Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование процесса производства на макроэкономическом уровне 14
1.1. Процесс производства и способы его моделирования 14
1.2. Производственная функция как модель производства. Моделирование процесса производства на макроэкономическом уровне. Научно-технический прогресс как фактор производства 18
1.3. Воздействие неучтенных факторов на процесс производства и их изменение с течением времени 25
1.4. Модели экономического роста 29
Глава 2. Построение нелинейной динамической производственной функции, учитывающей колебания факторов производства во времени 35
2.1. Процесс производства и макроэкономические производственные функции 36
2.2. Общий вид нелинейной динамической производственной функции, учитывающей колебания факторов производства во времени 41
2.3. Построение производственной функции для экономики США за 1950-1979 гг. 45
2.4. Анализ развития производства в экономике США за 1950- 1979 гг. 65
2.5. Построение производственной функции для внутренней частной экономики США за 1949-1968 гг. 70
Глава 3. Оценка параметров нелинейной динамической производственной функции, учитывающей колебания факторов производства во времени 92
3.1. Методы получения оценок параметров динамической производственной функции, учитывающей колебания факторов производства во времени. Двухэтапная процедура получения начальных оценок параметров. 93
3.2. Оценка параметров статических производственных функций 98
3.3 Алгоритм оценки параметров нелинейной динамической производственной функции, учитывающей колебания факторов производства во времени 106
3.4. Программная реализация алгоритма оценки параметров нелинейной динамической производственной функции, учитывающей колебания факторов производства 120
Глава 4. Оптимальные макроэкономические процессы 128
4.1. Модифицированная модель Шелла 128
4.2. Оптимальное развитие экономики. Проведение практических расчетов по оценке оптимальности развития экономики 133
4.3. Поведение основных экономических показателей на магистрали 142
4.4. Оценка оптимальности развития экономики США за 1950- 1979 гг. 152
4.5. Оценка оптимальности развития внутренней экономики США за 1947-1968 гг. 161
Заключение 170
Приложения 172
- Производственная функция как модель производства. Моделирование процесса производства на макроэкономическом уровне. Научно-технический прогресс как фактор производства
- Общий вид нелинейной динамической производственной функции, учитывающей колебания факторов производства во времени
- Алгоритм оценки параметров нелинейной динамической производственной функции, учитывающей колебания факторов производства во времени
- Оптимальное развитие экономики. Проведение практических расчетов по оценке оптимальности развития экономики
Введение к работе
Актуальность темы. Агрегированные динамические народнохозяйственные модели относятся к макроэкономическим моделям. С помощью динамических народнохозяйственных моделей определяются основные тенденции развития экономки, прогнозируются объемы производства, оцениваются эффективности использования и распределения ресурсов (природных, трудовых и т.д.). Эти модели позволяют определить способность к замещению факторов, реакцию на изменение масштаба производства, сравнительную интенсивность использования производственных ресурсов. Можно оценить возможные потери в национальном доходе из-за сокращения притока трудовых ресурсов, учесть влияние фондовооруженности и фондоотдачи на производительность труда, соотношение экстенсивных и интенсивных факгоров производства.
Агрегированные динамические народнохозяйственные модели служат инструментом при решении экономико-экологических задач таких, как определение затрат на устранение загрязнения окружающей среды. Исследования, проводимые с помощью агрегированных динамических народнохозяйственных моделей, тесно связаны с изучением глобальных проблем человечества, например, его обеспеченности в будущем энергоресурсами и другими природными ресурсами.
Особый интерес со стороны исследователей вызывают методы представления процесса производства в агрегированных народнохозяйственных моделях. В используемых для описания процесса производства на макроэкономическом уровне производственных функциях
весьма упрощенно отражается воздействие большого числа факторов, отличных от капитала и труда (таких, как НТП, объемы инвестиций (степень технологической диффузии), квалификация и образование рабочей силы и т.п.), - в виде постоянного и равномерного повышения во времени эффективности производства. В реальной экономике действие факторов производства (отличных от капитала и труда) подвержено изменениям и колебаниям с течением времени и их влияние, оказываемое на процесс производства, нельзя представлять как постоянное и равномерное повышение во времени эффективности производства, которое в большинстве случаев означает постоянство темпов роста выпуска за счет этих факторов.
Недостаточно точное описание процесса производства с помощью существующих в настоящее время производственных функций из-за упрощенного учета влияния факторов производства, отличных от труда и капитала, приводит к искажениям в получаемых результатах анализа, прогнозах и выводах. Поэтому, тема представленной диссертации, посвященной более адекватному представлению процесса производства на макроэкономическом уровне за счет учета колебаний во времени фактора НТП и других факторов производства, отличных от труда и капитала, является актуальной.
Целью диссертационной работы является построение и анализ новой нелинейной динамической производственной функции, учитывающей колебания фактора НТП и других (отличных от капитала и труда) факторов производства во времени, и разработка на ее основе модели экономического роста для определения оптимальных (с точки зрения достижения максимального интегрального душевого потребления) объемов выпуска, основного капитала, инвестиций, потребления и сбережений в экономике. Достижение цели потребовало решения следующих задач:
• определить форму и построить нелинейную динамическую производственную функцию, учитывающую колебания во времени фактора НТП и прочих (отличных от капитала и труда) факторов производства;
• разработать методы оценки нелинейных статических производственных функций и специальный метод оценки параметров построенной в работе производственной функции;
• построить алгоритм оценки параметров построенной в работе производственной функции;
• сформировать программный комплекс, который обеспечивает проведение аналитических и прогнозных расчетов на базе реальных и экспертных данных на основе широкого класса производственных функций, включающего построенную в работе производственную функцию;
• модифицировать модель экономического роста Шелла путем включения в нее производственной функции, учитывающей колебания во времени факторов, отличных от капитала и труда;
• определить оптимальные (с точки зрения достижения максимального интегрального душевого потребления) соотношения между объемами выпуска, основного капитала, инвестиций, потребления и сбережений на основе модифицированной модели экономического роста Шелла;
• описать динамику нормы накопления, фондовооруженности, производительности труда, коэффициентов прироста фондовооруженности и производительности труда в зависимости от колебаний во времени фактора НТП и прочих факторов производства, отличных от капитала и труда;
• верифицировать построенную в работе производственную функцию и модифицированную модель Шелла на реальных статистических данных.
Объектом „исследования в диссертационной работе является процессы производства, потребления, накопления и инвестирования на макроэкономическом уровне. Предметом исследования - зависимость объемов выпуска в экономике от колебаний фактора НТП и других (отличных от капитала и труда) факторов производства.
Теоретической и методологической основой исследования являются труды отечественных и зарубежных ученых по теории экономического роста, по моделированию производственных процессов на макроэкономическом уровне. В диссертации использовались математические методы теории оптимального управления, методы исследования статистических связей, элементы теории численных методов, компьютерные технологии.
В качестве информационной базы исследования использовались данные Госкомстата Российской Федерации, Bureau of Economic Analysis (США), а также данные, опубликованные в российской и зарубежной печати.
Научная новизна исследования состоит в следующем:
1. Построена новая нелинейная динамическая производственная функция, учитывающая (путем использования монотонно-циклического множителя) колебания фактора НТП и прочих (отличных от капитала и труда) факторов производства во времени. Построенная производственная функция позволяет описывать процесс производства на макроэкономическом уровне более адекватно, чем ранее использовавшиеся производственные функции.
2. Разработана двухэтапная процедура вычисления начальных значений оценок параметров построенной в работе производственной
функции. Необходимость разработки двухэтапной процедуры, учитывающей зависимость выпуска от наиболее значимых факторов производства (капитала и труда), вызвана тем, что от. начальных значений зависит точность самих оценок. Использование начальных значений оценок параметров, полученных с помощью двухэтапной процедуры, в применяемом при нелинейном оценивании методе наименьших квадратов позволяет получить оценки параметров, обладающие необходимыми статистическими свойствами (эффективностью, состоятельностью и несмещенностью в асимптотике).
3. В рамках разработанной двухэтапной процедуры предложен метод вычисления оценок параметров статических нелинейных производственных функций таких, как функция с постоянной эластичностью замены факторов (CES), функция с линейной эластичностью замены факторов (LES) и функция Солоу. Этот метод за счет более полного использования исходных данных и более детального анализа структуры нелинейных статических производственных функций позволяет получить (в отличие от ранее использовавшихся методов) более точные оценки параметров статических нелинейных производственных функций.
4. Для оценки параметров построенной производственной функции в работе предложен алгоритм, включающий специально отобранные численные методы, применение которых к реальным данным позволяет получить необходимые оценки параметров.
5. На основе предложенного алгоритма разработан программный комплекс для моделирования на ЭВМ процесса производства на макроэкономическом уровне. Программный комплекс включает вычисление статистических оценок параметров моделей производства и анализ качества этих моделей. Программный комплекс с помощью современных высокопроизводительных ЭВМ позволяет проводить ана литические и прогнозные расчеты народнохозяйственной динамики на базе реальных и экспертных данных.
6. Модифицирована модель экономического роста Шелла за счет включения в нее модифицированной производственной функции Кобба-Дугласа (учитывающей колебания во времени факторов, отличных от капитала и труда), которая является частным случаем построенной в работе производственной функции. Благодаря учету колебаний во времени фактора НТГТ и других (отличных от труда и капитала) факторов производства при описании процесса производства, модифицированная модель Шелла позволяет более адекватно представлять реальные процессы инвестирования, сбережений и потребления в экономике.
7. Аналитически определены оптимальные (с точки зрения достижения максимального интегрального душевого потребления) соотношения между объемами выпуска, основного капитала, инвестиций, потребления и сбережений в модифицированной модели Шелла.
8. На основе анализа поведения оптимальных траекторий модифицированной модели Шелла описана динамика нормы накопления, фондовооруженности, производительности труда, коэффициентов прироста фондовооруженности и производительности труда. Проанализирована зависимость этих величин от колебаний во времени фактора НТГТ и прочих факторов производства, отличных от капитала и труда.
Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическое значение диссертации в том, что в построенной новой нелинейной динамической производственной функции учитываются колебания фактора НТП и прочих (отличных от капитала и труда) факторов производства во времени. Эта производственная функция позволяет описывать реальный процесс производства на макроэкономическом
уровне более адекватно, чем ранее использовавшиеся агрегированные производственные функции.
Построенная в работе производственная функция может применяться при исследованиях экономических циклов. Например, в ряде случаев может наблюдаться связь между продолжительностью цикла и периодом колебаний факторов производства, действие которых на процесс производства учтено в построенной производственной функции.
Построенная в работе производственная функция может быть использована в экономико-экологических моделях для более точного определения доли выпуска, направляемой на устранение загрязнений окружающей среды. Результаты прогнозирования на базе этой производственной функции могут служить основой в исследованиях обеспеченности экономики в будущем энергоресурсами.
С помощью модифицированной в диссертации модели экономического роста Шелла можно оценить оптимальность развития экономики (с точки зрения достижения максимального интегрального душевого потребления). По этой модифицированной модели экономического роста в зависимости от колебаний во времени фактора НТП и прочих (отличных от капитала и труда) факторов производства рассчитываются наиболее рациональные распределения выпуска в экономике на инвестиции, сбережения и потребление.
Проведенные экспериментальные расчеты на примере статистических данных экономики США показали, что построенные в диссертации производственная функция и модифицированная модель экономического роста более адекватно описывает реальную экономику, чем ранее использовавшиеся.
Теоретические положения и практические результаты диссертации применяются при чтении курса "Экономико-математические мо дели для студентов 1-ого курса Школы магистров Экономического факультета МГУ.
Результаты диссертации могут быть использованы экономическими вузами и факультетами в учебном процессе, научными организациями и органами государственного управления для анализа и прогнозирования основных тенденций экономического развития, а также для определения политики государственного регулирования, направленной на повышение эффективности функционирования экономики в целом.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на научном семинаре "Динамические модели в экономике" кафедры математических методов анализа экономики экономического факультета МГУ им М.В. Ломоносова.
Результаты исследования были представлены на научной конференции в МГУ им. М.В. Ломоносова "Ломоносовские чтения-99", и на двух Международных научных конференциях молодых ученых: "Ломоносов-98" (1998 г.), "Ломоносов-99" (1999), организованных при поддержке ЮНЕСКО.
Основные положения диссертации опубликованы в 3 работах общим объемом 1,5 п.л.
Логика и структура работы. Поставленная цель определила следующую логику и структуру работы. В первой главе рассматриваются основные модели производства и методологические подходы к описанию воздействия различных экономических факторов на процесс производства. В этой главе в целях замкнутости изложения приведены основные положения теории экономического роста.
Во второй главе построена новая нелинейная динамическая производственная функция, учитывающая колебания факторов производства во времени. Для проверки работоспособности этой производ ственной функции выполнена ее параметризация на базе реальных данных экономики США, а также проведено ее сопоставление с широко используемыми производственными функциями.
В третьей главе представлен метод получения оценок построенной производственной функции и описаны специальная двухэтапная процедура вычисления начальных значений оценок параметров и метод оценки параметров статических нелинейных производственных функций. В главе дано описание алгоритма оценки параметров построенной в работе производственной функции и разработанного на его основе программного комплекса.
В четвертой главе представлена модификация модели Шелла и результаты выполненных на ее основе расчетов.
В заключении даны основные выводы и результаты, полученные в диссертации.
В приложениях приведены оценки параметров и статистические характеристики качества пятнадцати версий построенной в диссертации производственной функции. В приложениях также представлено решение задачи оптимального управление в модифицированной модели Шелла и проведено построение оптимальной траектории развития экономики в общем случае, когда магистральная норма накопления выходит за установленные пределы значений.
Производственная функция как модель производства. Моделирование процесса производства на макроэкономическом уровне. Научно-технический прогресс как фактор производства
Производственные функции являются одними из наиболее распространенных моделей производсгва [Клейнер Г.Б. 1, 2; Барканов Н.Б.; Лотов А.В.; Столерю Л.; Терехов Л.Л.]. Производственные функции могут применяться при моделировании как отдельного производства или предприятия, так и целой экономики или отрасли [Ми-хайлевский Б.Н., Лотов А.В.; Хеди Э., Диллон Д.]. Производственные функции в математической форме отражают закономерности преобразования ресурсов в выпускаемую продукцию. Иначе говоря, производственными функциями в широком смысле называют соотношения между используемыми материальными и трудовыми ресурсами (называемыми в совокупности производственными ресурсами) и объемами выпускаемой продукции.
Обычно относительно производственной функции делается предположение, очень удобное с математической точки зрения, - предположение о непрерывном изменении количества используемых ресурсов и достаточно плавном изменении выпуска при изменении затрат ресурсов [Клейнер Г.Б.; Лотов А.В.]. На практике ресурсы и продукция зачастую не могут меняться непрерывно - их количество дискретно и измеряется, например, в штуках.
Относительно производственных функций делают предположение другого рода: производство невозможно при отсутствии хотя бы одного ресурса [Клейнер Г.Б.; Лотов А.В.]. Это предположение означает, что каждый ресурсов необходим хотя бы в малых количествах. Полное его отсутствие не может быть компенсировано другими ресурсами.1
Также делается предположение о том, что при увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не уменьшается и предположение о том, что по мере увеличения количества одного ресурса при постоянных количествах других предельная эффективность использования этого ресурса не возрастает [Клейнер Г.Б.; Лотов А.В.]. Также говорят, что производственная функция характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства [Клейнер Г.Б.; Лотов А.В.]. Огдача от расширения масштабов производсгва характеризует производственную функцию с точки зрения изменения выпуска при пропорциональном изменении затрат ресурсов.
С понятием производственной функции тесно связано понятие множества производственных возможностей, которое определяется как множество всех возможных сочетаний трудовых, материальных ресурсов и выпусков продукции [Логов А.В.]. В терминах производственной функции выражаются такие важные экономические понятия как предельные эффективности (или производительности) использования ресурсов, средняя эффективность (производительность) ресурса, эластичности выпуска по отношению к изменению затрат ресурсов, эластичность производства, изокосты и изокванты выпуска, предельные нормы замещения одного ресурса другим, эластичности замещения ресурсов и т.д.
Рассмотрим подробнее макроэкономические производственные функции, широко применяемые в агрегированных моделях производства (моделях экономического роста).
При построении макроэкономической производственной функции для реї иона или страны в целом наиболее часто в качестве выпуска используется величина совокупного продукта, а в качестве ресурсов рассматривают основные фонды (основной капитал) и трудовые ресурсы (рабочая сила) [Баркалов Н.Б., Столерю Л.]. Совокупный выпуск и основные фонды исчисляются в стоимостном выражении, а трудовые ресурсы могут быть измерены в человеко-часах или в суммарной выплаченной заработной плате.
Остановимся на свойствах макроэкономической производственной функции. Принято считать, что макроэкономическую производственную функцию можно считать дифференцируемой достаточное число раз, поскольку дискретность в этом случае сказывается мало. Предположение о невозможности получения конечного продукта при отсутствии фудовых ресурсов не вызывает возражений [Лотов А.В.]. Производство без основных фондов, конечно, возможно, однако для современного уровня развития технологий оно будет настолько неэффективным, что его можно считать практически нулевым [Лотов А.В.].
Предельные эффективности использования ресурсов ИМЄЮ1 смысл приращения конечного продукта к малому приращению каждого из ресурсов. Предположение о положительности предельных эффективностей использования основных фондов и трудовых ресурсов обычно выполняется для макроэкономических производственных функций: приращение основных фондов и трудовых ресурсов должно приводить к повышению объемов выпуска [Лотов А.В.]. Хотя можно привести примеры, когда предположение о положительности предельных эффективностей использования ресурсов в макроэкономической производственной функции не выполнено. Так, если в моделируемой экономической системе исторически сложилось такое распределение трудовых ресурсов по предприятиям, что современные высокоэффективные предприятия работают не на полную мощность из-за нехватки трудовых ресурсов, используемых в это время на малопродуктивных устаревших предприятиях. Тогда закрытие неэффективных предприятий (и соответствующие уменьшение количества основных фондов), сопровождаемое переходом рабочих на высокоэффективные предприятия, приведет к увеличению совокупного выпуска [Лотов А.В.].
Средние эффективности использования основных фондов и трудовых ресурсов при положительных значениях используемых ресурсов положительны и имеют смысл фондоотдачи и производительности іруда [Лотов А.В.; Менкью Г.Н.].
Предположение о падение предельных эффективностей использования основных фондов и трудовых ресурсов при увеличении объе мов основного капитала и трудовых ресурсов может иметь место в условиях экстенсивного роста производства при отсутствии КТГТ. Предположение об однородности макроэкономической производственной функции обычно также выполняется, причем в основном применяются производственные функции с постоянной или возрастающей отдачей от роста масштабов производства [Лотов А.В.; Менкью Г.Н.].
При макроэкономическом моделировании обычно используются производственные функции Кобба-Дугласа, с постоянной эластичностью замены факторов (CES), с линейной эластичность замены факторов (LES) и функция Солоу [Гранберг А.Г., Баркалов Н.Б.]. Наиболее предпочтительным является применение производственной функции Кобба-Дугласа из-за простоты в получении статистических оценок параметров этой функции [Баркалов Н.Б.; Киселева В.В.].
Общий вид нелинейной динамической производственной функции, учитывающей колебания факторов производства во времени
Динамическая производственная функция (2.2) представляет собой макроэкономическую модель производства, которая выражает основную зависимость объемов выпуска от объемов основных производственных фондов и численности трудовых ресурсов, влияние же других факторов производства учитывается с помощью переменной времени. Меняющееся с течением времени воздействие факторов таких, как НТП, образование и квалификация рабочей силы, инвестиции, макроэкономическая и политическая стабильность, государственные расходы, приводит к изменению эффективности производства [Barro R.J., Sala-i-Martin X., Мун де Ен]. Эти акторы производства оказывают существенное воздействие на динамику объемов выпуска [Мун де Ен]. В реальной экономике может наблюдаться неравномерный рост эффективности производства - смена периодов ускоренного и замедленного роста. Также возможно чередование периодов роста и падения эффективности производства.
Модель, учитывающая колебания факторов производства во времени, представляет собой динамическую производственную функцию следующего вида где Хо, К 0), ф - параметры. Первый множитель F(K(t),L(t)) в формуле (2.11) - статическая производственная функция, отражающая существенную зависимость объемов выпускаемой продукции от объемов используемых основных производственных фондов и численности рабочей силы. Второй множитель в этой формуле - монотонно-циклическая компонента - учитывает экспоненциальность процесса производства и его колебания, вызванные действием многочисленных факторов производства на рассматриваемом промежутке времени.
Рассмотрим более подробно структуру модели (2.11). Начнем с экономического анализа значений параметров монотонно-циклической компоненты.
Параметр Хо определяет тенденцию роста или падения эффективности производства в зависимости от знака этого параметра. Вообще говоря, при исследовании экономики на достаточно длительном промежутке (свыше 15 лет) только изменение технологии производства может вызывать столь долгосрочное падение или рост эффективности производства. Влияние других факторов производства (например, уровня инвестиций) может вызывать лишь колебания эффективности производства. Поэтому можно сказать, что параметр Хо измеряет степень и направление технологических сдвигов при исследовании процесса производства на достаточно длительном временном промежутке.
Если Ло 0, то имеет место технологический прогресс. Экономические системы, в которых наблюдается рост эффективности производства, являются наиболее часто встречающимися как в реальной действительности, так и в теоретических исследованиях [Паппэ Я.Ш.].
Если же Ао 0, то наблюдается регресс, связанный падением эффективности производства. Изучению экономических систем с таким изменением эффективности производства уделяется намного меньше внимания в экономических исследованиях. Но существуют примеры экономических систем, находящихся в состоянии рефесса. Так, если в производстве на протяжении долгого времени сохраняется один и тот же технологический уровень и не вводятся новые производственные мощности, то экономическая система с такими производственными особенностями соответствует именно этому состоянию - состоянию рефесса, причем воздействие времени выражается в падении эффективности производства за счет использования старых, уже изношенных фондов. По оценкам некоторых экономистов Россия на протяжении последних 10-15 лет находится именно в этом состоянии — состоянии рефесса. Можно привести еще один пример подобного рода экономической системы — это экономика с постоянным уровнем технологического производства, функционирующая при полном использовании всех ресурсов. Влияние времени на экономическую систему в этом случае проявляется в снижении эффективности производства в связи с зафязнением окружающей среды и невозможностью полного восстановления использованных природных ресурсов (вода, земля, минералы, и т.д.), так как в этом случае в процесс производства с течением времени вовлекаются менее качественные ресурсы.
Параметр X измеряет амплитуду циклических колебаний в эффективности производства, т.е. значение этого параметра равно максимальному отклонению от тенденции.
Алгоритм оценки параметров нелинейной динамической производственной функции, учитывающей колебания факторов производства во времени
В первых двух параграфах этой главы представлен общий подход к оценке параметров модели производства учитывающей колебания факторов производства во времени. Однако остается большая свобода выбора в численных методах, реализующих этот подход и позволяющих получить необходимые оценки параметров модели (2.11). Так, метод наименьших квадратов, представляющий собой поиск минимума суммы квадратов невязок может быть реализован с помощью большого числа вычислительных алгоритмов [Химмельблау Д. 1, 2; Хартан К., Лецкий Э., Шефер В. и др.]. Например, начальные значения оценок статических производственных функций получаются из линейных уравнений регрессии (см. параграф 3.2), связывающих переменные и частные производные первого порядка. Однако эти частные производные могут быть аппроксимированы несколькими способами с различной степенью точности. В этом параграфе описаны конкретные вычислительные процедуры, применение которых к реальным статистическим данным (см. параграф 2.3 и параграф 2.5) дало положительные результаты во многих случаях и позволило получить оценки параметров модели производства (2.11), обладающие необходимой точностью. Последовательность этих численных процедур составляет алгоритм оценки параметров нелинейной модели производства (2.11), учитывающей колебания факторов производства во времени.
Основной и наиболее трудоемкой частью алгоритма оценки параметров модели производства (2.11) является реализация метода наименьших квадратов, используемого для оценки параметров нелинейных моделей. Этот метод наименьших квадратов, применяемый при нелинейном оценивании, может быть реализован с помощью большего числа итерационных процедур, таких как прямой поиск, симплексный, градиентный метод, метод Пауэлла. С помощью этих итерационных процедур должен быть найден минимум функции по пространству параметров, размерность которого может составлять от четырех до девяти в зависимости от рассматриваемой производственной функции и этапа выполнения алгоритма (см. параграф 3.1).
Наиболее подходящий метод, реализующий итерационную процедуру поиска минимума многопараметрической функции, - это метод Пауэлла [Химмельблау Д. 2; Smith С]. С помощью метода Пауэлла решаются задачи нелинейного программирования с большим числом переменных. Этот метод относится к методам оптимизации не использующим производные целевой функции (или их апроксимации) и в нем направление минимизации целевой функции полностью определяется на основании последовательных вычислений целевой функции по сопряженным направлениям. Метод Пауэлла сходится медленнее градиентного метода, но время затрат на подготовку задачи к решению гораздо ниже, чем у градиентных методов. Так как этот метод содержит оптимизацию в выборе направления поиска минимума целевой функции, он сходится быстрее метода прямого поиска.
Оценивание параметров нелинейным методом наименьших квадра тов, реализуемым с помощью итерационных процедур, в том числе и ме тодом Пауэлла, сопряжено с некоторыми практическими трудностями. Две из них, с которыми пришлось столкнуться при проведение расчетов, вызваны недостаточно "хорошими" начальными значениями параметров и связаны с необходимостью улучшения сходимости метода Пауэлла. Так большие значения, принимаемые минимизируемой функцией - суммой квадратов невязок, стали причиной переполнения доступной компьютер ной памяти.9 Недостаточно "хорошие" начальные значения параметров в ряде случаев привели к вычислению локального минимума (а не глобаль ні ного) у суммы квадратов невязок. Оба этих недостатка удалось достаточ но легко исправить преобразованием исходной модели, улучшающим сходимость метода Пауэлла. Формулы преобразований моделей, улуч шающих сходимость, будут выписаны ниже для каждого этапа выполняе мого алгоритма оценки параметров модели производства (2.11). Теперь приступим непосредственно к описанию алгоритма оценки параметров модели производства, учитывающей колебания в эффективности производства. Сразу же после получения исходных рядов статистических данных по выпуску Y(t), объему основных производственных фондов Kft), трудовых ресурсов L(t), переходим к вычислению начальных значений параметров статической производственной функции F(K(t),L(t)) в квазистационарной модели Вычисление начальных значении параметров статической производственной функции. Начальные оценки параметров статических производственных функций (2.13)—(2.17) в квазистационарной модели (3.2) вычисляются методом наименьших квадратов, применяемым к линейным моделям, из линейных уравнений регрессии, связывающих переменные Y, К, L и частные производные —, — (см. параграф 3.2). Так как имеется дискретный ряд данных Y(t), K(t), L(t) (t=0,1,..,N-l), то для того, чтобы воспользоваться этими линейными уравнениями регрессии при вычислении начальных значений оценок статических производственных функций, необходимо аппроксимировать частные производные конечными разностями. где ti, t2 обозначают моменты времени, соответствующие двум близким значениям K(ti), K(t2), а ті, Т2 - моменты времени, соответствующие двум близким значениям L(x\), Цтг). Эта аппроксимация недостаточно точная, так как при ее построении не учитывается тот факт, что статические производственные функции представляют собой функции двух переменных. Для отношений разностей первого порядка, стоящих в правых частях равенств (3.27)
Оптимальное развитие экономики. Проведение практических расчетов по оценке оптимальности развития экономики
В предыдущем параграфе была представлена модель Шелла и дана содержательная экономическая интерпретация соотношений этой модели. Эта модель позволяет определить оптимальные объемы инвестиций, сбережений, потребления и выпуска с точки зрения достижения максимального душевого потребления на рассматриваемом промежутке времени с условием сохранения некоторого производственного потенциала за переделами этого временного промежутка. Ввиду использования агрегированных показателей в рассматриваемой модели Шелла возникает необходимость достаточно адекватного модельного представления реальных процессов инвестирования, сбережений, потребления и выпуска. Достигнуть же большей точности при моделировании исследуемых экономических процессов можно за счет описания процесса производства с помощью производственной функции Кобба-Дугласа (4.2), учитывающей неравномерное и непостоянное изменение факторов производства во времени.
В этом параграфе предложен метод вычисления оптимальных объемов инвестиций, сбережений, потребления и выпуска в модели Шелла (4.2), (4.4) - (4.10), учитывающей неравномерное и непостоянное изменение факторов производства во времени.
Нахождение оптимальной траектории модели, т.е. определение оптимальных объемов выпуска, инвестиций и потребления для каждого момента времени в модели Шелла (4.2), (4.4) - (4.10) является задачей оптимального управления, которая решается с помощью принципа максимума Понтрягина/ Решение этой задачи представляет собой указание для любого момента времени оптимальных значений фондовооруженности k(t)=K(t)/L(t) и нормы накопления s(t), значения же оптимальных объемов выпуска, инвестиций и потребления в рамках исследуемой модели Шелла однозначно восстанавливаются по следующим формулам:
Так как оптимальные значения фондовооруженности определяются для любого момента времени, то значит, они образуют оптимальную траекторию фондовооруженности. Оптимальная траектория фондовооруженности в большинстве случаев состоит из трех участков: магистрали, кратчайшем пути на магистраль и кратчайшем пути ухода с магистрали.
Магистраль (магистральное значение фондовооруженности) вычисляется по формуле Магистраль обладает очень важным свойством: чем длиннее рассматриваемый промежуток времени, тем длиннее магистральный участок.
Кратчайший путь на магистраль вычисляется по следующей формуле с оптимальной нормой накопления s(t)=Si. Здесь i=l, 2. Выбор верхнего S2 или нижнего Si предела для значений оптимального управления s(t) в формулах зависит от начального состояния фондовооруженности ко. Если магистраль k(t) проходит выше ко (т.е. выполняется условие к(0) ко), то это значение будет S2, если же магистраль k(t) проходит ниже ко (т.е. выполняется условие к(0) ко), то это значение будет s\ (см. рис.4.1 и 4.2). Момент времени t выхода на магистраль к (t) определяется из условия пересечения траектории k(t), рассчитываемой по формуле (4.18), с магистралью k(t)
Так, например, кратчайший путь на магистраль не обладает свойством магистрали: независимо от того увеличивается ли рассматриваемый промежуток времени [0,Т] или нет, длина этого участка остается постоянной.
Кратчайший путь ухода с магистрали вычисляется по следующей формуле с оптимальной нормой накопления s(t)=Si. Здесь i=l, 2. Выбор верхнего 2 или нижнего Si предела для значений оптимального управления s(t) в формулах зависит от конечного состояния фондовооруженности kj. Если магистраль к (t) проходит выше кт (т.е. выполняется условие к (Т) кт), то это значение будет si, если же магистраль k(t) проходит ниже кт(т.е. выполняется условие к(Т) кт), то это значение будет s2 (см. рис 4.3 и рис. 4.4). Момент времени т ухода с магистрали к (t) определяется из условия пересечения траектории k(t), рассчитываемой по формуле (4.20), с магистралью
Практические расчеты по оценке оптимальности развития экономики можно осуществлять двумя различными способами.
Первый способ проведения практических расчетов требует только знания численных значений остаточной функции е(Х) для каждого момента времени t, но нет необходимости в знании точного представления остаточной функции s(t) как функции времени t. Остаточная функция s(t) по своему построению представляет собой логарифм мультипликативных невязок (остатков) производственной функции (4.1)
Здесь Y (t) обозначает реальные объемы выпуска в экономике, а YM(t) -значения выпуска, рассчитываемые по модели (4.1).
При проведении ретроспективной оценки оптимальности развития экономики (т.е. при определении, каким должно было быть экономическое развитие) значения остаточной функции s(t) в каждый момент времени t рассчитывают по формуле (4.22). Производную остаточной функции є(і) представляют, например, как конечную разность первого порядка где t и t два близких момента времени.
