Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Особенности теории реальных опционов 10
1.1. Теоретические основы построения и использования реальных опционов 10
1.2. Классификации реальных опционов 19
1.3. Исторические аспекты развития теории реальных опционов 24
1.4. Постановка задачи исследования 29
Основные выводы 37
Глава 2. Алгоритмы расчета стоимости составного опциона 39
2.1. Оценка стоимости опциона в условиях ограниченности информации 39
2.2. Модификация имитационного алгоритма расчета стоимости составного реального опциона 52
2.3. Возможности использования модели динамики процентной ставки 58
2.4. Алгоритм расчета стоимости составных опционов с использованием модифицированной модели динамики процентной ставки 68
2.5. Проблемы использования генераторов реализаций квазислучайных величин 83
Основные выводы 103
Глава 3. Сравнительный анализ подходов к оценке настоящей стоимости составного опциона 105
3.1. Исходные данные по инвестиционному проекту 105
3.2. Расчеты на основе предложенных подходов к оценке стоимостей реальных опционов 109
3.3. Расчеты на основе классических подходов к оценке стоимостей реальных опционов 127
Основные выводы 136
Заключение 138
Список литературы 141
- Исторические аспекты развития теории реальных опционов
- Модификация имитационного алгоритма расчета стоимости составного реального опциона
- Алгоритм расчета стоимости составных опционов с использованием модифицированной модели динамики процентной ставки
- Расчеты на основе предложенных подходов к оценке стоимостей реальных опционов
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В современных условиях ведение бизнеса тесно связано с построением инвестиционных проектов, которые описывают деятельность той или иной компании. Оценка будущего развития компании необходима для того, чтобы обосновать выгодность вложения средств. Для определения стоимости бизнеса можно воспользоваться доходным, сравнительным или затратным подходом, однако все они основываются на устойчивом развитии компании в будущем и напрямую не учитывают влияние внешней конъюнктуры на работу предприятия. Теоретические основы методов оценки реальных опционов во многом связаны с моделями рыночных опционов. Среди множества работ в данной области следует отметить труды Ф. Блэка, Дж. Э. Ингрсолла, Дж. К. Кокса, С. А. Росса, М. Рубинштейна, М. Скоулза.
Развитие теории применения и оценки стоимости реальных опционов представлено в работах таких авторов как Л. Арчембеулт, М. Бреннана, Дж. Кенсингер, П. Э. Клоеден, Н. X. Кулатилака, Д. Лаутьер, Ф. А. Лонгстафф, Р. Мак-Дональд, Дж. Паддок, Р. С. Пиндайк, Д. Сигел, Дж. Э. Смит, X. Т. Дж. Смит, С. Сёдаль, К. Сёренсен, Д. Сутивонг, Н. Такезава, Дж. П. Тейксеира, Л. Тригеоргис, П. Л. Фернандес, Дж. С. Халл. Среди отечественных авторов, занимающихся исследованиями в данной области, следует отметить работы А. В. Бухвалова, А. В. Воронцовского, М. А. Лимитовского.
Специфика и особенности условий исполнения инвестиционных проектов, а так же неповторимость самих опционов порождает существенные проблемы обоснования формул для определения и расчетов подобной оценки. Определенным направлением анализа и исследования реальных опционов может служить имитационное моделирование. В данной области следует отметить работы следующих авторов: С. А. Бониса, В. Л. Винстона, Дж. Имаи, Г. Кортазара, М. А. Ц. Пахеко, Дж. Урзуа, Э. С. Шварца. Формированию специальной технологии имитационного моделирования посвящены работы С. М. Ермакова, Д. Ф. Кузнецова, Ю-Д. Люу, И. М. Соболя, X. Фора, Дж. Холтона.
Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка экономико-математической модели оценки стоимости составных реальных опционов и обоснование имитационных алгоритмов для её анализа.
Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:
определить возможности оценки стоимости реальных опционов, возникающие при условии ограниченности исходной информации по анализируемым проектам;
провести анализ данных динамики ставки процента и других параметров;
разработать на базе пакета Microsoft Visual Basic for Applications алгоритмы имитационного моделирования, позволяющие осуществлять генерацию значений для точек квазислучайных последовательностей Холтона, Фора, Соболя для оценки стоимости составных реальных опционов;
проанализировать преимущества и недостатки использования генераторов квазислучайных и псевдослучайных последовательностей;
построить экономико-математическую модель настоящей стоимости составного реального опциона с учетом изменений в компонентах денежного потока;
выполнить экспериментальные расчеты стоимостей составных реальных опционов в реальном примере.
Объект исследования - встроенные реальные опционы инвестиционных проектов.
Предметом исследования являются экономико-математические модели реальных опционов.
Теоретической и методической основой исследования являются работы зарубежных и отечественных математиков-экономистов в области теории реальных опционов, теории вероятности, методологии оценки стоимости бизнеса, а также законодательная база, регулирующая оценочную деятельность. При проведении имитационного моделирования использовались исследования, посвященные проблемам генерации реализаций случайных величин, эконометрическому регрессионному анализу.
Эмпирические данные, использованные в исследовании. Для проведения экспериментальных расчетов и сравнительного анализа в рамках поставленных задач были использованы материалы инвестиционных проектов по туристическому бизнесу в Северо-Западном регионе РФ, данные Центрального Банка РФ, данные сети Интернет.
Научная новизна исследования заключается в разработке теоретических и методических основ построения экономико-математических моделей стоимости встроенных реальных опционов и их анализа в режиме имитации.
К числу наиболее значимых результатов исследования, обладающих научной новизной, можно отнести следующие:
сформулированы условия использования экономико-математической модели настоящей стоимости реальных опционов, основанной на уравнении геометрического броуновского движения;
разработан алгоритм проведения имитационных расчетов настоящей стоимости составного опциона по данной модели;
предложена функция пересчета стоимостей базовых активов для учета взаимосвязей между реальными опционами в одном инвестиционном проекте;
разработана экономико-математическая модель настоящей стоимости реального опциона с учетом динамики процентной ставки, изменяющейся стохастическим образом;
построен алгоритм расчета настоящей стоимости составного реального опциона на основе предложенной модели с учетом возможности исполнения реальных опционов в заданном промежутке времени;
показано влияние новых реальных опционов на настоящие стоимости реальных опционов, которые были учтены ранее.
Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что предложенные методы оценки стоимости реальных опционов могут быть использованы при анализе эффективности инвестиционных проектов в условиях неопределенности будущего развития конъюнктуры. Построенные алгоритмы могут быть применены для анализа инвестиционных проектов в различных секторах экономики.
Результаты исследования могут быть применены в учебном процессе при изучении таких дисциплин как «Инвестиционные риски и оценка бизнеса», «Математические методы финансовых и инвестиционных решений», «Теория рынка капитала», «Имитационное моделирование».
Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты по теме исследования докладывались на научно-практических конференциях молодых ученых-экономистов «Предпринимательство и Реформы в России» в 2004-2008 гг.
Публикации по теме исследования. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 2 - в изданиях, рекомендованных ВАК. Общий объем работ 3,5 п. л. (вклад автора 2,5 - п. л.).
Структура и логика работы
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.
Исторические аспекты развития теории реальных опционов
Отдельное внимание следует уделить истории развития теории реальных опционов. Как отмечали Р. Хайес и Д. Гарвин [54], в стандартном методе оценки эффективности инвестиционных проектов, например, методе дисконтирования компонент денежного потока не учитываются неопределённости будущего развития событий, что может привести к принятию неправильных решений, потере конкурентных преимуществ из-за неправильной оценки будущего. Как отмечал С. К. Майерс [104, стр. 15] ошибки в оценках возникали, в том числе, и из-за злоупотребления применением традиционного подхода к оценке инвестиционных проектов в случаях, когда это, некорректно из-за неопределённости развития будущих событий. В этих условиях опционный подход, оставаясь близким к традиционным методам, представляет собой, как отмечали Л. Тригеоргис и С. П. Мейсон «более корректный, экономически оправданный подход» к получению оценки с построением дерева решений, отражающего принятие или нет ряда ключевых решений при реализации инвестиционного проекта. [104, стр. 15].
Следует отметить ряд работ, которые не имеют прямого отношения к теории реальных опционов, но которые оказали существенный вклад в неё. Огромный вклад в развитие теории опционов в целом и теории реальных опционов в частности оказали работа Ф. Блэка и М. Скоулза [26], в которой впервые была предложена в достаточной степени адекватная непрерывная модель оценки настоящей стоимости рыночного опциона. Также необходимо отметить статью Дж. К. Кокса и С. А. Росса [39], в которой обосновывается оценка стоимости опциона на основе построения эквивалентного портфеля и работу Дж. К. Кокса, С. А. Росса, М. Рубинштейна [40], в которой рассматривается дискретная модель для оценки стоимости рыночного опциона.
В более ранних работах, посвященных теории реальных опционов, авторы ограничиваются рассмотрением только обособленных реальных опционов, то есть, по одному опциону в инвестиционном проекте. Здесь можно выделить несколько направлений исследования, каждое из которых соответствует исследованию определенного типа опциона. Реальные опционы на изменение масштабов рассматривается целым рядом авторов. Первыми работами в данной области можно назвать исследование Л. Тригеоргиса и С. П. Масона [105]; Р. С. Пиндайка [104, стр. 18], посвященные изменению масштабов деятельности. Также следует обратить внимание на работы Р. Мак-Дональда, Д. Сигела [83] и М. Бреннана и Э. С. Шварца [29], в которых проводятся оценки возможностей приостановки и возобновления деятельности компании по данному инвестиционному проекту или во всем бизнесе в целом.
В исследовании С. К. Майерса и С. Майда [87] рассматривается следующий вид реального опциона - на закрытие бизнеса и уход с рынка. В работе анализируются возможности использования модели американского опциона на продажу с ценой исполнения, равной цене продажи всех активов.
Реальный опцион на получение отсрочки рассматривался в работах Р. Мак-Дональда и Д. Сигела [84]; Дж. Паддока, Д. Сигела, Дж. Э. Смита [90]; X. Ямагучи, Н. Такесавы, У. Сумиты, Т. Азарми [112]; М.-К. Болиё, В. Р. Соджахина [24]; также следует отметить работу Дж. Э. Ингерсолла (мл.) и С. А. Росса [57], которые рассматривали выгоды от ожидания и последующего получения информации о стоимости базового актива. Опцион на переключение на другой вид деятельности или на другой способ организации производства рассматривается в статьях Л. М. Абадие и X. М. Чаморро [14], Дж. Кенсингера [62], Н. X. Кулатилаки [67], Н. X. Кулатилаки и Л. Тригеоргиса [70], В. Марграбэ [79]. В более широкой трактовке, предполагающей описание перехода системы из одного состояния в другое, применение данного инструмента можно увидеть, например, в работах М. Шеклетона и С. Сёдаля [96], С. Сёдаля [99].
Часть тех же авторов исследуют и реальные опционы на развитие и осуществление технологического скачка. В данном направлении следует отметить наиболее ранние работы С. К. Майерса [104, стр. 18], Р. Бреалея и С. К. Майерса [28], В.К.Кестера [63, 64], С. Майи [81], Л. Тригеоргиса и С. П. Масона [105], Л. Тригеоргиса [103], Р. С. Пиндайка [104, стр. 18].
В тоже время начинают появляться работы, в которых оценивается стоимость составного реального опциона. Здесь следует отметить исследование М. Бреннана и Э.С.Шварца [104, стр. 18], в котором описывается работа шахты, и предпринимается попытка совместить в одном проекте реальный опцион на временную приостановку, последующее возобновление деятельности, а так же реальный опцион на прекращение добычи на шахте с продажей всех активов. В работе анализировалось влияние исполнения или неисполнения отдельных опционов на весь проект в целом, но не проводился анализ взаимозависимости стоимостей реальных опционов. Лишь значительно позднее Л. Тригеоргис [106, 107] начал уделять больше внимания природе взаимосвязи между реальными опционами и показал, что настоящая стоимость составного реального опциона может отличаться от суммы настоящих стоимостей составляющих опционов, которые определены заранее при их обособленном рассмотрении в проекте. Последующее развитие данного направления можно увидеть у Н. X. Кулатилаки [68], Л. Тригеоргиса и X. Т. Дж. Смита [98], Г. Кортазара [36,37]. Параллельно стали развиваться специальные техники численного расчета стоимостей реальных опционов, поскольку выведенного аналитическим образом решения может не существовать в виду сложности рассматриваемой модели. Можно выделить два основных направления развития методологического аппарата. Первый подход предполагает проведение дискретной аппроксимации стохастического процесса и изменения стоимости базового актива напрямую. Такой подход близок к имитации методом Монте-Карло и разбиению временной оси до горизонта рассмотрения на равные интервалы времени с последующим расчетом показателей через фиксированные промежутки времени, то есть, на некоторой временной решетке.
Второй подход предполагает использование явных и неявных схем применения конечных разностей. В данном направлении можно отметить работы М. Бреннана и Э. С. Швартца [104, стр. 21], исследование С. Майда и Р. С. Пиндайка [77]. В более поздние года проводились различные обзоры, обобщения или, наоборот, уточнения данных методов. Здесь следует обратить внимание на работы Р. Геске и К. Шастри [51], Л. Тригеоргиса [104], Дж. С. Халла [104, стр. 21], X. Т. Дж. Смита и Л. Тригеоргиса [97, 98]. Реализацию техники прямого расчета для динамики стоимости базового актива можно увидеть, например, у В. Л. Винстона [ПО, 111].
Модификация имитационного алгоритма расчета стоимости составного реального опциона
Блок-схема поиска оптимального плана задачи расстановки инвестиционных проектов во времени с учетом применения реальных опционов
Данный алгоритм применим и при решении более сложных задач. Так можно рассматривать задачу распределения инвестиционных проектов во времени таким образом, чтобы иметь возможность профинансировать каждый проект и получить максимальную сумму денег на последний рассматриваемый период. Для решения задачи в такой постановке существует множество различных подходов.
Выбор наиболее подходящего плана реализации инвестиционных проектов зависит в том числе от наличия ограничений на целочисленность интенсивностей исполнения каждого из проектов и возможности исполнения проектов в кратном размере. Если сами инвестиционные проекты рассматривать не в детерминированной внешней среде, а с учетом факторов риска, то в проекты могут быть включены реальные опционы, цена которых и сама возможность исполнения зависит от времени начала каждого из проектов. Схематично алгоритм решения задачи такого типа можно представить следующим образом (см. рис. 2.3).
В предыдущем параграфе при описании алгоритма расчета настоящей стоимости реального опциона, который может быть исполнен в одном из периодов реализации инвестиционного проекта, было сделано допущение о 1 независимости начального значения цены базового актива от момента исполнения реального опциона. Более реальной выглядит ситуация, когда более позднее исполнение реального опциона приводит к изменению меньшего числа компонент денежного потока, что приведет к уменьшению начального значения стоимости базового актива.
Данное обстоятельство, в свою очередь означает, что для опциона, который ориентирован на развитие и расширение деятельности, вероятность его исполнения в каждый следующий момент при постоянных дополнительных инвестициях, К, будет все меньше. Напротив, реальный опцион, ориентированный на свертывание деятельности, имеет большую вероятность исполниться в более поздние моменты времени.
При модификации алгоритма имитации также учтем возможность выбора произвольного временного шага. Отметим, что на выбор единичного шага влияют два фактора: стремление приблизить дискретную модель к непрерывной и экономическая интерпретация параметров системы. С одной стороны, мы рассматриваем дискретное приближение непрерывной модели, поэтому чем меньше будет единичный временной интервал, тем ближе будет полученная оценка к оценке настоящей стоимости составного опциона, рассчитанной на основе непрерывной модели. С другой стороны, с экономической точки зрения, выбор временного интервала менее одного месяца нецелесообразен. Несмотря на ведение годовой бухгалтерской отчетности, многие показатели определяются ежемесячно. Например, ежемесячно производятся выплаты заработной платы работникам, осуществляется ежемесячная оплата аренды помещений, потребляемой электроэнергии и т. п. Поэтому во всех последующих расчетах в качестве временного шага будут выбираться именно месяц, А = у+г , хотя с технической точки зрения алгоритм позволяет выбирать произвольный временной шаг. Рассмотрим инвестиционный проект, который предполагается реализовать в промежуток времени с года /Q ПО S -ый год. Введем временную сетку, определяющую все моменты времени, в которых будут рассматриваться ключевые параметры системы. Поскольку единичный временной промежуток составляет А , то за все время осуществления инвестиционного проекта мы будем рассматривать rmax = (S - /Q + 1)/A + 1 узлов на временной решетке. Схематично распределение узлов временной решетки можно изобразить следующим образом (Рис. 2.4). На каждый год реализации проекта будет приходиться 1/А существенных моментов времени. Дополнительно выделяется ещё один узел временной решетки в самом начале инвестиционного проекта. Таким образом, мы будем рассматривать три параметра, отвечающих за время. Во-первых, мы будем отсчитывать периоды инвестиционного проекта длиной в год. Как отмечалось ранее, первый период имеет номер t$ , а последний . Во-вторых, мы будем выделять узлы временной решетки, которые будут иметь номера от первого до т max .
Алгоритм расчета стоимости составных опционов с использованием модифицированной модели динамики процентной ставки
Если настоящие стоимости реальных опционов независимы, то стоимость каждого отдельного реального опциона, С опц ( 0 ) можно найти из соотношений (2.32)-(2.44). Стоимость же составного реального опциона будет равна сумме стоимостей реальных опционов его составляющих. В случае, если предполагается наличие взаимозависимостей между стоимостями реальных опционов, то настоящая стоимость составного реального опциона может быть не равна сумме настоящих стоимостей опционов.
Рассмотрим инвестиционный проект, в котором возможно осуществление К реальных опционов. Основная цель остается прежней: необходимо, используя имитацию, найти настоящую стоимость составного реального опциона, С сост . В целом, разрабатываемые алгоритмы имитации имеют схожую структуру. В новом алгоритме моделирование будет осуществляться по фиксированной сетке времени, которая уже была описана ранее в модификации к предыдущему алгоритму. Единичный временной шаг так же выбирается в размере одного месяца, A = Wl . Во втором подходе к получению оценки настоящей стоимости составного реального опциона также предполагается учитывать взаимосвязь опционов на уровне пересчета компонент денежного потока. Именно на этом уровне и возникают основные различия в подходах. Схематично второй имитационный алгоритм представлен на рис. 2.6. Отметим, что через і7 /(т) была обозначена сумма приведенных к последнему моменту времени изменений в компонентах денежного потока для А:-ого опциона в испытании /. Первый этап алгоритма является подготовительным: в нем происходит построение денежного потока инвестиционного проекта. При этом, компоненты денежного потока должны отражать реализацию инвестиционного проекта в базовом варианте, без учета альтернативных вариантов реализации согласно условиям реальных опционов. На втором этапе рассматриваемого алгоритма следует выделить в инвестиционном проекте все реальные опционы, которые потенциально могут быть исполнены, вне зависимости от того, выгодно ли их исполнение или нет. Вид и параметры реальных опционов полностью определяются особенностями инвестиционного проекта, свойствами товаров и имущества, с которыми работает предприниматель, предполагаемыми действиями контрагентов и общей ситуацией на рынке и в экономике страны. На данном этапе могут быть также определены значения коэффициентов стохастического уравнения динамики для ставки процента. На третьем этапе имитационного алгоритма расчета стоимости составного реального опциона выбираются параметры проведения имитации: количество испытаний, величина временного шага, точность проводимых расчетов и др. Следующий этап имитационного алгоритма посвящен соотнесению данных об инвестиционном проекте с принятыми на предыдущем этапе условиями моделирования. В ходе реализации алгоритма необходимо распределить все доходы и расходы, связанные с данным инвестиционным проектом, по единичным промежуткам времени. Для этого можно воспользоваться соотношениями (2.21)-(2.22) и данными, полученными на первом этапе, или исходными сведениями по инвестиционному проекту. На пятом этапе имитационного алгоритма производится построение всех возможных комбинаций номеров реальных опционов. Проверка возможности исполнения каждой отдельной комбинации будет проводится в рамках цикла, охватывающего этапы 7-9 и отмеченного на рис. 2.6 пунктирной линией. Шестой этап имитационного алгоритма расчета настоящей стоимости реального опциона предполагает использование генераторов реализаций случайных величин. В настоящем исследовании для этого будут использованы либо генераторы, на основе построения квазислучайных последовательностей, либо объединения квази- и псевдослучайных генераторов. Уделим особое внимание принципам учета взаимосвязей реальных опционов на этапах 7-9, поскольку подготовительные вычисления аналогичны тем, что были сделаны в рамках первого алгоритма. На седьмом этапе, в произвольном испытании с номером / дискретная аппроксимация для изменения величины процентной ставки может быть отражена с помощью следующего рекуррентного соотношения [38; 114, стр. 5]: где гт і — значение годовой ставки процента в узле временной решетки с номером т в испытании / ; wT / - реализация стандартной нормальной случайной величины для т -ого момента времени в / -ом испытании. На восьмом этапе необходимо произвести расчет величин Н / (г) для каждого реального опциона в рассматриваемом инвестиционном проекте и с учетом известной динамики процентной ставки. После того, как мы зададим динамику процентной ставки и определим набор из коэффициентов дисконтирования, на девятом этапе рассматриваемого алгоритма следует определить множество комбинаций опционов 0/, исполнение которых возможно. Сам метод отсеивания неисполнимых последовательностей опционов аналогичен тому, что был описан для первого алгоритма. В каждой комбинации опционы рассматриваются в обратном порядке, начиная с того, который согласно данной комбинации должен исполнится последним. Сначала мы «накладываем» эффект от исполнения всех опционов комбинации, а затем последовательно снимаем эффект от исполнения очередного реального опциона, определяем момент его исполнения и его настоящую стоимость и, наконец, восстанавливаем воздействие рассматриваемого опциона на компоненты денежного потока.
Расчеты на основе предложенных подходов к оценке стоимостей реальных опционов
Первый алгоритм имитации по расчету стоимости реального опциона, основанный на данной модели допускает возможность исполнения реального опциона в пределах заданного промежутка времени. Если в имитации рассматривается несколько реальных опционов, то зависимость между их стоимостями описывается не через корреляции в изменениях цен базовых активов, а через установленные функции пересчета. При описании нескольких реальных опционов в одном инвестиционном проекте изменение их стоимостей задается набором стохастических уравнений геометрического броуновско движения. В настоящем исследовании мы не рассматриваем их как единую систему. Наконец, полагается, что начальное значение стоимости базового актива зависит от момента исполнения соотвествующего реального опциона.
В предложенной модели оценки стоимости реального опциона ставка процента полагается изменяющейся во времени согласно уравнению Орнштейна-Уленбека. В модели рассматривается единственный реальный опцион в инвестиционном проекте, который может быть исполнен в заданный момент времени. Изменения в денежном потоке, вызванные исполнением реального опциона приводятся к последнему моменту реализации инвестиционного проекта, чтобы определить выгодность исполнения реального опциона. Для операций наращивания и дисконтирования используются специальные коэффициенты, учитывающие непостоянство ставки процента.
Во втором имитационном алгоритме по расчету стоимости составного реального опциона, построенном на основе предложенной модели, в одном инвестиционном проекте может быть рассмотрено несколько реальных опционов. Для каждого реального опциона предполагается возможность исполнения как в единственный момент времени, так и на заданном промежутке. При определении стоимости нескольких реальных опционов в проекте рассматривается динамика единой ставки процента. Взаимосвязь стоимостей опционов учитывается через пересчет условий исполнения опционов.
Помимо особенностей модели, которые непосредственно связаны с математической составляющей, существуют предпосылки использования реальных в целом, в не зависимости от выбранной модели или способа имитации.
Основным условием рассмотрения реальных опционов является наличие неопределенности в развитии будущей конъюктуры на том или ином рынке, на котором осуществляется деятельности рассматриваемой компании. Если будущее развитие детерминировано, и ничего не может измениться, то реальные опционы теряются всякий смысл, поскольку основой опциона является возможность выбора руководством компании своих дальнейших действий в сложившейся ситуации.
Сам инвестиционный проект или бизнес должны обладать специфическими свойствами. Как уже было сказано выше, оборудование и прочие активы компании должны быть универсальными, чтобы их можно было продать или заменить при реализации реального опциона, когда использовать их по прямому назначению будет не целесообразно. Аналогичным образом, персонал компании должен быть способным перепрофилироваться на иные виды деятельности. Руководство компания должно обладать определенными свободами в принятии решений в ключевых ситуациях, что исполнить реальный опцион, поэтому соответствующие положения должны быть предусмотрены в договорах. Пассивы предприятия так же должны обладать определенной гибкостью, чтобы было возможно их перестроение при реализации того или иного реального опциона.
Единственным нераскрытым моментом в описанных выше алгоритмах осталась проблема генерации реализаций случайных величин. Для получения реализаций мы будем использовать генератор реализаций равномерно распределенной на промежутке [ОД] случайной величины и обратные функции распределения, чтобы получить реализации случайной величины с заданным распределением.
На практике компьютерные мощности не позволяют имитировать «поведение» действительно случайных величин. Поэтому для генерации реализаций равномерно распределенной случайной величины следует воспользоваться пседво- и квазислучайными последовательностями из реализаций.
Под квазислучайными последовательностями будем понимать последовательности реализаций квазислучайных величин, которые сгенерированы с помощью детерминированных методов. При прочих равных условиях генераторы, основанные на построении квазислучайных последовательностей, будут выдавать одну и ту же последовательность из реализаций случайной величины от одной имитации к другой. В целом же, кваслучайная последовательность будет имитировать реализации случайной величины.
Под псевдослучайными последовательностями же будем понимать последовательности из реализации псевдослучайных величин. Такие реализации также образуются на основе детерминированных формул, для их создания используется и внешний источник энтропии. Таким источником могут служить, например, счётчик тактов микропроцессора, шум от звуковой карты, текущее время на встроенных часах, размер жёсткого диска, размер оставшегося свободного места на жёстком диске и др. при прочих равных условиях псевдослучайный генератор будет выдавать различные последовательности значений сгенерированных реализаций анализируемой случайной величины.
Чтобы выбрать генератор случайных чисел для проведения имитаций мы рассмотрим ключевые преимущества и недостатки генераторов, построенных на основе квазислучайных последовательностей Холтона, Фора и Соболя в сравнении между собой и с псевдослучайным генератором из приложения Microsoft Excel пакета Microsoft Office.
Алгоритм построения квазислучайных последовательностей Холтона, Фора и Соболя произвольного размера представлены в Приложении 3. Среди ключевых проблем, по которым можно проводить сравнение имеет смысл выделить проблему «коррелируемости координат», повтор значений для разных координат для первых точек последовательности, близость характеристик сгенерированных выборок к их теоретическим значениям, быстрота покрытия интервала [0,1] и скорость расчетов.
