляционной функций [33, стр. 128], [28] и облегчают процесс выбора модели: 1) модель АРСС (1,0) (АР (1) - модель авторегрессии с одним параметром): автокорреляционная функция экспоненциально затухает. Оценка автокорреляции на лаге 1 есть оценка параметра автореірессии, поэтому, при отрицательном значении параметра автокорреляционная функция экспоненциально затухает меняя знак, при положительном - не меняя; частная автокорреляционная функция имеет выброс на лаге 1 (для других задержек корреляций нет); 2) модель АРСС (2,0) (АР (2)- модель авторегреесии с двумя параметрами): автокорреляционная функция имеет форму затухающей синусоидальной волны или экспоненциально затухает (в зависимости от знаков параметров); частная автокорреляционная функция имеет выброс на лаге 1 и лаге 2 (для других задержек корреляций нет); 3) модель АРСС (0,1) ( СС(1)): автокорреляционная функция имеет выброс на лаге 1(ддя других задержек корреляций нет); частная автокорреляционная функция экспоненциально затухает, либо монотонно, либо меняя знак; 4) модель АРСС (0,2) ( СС(2)); автокорреляционная функция имеет выброс на лагах 1 и 2 (для других задержек корреляций нет); частная автокорреляционная функция имеет форму синусоидальной волны или экспоненциально затухает; 5) модель АРСС (1,1) . автокорреляционная функция экспоненциально затухает, начиная с первого лага, затухание может быть монотонное и колебательное; в частной автокорреляционной функции преобладает за тукающий экспоненциальный член, либо монотонный, лноо осциллирующий. Выборочные автокорреляционные и частные автокорреляционные функции в системе Siatistica используются не только для выбора класса модели, но также и для получения приближенных оценок параметров. Так, например, для процессов авторегрессии АР(р) для этой цели используется система линейных уравнения Юла - Уокера (4.61) - вектор (столбец) оценок параметров модели; - вектор (столбец) оценок автокорреляций. Для процессов скользящего среднего CC(q) оценки вектора (столбца) параметров 9 = (0(,9?,...,6?) получают по оценкам р = (р,р2,...,р?) - вектора (столбца) оценок автокорреляций в результате решения системы нелинейных уравнений вида (4.68) итеративными методами Единственность оценок в данном случае обеспечивается условием обратимости модели. Предварительная оценка параметров в смешанной модели АРСС (p,q) выполняется в следующей последовательности [33, стр. 330]:
Сравнительный анализ коллокационных прогнозов финансовых показателей
Для построения оптимального линейного прогноза в модели ЭБД, оценка величины логарифмической прибыли за период упреждения подчиняется двум стандартным требованиям оптимальности: (5.11) и минимальности средней квадратической ошибки прогноза (5Л 2).
Получены формулы, позволяющие вычислить точность точечной и интервальной оценок прогнозов модели ЭБД. Для автоматизации процесса построения прогнозов в рамках модели ЭВД разработан алгоритм и программное обеспечение. Проверка качества прогнозов модели ЭБД, а также сравнительный анализ точностных характеристик прогнозов данной модели с моделями, реализованными в программных продуктах, получивших широкое практическое применение, были выполнены на одном из наиболее важных классов динамических рядов - уровней финансовых индексов, имеющих отношение к Российской Торговой Системе (РТС).
Для сравнительного анализа результатов прогнозирования, в работе построены прогнозы значений индекса РТС для четырех исследуемых периодов (первый период: с 05.03.96г. по 16.04.96 г., второй период: с 02.04.97г. по 16.05.97 г., третий период: с 01.04.98г. по 15.05.98 г., четвертый период: с 02.04.99г. по 18.05.99 г) по моделям: тривиального прогноза (ТР); экономического броуновского движения (ЭБД); автореірессии проиніеірированного скользящего среднего в системе Statistica (АРПСС) (см. табл. 5.7, 5.9, 5.11, 5.13).
Вычислены статистические характеристики качества прогнозов: оценки средних квадратичееких ошибок (S): оценки средних абсолютных ошибок {А): оценки критерия Тейла (U) (см. табл. 5.8, 5.10, 5.12, 5.14). Как показали результаты исследований, прогнозы моделей ЭВД и АРПСС практически совпадают (с переменным успехом: в первом, вто ром и третьем периодах ЭБД дает более качественные прогнозы; в четвертом периоде прогнозы АРПСС, в среднем, точнее прогнозов ЭБД), несмотря на простоту алгоритма модели ЭВД, В коллокационных моделях КЛ1 и КЛ2 относительно случайных величин "логарифмической прибыли" принимается предпосылка стационарности. Для коллокационных моделей построены две модификации: модели с нулевым и ненулевым трендами. Модели с нулевым трендом по-сгроены на базе "чистой" коллокации (КЛ), модели с ненулевым трендом - на базе параметрической коллокации КЛ I. Получены формулы, позволяющие оценить точность прогнозов в рамках коллокационных моделей логарифмической прибыли. Необходимые автоковариационные и взаимные ковариационные функции построены при помощи преобразования ковариаций основной ковариационной функции процесса логарифмической прибыли (раздел 3.3.6). Для автоматизации процессов построения прогнозов в рамках коллокационных моделей КЛ и КЛ!, разработаны алгоритмы и программные средства ( раздел 5.2). Алгоритм модели КЛ1 обобщен на тот случай, когда для прогнозов значений финансового индекса привлекаются не только его прошлые значения, но и результаты наблюдений уровней других финансовых индексов. В разделе 5.3 приводится алгоритм прогнозирования финансовых индексов по наблюдениям двух рядов: л, и Af . Процедура подбора моделей ковариационных функции "логарифмической прибыли" в дан нои модели выполняется в рамках гипотезы стационарности и стационарной связанности по алгоритму, разработанному в разделе 3.1. Проделаны исследования по установлению оптимального объема выборки для прогнозирования финансовых динамических рядов в рамках разработанных моделей (раздел 5.4: табл.5.5; табл.5.6, приложение 4), Результаты прогнозирования индекса РТС по моделям ТР, ЭБД, КЛ1, КЛ2 за период с 1996 по 2000 гг. и графическое представление прогнозов, приведены в приложениях 1, 3. Результаты прогнозирования цен РАО ЕЭС по моделям ЭБД, КЛ1, КЛ2 за период с 1996 по 2000 гг. приведены в приложении 2, Для сравнения прогнозных способностей моделей КЛ, КЛ1, КЛ2, также как и для моделей ТР, ЭБД, АРПСС, вычислены сгатистические характеристики качества прогнозов: оценки средних квадратических ошибок (5); оценки средних абсолютных ошибок (А); оценки критерия Тейда (/) Как показывают результаты, представленные в таблицах 5.15 - 5.17. точность коллокационных прогнозов выше точности прогнозов ТР, АРПСС и ЭБД.
