Введение к работе
Актуальность темы. Один из возможных и популярных подходов к решению различных задач анализа, идентификации и управления для непрерывных нестационарных систем состоит в проектировании системы на некоторое конечномерное подпространство, исследовании и решении ап-проксимационной конечномерной задачи с использованием вычислительной техники, и переносе полученных результатов на исходную систему. Группу методов, реализующих данную схему, естественно назвать проекционными методами решения задач теории автоматического управления.
Проекционные методы решения различных математических и прикладных задач разрабатываются с начала века. Для численного решения экстремальных задач — с работы В. Ритца (1908 г.), а для решения интегральных и дифференциальных уравнений первые проекционные схемы появились в работах русских инженеров И.Г. Бубнова, Б.Г. Галеркина (1915 г.) и Г.И. Петрова. Первые теоремы, обосновывающие проек-цйонные методы, были опубликованы в работах Н.Н. Боголюбова и Н.М. Крылова, и М.В. Келдыша. Дальнейшее развитие проекционные методы получили в работах Л.В. Канторовича, М.А. Красносельского, Г.И. Марчука, В.И. Агошкова, Г.М. Вайпикко, М.К. Гавурина, И.К. Даугавета, С.Г. Мих-лина, Н.И. Польского, В.А. Треногина и других.
Систематическая разработка проекционных методов решения различных задач теории автоматического управления начала проводиться в МГТУ им.Н.Э.Баумана с конца 60-х годов В.В. Солодовниковым и его учениками А.Н. Дмитриевым, Н.Д. Егуповым, В.В. Семеновым и др. О 70-х годов это направление интенсивно разрабатывается за рубежом, и к настоящему времени наработано большое количество разнообразных методов и приемов. Однако, в выборе базиса, метода аппроксимации оператора и т.п., в подавляющем большинстве работ по проекционным методам решения задач идентификации и управления никаких обоснований нет и он зависит лишь от вкуса и пристрастий исследователя. Это привело к созданию большого числа нерациональных алгоритмов, требующих завышенных расходов энергии, памяти, времени и т.п.
В связи с этим представляется важным выделить те типы задач и те способы реализации проекционных методов, которые будут иметь несомненные преимущества перед другими известными методами решения рассматриваемых задач, и оптимизировать их при условии наличия априорной информации определенного вида.
Проблема оптимизации вычислительных алгоритмов является исключительно актуальной. Основополагающими в этом направлении считаются работы советских математиков А.Н. Колмогорова, Н.С. Бахвало-
ва, СМ. Никольского, К.И. Бабенко и др. Однако форму самостоятельной научной дисциплины теория оптимальных алгоритмов приняла в 70-е годы в работах западных ученых Дж. Трауба, X. Вожьняковского, Г.В. Ва-сильковского, А.Г. Вершульца, С.А. Миккели, а также в работах А.Г. Сухарева, А.С. Немировского, К.Ю. Осипенко, Д.Б. Юдина и др.
В связи с большой популярностью и эффективностью проекционных методов решения задач автоматического управления естественно возникает задача их оптимизации. Оптимизировать численные алгоритмы можно в различных смыслах: по точности, по размерности, по сложности и т.п. Большинство работ по данной тематике посвящено оптимизации либо по точности, либо по сложности. В данной работе рассматривается другое направление, связанное с оптимизацией по емкости. Под е-емкостью рассматриваемого проекционного метода решения непрерывной задачи понимается объем компьютерной памяти, необходимой для получения приближенного решения с точностью е в равномерной метрике с помощью данного метода.
Выбор такого критерия оптимальности связан с рядом причин:
По своему характеру рассматриваемые в работе задачи предполагают лабораторные исследования, а не являются задачами, которые требуется решать в реальном времени. В процессе исследования и решения таких проблем приходится многократно решать какие-то типовые задачи (интегральные уравнения, задачи математического программирования и т.п.), и хранить исходные данные и результаты промежуточных вычислений в памяти компьютера. Таким образом, характер решаемых задач подвел к необходимости уменьшения объемов используемой памяти.
Минимизация проекционных методов по емкости в основном производится за счет уменьшения размерностей обрабатываемых массивов, а это ведет к снижению влияния погрешностей округления. Таким образом, оптимизация по емкости позволяет повысить вычислительную устойчивость методов.
Оптимальность по емкости тесно связана с оптимальностью по размерности, а она, в свою очередь, с оптимальностью по сложности и времени. Таким образом, оптимальный по емкости алгоритм в подавляющем большинстве случаев будет близок к оптимальному и в смысле других критериев. Поскольку для рассматриваемых в работе задач теории автоматического управления вопросы оптимизации проекционных методов ранее не изучались, за основу можно взять любой из критериев. В то же время для таких задач, как аппроксимация линейных систем, к которым сводятся многие содержательные задачи, именно оптимизация в смысле емкостного критерия оказалась наименее изученной и в этом направлении имеется большое поле деятельности.
г»
Приведенные аргументы свидетельствуют о несомненной актуальности емкостной оптимизации проекционных методов приближенного решения важных типовых задач теории автоматического управления.
Цель работы — нахождение оптимальных по порядку емкости проекционных методов аппроксимации некоторых классов функций, разработка методов проекционной аппроксимации систем, оптимальных по порядку емкости при наличии априорной информации о степени гладкости исследуемых систем и используемых входных воздействий, и оптимизация с их помощью проекционных методов решения некоторых важных задач анализа, идентификации и управления нестационарными системами.
Научная новизна. В рамках диссертационной работы установлены новые результаты и разработаны и обоснованы следующие методы:
-
Разработана методика оценивания е-емкостей вычислительных алгоритмов и подходы к оптимизации проекционых алгоритмов по емкости.
-
Разработан и обоснован метод смешанной проекционной аппроксимации систем, описываемых интегральными уравнениями 2 рода с неточно заданной информацией.
-
Найдены оптимальные по порядку емкости проекционные методы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 2 рода с ядрами и правыми частями из различных функциональных классов Гельдера и из классов аналитических функций, а также указаны подходы к снижению емкости проекционных методов решения нелинейных интегральных уравнений 2 рода.
-
Разработаны и обоснованы оптимальные по порядку емкости алгоритмы смешанной проекционной идентификации линейных систем с неизвестными переменными коэффициентами и смешанной обобщенной проекционной идентификации нелинейных систем с входящими в уравнения линейно неизвестными переменными параметрами.
-
Разработан метод гарантированной идентификации нестационарных систем.
-
Найдены приемы, позволяющие оптимизировать проекционные методы решения различных задач анализа и управления линейными нестационарными системами.
7) Решена задача об организации обратной связи и стабилизации
вблизи программной траектории нелинейного объекта, работающего в
проекционной области.
Практическая ценность диссертационной работы обусловлена ее прикладной ориентацией. Разработанные проекционные алгоритмы решения различных непрерывных задач, оптимальные в смысле порядка емкости, позволяют существенно сократить требуемую для их решения компьютер-
ную память. Это позволяет существенно расширить класс задач, которые
можно решать с помощью имеющихся в наличии компьютеров, а также
снизить влияние ошибок машинного округления, что крайне важно для
многих практических задач. *
Разработанный метод гарантированной идентификации нестационарных систем может найти большое применение в практике математического моделирования и решении ряда инженерных задач.
Построенная в работе обратная связь и стабилизирующий регулятор позволяют спроектировать эффективные системы управления, полностью работающие на основании обработки наборов коэффициентов разложения непрерывных сигналов по выбранному кусочно-постоянному базису, и использовать богатый программный и аппаратный материал, наработанный при проектировании отдельных узлов и блоков систем управления.
Применяя рекомендованные в работе методы выбора базисов, операторов проектирования, принципы смешанной аппроксимации и т.п., можно существенно повысить эффективность проекционных методов исследования и проектирования систем автоматического управления, которые хорошо зарекомендовали себя при решении некоторых важных практических задач. ...
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих Международных конференциях:
— на 33-м Международном научном коллоквиуме (Ильменау, ГДР,
1988 г.); на Международном симпозиуме по ортогональным полиномам и
их приложениям (Гранада, Испания, 1991 г.); на Международной кон
ференции по некорректно поставленным задачам в естественных науках
(Москва, Россия, 1991 г.); на Международном симпозиуме по инноваци
онным методам в численном анализе (Брезаноне, Италия, 1992 г.); нг
2-й Международной конференции "Актуальные проблемы фундаменталь
ных наук" (Москва, Россия, 1994 г.); на Международной конференциі
"Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный ана
лиз" (Москва, Россия, 1995 г.); на 4-й Международной конференции пс
численному анализу (Москва, Россия, 1995 г.);
ка Всесоюзных конференциях и конференциях стран СНГ:
— на Всесоюзной конференции "Проблемы создания и использованш
отраслевых информационно-диспетчерских систем на основе компьюте
ризации и перспективных средств связи" (Москва, ^1988 г.); н;
4-й Всесоюзной зимней школе-конференции по теории функций и при
ближений (Саратов, 1988); на 7-м Всесоюзном семинаре "Конструирова
ние алгоритмов и решение задач математической физики" (Кемерове
1988 г.); на Всесоюзной школе-конференции "Современные проблемы те
ории функций" (Баку, 1989); на Всесоюзной конференции "Автоматизация исследования, проектирования и испытаний сложных технических систем" (Калуга, 1989 г.); на 7-й Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 199(^.г.); на 6-м Всесоюзном совещании "Управление многосвязными системами" (Суздаль, 1990 г.); на 4 Всесоюзном совещании "Динамика и прочность автомобиля" (Мо-. сква, 1990 г.); на 8-м Всесоюзном семинаре "Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики" (Красновидово, 1991 г.); на 4-м Межгосударственном семинаре "Дискретная математика и ее приложения" (Москва, 1993 г.); на конференции с международным участием "Приборостроение-93 и новые информационные технологии" (Николаев, Украина, 1993 г.); на 7-м Симпозиуме по растровой микроскопии и аналитическим методам исследования твердых тел (Черноголовка, 1993 г.); на 2-й научно-технической конференции стран СНГ "Контроль и управление в технических системах" (Винница, Украина, 1993 г.);
на конференциях республиканского уровня:
— на 3-Й республиканской конференции "Теория аппроксимации и задачи вычислительной математики" (Новосибирск, 1991); на Российской конференции "Автоматизация исследования, проектирования и испытаний сложных технических систем" (Калуга, 1993); на 15-й Российской конференции по электронной микроскопии (Черноголовка, 1994 г.); на 1-й Украинской конференции по автоматическому управлению (Киев, Украина, 1994 г.); на Российской конференции "Автоматизация исследования, проектирования и испытаний сложных технических систем и технологических процессов" (Калуга, 1994);
на ряде конференций регионального уровня, на научно-исследовательских семинарах: кафедры теории функций и функционального анализа и кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, кафедры математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова, кафедры прикладной математики МГТУ им. Н.Э. Баумана, Института системных исследований РАН, Института проблем управления РАН и других.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 59 работ, основные из которых, включая некоторые тезисы конференций не ниже республиканского уровня, приведены в списке литературы. В работах, написанных в соавторстве, диссертанту принадлежит математическое обоснование используемых методов, разработка вычислительных алгоритмов и, в ряде случаев, написание и отладка программ и получение численных результатов. Соавторам принадлежит техническая постановка рассматриваемых задач, организация и проведение экспериментов и, в некоторых случаях,
написание и отладка программ и получение численных результатов.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы, содержащего 217 наименований и оглавления. Полный обем работы — 292 страницы. Параграфы и формулы нумеруются с помощью двух цифр, первая из которых означает номер главы.
