Содержание к диссертации
Введение
1. Математические модели многокомпонентной фильтрации 17
1.1 Уравнения многокомпонентной фильтрации 19
1.1,1 Уравнения двухкомпонентной фильтрации 21
1.2 Модель Баклея-Леверетта 27
1.3 Некоторые математические свойства моделей фильтрации 28
1.4 Задача Баклея-Леверетта 34
2. Термодинамика многокомпонентных систем и уравнения состояния 38
2.1 Фазовое равновесие 39
2.2 Уравнения состояния 43
2.3 Соотношения, связывающие потенциал Гиббса и кривые фазового равновесия 50
2.4 Соотношения, связывающие уравнения состояния и кривые фазового равновесия 53
2.5 Модельные уравнения состояния и потенциал Гиббса 56
3. Разрывные решения уравнений многокомпонентной фильтрации 63
3.1 Баланс свободной энергии 64
3.2 Термодинамическое условие на разрывах 66
3.3 Разрывные решения уравнений двухкомпонентной фильтрации, графический метод анализа термодинамического условия
4. Вычислительные алгоритмы для интегрирования уравнений двухкомпонентной фильтрации с фазовыми переходами 75
4.1 Вычислительные алгоритмы для уравнений фильтрации несжимаемых флюидов 77
4.2 Вычислительные алгоритмы для уравнений фильтрации сжимаемых флюидов 79
4.3 Тестирование вычислительных алгоритмов для уравнений фильтрации сжимаемых флюидов
с фазовыми переходами 83
Основные результаты и выводы 105
Список литературы
- Модель Баклея-Леверетта
- Соотношения, связывающие потенциал Гиббса и кривые фазового равновесия
- Термодинамическое условие на разрывах
- Вычислительные алгоритмы для уравнений фильтрации сжимаемых флюидов
Введение к работе
Настоящая работа посвящена математическому моделированию изотермической многокомпонентной многофазной фильтрации с фазовыми переходами. Исследуется модель, которая широко используется для прогнозирования разработки нефте- и газосодержащих пластов [1, 9, 41, 50, 51, 58, 21, 70, 69, 76, 84, 85]. Однако, фильтрационные течения растворов, сопровождающиеся фазовыми переходами (особенно с изменением числа фаз), изучены недостаточно.
Исследование изотермической многокомпонентной фильтрации, сопровождающейся фазовыми переходами, в сколь-нибудь общей постановке (флюиды могут быть как сжимаемыми так и несжимаемыми) возможно только с привлечением методов математического моделирования. Однако, при этом необходимо решить ряд методических вопросов: изучить свойства уравнений фильтрации, определить функции, отвечающие за гиперболические и параболические свойства системы (если таковые имеются); установить условия термодинамического согласования модели, т.е. критерии непротиворечивости уравнений состояния фаз и кривых фазового равновесия; построить термодинамически согласованные модели растворов, которые были бы достаточно просты для эффективного численного моделирования сложных фильтрационных течений и в тоже время достаточно точно передавали бы фазовое поведение растворов в некотором диапазоне давлений и концентраций; разработать методы отбора физически недопустимых разрывных решений; разработать вычислительные алгоритмы для численного интегрирования уравнений многокомпонентной фильтрации с фазовыми переходами, подавляющие физически недопустимые разрывы; разработать способы тестирования вычислительных алгоритмов, позволяющие судить об их эффективности на типичных задачах из рассматриваемого класса.
Модели многокомпонентной многофазной фильтрации изучаются, в основном, в связи с проблемами повышения эффективности добычи природных углеводородов — нефти, газа, газоконденсата. Модель, описывающая двухфазную фильтрацию несжимаемых флюидов без фазовых переходов, была предложена в 1941 г. Баклеем и Левереттом [71] и до сих пор широко используется для моделирования задач вытеснения [19, 20, 51, 41, 70, 76, 50, 84, 85, 88]. В рамках модели Баклея-Леверетта, система уравнений двухфазной фильтрации расщепляется на гиперболи-
5 ческое уравнение для фазовой насыщенности и эллиптическое уравнение для давления.
Свойства системы уравнений, описывающих многокомпонентную многофазную фильтрацию, также хорошо изучены в предположениях, что все фильтрующиеся фазы несжимаемы и для всех компонентов при смешении выполнено правило Амаго (аддитивность парциальных объемов) [70]. В этих предположениях из уравнений, выражающих законы сохранения количеств каждого компонента, вытекает условие бездивергентности поля скорости фильтрации. В одномерной геометрии указанное свойство означает, что полный (объемный) поток фильтрующихся флюидов одинаков через все сечения, хотя, вообще говоря, может зависеть от времени. В связи с этим говорят, что такие модели описывают течения с постоянным полным потоком. При этом уравнения многокомпонентной фильтрации расщепляются на эллиптическое уравнение для давления и систему уравнений первого порядка для концентраций компонентов, в которую давление не входит. Если число компонентов невелико, удается сформулировать условия гиперболичности последней системы и провести анализ допустимости разрывных решений, исходя из условий эво-люционности и/или существования структуры скачка [7, 17]. Однако, правило Амаго выполняется далеко не всегда. Условие несжимаемости фаз также не всегда является удачным приближением. Например, для "газированной нефти" закон Амаго не выполняется, а выделяющийся газ нельзя считать несжимаемым [3, 8, 65].
Нефть, конденсат, природные газы — это залегающие в недрах Земли многокомпонентные растворы (смеси), состоящие, в основном, из углеводородных соединений с добавкой неуглеводородных веществ. Сложное поведение таких смесей, когда нельзя рассматривать каждый компонент в отдельности, описывает физика растворов [4, 40, 47, 63, 64, 66]. Растворами называются физически однородные (гомогенные) смеси двух или нескольких веществ. Из-за взаимодействия молекул при растворении происходят реакции, которые обычно сопровождаются выделением или поглощением тепла, что делает растворы похожими на химические соединения. От химических соединений растворы отличаются тем, что в химические соединения вещества вступают в строго определённых пропорция, тогда как относительные количества веществ в растворах могут меняться в более или менее широких пределах. В зависимости от термобарических условий и от величины полной молярной концентрации раствор находится в однофазном состоянии или расслаивается на несколько фаз. Фазы разделены поверхностями раздела. Сложное фазовое поведение отражают фазовые диаграммы, которые определяют не только границы фазовых областей, но и задают концентрации в фазах.
Относительное содержание компонентов в растворе характеризуется их концентрациями. В теоретических исследованиях особенно удобна молярная концентрация. Это есть отношение числа молей рассматриваемого компонента к общему числу молей раствора. Фиксируя температуру, давление и полные молярные концентрации раствора по фазовым диаграммам можно установить: на какое число фаз расслаивается смесь и каковы молярные концентрации в каждой фазе. Каждая фаза раствора ведет себя как гипотетически чистое вещество. Поэтому для растворов используются те лее уравнения состояний, что и для чистых веществ, но эффективные параметры уравнения, рассчитываются по специальным процедурам.
Для моделирования фильтрационных течений таких смесей разработана и применяется иерархия моделей разной степени сложности и подробности. Эти модели описывают фильтрацию многокомпонентных растворов в тех или иных предположениях о характере течения (перепаде давления, диапазоне изменения состава раствора и т.п), термодинамических свойствах фаз, влиянии капиллярных эффектов, свойствах коллектора и т.д. Ясно, что чем подробнее модель, тем сложнее она поддается теоретическому анализу и исследованию с привлечением методов численного моделирования. В настоящее время наиболее исследованными являются модели, объединенные условием сохранения полного потока фильтрующегося флюида. Такие модели описывают фильтрацию квазиидеальных растворов, т.е. для каждой фазы выполнен закон Амаго (парциальные объемы компонентов не зависят от давления). Предельным случаем таких моделей являются модели типа Баклея-Леверетта, описывающие фильтрацию несжимаемых несмешивающихся флюидов [5].
В настоящей работе рассматривается модель многокомпонентной фильтрации, в которой относительно свойств парциальных объемов компонентов никаких предположений не делается за исключением выполнения неравенств, гарантирующих термодинамическую устойчивость системы. Однако, принята гипотеза, согласно которой все компоненты в том или ином количестве присутствуют во всех фазах [47, 56]. В этом случае условия фазового равновесия выражаются равенством химпотен-циалов компонентов во всех фазах. Отказ от этой гипотезы означал бы, что в некоторой фазе не растворен какой-либо компонент смеси, как это принимается в модели "газированной нефти" [1]. В этом случае химпо-тенциал нерастворимого в данной фазе компонента, не равен химпотен-циалу этого компонента в других фазах. Однако, это обстоятельство не влияет ни на справедливость правила фаз Гиббса, ни на полученные в работе результаты: баланс свободной энергии, условия допустимости разрывов уравнений многокомпонентной фильтрации. В рассматривав-
7 мой модели также полагается, что течение является изотермическим и достаточно медленным, чтобы успело установиться локальное фазовое равновесие. Кроме того, считается, что капиллярным скачком давления между фазами можно пренебречь и для скорости фильтрации каждой фазы выполнен закон Дарси.
Изучению свойств растворов, в частности углеводородных, — расслоение на фазы, уравнения состояния фаз, изменение состава фаз при изменении термобарических условий, ограниченная растворимость компонентов и т.д. — посвящено множество работ [4, 40, 47, 64, 66], тем не менее термодинамическое описание сложных многокомпонентных растворов сталкивается с большими трудностями, как теоретического, так и технического характера. Исследования показали, что в гомогенной области раствор ведёт себя как гипотетическое чистое вещество с некоторыми псевдопараметрами. Каждая из фаз многокомпонентного раствора описывается своим уравнением состояния. Разработано много методик, каждая из которых с той или иной точностью описывает раствор, в том или ином диапазоне давлений и температур [4, 43, 44, 64]. Например, широко используется подход, позволяющий по единому уравнению состояния (Ван-дер-Ваальса, Пенга-Робинсона и др.) вычислять термодинамические потенциалы и определять кривые фазового равновесия (конденсации и кипения). Однако, для реального нефтегазового раствора, состоящего из десятков компонент, находящегося под давлением сотни атмосфер, рассчитать коэффициенты единого уравнения часто проблематично. Поэтому в некоторых диапазонах изменения параметров смеси такой подход дает значительные ошибки.
Некоторые авторы полагают [53], что в настоящее время возможно самый перспективный путь — создавать для каждого месторождения свое уравнение состояния, которое бы содержало информацию не только о флюиде, но и о коллекторе (т.е. учитывало влияние пористости и материала коллектора на уравнение состояния).
Информация о термодинамических свойствах углеводородного раствора, залегающей в пласте, обычно недостаточна и носит полуэмпирический характер. Но термодинамические функции, описывающие тот или иной физический процесс, в котором участвует эта смесь, не являются независимыми. Они должны удовлетворять условиям, налагаемым термодинамикой, и не противоречить друг другу. Поэтому применение уравнений состояний, которые не согласованы с другими элементами модели, например, границами многофазных областей, может привести к неверным результатам. Отметим, что задачи теории фильтрации не требуют точного знания уравнения состояния, описывающего всю теоретически возможную область термобарических параметров. Для прак-
8 тических приложений часто требуется знание уравнения состояния в относительно узком диапазоне давлений, температур и состава. При моделировании фильтрационных течений важно иметь термодинамически согласованное и простое уравнение состояния, передающее поведение раствора в конкретных термобарических условиях.
Один из вопросов, изучаемый в настоящей работе, состоит в следующем: какую информацию о свойствах модели изотермической многокомпонентной фильтрации, которая будет описана в главе I, можно получить, опираясь на общие термодинамические соотношения, имеющее место для гетерогенных систем. Так при разработке вычислительных алгоритмов важны "гиперболические" качества системы уравнений. Надежду на результативность такой постановки вопроса дает теория С.К.Годунова, развитая для систем первого порядка, обладающих дополнительным балансным соотношением [15]. Применительно к рассматриваемой здесь модели, выражающей законы сохранения количеств каждого из компонентов, участвующих в фильтрации, таким дополнительным соотношением является уравнение баланса свободной энергии. В отличие от теории С.К.Годунова уравнения сохранения для компонентов не образуют систему первого порядка. В частности по этой причине система не является гиперболической. Тем не менее она обладает некоторыми "гиперболическими" качествами, которые проявляются в конечной скорости распространения возмущений концентрации компонентов и фазовых насыщенностей. Возмущение же давления распространяются мгновенно. Важной задачей теории является изучение разрывных решений уравнений изотермической многокомпонентной фильтрации. В рамках рассматриваемой здесь модели сильные разрывы трактуются как поверхности, на которых претерпевают скачки концентрации компонентов раствора и объемные насыщенности фаз, в то время как давление (одинаковое во всех фазах) остается непрерывным. При этом значения гидродинамических и термодинамических величин по обе стороны от разрывов связаны соотношениями Гюгонио. На самом деле, сильные разрывы концентраций компонентов раствора и фазовых насыщенностей — суть узкие зоны неравновесных фазовых переходов. Процессы, протекающие в пределах этих переходных зон и определяющие их внутреннюю структуру, здесь не рассматриваются. В качестве критерия допустимости разрыва принимается условие невозрастания на нем свободной энергии смеси.
В рамках рассматриваемой модели многокомпонентная многофазная изотермическая фильтрация описывается системой нелинейных уравнений в частных производных, для решений которой характерно присутствие разрывов концентраций компонентов и фазовых насыщенностей.
9 Как известно из теории систем гиперболических уравнений, не все скачки, удовлетворяющие условиям Гюгонио, являются физически допустимыми, часть из них должна быть запрещена. Для этого необходимо использовать дополнительные условия. Таких условий в газовой динамике может быть сформулировано, по крайней мере,три [14, 45, 42, 59]: эволюционность скачка; существование структуры скачка; энтропийное условие.
Аналогичные дополнительные условия используются и для выделения допустимых разрывов решений уравнений многокомпонентной многофазной фильтрации.
Эволюционность скачка. В моделях многокомпонентной фильтрации с постоянным полным потоком широко используется условие "априорной эволюциошгости скачка" или "условие Лакса" [45, 82], которое связывает количество приходящих на разрыв и уходящих с разрыва характеристик.
Существование структуры скачка. В работах [7, 17, 70] для модели двухфазной фильтрации несмешивающихся флюидов с межфазным обменом активной примесью условия существования структуры скачка используются для выделения допустимых разрывов решений. Наряду с учетом капиллярного скачка давлений между фазами, приводящего к появлению диффузионных слагаемых в уравнениях переноса компонентов, в работе [7] учитывается также неравновесная адсорбция. Энтропийное условие. В подземной гидродинамике оно не было сформулировано и поэтому ранее не использовалось. Это условие не зависит от типа уравнений, описывающих систему, и выражает термодинамический закон — неубывание энтропии: неравновесные процессы могут увеличивать (создавать) энтропию, но не могут уменьшать (уничтожать её). Как отмечено в работе [56]: "Основной проблемой, стоящей перед термодинамикой неравновесных процессов, является точное вычисление возрастания энтропии". Отсутствие таких точных выражений приводит к тому, что энтропийное условие обычно формулируется в виде неравенств, что несколько снижает эффективность отбора нефизических решений. Для изотермических задач вместо энтропийного условия рассматривается условие на свободную энергию: неравновесные процессы могут уменьшать свободную энергию, но не могут увеличивать её [47, 56].
Хотя уравнения многокомпонентной фильтрации сжимаемых флюидов не попадают под классификацию на эллиптические, параболические или гиперболические, они демонстрируют некоторые свойства этих типов уравнений. Поэтому в настоящей работе был принят подход, в
10 рамках которого вычислительные алгоритмы для численного интегрирования этих уравнений, строились по аналогии с алгоритмами, разработанными для решения классических типов уравнений. Однако, как отмечено авторами монографии [45]: "прямое применение даже хорошо проверенных численных методов для моделирования недостаточно понятных физических проблем может привести к неверным результатам". В этом случае особое значение приобретает тестирование вычислительных алгоритмов, которое, по крайней мере в принципе, позволяет выявить их недостатки и установить область их надежного применения. Тестирование вычислительных алгоритмов естественно проводить на относительно простых задачах, решения которых тем не менее содержат особенности, характерные для решений общего случая. К таким особенностям относится присутствие в решении сильных и слабых разрывов концентраций компонентов и фазовых насыщенностей. Появление разрыва решения сопровождаются потерей локальной аппроксимации, что приводит к необходимости использования консервативных разностных схем. Другой особенностью уравнений многокомпонентной фильтрации является невыпуклость функции потока и соответственно распространение разрывов в режиме Жуге. Эта особенность рассматриваемого класса моделей содержится уже в уравнении Баклея-Леверетта. Поэтому вычислительный алгоритм, разработанный для общего случая, должен правильно описывать фильтрацию несжимаемых не смешивающихся флюидов в модели Баклея-Леверетта, когда система расщепляется на эллиптическое уравнение для давления и гиперболическое уравнение для насыщенности.
Классической задачей теории двухфазной фильтрации является задача Баклея-Леверетта о вытеснении одного несжимаемого флюида другим. Эта задача допускает решение в квадратурах, хотя оно и не является автомодельным в обычном смысле. Для построения этого решения важно, что модель Баклея-Леверетта относится к классу моделей с постоянным полным потоком и расщепляется на эллиптическое уравнение для давления и гиперболическое уравнение для насыщенности. Указанное решение для насышенности становится автомодельным после соответствующей перенормировки времени и может быть построено стандартными методами, а давление затем находится из условия постоянства полного потока. Этот прием расщепления системы на эллиптическую и гиперболическую подсистемы широко используется для построения и анализа решений уравнений многокомпонентной фильтрации в моделях с постоянным полным потоком. В рамках такого подхода исследовались процессы вытеснения несжимаемых флюидов, были построены автомодельные (в указанном выше смысле) решения уравнений многокомпо- нентной фильтрации о распаде разрыва [11, 8, 2, 49]. За пределами этого подхода находится работа [8], в которой построены и проанализированы автомодельные решения задачи взаимного вытеснения двух несмешива-ющихся фаз с учетом сжимаемости одной из них.
Основные принципы, положенные в основу построения вычислительного алгоритма, состояли в следующем: консервативность разностной схемы для каждого компонента раствора; второй порядок пространственной аппроксимации в областях гладкости решения; аппроксимация доли компонент в потоке против скорости фильтрации; аппроксимация градиента давления на неявном временном слое.
Первое требование необходимо для моделирования разрывных решений, характерных для рассматриваемого класса задач. При численном интегрировании уравнений двухкомпонентной фильтрации консервативность обеспечивалась дивергентным замыканием схемы. Второй порядок аппроксимации по пространственной переменной достигался введением в противопоточный алгоритм специальным образом ограниченных антидиффузионных добавок. Третье и четвертое требования позволяют проводить расчеты с шагом интегрирования по времени, ограниченным только условием Куранта.
В разработанном вычислительном алгоритме реализована процедура уточнения значений давления, основанная на анализе свободной энергии в каждом расчетном интервале. Используются экстремальные свойства термодинамического потенциала свободной энергии: в состоянии термодинамического равновесия свободная энергия системы, имеющей фиксированные температуру, объем и состав, достигает минимума. Процедура позволяет: 1) сократить количество итераций по времени, что особенно важно при моделировании пространственных фильтрационных течений; 2) на каждом шаге по времени термодинамически согласовывать систему.
Предложенный вычислительный алгоритм для численного интегрирования уравнений двухкомпонентной фильтрации с фазовыми переходами был отработан и протестирован на ряде задач, решения которых содержат характерные для рассматриваемого класса проблем особенности. Для этого построены автомодельные решения уравнений двухкомпонентной фильтрации сжимаемых флюидов с фазовыми переходами. В результате тестирования вычислительного алгоритма на автомодельных решениях были выявлены некоторые особенности моделирования скачков концентрации компонентов и фазовых насыщенностей и уточнены
12 схемы вычисления некоторых шаблонных коэффициентов.
Актуальность.
Актуальность темы диссертации обусловлена тем обстоятельством, что фильтрационные течения растворов, сопровождающиеся фазовыми переходами (особенно с изменением числа фаз), изучены недостаточно. В то же время, даже небольшое выпадение новой фазы в какой-то области пласта изменяет режим течения, может резко увеличить или уменьшить гидродинамическое сопротивление, вызвать колебания на скважине [53, 55, 86]. Выделение пузырьков газа из добывамой нефти в мелких порах иногда приводит к полной закупорке коллектора [62]. Непредсказуемые изменения состава, возникновение колебаний на скважине — это типичные проблемы разработки залежей "газированной" нефти и газоконденсата. Вследствие этого в пласте безвозвратно теряются значительные запасы углеводородов. На Вуктыльском конденсатном месторождении 70% конденсата осталось в пласте. При понижении давления на скважинах Уренгойского газоконденсатного месторождения, через некоторое время после начала эксплуатации наблюдалось значительное облегчение и осветление добываемого конденсата и т.д.
Цель работы.
Построение термодинамически согласованных моделей растворов для их использования при моделировании изотермической многокомпонентной многофазной фильтрации с фазовыми переходами; изучение свойств математической модели, широко используемой для моделирования фильтрации многокомпонентных растворов, сопровождающейся фазовыми переходами; разработка и тестирование вычислительных алгоритмов для численного интегрирования уравнений многокомпонентной изотермической фильтрации, проведение вычислительных экспериментов для выяснения эффективности предложенных алгоритмов.
Научная новизна.
Разработан подход, позволяющий строить термодинамически согласованные полуэмпирические модели растворов для изотермического случая. В подходе используются соотношения, связывающие уравнения состояния, кривые фазового равновесия (конденсации и испарения) и потенциалы Гиббса. Построенные модели адекватно передают физические свойства реальных многокомпонентных растворов в некотором диапазоне давлений и концентраций.
Рассматриваются простые модельные уравнения состояния, позволяющие получить в аналитическом виде кривые конденсации и кипения, а
13 также другие термодинамические величины для растворов.
Из уравнений изотермической многокомпонентной фильтрации получено уравнение баланса свободной энергии (потенциала Гельмгольца) и на его основе сформулировано термодинамическое условие для выделения допустимых разрывов концентраций и фазовых насыщенно стей.
Предложен графический метод анализа термодинамического условия для уравнений двухкомпонентной фильтрации и с его помощью получены явные условия допустимости сильных разрывов.
Разработаны вычислительные алгоритмы для численного интегрирования уравнений двухкомпонентной фильтрации сжимаемых флюидов.
Построены автомодельные решения уравнений двухкомпонентной фильтрации. С их помощью проведено тестирование разработанных вычислительных алгоритмов, уточнены схемы расчетов некоторых шаблонных коэффициентов.
Практическая ценность
Результаты настоящей работы использовались при разработке современных гидродинамических симуляторов, в частности при создании симулятора, созданного в ИПН им. М.В. Келдиша РАН и получившего авторское свидетельство. Разработанные алгоритмы могут найти применение для моделирования сложных фильтрационных течений, сопровождающихся фазовыми переходами.
Апробация работы.
Основные результаты докладывались автором на IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова, 2002; на XIV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики", посвященной памяти К.И.Бабенко, 2002; на конференции "Ломоносовские чтения", МГУ, 2003; in International conference "New Trends in Continuum mechanics", Constatza, Ruminia, 2003; на XI школе - семинаре "Современные проблемы аэрогидромеханики", Сочи, "Буревестник", 2003; на конференции "Ломоносовские чтения", МГУ, 2004; на XII школе - семинаре "Современные проблемы аэр о гидромеханики", Сочи, "Буревестник", 2004; на X Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова, 2004; на конференции "Ломоносовские чтения", МГУ, 2005; на XIII школе - семинаре "Современные проблемы аэрогидромеханики", Сочи, "Буревестник", 2005.
14 Публикации по теме диссертации
Результаты диссертация изложены в 15 печатных работах автора, приведенных в списке литературы. Из них журнальных статей — 2, статей в сборниках или трудах конференций — 9, препринтов — 4.
Объем и структура работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации составляет 113 стр., включает 32 рисунка, 3 таблицы, список литературы из 90 наименований.
Во введении дается краткий обзор состояния проблемы, которой посвящена диссертация, формулируются цели и задачи работы, описывается содержание диссертации по главам.
В первой главе описываются модели изотермической многокомпонентной многофазной фильтрации, широко используемые для решения задач прогнозирования разработки нефте и газосодержащих пластов.
В разделе 1.1 описывается общая постановка модели многокомпонентной фильтрации сжимаемых флюидов с фазовыми переходами. Рассматриваются некоторые вопросы, касающиеся теории фильтрации сжимаемых флюидов.
В разделе 1.2 описывается модель Баклея-Леверетта фильтрации несжимаемых несмешивающихся флюидов.
В разделе 1.3 рассматривается некоторые аспекты теории уравнений гиперболического типа применительно к проблемам теории фильтрации.
В разделе 1.4 формулируется задача Баклея-Леверетта для фильтрации несжимаемых несмешивающихся флюидов.
В второй главе излагаются некоторые вопросы термодинамики многокомпонентных систем, физики растворов и уравнения состояния для углеводородных растворов, необходимые для построения математической модели фильтрации. Анализируются проблемы термодинамического согласования системы.
В разделе 2.1 рассматриваются свойства потенциалов Гиббса и свободной энергии. Свойства этих потенциалов в диссертационной работе используются для отбора нефизических решений, и для термодинамического согласования уравнений состояния и кривых фазового равновесия.
В разделе 2.2 разбираются некоторые уравнения состояния для растворов углеводородов и неуглеводородов, а также их основные типы. В каждом агрегатном состоянии многокомпонентный раствор ведет себя как чистое вещество с некоторыми эффективными параметрами, для вычисления которых разработано много методов, некоторые из них излагаются в разделе.
В разделах 2.3-2.4 развит подход, позволяющий построить потенциал Гиббса двухкомпонентной системы по кривым конденсации-испарения и уравнениям состояния для жидкой и газовой фазы для случая, когда жидкая и газовая фазы описываются различными уравнениями состояния (а не единым уравнением). Сформулированы дополнительные требования, устанавливающие связь между потенциалом Гиббса и кривыми фазового равновесия, а также связь между уравнениями состояния и кривыми фазового равновесия.
В разделе 2.5 предложены простые модельные уравнения состояния и потенциал Гиббса, которые правильно передают термодинамическое поведение многокомпонентного углеводородного раствора в некотором диапазоне параметров. Полуэмпирическая модель позволяет получить кривые конденсации и кипения в аналитическом виде, тем самым добиться термодинамического согласования системы в виде удобном для численного моделирования и значительно сократить требуемые вычислительные ресурсы, повысить надежность счета.
Третья глава посвящена исследованию сильных и слабых разрывов решений уравнений многокомпонентной фильтрации сжимаемых флюидов.
В разделе 3.1 из уравнений многокомпонентной многофазной фильтрации выводится уравнение баланса для свободной энергии.
В разделе 3.2 на основе уравнения баланса свободной энергии формулируется дополнительное термодинамическое условие типа "энтропийного" на разрывах концентраций.
В разделе 3.3 термодинамическое условие применяется для выделения разрешенных сильных разрывов концентрации двухкомпонентной фильтрации. Предлагается геометрическая процедура, которая упрощает анализ термодинамического условия для сильных разрывов концентраций. Приведены примеры анализа условия для двухкомпонентного раствора, выделены разрешенные и запрещенные скачки концентраций.
Четвертая глава посвящена разработке вычислительных алгоритмов, для численного интегрирования уравнений двухкомпонентной фильтрации. Основной интерес представляют течения сжимаемых флюидов, сопровождающиеся неравновесными фазовыми переходами, т.е. содержащие распространяющиеся с конечными скоростями сильные и слабые разрывы концентраций компонентов и фазовых насыщенностей. При проведении расчетов используются, предложенные во второй главе, термодинамически согласованные модельные уравнение состояния и кривые конденсации и кипения.
В разделе 4.1-4.2 описаны консервативные разностные схемы, аппроксимирующие уравнения двухкомпонентной фильтрации сжимаемых и несжимаемых флюидов. Выделяются функции, которые несут свойства параболичности и гиперболичности.
В разделе 4.3 рассматриваются методы тестирования программ, моделирующих двухкомпонентную фильтрацию с фазовыми переходами.
Особый интерес для тестирования представляли аналитические решения задач с фазовыми переходами, содержащие разрывы концентрации, на которых меняется число фаз.
В разделе 4.3.1 для проверки эффективности предложенного вычислительного алгоритма была использована задача Баклея-Леверетта (без фазовых переходов). Численное решение уравнения Баклея-Леверетта сравнивалось с точным решением, полученным методом характеристик.
В разделе 4.3.2 проводилось тестирование на стационарном решении задачи о течении сжимаемых флюидов двухкомпонентного раствора с фазовыми переходами.
В разделе 4.3.3 найдены и построены автомодельные решения типа "бегущей волны" для случаев, когда с одной из сторон от скачка концентраций, раствор находится в однофазном состоянии. Моделируемые скачки концентраций должны удовлетворять условию эволюционности, иначе скачки на численном счете "развалятся", хотя автомодельный режим существует.
Предложенные во второй главе, простые термодинамически согласованные модельные уравнение состояния и кривые конденсации и кипения позволили вычислить все производные, входящие в систему автомодельных уравнений в аналитическом виде, что повысило точность и эффективность тестирования.
В разделе 4.3.4 найдены и построены автомодельные решения степенного типа для уравнений двухкомпонентной фильтрации с фазовыми переходами. Решения содержат разрывы концентрации.
В результате тестирования автомодельными решениями были уточнены схемы расчетов некоторых шаблонных коэффициентов.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность и благодарность: д.ф.-м.н. П.Н. Вабищевичу, д.ф.-м.н. А.В. Колдобе за руководство работой. Диссертация написана автором во время работы на кафедре вычислительной механики механико-математического факультета МГУ, поэтому автор благодарен академику РАН
В.П. Мясникову j и.о. заведующего кафедрой члену-корреспонденту РАН А.В. Забродину, д.ф.-м.н. А.Е. Луцкому, д.ф.-м.н. И.Л. Софронову, к.ф.-м.н. Н.А. Зайцеву за поддержку работы.
Модель Баклея-Леверетта
Модели фильтрации представляют собой замкнутые системы дифференциальных уравнений. Под замкнутостью имеется в виду, что число неизвестных функций совпадает с числом уравнений. Для выделения единственного решения этих уравнений необходимо задание начальных (для уравнений содержащих d/dt) и граничных условий. Количество и вид начальных и граничных условий определяется типом уравнения. Как уже отмечалось, уравнения многокомпонентной фильтрации (5) в общем виде не охватываются классификацией на гиперболические, параболические, эллиптические. Тем не менее они демонстрируют свойства всех этих типов уравнений, что позволяет составить качественное представление о поведении решений и сформулировать корректные постановки начально-краевых задач.
Что касается давления, то уравнение для него как правило имеет параболический тип (в вырожденном случае течений с постоянным полным потоком — эллиптический). Так что на давление следует поставить краевые условия на всей границе области и задать начальные данные (в вырожденном случае начальные данные не нужны). Концентрации компонентов демонстрируют свойства, характерные для решений гиперболических уравнений, такие как распространение сильных и слабых разрывов с конечными скоростями. Остановимся на некоторых качествах гиперболических уравнений и систем, на аналогию с которыми будем опираться при исследовании уравнений многокомпонентной фильтрации.
Центральным для теории гиперболических систем уравнений является понятие характеристики. Для проведения аналогии с уравнениями многокомпонентной фильтрации нам будет удобно принять определение характеристик как линий в (ж, )-плоскости, вдоль которых распрастро-няются слабые разрывы решений.
Обсудим эти требования по порядку. С физической точки зрения точка, разрыв переменных есть некоторая идеализация, описывающая область резких градиентов параметров течения (во всяком случае для фильтрационных течений). На самом деле в этой области становятся существенными слагаемые, которыми в областях гладкости можно пренебречь. Конкретный вид этих слагаемых конечно зависит от характера физического процессов, протекающих в этой переходной зоне. Применительно к адиабатическим процессам смысл условия возрастания энтропии на скачке сводится к тому, что скорость приращения энтропии в системе не меньше, чем ее подвод извне. На разрывах за счет действия "диссипативных" процессов рост энтропии превышает ее подвод.
Графически условие (20) обозначает, что график функции f(u) на интервале (и+,и ) лежит под секущей АВ (Рис.4). В случае а) структура скачка существует, в случае Ь) — нет. Отметим, что условия существования структуры скачка предполагают существование некой "более детальной" модели процесса, из которой уравнения (19) "менее детальной" модели получаются занулением некоторых коэффициентов, как правило ответственных за интенсивность диссипативных процессов (коэффициента вязкости, времени релаксации и пр.).
Рассмотрим теперь разрыв А —у В (Рис.5). В этом случае при расщеплении разрыва Л- 5наічСиС- В скорость переднего UAC больше скорости заднего UCB И ОНИ будут расходится. Однако, новые разрывы і- СиС- В сами неэволюционны и, в свою очередь, будут расщепляться. В результате каскада таких расщеплений первоначальный разрыв А — В превратиться в центрированную волну, в которой и будет непрерывно изменяться от и+ до и .
Рассмотрим с этой точки зрения судьбу разрыва А — В, показанного на Рис.6. Такой разрыв можно интерпретировать как два разрыва А — С и С — В, движущихся с одинаковыми скоростями. Задний разрыв С —J В неэволюционен и имеет тенденцию к спонтанному расщеплению на разрывы С — С, С —і- В. При этом разрыв С — С будет догонять разрыв АС и усиливать его. Такое усиление переднего разрыва будет продолжаться до тех пор, пока точка С не займет такое положение, что секущая АС станет касательной к графику f(u) в точке С.
Завершая обсуждение эволюционности, отметим, что сделанные выводы относительно эволюционности или неэволюционности разрывов неявно опирались на следующее предположение: величины перед и за разрывом связаны только соотношениями Гюгонио и другие связи между ними и скоростью разрыва отсутствуют. В этом случае говорят об априорной эволюционности разрыва [46]. На самом деле такие связи могут иметь место и тогда условия эволюционности должны быть пересмотрены. Вопрос о том, имеются ли на разрыве дополнительные связи между переменными, не может быть решен в рамках "менее подробной" модели и требует привлечения той или иной "более подробной" модели. Таким образом критерий эволюционности, так же как и критерий существования структуры, не может быть обоснован внутри "менее подробной" модели и нуждается в привлечении дополнительных гипотез.
Соотношения, связывающие потенциал Гиббса и кривые фазового равновесия
Знание одного из термодинамических потенциалов как функции своих канонических переменных позволяет в принципе получить всю информацию о термодинамических свойствах системы. В частности, если для двухкомпонентной системы известно выражение для молярного потенциала Гиббса д(р,с) через давление р и концентрацию второго (более летучего) из компонентов с, то молярный объем раствора и химпотен-циалы компонент вычисляются по формулам (температуру Т считаем фиксированной).
Если известны выражения для молярного потенциала Гиббса в различных фазах раствора, которые условно называем жидкой и газовой, то приравнивание химпотенциалов компонент в фазах дает уравнение, позволяющее построить кривые испарения и конденсации на плоскости (с,р). Однако, экспериментально измеряемыми являются уравнения состояния фаз и кривые равновесия, а не потенциал Гиббса. Поэтому можно поставить вопрос: как по уравнениям состояния фаз и кривым фазового равновесия восстановить потенциал Гиббса раствора?
Аналогичная процедура применяется и для вычисления потенциала Гиббса в газовой фазе с заменой рі(с) на рв{с) Таким образом, потенциал Гиббса (при Т = const) восстанавливается по уравнениям состояния фаз и кривым фазового равновесия с точностью до констант интегрирования ф\ и ip2- При этом функции vi{p, с), г (р, с), CL(P))CG(P) могут быть любыми, удовлетворяющими термодинамическим неравенствам.
При описанном выше подходе кривые испарения сс(р) и конденсации сс{р) не были связаны с уравнениями состояния жидкой v = VL(J ,C) и газовой v = vG(p,c) фаз. Но такая связь существует, эти зависимости согласованы. Потенциал Гиббса должен удовлетворять некоторым дополнительным условиям.
В разделе2.2 рассматривался подход, позволяющий по единому уравнению состояния (типа Ван-дер-Ваальса) вычислить потенциал Гиббса и определить кривые фазового равновесия (кривые конденсации и кипения). Простота подобного определения потенциала Гиббса обусловлена тем, что уравнение состояния едино как для жидкой, так и для газовой фаз. Это одно из достоинств единого уравнения. Однако, для реального нефтегазового раствора, находящегося под давлением сотни атмосфер и состоящего из десятков компонент, рассчитать коэффициенты единого уравнения проблематично. Поэтому часто уравнения состояния отдельно для жидкой и отдельно для газовой фаз берутся из эксперимента. Из эксперимента берутся и кривые фазового равновесия (границы многофазной области). Из-за ошибок измерений кривые фазового равновесия и уравнения состояния (зависимость плотности раствора как от давления, так и от концентраций) могут оказаться термодинамически рассогласованы, что может оказаться принципиально важным для решения задач, связанных с анализом термодинамического поведения.
Уравнения состояния, описывающие поведение многокомпонентного раствора во всей двухфазной области, зависят сложным образом не только от давления и температуры, но и от состава раствора. Рассматриваемое в этой главе модельное уравнения состояния отличается простотой и удобством при применении и состоит из двух отдельных уравнений: для газовой и жидкой фазы. Подобрав эффективные параметры этих уравнений, можно правильно описать процессы с фазовыми переходами, происходящие в жидкого многокомпонентного раствора заданного состава, и для ряда задач этого достаточно. Тем более, что если в результате моделирования полная концентрация раствора меняется значительно, можно повторить процедуру подбора эффективных параметров или использовать приближения физики слабых растворов.
Термодинамическое условие на разрывах
На самом деле при выводе (??) использовалось предположение о гладкости функций, входящих в промежуточные выкладки. На разрывах процессы становятся существенно неравновесными, и локальное равновесие не устанавливается. Поэтому равенство (53) следует заменить на некоторое неравенство.
С физической точки зрения точка разрыва переменных есть некоторая идеализация, описывающая область резких градиентов решения. На самом деле в этой области становятся существенными слагаемые, которыми в областях гладкости можно пренебречь. Конкретный вид этих слагаемых конечно зависит от характера физических процессов, протекающих в переходной зоне.
Таким образом, в рамках рассматриваемой модели изотермической многокомпонентной фильтрации, получено термодинамическое условие на разрывах. Это условие может быть использовано при отборе нефизических скачков.
Проанализируем полученное неравенство (56) для двухкомпонентной фильтрации. Для этого выясним, какие условия на разрывное решение налагают соотношения Гюгонио в случае фильтрации двухкомпонент-ного раствора. Фазовая диаграмма "давление-состав".
Рассмотрим возможные типы скачков, и получим соотношения Гюгонио для уравнений сохранения количества вещества (6), т.к. они в дальнейшем необходимы для анализа разрывных решений уравнений двух-компонентной фильтрации.
Выясним, какие условия на разрывное решение налагает неравенство (56) в случае фильтрации двухкомпонентной смеси. Если перед и за разрывом течение однофазное, то W+ = W = mU, соответственно Ri = О и неравенство (56) выполнено, причем реализуется случай равенства. Если перед и за разрывом смесь находится в двухфазном состоянии, то, так как давление непрерывно, составы фаз (перед и за разрывом) и химпотенциалы компонентов также непрерывны, а претерпевают разрыв лишь объемные насыщенности. Таким образом, [ці\ = 0 и (56) выполнено, причем опять реализуется случай равенства. В обоих этих случаях фазового перехода не происходит.
Пусть концентрация раствора перед разрывом равна с+, на Рис.18 этому состоянию раствора соответствует точка А. За разрывом концентрация с и смесь находится в двухфазном состоянии. Ясно, что [Ml] — &с [Мг] = к(1 - с ), где с — это абсцисса точки В (точки пересечения двух касательных), к— коэффициент подобия двух подобных треугольников, причем к 0.
На фазовой диаграмме (Рис.19) сплошными линиями выделена двухфазная область, пунктирной линией нанесены точки кривой Cg(p), вдоль которой скорости фильтрации фаз равны. Кривая СЕ(Р) является решением уравнения x{cip) — с- Штрихпуктирной линией нанесена кривая с = стах{р). Горизонтальными линиями обозначены возможные скачки концентраций при постоянном давлении. Полученные результаты можно продемонстрировать на этой (с,р)-диаграмме (Рис.19): из состояния Лі (жидкость) запрещен термодинамическим условием ( условием на свободную энергию) скачок в состояние Л2 (двухфазная область), но разрешен скачок из А\ в А%.
Полученные результаты продемонстрировали лишь некоторые возможности термодинамического условия в рамках рассматриваемой модели. В работе не анализировались все отрицательные источники, обусловленные неравновесными процессами, происходящими на разрывах. С физической точки зрения разрыв переменных есть некоторая идеализация, описывающая область резких градиентов решения. На самом деле в этой области становятся существенными слагаемые, которыми в областях гладкости можно пренебречь. Конкретный вид этих слагаемых, конечно, зависит от характера физического процесса. Поэтому условие, может быть значительно усилено, если удастся количественно оценить другие неравновесные процессы, которые также в изотермическом случае уменьшают свободную энергию. Энтропийное условие или условие на свободную энергию для изотермического случая определяет направление эволюции макроскопической системы, не прибегая к детальному кинетическому анализу [56]. Однако, чтобы сформулировать точнее такие условия необходимо дальнейшее физическое изучение процессов, происходящих на скачках концентрации.
Вычислительные алгоритмы для уравнений фильтрации сжимаемых флюидов
Разностная схема. Система уравнений (67-68) не является ги перболической, но обладает некоторыми свойствами гиперболичности по отношению к концентрации и насыщенности: скорости распростране ния малых возмущений конечны. Как показано в работе [27] за передачу "гиперболических" свойств уравнений отвечает функция х{Р- с)- качест венный вид которой для фиксированного р показан на Рис.3. Поэтому для аппроксимации % — доли компонента в потоке — с повышенным порядком аппроксимации использовался подход, описанный выше для уравнения Баклея-Леверетта.
Процедура уточнения давления. Для правильного моделирования разрывных решений вычислительный алгоритм должен быть консервативным. Поэтому после некоторого числа итераций вычисления давления р и концентрации с делалось дивергентное замыкание по (69)-(70), вычислялись плотности компонентов в расчетных интервалах, затем уточнялось давление р — р. Уточнение давления заключается в расчете локального фазового равновесия в каждом счетном интервале при фиксированных температуре, объеме (длине интервала) и составе смеси, полученным при дивергентном замыкании.
Пусть в результате дивергентного замыкания вычислительного алгоритма в некотором расчетном интервале оказалось iVi молей первого компонента смеси и N2 молей второго компонента. Задача заключается в расчете давления в этом интервале после установления там локального фазового равновесия. Таким образом, следует рассчитать фазовое равновесие системы, имеющей фиксированные объем V, температуру Т и состав N{. Предложенная процедура использует термодинамическое свойство физических систем: в состоянии равновесия свободная энергия системы, имеющей фиксированные температуру, объем и состав достигает минимума [57]. Задача становится нетривиальной, если параметры Г, V, N{ таковы, что смесь расслаивается на две фазы. В этом случае одну из фаз (более тяжелую) будем называть жидкой и помечать буквой L, другую (более легкую) будем называть газовой и буквой G. Так как в дальнейшем не делается каких-либо предположений о свойствах фаз, эти названия фаз условны и введены для единообразия обозначений.
В этом разделе рассматриваются методы и результаты тестирования вычислительных алгоритмов для численного интегрирования уравнений двухкомпонентной фильтрации. Основной интерес представляют течения сжимаемых флюидов, сопровождающиеся неравновесными фазовыми переходами, т.е. содержащие распространяющиеся с конечными скоростями скачки концентраций компонентов и фазовых насыщенностей. Тестирование алгоритмов в принципе позволяет выявить их недостатки, уточнить и оптимизировать расчетные схемы, установить область их надежного применения.
Тестирование вычислительных алгоритмов естественно проводить на относительно простых задачах, решения которых тем не менее содержат особенности, характерные для решений общего случая. К таким особенностям относится присутствие в решении сильных и слабых разрывов концентраций компонентов и фазовых насыщенностей. Такие особенности сопровождаются потерей локальной аппроксимации, что приводит к необходимости использования консервативных разностных схем. Другой особенностью уравнений многокомпонентной фильтрации является невыпуклость функции потока и соответственно распространение разрывов в режиме Жуге. Эта особенность рассматриваемого класса моделей содержится уже в уравнении Баклея-Леверетта. Поэтому вычислительный алгоритм, разработанный для общего случая, тестировался на модели Баклея-Леверетта, описывающей фильтрацию несжимаемых не смешивающихся флюидов. Простейшим решением уравнений двухкомпонентной фильтрации, содержащим разрывы концентраций и фазовых насыщенностей, является стационарное решение. Однако в таком решении могут присутствовать скачки только определенного, весьма специфического типа. Так как при стационарном течении скачки неподвижны, то они разделяют состояния, в которых подвижность одной из фаз равна нулю. Тем не менее тестирование вычислительного алгоритма на стационарном решении дает некоторую информацию о его качестве: позволяет ли этот алгоритм проводить моделирование течений с переменным числом фаз, дает ли алгоритм возможность рассчитывать стационарные течения и пр.
Вычислительные алгоритмы, разрабатываемые для численного моделирования многокомпонентных фильтрационных течений с неравновесными фазовыми переходами, протекающими на фронтах разрыва концентраций компонентов и фазовых насыщенностей, нуждаются в дополнительном тестировании, которое показало бы правильность расчета скоростей распространения этих разрывов. Такое тестирование проводится на автомодельных решениях типа бегущей волны. Применительно к кругу проблем, рассматриваемых в данной работе, представляют интерес решения, содержащие скачок концентраций, причем такой, что количество фаз по разные стороны от него различно. Для уравнений двухкомпонентной фильтрации сжимаемых флюидов построены автомодельные решения типа бегущей волны, которые содержат фронты неравновесных фазовых переходов. Такие решения реализуются при специальном выборе начальных данных и граничных условий.
Типичными фильтрационными течениями, изучаемыми в связи проблемами математического моделирования добычи природных углеводородов, являются течения, возникающие при "сбросе" давления на некоторой части границы коллектора или наоборот — повышения давления с целью закачки в пласт вытесняющего флюида (жидкого или газообразного). При этом из-за изменения термобарических условий залегания и фильтрации происходит перераспределение компонентов углеводородной смеси между фазами и, возможно, образование новых фаз. Вытесняющий флюид (в задачах вытеснения) сам по себе является новой фазой, способной растворять исходно залегающие в пласте вещества. Для задач тако 85 го типа характерно присутствие в решении слабых разрывов (в режиме "сброса" давления) и сильных разрывов (в режиме закачки) концентраций компонентов смеси. Для тестирования вычислительного алгоритма на задачах такого типа были построены автомодельные решения степенного типа уравнений двухкомпонентной фильтрации. Найдены условия автомодельности, при которых исходная система в частных производных сводится к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Теоретический анализ полученной системы ОДУ позволил сделать заключения о поведении ее решений в двух качественно различных режимах фильтрации, возникающих при "сбросе" давления и закачке вытесняющего флюида.
В результате тестирования вычислительного алгоритма были выявлены некоторые особенности систем уравнений для сжимаемых флюидов, в результате чего изменились схемы расчета некоторых параметров, входящих в уравнения.
При тестировании использовались предложенные в диссертации модельные уравнение состояния и кривые конденсации-кипения, полученные в аналитическом виде. Это позволило при проведении численного моделировании получить термодинамически согласованную систему и избежать неустойчивостей, которые могут возникнуть из-за термодинамического рассогласования.
