Содержание к диссертации
Введение
Глава I Прямые и обратные задачи теплообмена 9
1.1. Математическое моделирование тепловых процессов в подвижных сопряжениях., 9
1.2. Деление задач теплообмена на прямые и обратные. Классификация обратных задач . 18
1.3. Задача восстановления мощности трения как обратная задача теплопроводности. , 21-
1.4. Методы решения обратных задач 24
Выводы к главе I. , 31
Глава II. Тепловая диагностика трения в цилиндрических сопряжениях 32
2.1. Определение нестационарного температурного поля в подшипнике: скольжения с учетом зависимости теплофизических свойств от температуры 32
2.2. Алгоритм решения граничной обратной задачи методом итерационной регуляризации 44
2.3. Устойчивость алгоритма восстановления функции интенсивности тепловыделения к погрешностям в температурных данных 49
Выводы к главе II 58
Глава III. Моделирование теплового процесса и восстановление по замерам температурьт функции тепловы деленияв шаровых опорах 59
3.1. Постановка задачи определения нестационарного температурного поля в шаровой опоре 59
3.2. Численный алгоритм решения прямой задачи. 63
3.3. Алгоритм определения функции интенсивности тепловыделения методом итерационной регуляризации 68
3.4. Решение модельной граничной обратной задачи. 72
Выводы к главе III 84
Глава IV. Тепловая диагностика трения при натурных испытаниях узлов трения . 85
4.1. Квазитрехмерная математическая тепловая модель для подшипника скольжения. 85
4.2. Определение функций тепловыделения с использованием квазитрехмерной математической модели . 91
4.3. Экспериментальная проверка эффективности восстановления момента силы трения в подшипнике скольжения , 102
4.4. Восстановление мощности трения в шаровой опоре автомобиля 107
Выводы к главе IV. 112
Заключение 113
Литература
- Деление задач теплообмена на прямые и обратные. Классификация обратных задач
- Алгоритм решения граничной обратной задачи методом итерационной регуляризации
- Алгоритм определения функции интенсивности тепловыделения методом итерационной регуляризации
- Определение функций тепловыделения с использованием квазитрехмерной математической модели
Введение к работе
Практика эксплуатации различного рода машин и механизмов в суровых климатических условиях Крайнего Севера показывает, что их работоспособность значительно снижается под воздействием низких температур и резких температурных перепадов. При этом значительная часть неисправностей техники связана с низкой надежностью триботехнических систем, в том числе опор скольжения. Анализ надежности трибосопряжений показывает, что основной причиной в данном случае является резкое повышение вязкости, а зачастую и застывание применяемых смазочных масел и спецжидкостей, в результате чего значительно повышается мощность трения, износ сопрягаемых деталей. Все это приводит к преждевременному выходу из строя машин и механизмов.
В Институте неметаллических материалов СО РАН ведутся работы по реализации комплексного подхода по созданию триботехнических систем, работоспособных в условиях холодного климата, включающего такие наиболее важные аспекты как материаловедческий, конструкторский, технологический, расчетный и испытательный [107-111,118-120].
Проектирование узлов трения, обеспечивающее их работоспособность и надежность, во многом определяется научно обоснованным выбором триботехнических параметров пар трения..Обоснованный выбор триботехнических параметров и достоверное прогнозирование их изменения при различных эксплуатационных режимах наиболее эффективно реализуются при рациональном сочетании теоретических и экспериментальных работ. Математическое моделирование процессов трения позволяет решить круг задач, связанных с выбором наиболее работоспособного материала, с прогнозированием долговечности узлов трения, с изучением механизмов и причин возникновения критических состояний, с выбором рациональных конструктивных решений и параметров, обеспечивающих работоспособность в широком диапазоне режимов. Значительный вклад в этой области внесли отечественные
4 ученые: КрагельскийИ.В. [62,63], Чичинадзе А.В. [112-114], Буше'Н.А. [37,113], Белый В.А.[27], Ворович И.И. [41], Александров В.М. [4], Евдокимов Ю.А. [48], Коровчинский М.В.[57], Гаркунов Д.Н. [42], Коваленко Е.В. [3], Горячева И.Г.[46], Балакин В.А. [26,117], Михин Н.М.[70], Костец-кий Б.И. [59-61],,Черский ИЛ. [30,107], Богатин О.Б. [30-ЗЗЦ18-120], Мыш-кин Н.К. [73], Петроковец М.И. [73], Богданович П.Н.[34] и другие.
Одним из наиболее важных триботехнических параметров в опорах скольжения является мощность трения, характеризующая затраты механической энергии на трение. Сравнительным анализом значений мощности трения возможно определение наиболее работоспособных, материалов для пар трения, подбор наиболее оптимальных конструктивных параметров для обеспечения их надежной работы. В то же время непосредственный замер мощности трения весьма затруднен. Это связано со сложностью, а иногда невозможностью размещения громоздких торсионных приборов замера мощности трения в стендовых установках. Данная проблема еще более усугубляется при необходимости определения мощности трения в эксплуатируемой технике.
Задача восстановления мощности трения относится к классу так называемых обратных задач теплообмена. Выданной задаче необходимо по следствию, т.е. по температурным данным восстановить причинную характеристику - мощность трения. Особенностью обратных задач является их некорректность, т.е. неустойчивость к малым погрешностям в исходных данных, что требует привлечения специальных методов решения.
Отечественные ученые: Тихонов А.Н.[104,105], Лавреньтьев М.М. [64], Иванов В.К.[51], Марчук Г.И.[66], Романов В.Г.[81], Алифанов О.М. [5-22], Коздоба Л.А. [54], Клибанов М.В.[51-53], Гончарский А.В. [45], Тана-наВ.П.[102], Бухгейм А.Л.[36], Прилепко А.И. [79], Аниконов Ю.Е.[23], Васильев Ф.П. [40], Темкин А.Г. [103], Мацевитый Ю.М. [67,68], Самарский А.А., Вабищевич П.Н. [84,85,16,38], и др. внесли большой вклад в развитие методов решения обратных задачи и их практическое применение в та-
5 ких областях как авиационная и ракетно-космическая,. в энергетике, металлургии, геофизике, материаловедении и т.д. В нашей Республике Саха (Якутия) в задачах фильтрации, течения грунтовых вод, идентификации теплофи-зических характеристик грунта, добычи, транспортировки нефти и газа применяют методы решения обратных задач Васильев В.И. [39], Бондарев Э.А. [25], Павлов А.Р. [74], Пермяков П.П.[77,78], Павлов Н.Н.. [75], Тихонова О.А.[106]. В то же время применение обратных задач в трибологии пока весьма ограничено. Имеются единицы.работ по трибологии, вкоторых применяются методы обратных задач. Например, в работе [29] функция интенсивности линейного изнашивания в подшипниках скольжения идентифицируется по замерам смещения вала. Также стоит отметить, что сдерживающим фактором в практическом применении обратных задач до конца XX века было ограничение вычислительных возможностей компьютерной техники. В настоящее же время современные персональные ЭВМ позволяют решать обратные задачи в многомерных постановках, что влечет за собой более широкое практическое применение обратных задач.
Разработанный и теоретически обоснованный в Институте неметаллических материалов СО РАН метод тепловой диагностики трения позволяет идентифицировать мощность трения по температурным данным [87-100,118-120,123-126]. Данный метод основан на допущении, согласно которому практически вся энергия, затрачиваемая на трение, трансформируется в тепло (от 93% для мягких алюминиевых сплавов, практически до 100% для закаленной стали) [60,61]. Суть метода заключается в том, что при проведении испытаний узлов трения на стендовой установке или непосредственно на эксплуатируемой технике, на известном расстоянии от зоны трения устанавливаются термодатчики (термопары), регистрирующие температуру в окрестности зоны трения. Далее решением граничной обратной задачи теплообмена производится восстановление фрикционного тепловыделения и соответственно значения мощности трения. А так как производить замер температуры в узлах трения гораздо проще, чем устанавливать в них громоздкие механиче- б ские торсионные приборы непосредственного замера мощности трения, то получение информации о затратах на трение становится более простой задачей. Таким образом, метод тепловой диагностики узлов трения может широко применяться при проектировании узлов трения, при оценке технического состояния узлов трения машин и механизмов, а также для повышения информативности при испытаниях узлов трения, как на стендовых испытательных установках, так и на эксплуатируемой технике.
Несмотря на экспериментальное подтверждение, для успешного использования метода тепловой диагностики трения, с целью диагностики технического состояния узлов трения машин и механизмов, требуется его развитие на случай зависимости теплофизических свойств материалов от температуры. Это, обусловлено, в первую очередь, широким диапазоном температур эксплуатации полимерных узлов трения от -195 до 230 С, в котором тепло-физические свойства материалов значительно: изменяются. Таким образом, актуальной является проблема разработки нелинейного метода тепловой диагностики трения, учитывающего в математических моделях зависимость теплофизических свойств от температуры.
Кроме того, существующие стенды для натурных испытаний сферических сопряжений (шаровой опоры) не позволяют получать данные об изменении мощности трения в процессе его эксплуатации, что существенно снижает информативность проведения испытаний. Поэтому актуальной является разработка метода тепловой диагностики трения для одних из наиболее распространенных в технике сопряжений - сферических.
В данной работе рассматривается развитие метода тепловой диагностики трения на случай нелинейной постановки задачи для цилиндрических сопряжений, а также впервые поставлена и решена задача тепловой диагностики трения для сферических сопряжений.
Как будет показано ниже, нелинейность математической модели существенно повышает точность восстановления функции мощности трения. Раз- работанные модели в цилиндрических и сферических координатах и разработанное на их основе программное обеспечение позволяет выполнять расчеты восстановления мощности трения для различных узлов трения. В частности, в работе приводятся расчеты мощности трения для подшипника скольжения и шаровой опоры автомобиля. В работе рассматриваются опоры скольжения "сухого" трения. Однако разработанный метод тепловой диагностики трения может применяться для восстановления мощности трения и при граничном трении.
Цель работы. Разработка численных алгоритмов решения нелинейных прямых и граничных обратных задач теплообмена в цилиндрических и сферических сопряжениях для,восстановления функции фрикционного тепловыделения и соответственно мощности трения по температурным данным.
Для достижения цели поставлены следующие задачи:
Разработка эффективного алгоритма решения граничной обратной задачи по восстановлению мощности фрикционного тепловыделения и соответственно момента силы трения в цилиндрических сопряжениях по температурным данным с учетом зависимости теплофизических свойств от температуры, его реализация в виде программы для проверки эффективности нелинейной тепловой диагностики трения;
Математическое моделирование теплового процесса и разработка алгоритма восстановления мощности фрикционного тепловыделения в сферических сопряжениях по температурным данным и его численная реализация для проведения вычислительных и натурных экспериментов;
Экспериментальная проверка эффективности нелинейной тепловой диагностики трения в цилиндрических сопряжениях и восстановление мощности фрикционного тепловыделения в шаровой опоре автомобиля с помощью разработанного метода нелинейной тепловой диагностики трения в сферических сопряжениях.
Работа выполнена в рамках научно-исследовательской темы 2.3.3. «Разработка методов расчета триботехнических параметров для систем опор
8 скольжения из полимерных композиционных материалов», 2002-2004 гг., № гос. регистрации 01.200.200045 и при финансовой поддержке гранта Президента РС(Я) для молодых ученых и специалистов на 2004 г.
Работа состоит из введения, четырех глав и заключения, изложена на 127 страницах, содержит 28 рисунков и списка использованной литературы, включающего 126 наименований.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [55,56,93,94,95,97,98,125].
Деление задач теплообмена на прямые и обратные. Классификация обратных задач
Рассматриваемые в данной работе задачи восстановления мощности трения в различных опорах скольжения по замерам температуры относятся к классу граничных обратных задач теплопроводности. Сформулируем общую математическую постановку задачи идентификации мощности трения.
Пусть внутри каждой области (рис. 1.1), кроме области, соответствующей базовому телу, в окрестности зоны контакта расположены незамкнутые поверхности Д(( = 1,...,и-1). Причем поверхности j?Q(. охватывают поверхность Д. На поверхности Д- заданы замеры температур Т\Ц.=А (1.5)
Граничные условия на неконтактирующих частях поверхностей дО.. (1.2) и начальное распределение (1.4) известны, но не известны удельные интенсивности тепловыделения Qp,p = 1,...,«, в зонах контакта. Обратная задача состоит в определении во всех точках Гр,/) = 1,...,ntфункций Qp и соответственно затрат механической энергии на трение, зависящих от координат и времени, зная дополнительную информацию (1.5).
После этого определение температурного поля в области будет соответствовать прямой задаче теплопроводности. Таким образом, решая обратную задачу, получаем также распределение температуры в системе без замера мощности трения. На это следует также обратить внимание, поскольку и в этом случае получаем повышение информативности. По замерам температуры в ограниченном количестве точек получаем распределение температуры во всей системе.
Кроме того, обычно при расчетах температурного поля в трущихся телах, как упоминалось выше, источники тепла определяются по замерам об щей затраты механической энергии на трение. При этом источники тепла почти всегда полагают распределенными равномерно по площади контакта в силу неопределенности изменения напряжений и коэффициента трения по зоне трения. Предлагаемый в работе метод позволит определить неравномерное распределение затрат на трение по зоне трения и соответствующее температурное поле, наиболее точно описывающее реальное.
С точки зрения причинно-следственных связей интенсивности тепловыделения служат причиной получаемого. температурного распределения. Прямая задача состоит в определении следствия (температуры) по известным причинам (интенсивностям тепловыделения). В отличие от прямой, при решении обратной задачи теплопроводности по следствиям определяется причина. С этой точки зрения восстановление. затрат на трение по температурным данным относится к обратным задачам.
Итак, в прямой задаче по неизвестным причинам находим следствия, а в обратной по следствиям находим причину.
В прямой задаче теплопроводности заданными являются: уравнение, описывающее процесс теплопроводности в виде дифференциального уравнения в частных производных второго порядка; уравнения для краевых (граничных и начального) условий. В обратной задаче задана форма математической модели, заданы следствия - экспериментальное поле температуры, ищем причину - тепловыделение в зонах контакта.
Важным этапом при решении обратной задачи является разработка эффективных алгоритмов решения прямой задачи. Условие неидеального теплового контакта (1.3), даже в случае тел простой формы, затрудняет получение точного аналитического решения. Численное решение трехмерной задачи сопряжено с достаточно большими затратами машинного времени, которые увеличиваются при решении обратных задач. Поэтому всегда ищутся пути упрощения модели. Используя конструктивные особенности узла, различия теплофизических свойств материалов, условия контактирования и т.п., понижают размерность задачи, модернизируют граничные условия. Введение дополнительных допущений позволяет представить условие неидеального теплового контакта в удобном виде. Это будет видно ниже при рассмотрении обратных граничных задач для конкретных узлов трения, а именно, для подшипников скольжения и шаровых опор.
Кроме того, при практической реализации метода нереально осуществить замеры температуры в большом количестве точек для аппроксимации распределения температуры на поверхности. Используя особенности теплообмена в узлах трения необходимо упрощение тепловых моделей.
Алгоритм решения граничной обратной задачи методом итерационной регуляризации
Граничная обратная задача восстановления момента силы трения формулируется следующим образом; Требуется определить функцию Q(t) и момент силы трения M(t), связанные формулой M(i)-Q(t)rj/V, из системы уравнений (2.1) - (2.9), с граничными и начальными условиями при известной температурной информации в точках втулки: 7(Я, .,О = /( ?,,О, r2 R r2 0 pj p0 / = 1,...,л. Рассмотрим экстремальную постановку задачи. В качестве меры уклонения рассчитанных температур T{R,q)j,f) от измеренныхД О выберем среднеквадратичную невязку 4Є( )] = \[T(R, Pj,t)- f{ PjJ)\ dt. (2.24)
Тогда обратная граничная задача формулируется следующим образом. Требуется минимизировать функционал (2.24) при ограничениях в виде системы уравнений (2.1)-(2.9). Функция Q{i) служит управлением.
Отличительной особенностью данной задачи является -,. наличие нетрадиционного граничного условия в зоне трения, которое вносит определенные трудности при построении алгоритма решения обратной задачи.
Центральный вопрос градиентной минимизации заключается в определении градиента функционала невязки (2.24), т.е. в нахождении первой производной Фреше [71]. Функция / (f) называется градиентом функционала (2.24) в момент времени /в точке Q(J), если приращение функционала можно представить в виде 4Q+&Q)-J(Q)= р (/)ДЄ( У +Wfl46]): с2-25) о Эффективным методом определения градиента является использование сопряженной краевой задачи [6,10,14,], вывод которой приводится ниже.
Применяя основную лемму вариационного исчисления для выполнения условия стационарности (2.25), и приравнивая нулю каждую из групп слагаемых при различных вариациях, получим систему уравнений относительно множителей Лагранжа. Исключив из этой системы множители t], получим сопряженную краевую задачу для определения функций
Для определения градиента функционала невязки при известной Q(t) необходимо решить две краевые задачи: прямую и сопряженную. Решением прямой задачи определяется нестационарное температурное поле в подшипнике скольжения. Используя полученное распределение температуры T(rrq ,t), решается сопряженная задача и определяется градиент функционала, что позволяет восстанавливать момент силы трения в подшипнике скольжения одним из градиентных методов минимизации функционала. Эффективность использования градиентных методов при решении различных обратных задач показана в работах [6,10,14,]: Таким образом, алгоритм восстановления интенсивности фрикционного тепловыделения и соответственно мощности трения с учетом зависимости теплофизических характеристик от температуры можно считать построенным.
Метод итерационной регуляризации, используемый при решении граничной обратной задачи, теоретически обоснован и изучен достаточно полно в применении к линейным некорректным задачам [14,16,85,86]. Предлагаемый алгоритм для решения нелинейной задачи восстановления момента силы трения в подшипнике скольжения построен формально по той же схеме, что и для линейной задачи. Исследуем устойчивость получаемого решения к погрешностям в температурных данных на модельной задаче.
Полагая интенсивность тепловыделения в зоне фрикционного контакта неизвестной, функция Q(t) восстанавливалась, используя температурные данные T(Rt(pj,t) = f{ Pj,t)y 0 pj (р$у j., — lv„,n, полученные из решения прямой задачи при заданной модельной мощности Q{t):.. Функция Q{t) при различных расчетах задавалась различными способами, графики которых приведены в соответствующих рисунках.
При решении обратной задачи по восстановлению тепловыделения по температурным данным на каждой итерации краевые задачи (прямая, сопряженная и для приращения температуры) решались методом конечных разностей. Температурные данные задавались при #=0,0136 м, 0 pQ в узлах сетки. Результаты расчетов, с использованием различного количества точек задания температуры показали, что для качественного восстановления функции тепловыделения достаточно температурной информации задаваемой в одной точке по оси приложения нагрузки ( р = 0). Далее все расчеты проводились с использованием температуры в одной точке.
Алгоритм определения функции интенсивности тепловыделения методом итерационной регуляризации
При известной функции интенсивности тепловыделения Q( p, і) данная система (ЗЛ)-(3.14) представляет собой прямую нестационарную задачу определения распределения температуры в шаровой опоре. Предположим, что функция Q( p, t) неизвестна. Для ее определения необходимо задание дополнительных данных. Пусть известны замеры температуры по окружности при фиксированном радиусе R во внутренних точках вкладыша, в окрестности зоны трения: T(R,(p,t) = f( pj) (3.15)
Тогда граничная обратная задача формулируется следующим образом: Требуется определить функцию Q( p,t) и распределение температуры ДУ,7,7), удовлетворяющее условиям (ЗЛ) - (3.14), и заданному дополнительному условию (3.15).
Задача решается методом итерационной регуляризации [14]. Рассмотрим экстремальную постановку задачи. В качестве меры уклонения рассчитанных температур T(R, p, t), от измеренных Д7, t) выберем среднеквадратичную невязку:: AQ( P t))= lp(R, p,t)-f{ p,t)]2d pdt (3.16) 0Ф3
Тогда, обратная граничная задача формулируется следующим образом. Требуется минимизировать функционал (3.16) на решениях системы уравнений (ЗЛ)-(3,14). Функция Q((p,t) служит управлением. Таким образом, задача состоит в том, чтобы обеспечить близость расчетных и измеренных температур путем управления функцией интенсивности тепловыделения Q( p,t).
Минимизацию невязки среднеквадратичного функционала (3.16) будем проводить одним из градиентных методов. Для отыскания градиента функ ционала невязки, приравнивая нулю полную вариацию функционала невязки, получена сопряженная краевая задача:
Эффективность применяемого метода итерационной регуляризации для восстановления граничных условий в трущихся цилиндрических сопряжениях показана нами в постановке, при которой искомая функция интенсивности. тепловыделения зависела только от временной переменной. В рассматриваемой задаче для шаровой.опоры восстанавливаемая функция удельной интенсивности тепловыделения зависит как от временной, так и от пространственной угловой переменной. При этом точность восстановления функции интенсивности тепловыделения будет зависеть от величины шага дискретизации по угловой координате. Существенное значение будет иметь «обнуление» значений сопряженной переменной в конце временного интервала.
Исследуем эффективность восстановления функции интенсивности тепловыделения и соответственно удельной мощности трения по каждой переменной.
Вычислительные эксперименты проводились следующим образом: - Задавалась модельная функция интенсивности тепловыделения Q{(p,t). - Решением прямой задачи определялась динамика температурного поля; - Значения температуры при фиксированном радиусе R в окрестности зоны трения брались в качестве точных «экспериментальных» данных, которых будем называть модельными; - Функция Q( p,t) считалась неизвестной и восстанавливалась предлагаемым алгоритмом решения обратной задачи.
Вид функции Q( p,і) выбирался; из соображения схожести на реальное распределение удельной мощности трения в шаровой опоре. Известно, что удельная мощность трения на элементарной площадке контакта равна M=fpv, где/-коэффициент трения, р — контактное давление, v - скорость скольжения. В случае, когда коэффициент трения по площади контакта близок к постоянной, распределение удельной мощности трения определяется зависимостью контактного давления. Известно также, что распределение контактного давления по угловой координате в сферических сопряжениях достаточно хорошо описывается функцией косинуса, с максимумом по оси приложения нагрузки; По временной переменной изменение контактного давления определяется эксплуатационными условиями.
Расчеты проводились при теплофизических характеристиках близких, соответствующих реальным материалам, применяемых в шаровых опорах автомобилей и имеющих следующий вид: Геометрические размеры также соответствовали размерам шаровой опоры автомобиля ВАЗ-2106: Л, =16, Яг=\9, /?4=22MM.; Ф! =12,Ф2 =42,Ф3= 48 град.
Расчетная сетка по углу состояла из 60 узлов с равномерным шагом в 3 град., сетка по радиусу состояла из 34 узлов с неравномерным шагом: /?! =1, h2 =0,5 мм., с сгущением в окрестности зоны трения, сетка по времени выбирался равномерный шаг в 1 секунду. Таким образом, пространственно-временная сетка для счета на 20 минут временного, интервала состояла из 2448000 узлов, при этом просчитывалась 5 лишних временных шагов, чтоб ослабить влияние обнуления решения сопряженной задачи на конце временного интервала.
На рис.3.5 графически изображена модельная функция интенсивности тепловыделения Q((p,t). Функция Q( p,t), восстанавливалась предлагаемым алгоритмом решением граничной обратной задачи. Алгоритм был реализован в среде Delpi 8 на ПЭВМ с процессором Pentium IV с тактовой частотой 3 ГГц. Затраты машинного времени на восстановление функции составили от 10 до 60 минут в зависимости от числа итераций, необходимого для достижения заданной точности. Количество итераций составляло от 50 до 300.
Общий вид восстановленной функции Q( p,t) представлен нарис.3;6, из которого видно, что отклонения от задаваемой функции наиболее заметны, как и ожидалось, в конце временного интервала. Подобное отклонение обусловлено «обнулением» решения сопряженной краевой задачи при P=tm. Точность восстановления функции Q(ty,t) более детально представлена на рис.3.7 и рис.3.8. Как видно из рис.3.7 восстановленные зависимости функции мощности тепловыделения от. времени имеют наибольшие отклонения от точных значений не только в конце временного интервала, но ив точках разрыва производной. Поскольку модельная функция мощности тепловыделения по угловой переменной не имеет разрывов производной, то и точность восстановления функции по этой переменной выше.
Определение функций тепловыделения с использованием квазитрехмерной математической модели
Для определения функции тепловыделения и соответственно мощности трения в опоре скольжения применим метод итерационной регуляризации. Рассмотрим подшипник скольжения (рис.4.1), для которого предложена МТМ на основе суперпозиции разноразмерных температурных полей. Аналогичные математические модели используются в работах [91,109].
Пусть во втулке подшипника скольжения при фиксированном радиусе R имеются замеренные температурные данные по окружности, в точках с угловыми координатами = \,М : T(R, pi}t)=: f(9i,t) (4.10)
Обратная задача восстановления функции тепловыделения и соответственно момента силы трения в подшипнике скольжения состоит в определении функции интенсивности тепловыделения Q(t) и функции мощности трения М(0 связанных по формуле M(t) = Q(t)RV, по известной температурной информации из условия минимума функционала невязки Лб(03 = \ Хм. t [T(R, %, t) - f( pt, О]2 dt (4-. 11) на решениях системы уравнений (1.1)-(1.9).
Для решения поставленной обратной задачи итерационным методом необходимо определить градиент функционала невязки (4.11), т.е. найти производную Фреше J1 [Q(t)], исходя из выражения: J{Q + Д0 - J(Q) = f J [Q{№Q№ + o(j AQ ). (4.12)
Определение градиента проводится по такой же методике, как и в плоской задаче, рассмотренной во второй главе. Опуская выкладки, приведем окончательный вид сопряженной краевой задачи:
Значение переменной сопряженной задачи зависит от разности решения прямой задачи, полученной при некотором приближении искомой функции, и соответствующей заданной температурной информации. При неизменных, теплофизических характеристиках других внешних факторов, действующих на значение переменной сопряженной задачи, в системе нет. Таким образом, переменная сопряженной задачи служит функцией четко реагирующей на отклонения расчетных температур от экспериментальных.
Используя сопряженную краевую задачу можно вывести простую формулу для вычисления градиента функционала (4.11). Также, не приводя выкладок, приведем окончательную формулу градиента функционала через решение сопряженной задачи: J\Q{t)] \Mz,t)dz (4.22)
Найденная формула позволяет реализовать для решения граничной об: ратной задачи восстановления мощности трения,- метод сопряженных градиентов минимизации функционала. Различные модификации метода сопряженных градиентов отличаются друг от друга выбором шага спуска. Поме-то дике, предложенной в работах [10, 14] последовательные приближения для функции Q(t) вычисляются по следующей итерационной схеме:
Пусть задано tt-oe приближение функции Q(t). Алгоритм последовательного приближения к. решению граничной обратной задачи по определению функции тепловыделения и соответственно мощности трения в подшипнике скольжения сводится к выполнению следующих шагов: 1. Используя rt-oe приближение функции Q(t)], решается прямая задача (4.1)-(4.9):. 2. Подставляя полученные значения температуры, решается сопряженная краевая задача (4.13)-(4.21) и по формуле (4.22) вычисляется градиент функционала невязки: 3. Полагая приращения компоненты функции равными соответствующим компонентам градиента функционала, т.е. AQ-J , решается краевая задача для приращения температуры вида (4.26)-(4.34). 4; По формуле (4.26) определяется шаг спуска Д". 5. Следующее приближение определяется по формулам (4.23)-(4:24). 6. Процесс уточнения решения прекращается при выполнении условия итерационной регуляризации: где Sj jcrj(t)dt, в противном случае процесс продолжается далее с J=I о пункта 1.
Отметим, что сопряженная краевая задача заменой временной переменной t сводится к задаче, аналогичной прямой задаче и решается методом конечных разностей. Задачи для приращения температуры также решаются численным методом. Поскольку алгоритмы решения всех краевых задач аналогичны, то можно сослаться на алгоритм решения прямой задачи, приведенный во второй главе.
Таким образом; алгоритм определения мощности трения в подшипнике скольжения по температурным данным построен.
Ниже приводятся результаты численных экспериментов. Функция мощности тепловыделения задается формулой:
В дальнейшем- функцию Q.(t) и решение прямой задачи; T{R,(pj,t) f{(pj,t), 0 g)j л, j = 1,...,и в фиксированном радиусе R (i?! R R2) будем называть модельными. Используем эти модельные функции температур в качестве точных исходных данных: при решении обратной задачи. Полагая интенсивность тепловыделения в зоне фрикционного контакта неизвестной, функция Q{t) восстанавливалась с помощью выше изложенного алгоритма.
Расчеты проводились для подшипника скольжения, представленного на рис.4.1, при следующих геометрических размерах:/! -0,022;/2 -0,009;
/3 = 0,043; /4- 0,026; d = 0,02; RBl- 0,015; Дв2 = 0,0125; Дв3 = 0,0055;, Rl = 0,013; R2 =0,016; R2 =0,031 ЛІ; q?Q =25:. Шаги по радиусу, по углу и по, времени брались такими же, как и для плоской задачи, изложенной во второй главе, а шаг по длине вала бралась постоянной, равным 2 мм. Тешгафизические характеристики материалов вала и подшипника те же, что и в случае плоской задачи.
Численные эксперименты проводились с использованием модельных температурных данных полученным из решения прямой; задачи в одной; в шести и в трех точках На рис.4.2 приведены результаты восстановления искомой мощности тепловыделения с использованием температурных данных в одной точке расположенной по оси нагружения подшипника, но находящихся на различных расстояниях от зоны трения. Расчеты показали, что качество восстановления заметно ухудшается по мере удаления от зоны трения, также увеличивается число итераций необходимое для достижения заданной точности.
