Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Перколяция как базовая модель для описания геометрических фазовых переходов 10
1. Основные методы теории перколяции и её приложения 10
2. Коррелированная перколяция 14
3. Смешанная перколяция 15
4. Континуальная перколяция 17
5. Квантовая перколяция 19
6. Методика проведения расчетов 22
6.1. Алгоритм поиска перколяционного кластера 22
6.2. Типы граничных условий 27
6.3. Скейлинговые соотношения 28
Заключение 30
ГЛАВА 2. Разработка и применение моделей теории перколяции на коррелированной кубической решетке для описания свойств неупорядоченных 1:1 перовскитов ... 31
1. Постановка задачи 31
2. Распределение кластеров по размерам на бесконечной решетке 32
3. Распределение кластеров по размерам на конечной решетке размера L 40
;4. Оценка порога перколяции и свойства перколяционного кластера в задаче узлов 57
5. Задача узлов и связей на коррелированной кубической решетке 72
6. Применение перколяционных задач на коррелированной кубической решетке для описания свойств двойных 1:1 перовскитов 81
Основные результаты и выводы по главе 2 85
ГЛАВА 3. Разработка и применение модели квантовой перколяции для описания свойств бинарных систем 87
1. Постановка задачи 87
2. Критерии оценки собственных значений матрицы 88
3. Применение критериев для оценки спектра собственных значений матрицы инцидентностей двудольного графа 92
Основные результаты и выводы по главе 3 106
Основные результаты и выводы 107
Приложение 1 109
Приложение 2 117
Приложение 3 126
Публикации автора по теме диссертации 137
Список литературы
- Смешанная перколяция
- Распределение кластеров по размерам на бесконечной решетке
- Задача узлов и связей на коррелированной кубической решетке
- Применение критериев для оценки спектра собственных значений матрицы инцидентностей двудольного графа
Введение к работе
Актуальность работы.
Сложные оксиды со структурой перовскита (АВОэ) привлекают внимание исследователей с 1950 гг. Интерес к этим соединениям вызван, прежде всего, их уникальными сегнетоэлектрическими и магнитными свойствами. В последнее время активно исследуются так называемые двойные перовскиты - сложные оксиды со структурой АВхВ[.х03. Например, эффект «гигантского магни- тосопротивления» в низких полях, обнаруженный в двойных перовскитах, привлёк к себе значительное внимание в связи с возможностью его практического применения в промышленности, в частности, в устройствах хранения и обработки информации, датчиках магнитного поля.
Известно, что свойства двойных перовскитов существенно зависят от наличия антиструктурных дефектов в подрешетке катионов (Navarro, 2003). Технология изготовления данных соединений позволяет варьировать концентрацию антиструктурных дефектов, получая частично неупорядоченные соединения с различными свойствами (Раевский и др., 2002). В частности, при изменении концентрации антиструктурных дефектов в этих соединениях возможны магнитные фазовые переходы. Предсказание свойств частично упорядоченных двойных перовскитов является актуальной задачей для создания соединений с заранее заданными свойствами.
Хорошо зарекомендовавшей себя моделью для описания процессов в неупорядоченных соединениях является теория перколяции. Теория успешно применялась для описания полимеризации, процессов распространения жидкостей и газов в пористых средах, изменения свойств полупроводников при их легировании (Шкловский Б.И., Эфрос А.Э., 1979) и андерсоновской локализации в неупорядоченных твердых телах (J.M. Ziman, 1982). Применение теории перколяции для моделирования свойств оксидов со структурой перовскита представляется перспективным.
5 Являясь весьма общей математической моделью неупорядоченных сред, теория перколяции представляет собой мощный и универсальный математический аппарат. В то же самое время не все задачи теории перколяции решены до настоящего времени. Например, исследованиям задач квантовой перколяции, коррелированной перколяции посвящено небольшое количество работ. В частности, представляет несомненный теоретический интерес определение порога перколяции в коррелированной задаче узлов, в смешанной задаче теории перколяции, в задачах квантовой перколяции. Результаты, полученные при решении этих задач, могут быть использованы для описания процессов в неупорядоченных соединениях, в частности, в двойных 1:1 перовскитах.
Цель диссертационной работы - моделирование фазовых превращений в сложных оксидах со структурой перовскита методами, теории перколяции. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи: построить перколяционные модели для описания влияния антиструктурных дефектов и кислородных вакансий на свойства двойных 1:1 перовски-тов; рассчитать перколяционные характеристики построенных моделей; исследовать методы оценки порога квантовой перколяции в соединениях со структурой перовскита; создать программу для моделирования влияния кислородных вакансий и концентрации антиструктурных дефектов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.
Методы исследования.
Для решения поставленных задач в работе использовались методы математического моделирования. В частности, - исследование перколяционных моделей производилось с помощью ал горитма Хошена-Копельмана; - аналитические выражения были получены с использованием методов теории вероятности, матричной алгебры. Положения, выносимые на защиту.
Перколяционные модели, примененные для описания влияния антиструктурных дефектов и кислородных вакансий на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.
Результаты систематического исследования построенных моделей.
Программа для моделирования влияния кислородных вакансий и концентрации антиструктурных дефектов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.
Научная и практическая значимость.
Диссертация носит теоретический характер. Результаты исследования рассмотренных в диссертации перколяционных задач расширяют базу для выявления общих закономерностей и особенностей перколяционных процессов.
Результаты, полученные в диссертационном исследовании, могут быть использованы для предсказания свойств двойных 1:1 перовскитов. В частности: найденное значение порога перколяции: на коррелированной кубической, решетке позволяет предсказывать концентрацию антиструктурных дефектов в сложных оксидах со структурой перовскита, при которой возможен магнитный фазовый переход; проведенные расчеты мощности перколяционного кластера могут быть использованы для оценки магнитных свойств сложных оксидов со структурой перовскита в зависимости от концентрации антиструктурных дефектов; расчеты среднего числа соседей в перколяционном кластере, совместно с теорией Гильо, могут применяться для оценки изменения температуры фазового перехода при изменении концентрации антиструктурных дефектов в сложных оксидах со структурой перовскита;
7 v d) результаты расчетов распределения кластеров по размерам могут быть использованы для объяснения особенностей локальных магнитных полей в \ двойных 1:1 перовскитах; e) результаты исследования смешанной перколяции могут применяться для предсказания фазовых переходов в частично упорядоченных дефектных по кислороду сложных оксидах со структурой перовскита; f) проведенное исследование критериев квантовой перколяции может [ быть использовано для анализа спектра собственных значений гамильтониана сложных оксидов со структурой перовскита.
Разработанный программный комплекс может использоваться для расче-та магнитных свойств конкретных оксидов со структурой перовскита.
Научная новизна.
Все положения, выносимые на защиту, являются новыми. Впервые решены следующие задачи: - построена и изучена перко ляционная1 мод ель задачи узлов на коррели рованной кубической решетке; » - построена и изучена модель смешанной задачи теории перколяции на коррелированной кубической решетке; - перколяционные модели применены для описания влияния антиструк турных дефектов и кислородных вакансий на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
2nd International Conference on Material Science and Condensed Matter Physics, Chisinau, 2004;
7-й Международный симпозиум «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-2004, г. Сочи, 2004; VIII международная конференция Серии "Нелинейный мир". ОБРАЗОВАНИЕ. ЭКОЛОГИЯ. ЭКОНОМИКА. ИНФОРМАТИКА. г. Астрахань, 2003;
4-я Международная научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2003», г. Санкт-Петербург;
5-я Международная научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2004», г. Санкт-Петербург;
6-я Международная научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2005», г. Санкт-Петербург;
Вторая Всероссийская научная конференция «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB», г. Москва, 2004; - итоговые научные конференции АГУ 2001, 2003, 2004,2005 гг. Личный вклад автора.
Положения и выводы, выносимые на защиту, все аналитические формулы, основные результаты расчетов, приводимые в диссертации, принадлежат лично автору. Роль соавторов публикаций в следующем: постановка задачи -Тарасевич Ю.Ю.; расчеты, проведенные в рамках модели Изинга - Панчен-ко Т.В.,
Публикации автора по теме диссертации.
Основные материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах.
Объем и структура работы.
Работа состоит из введения, 3 глав, заключения, 3 приложений и списка литературы из 57 названий. Объем диссертации составляет 142 страницы, в том числе 39 рисунков, 2 таблицы, приложения на 28 страницах.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность диссертационной темы, формулируются цели и задачи исследования, научные положения, выносимые на защиту; дается краткая характеристика работы, её объем и структура.
9 Первая глава носит обзорный характер. В ней излагается состояние проблемы на текущий момент. Автором дается краткая характеристика, исследуемых в дальнейшем перколяционных моделей, определяются основные понятия теории перколяции, приводятся главные формулы. Кроме того, дается: описание методики исследования поставленных в данной работе задач; алгоритм, используемый при расчетах; различные типы граничных условий; скейлинговые соотношения.
Вторая глава посвящена исследованию задач коррелированной перколяции на кубической решетке. В частности, выведены формулы для вероятностей принадлежности узла кластерам малых размеров, численно рассчитан порог перколяции в задаче узлов, и в задаче узлов и связей, а также некоторые характеристики перколяционного кластера. Кроме того, в ней рассматривается приложение рассмотренных задач к исследованию магнитных свойств двойных 1:1 перовскитов методами теории перколяции.
В третьей главе разрабатывается модель квантовой перколяции, а также рассматривается применение этой модели для описания свойств бинарных систем.
Смешанная перколяция
В теории перколяции имеют дело с моделью случайных (неупорядоченных) сред для определения их типичных свойств. Простейшим примером является случайная перколяция или перколяция Бернулли; когда все узлы имеют одну и ту же вероятность быть занятыми независимо друг от друга. Предположение о стохастической зависимости является слишком строгим при рассмотрении многих естественных систем. Для таких систем среда не является случайной и её следует рассматривать как коррелированную.
Ряд результатов в этом направлении был получен в работах [10, 11] Райманом и др.
Ими рассматривалась коррелированная перколяционная задача узлов на триангулированной решетке. В этих работах пространство треугольника определяется как сумма спинов узлов, составляющих треугольник. Спины узлов могут принимать значение 1 с вероятностью р, и значение -1 с вероятностью q.
В результате исследования авторами обнаружена особенностью этой задачи - на триангулированной решетке существует два фазовых перехода (два порога перколяции): рс & 0.2902 и дс — 1 - рс ю 0.7097 - симметричных относительно р = yL. Эти пороги существенно отклоняются от порогов обычной перколяции. Но эти данные хорошо согласуются с полученными в работе аналитическими формулами для нахождения вероятности того, что узел х является занятым [ 10] Рр(х) = 3р(1-р), а также вероятности того, что два соседних узла х и у данной решетки являются занятым [11] Рр{х,у) = 2р-4ръ + 2р\ причем
Рр{х,у) Р {х),дпяО р \.
Численное определение- порогов перколяции на триангулированной решетке проводилось авторами с помощью алгоритма Хошена-Копельмана.
Смешанная задача теории перколяции является естественным обобщением чистой задачи узлов и чистой задачи связей. Обобщение позволяет как узлам, так и связям быть занятыми с вероятностями /з; и ft, и блокированными с вероятностями 1 - ps и 1 - ръ соответственно. Смешанная перколяция имеет многочисленные приложения в различных областях. Например, она была использована для описания перехода «золь-гель» в полимерах [12, 13], распространения инфекций [14],...
В смешанной задаче ищут кластер из занятых узлов, соединенных целыми связями. Когда такой кластер соединяет противоположные стороны системы, то говорят, что в системе возникает перколяционный кластер.
Смешанная перколяция впервые была упомянута в работах Фриша и Хаммерсли [15], и исследована Хошеном методом Монте-Карло [16]. Арга-вал и др. в работе [ 17] методом разложения в ряды показали, что критические і показатели для чистой задачи узлов также действительны и в случае смешанной задачи. Наканиши и Рейнолдс в работе [18] подтвердили заключение Ар-гавала методом реном-групп. Хаммерсли в работе [14] доказал для частично ориентированного графа теорему, из которой следует неравенство P(pspb,\) P(ps,pb) P(hpsPb), (6) гд,еР(ря,р ) перколяционная вероятность, то есть вероятность того, что одиночный узел соединен с бесконечным числом других узлов. Данное неравенство дает разумно узкие границы для границ перколяции в смешанной задаче. В частности, для решетки Бете (дерева Кэли) (pcb = pcs = pQ, где pcs порог для чистой задачи узлов а рсЬ - порог для чистой задачи связей) имеем
АА, = А- (7) Форма кривой, отделяющей перколирующее состояние от неперколи-рующего, последовательно исследовалась Янукой и Энглманом. В; работе [19] ими была предложена эвристическая формула для определения порога перколяции в задаче узлов и связей. Они предложили следующее уравнение для критической кривой в плоскости (ps,pb) bgA+jgA=1. (8). logics І0№ь Полученное уравнение удовлетворяет неравенству (6) и дает правильный предел (7) для решетки Бете.
Тарасевич и ван дер Марк провели систематическое исследование для многих решеток в пространстве до 5 измерений и обнаружили большое количество решеток с существенными отклонениями критической линии от формулы (8). Наибольшее отклонение наблюдается для решеток, у которых пороги перколяции в чистой задаче узлов ив чистой задаче связей сильно отличаются [20].
Распределение кластеров по размерам на бесконечной решетке
Перколяция - случайный процесс. Поэтому, на перколяционной решетке будут содержаться группы узлов различных размеров и форм. Эти конфигурации называют "решеточными зверями" [47]. Для кластеров малых размеров удалось получить аналитические выражения для вероятности ns того, что наудачу выбранный узел принадлежит черно му кластеру определенного размера s. При подсчете вероятностей учитывались пространственные конфигурации кластеров[А2, А10].
Рассмотрим вероятность ns того, что наудачу выбранный узел принадлежит черному кластеру размера 1 (см. рис. 3).
Случайно выбранный узел с вероятностью — принадлежит черной под решетке и с вероятностью 1 - р является черным. Этот узел окружают 6 узлов из белой подрешетки. В каждой из этих 6 позиций находится белый узел с вероятностью Г- р. Таким образом,
С вероятностью — выбранный узел принадлежит, белой подрешетке, и с вероятностью р является черным. Каждый из окружающих его 6 узлов из черной подрешетки является белым с вероятностью р, Таким образом, Окончательно имеем, "гЫ+ -рУ+Р1) (11) Полученное выражение остается неизменным при замене р - 1 - р. В 1 ... случае р-0 - невозмущенная решетка - щ = —, то есть случайно выбранный узел в половине случаев является черным кластером размера 1. Рассмотрим вероятность того, что данный узел принадлежит кластеру из двух черных узлов (см. рис. 4). С вероятностью — выбранный узел принадлежит черной подрешетке и с вероятностью \ — р является черным. В 5 позициях вокруг него узлы из белой подрешетки должны быть белыми. Вероятность этого (I-р) . В одной позиции узел из белой подрешетки должен быть черным, но 5 его соседей из черной подрешетки должны быть белыми. Вероятность этого р-р5. Всего возможны три ориентации кластера, следовательно, і 3 /, \6 6
Аналогично, с вероятностью — выбранный узел принадлежит белой подрешетке и с вероятностью р является черным. В 5 позициях вокруг него узлы из черной подрешетки должны быть белыми. Вероятность этого р5. В одной позиции узел из черной подрешетки должен быть черным, но 5 его соседей из белой подрешетки должны быть белыми. Вероятность этого (l-p)-(l-p).. Всего возможны три ориентации кластера, следовательно, 2 3 б/і \6 Окончательно имеем, ) Полученное выражение симметрично относительно замены /7 -» 1 - /7; п2 (0)= 0 — в невозмущенном случае кластеры размера 2 отсутствуют. Рассуждаем совершенно аналогично для случая кластера из 3 черных узлов. Но нужно учесть, что кластер из трех узлов может иметь различные конфигурации (см. рис. 5).
С вероятностью — выбранный узел принадлежит черной подрешетке и с вероятностью 1-/7 является черным. В 5 позициях вокруг него узлы из белой подрешетки должны быть белыми. Вероятность этого (l-p) В одной позиции узел из белой подрешетки должен быть черным, но 4 его соседа из черной подрешетки должны быть белыми и один сосед должен быть черным. У этого соседа, в свою очередь, должно быть 5 белых соседей из белой подрешетки. Вероятность этого р- р4 -(1- p)-(l- pf.
Задача узлов и связей на коррелированной кубической решетке
Рассматривается еще одно обобщение теории перколяции - задача узлов и связей на коррелированной кубической решетке.
Итак, имеется простая кубическая решетка, узлы которой в шахматном порядке раскрашены в белый и черный цвет (см. рис. 24 а). Решетка может быть разбита на две подрешетки: «белую» и «черную». Раскраска узлов в такой решетке полностью коррелированна с их местоположением. Пусть строгий по рядок в чередовании узлов нарушен (см. рис. 24 б). Обозначим ps вероятность обнаружить белый узел в черной подрешетке или черный узел в белой подре-шетке. Будем считать, что два узла одного цвета принадлежат одному и тому же кластеру, если между ними существует путь из узлов того же цвета, соединенных неразорванными связями. Будем искать долю неразорванных связей рь, при которой в системе впервые возникает бесконечный кластер, как функцию степени неупорядоченности ps. В случае ръ = 1 задача, очевидно, переходит в задачу узлов на коррелированной кубической решетке.
Определение порога перколяции проводилось с помощью алгоритма Хо-шена-Копельмана [41] методом Монте-Карло на решетках с линейным размером 16, 32, 64 и периодическими граничными условиями вдоль двух горизонтальных направлений (см. рис. 25). Поиск перколяционного кластера происходит в вертикальном направлении, то есть между гранями со свободными граничными условиями [А1].
Для определения порога перколяции использовалась стандартная методика (см, например, [20]): фиксировалось значение ps или ръ, путем многократ ных статистических испытаний определялась вероятность возникновения пер-коляционного кластера при различных значениях рь или ps.
Полученные экспериментальные данные аппроксимировались кривой (21) (см. рис. 26).
Значение параметра, при котором вероятность возникновения бесконечного кластера равнялась 0.5, принимается за оценку величины порога перколя-ции.
Проведенный вычислительный эксперимент позволяет найти кривую [А1], отделяющую область параметров (ps,pb), при которой существует перко ляционный кластер, от области, в которой имеются только кластеры конечного размера (см. рис. 27).
Определение порога перколяции путем аппроксимации экспериментальных данных по методу наименьших квадратов (ps = 0.3).
На вставке: использование скейлингового соотношения для определения порога перколяции в термодинамическом пределе.
В литературе имеются различные попытки построения осмысленных аппроксимаций для кривой, отделяющей перколяционную область от неперколя-ционной в случае смешанной задачи теории перколяции. В данной работе были предприняты попытки адаптировать имеющие формулы для рассматриваемой задачи.
Хаммерсли [14] доказал для частично ориентированного графа теорему, из которой следует неравенство (6). На основании теоремы Хаммерсли можно сделать предположение о том, что в нашем случае искомая кривая располагается между гиперболами (см. рис. 28):
Форма кривой, отделяющей перколирующее состояние от неперколи-рующего, последовательно исследовалась Янукой и Энглманом. В работе [19] ими была предложена эвристическая формула для определения порога перко-ляции в задаче узлов и связей. Они предложили уравнение (8) для критической кривой в плоскости (р&,рь).
Адаптируя формулу Януки-Энглмана для нашей задачи, получим следующее аналитическое выражение (см. рис. 29)
В работе [20] Тарасевич и ван дер Марк показали, что формула Януки-Энглмана дает большую погрешность, если величины pcs и рсЬ не близки. Предложенная в [20] формула (9) позволяет получить лучшую аппроксимацию в этом случае. Изменяя её для нашей задачи [А1], получим формулу (см. рис. 30)
Применение критериев для оценки спектра собственных значений матрицы инцидентностей двудольного графа
Изложенный в диссертации материал позволяет сформулировать основные результаты работы.
I. Разработана перколяционная модель задачи узлов теории перколяции на коррелированной кубической решетке, которая применена для описания влияния антиструктурных дефектов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.
II. В результате систематического исследования построенной модели выявлено:
1) в задаче узлов на коррелированной кубической решетке порог перколяции равен 0,145, что может соответствовать магнитному фазовому переходу.
2) распределение кластеров по размерам немонотонно в коррелированной задаче узлов на кубической решетке, что следует как из полученных аналитических формул, так и из результатов численного моделирования.
3) при доле антиструктурных дефектов 20% мощность «плотной части» перколяционного кластера в задаче узлов на коррелированной кубической решетке достигает максимума.
4) среднее число соседей каждого узла перколяционного кластера в задаче узлов на коррелированной кубической решетке монотонно возрастает.
III. Построена перколяционная модель смешанной задачи теории перколяции на коррелированной кубической решетке, которая применена для описания влияния антиструктурных дефектов и кислородных вакансий на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.
IV. По результатам исследования построенной модели:
1) в смешанной задаче теории перколяции определена критическая линия, отделяющая перколяционную область от неперколяционной -линия фазового перехода.
2), получены аппроксимации линии фазового перехода на основе формул Хаммерсли, Януки-Энглмана, Тарасевича и ван дер Марка, а также другими кривыми.
V. Проведен анализ методов оценки порога квантовой перколяции в соединениях со структурой перовскита;
VI. Создана программа для моделирования влияния кислородных вакансий и концентрации антиструктурных дефектов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.
Результаты исследования рассмотренных в диссертации перколяционных задач расширяют базу для выявления общих закономерностей и особенностей, перколяционных процессов.
Всё выше изложенное позволяет утверждать, что в диссертации содержится решение задач, которые имеют существенное значение как для теории перколяции как таковой, так и для описания свойств неупорядоченных соединений, в частности двойных 1:1 перовскитов.
Для моделирования в перколяционном подходе влияния кислородных вакансий и концентрации антиструктурных дефектов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов разработана программа, в которой реализовано очевидное обобщение алгоритма Хошена-Копельмана на случай кубической решетки для задачи узлов без учета граничных условий [А4]. Использование пакета MATLAB 6 позволило записать алгоритм чрезвычайно компактно и сделать анализ различных ситуаций единообразным.
Программа интерактивно запрашивает входные данные, а результаты моделирования записывает в файл.
Входные данные: - msize - линейный размер матрицы, на которой проводится моделирование; - N - число повторов испытаний; - рс - параметр, определяющий степень беспорядка узлов на решетке; - fn- имя файла, в который будут записаны результаты моделирования. Данные записываются в формате Matlab в файл с расширением .mat..
Выходные данные: - msize - линейный размер матрицы (значение, заданное во входных данных); - рс- параметр, определяющий степень беспорядка узлов на решетке (значение, заданное во входных данных); - у - вероятность появления стягивающего кластера; - SS — массив размера (msize )/2, содержащий усредненное по всем испытаниям распределение кластеров по размерам, то есть SS(i) равен среднему числу кластеров размера і; - av- средний размер кластера, усредненный по всем испытаниям; при вычислении среднего размера кластера стягивающий кластер не учитывается; - N - число итераций (значение, заданное во входных данных);
