Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Контактные задачи для составного цилиндра при скользящей. заделке.боковой поверхности 22
1.1. Основные уравнения и решение осесимметричной задачи теории упругости 22
1.2. Осесимметричная контактная задача для двух конечных цилиндров, загруженных по торцам 23
1.2.1. Решение парных рядов - уравнений 28
1.2.2. Численные примеры 34
1.3. Осесимметричная контактная задача для двух конечных цилиндров с защемленным нижним торцом 38
1.3.1. Численные примеры 43
1.4. Осесимметричная контактная задача для трех конечных цилиндров 51
1.4.I. Численные примеры 56
ГЛАВА 2. Контактные задачи для составного конечного цилщцра со свободной боковой поверхностью 61
2.1. Контактная задача для двух цилиндров,
нагруженных по свободным торцам 61
2.1.1. Доказательство регулярности бесконечной системы 74
2.1.2. Численные примеры 77
2.2. Контактная задача для двух цилиндров с одним защемленным торцом 81
2.2.1. Численные примеры 87
2.3. Контактная задача для трех соосных цилиндров 93
2.3.1. Численные примеры 100
Основные выводы 105
Литература
- Осесимметричная контактная задача для двух конечных цилиндров, загруженных по торцам
- Осесимметричная контактная задача для двух конечных цилиндров с защемленным нижним торцом
- Доказательство регулярности бесконечной системы
- Контактная задача для трех соосных цилиндров
Введение к работе
Современные технические средства чрезвычайно сложны и многообразны. Некоторые машины и приборы работают в условиях высоких скоростей, давлений, температур и других экстремальных воздействий. Повышение эксплуатационных требований приводит к необходимости применения разнообразных новых материалов и разработок более совершенных технологических процессов при конструировании и изготовлении машин. Это ставит перед конструкторами современных машин все более сложные задачи, решение которых связано с дальнейшим развитием теории упругости, призванной быть надежным фундаментом при расчетах на прочность, жесткость и точность машин и приборов. В этой связи определенный интерес представляют контактные задачи, решениям которых были посвящены классические работы Герца [і18], служащие основой многочисленных технических предложений.
Исследованиям контактных задач теории упругости посвящены многочисленные работы советских и зарубежных исследований. Этим задачам много места уделено в фундаментальном труде Н.И.Мусхели-швили [53].
Обширный обзор этих работ содержится в обзорных статьях Д.И.Шер-мана [93,94], Б.Л.Абрамяна [2,3,4], Б.Л.Абрамяна и А.Я.Александрова [5], В.Л.Рвачева [72], Г.Я.Попова [бб], Г.Я.Попова и Н.А.Ростовцева [68], А.И.Каландия, А.Н.Лурье, Г.Ф.Манджавидзе, В.К.Прокопова и Я.С.Уфлянда [32], В.И.Моссаковского [51,52], в монографиях Л.А.Галина [23,24], Бабушки, Ректорыса и Выйяхло [lOO], И.Я.Штаермана [95], О.И.Снеддона [7б], Я.С.Уфлянда [87,88], В.З.Партона и Г.П.Черепанова [65], В.З.Партона и Е.М.Морозова [64], Г.П.Черепанова [92], В.В.Панасгока, М.П.Савргока и А.П.Дапыщина [63], И.Й.Воровича, В.М.Александрова и В.А.Бабешко [21], А.Ф.Улитко [85], В.Т.Гринченко [27], Г.Я.Попова [67], И.Й.Воровича [22], Ю.А.Амен- заде [Ю], В.М.Александрова и С.М.Мхитаряна [9], В.С.Саркисяна [73], в работах Б.Л.Абрамяна [I], Н.Х.Арутюняна [7], В.М.Александрова [8], Б.М.Нуллера [62], В.Т.Гринченко и А.Ф.Улитко [28], В.В.Дробязко, В.Н.Никитенко и А.Ф.Улитко [29], В.Д.Купрадзе [Зб], А.В.Белоконь [16], Г.М.Валова [17], А.А.Баблояна и В.С.Тонояна [12], В.С.Тонояна [78,79], В.А.Сазонова и И.Е.Троянского [74], С.М.Мхитаряна и Ф.С.Торосяна [54] и др., а также в коллективной монографии [71]. Дальнейшее развитие этих задач связано с усложнением поверхностей контакта, разнообразием физико-механических свойств материалов контактирующих тел и уменьшением степени идеализации модели контакта.
В последнее время большое внимание исследователей привлекают задачи с неизвестными зонами контакта, с возможным отрывом контактирующих тел. При этом определяются внешние нагрузки и параметры, обеспечивающие отсутствие отрыва или величину зоны отрыва. Подобные задачи могут возникнуть при диффузионной сварке, проектировании различных опор и фундаментов и т.д., где необходимо надежное прижатие по всей поверхности контакта. Решения подобных задач основаны на допущении, что при достаточно гладких соприкасаемых поверхностях контактирующих тел нормальные напряжения и их взаимодействия на линии отрыва равны нулю. Из этого условия получают уравнения, необходимые для определения величины зоны контакта или другого неизвестного параметра задачи.
По этому методу исследованы многие контактные задачи для бесконечной плоскости с круговыми или эллиптическими вставками, задачи о контакте тел, имеющих вид полуплоскостей, полупростарнств, полос, слоев, а также некоторые контактные задачи для ограниченных тел.
В большинстве перечисленных задач принимается, что область контакта или отрыва задана и вычисляются контактные напряжения.
В работе LI22J рассматривается равномерное растяжение плоскости с круговым включением при отсутствии сил сцепления между ними. Для определения зоны контакта определяются точки, где напряжения меняют знак, а в бесконтактной зоне напряжения приравниваются нулю.
В работе [і20J аналогичная задача решена для случая упругого включения из другого материала.
Задача о контакте бесконечной упругой пластинки с жесткой эллиптической вставкой рассмотрена в [83]. Задача сведена к решению интегро-дифференциального уравнения относительно нормальных контактных напряжений. Зона контакта определяется с использованием дополнительных условий на перемещение точек линии контакта. В работе [90] эта же задача приведена к уравнению Фредгольма, с неизвестным верхним пределом интегрирования. Размеры области контакта определяются приравниванием нулю напряжений на линии отрыва. Подобные задачи для пластины с жесткой или упругой круговой вставкой рассмотрены в работах [ІЗЗ] и [l40].
Осесимметричная задача о контакте между растянутым упругим пространством с сферической плоскостью и жесткой гладкой сферой, вставленной в плоскость, рассмотрена в [18]. Величина контактного сегмента и контактные напряжения определяются решением системы уравнений, содержащих двойные ряды. Эта же задача при упругой гладкой сферической вставке рассмотрена в [84].
Аналогичные задачи рассмотрены в работах [Пб], В.С.Тонояна [78,79], В.С.Тонояна и А.Ф.Минасяна [80,8і], А.Ф.Минасяна и В.С.Тонояна [49].
Приближенному определению радиуса зоны контакта между упругим полупространством и прижатой к нему сосредоточенной силой упругой пластинкой посвящены работы [20,70,125]. Между пластинкой и полупространством сцепление отсутствует, и задача сводится к уравнению
Фредгольма с фиксированным неизвестным верхним пределом интегрирования.
Точное решение этой задачи по линейной теории упругости приведена в работе [34]. Рассмотрена контактная задача с уменьшающейся зоной контакта для гладкого упругого слоя, вдавливаемого в гладкое упругое полупространство. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно некоторой вспомогательной функции, непосредственно связанной с контактным давлением. Интегральное уравнение однородно, и задачу об определении размеров контактной зоны можно рассматривать как задачу о собственных значениях. Это уравнение можно решить численно с любой требуемой степенью точности. В частности, для плоской и осесим-метричной задач найдены размеры зоны контакта и контактные напряжения, вызванные приложением сосредоточенной и равномерно распределенной нагрузок. Полученное решение хорошо согласуется с данными, приведенными в [20].
В другой работе тех же авторов [I07J, указанная задача сводится к неоднородному интегральному уравнению Фредгольма. Это уравнение предлагается решить численно. Указан путь определения размеров области контакта. Приведены соответствующие графики. Решение этой задачи для случая контакт со сцеплением получено в работе [119].
Аналогичная задача о контакте с упругим полупространством решена в работе [69]. Показано, что бесконечный гладкий упругий слой, свободно лежащий на упругом полупространстве, отрывается от последнего под действием любой нормальной нагрузки, прижимающей слой к основанию и приложенной к ограниченной области поверхности слоя. Для случая, когда на слой действует нормальная сосредоточенная сила, определена величина площади контакта слоя с полупространством и распределение контактных напряжений на ней. Зада- ча решена методом парных интегральных уравнений.
В работе [60] рассматриваются две контактные задачи теории упругости для слоя прижатого к упругому полупространству под действием локальной осесимметричной нагрузки, приложенной к поверхности слоя. При этом рассматриваются два случая: когда слой весом, а в другом - невесом. В обоих случаях трение между слоем и основанием отсутствует.
Под действием нагрузки весомый слой отходит от основания в кольцевой области. Невесомый слой принимается закрепленным на бесконечности, так что после приложения к нему нагрузки напряжения и перемещения на бесконечности остаются равными нулю. В таком случае невесомый слой под действием нагрузки отходит от основания в кольцевой области как весомый слой. Упругие характеристики слоя и полупространства задаются произвольно. Обе задачи сведены к неоднородным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Дано численное решение задачи о невесомом слое. Определены радиус площади контакта между слоем и полупространством и напряжения на этой площадке.
В работе В.Д.Ламзюка [39] исследуются два типа задач теории упругости о неполном контакте тяжелого слоя с упругим многослойным основанием.Предлагается метод решения задач об отставании весомого слоя от основания при воздействии сжимающих внешних нагрузок и об отрыве слоев друг от друга растягивающими усилиями. Обе задачи рассмотрены в условиях как плоской, так и осесимметричной деформации. Выяснены условия, при которых отставание и отрыв возможны.
Задача первого типа сводится к решению сингулярных интегральных уравнений, а второго - к решению парных интегральных уравнений. В обоих случаях эти уравнения сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, для которых приводятся численные приближенные аналитические решения. Конкретные вычисления проведены в случае, когда внешняя нагрузка, действующая на слой, представляет собой сосредоточенную силу. Исследования показали, что учет веса слоя приводит к существенному изменению характера контакта его с основанием. В отличие от случая невесомого слоя, тяжелый слой отстает от основания лишь при выполнении определенных условий.
Задача о контакте слоя с упругим полупространством решена и в работах [91,135]. В работе [91] с помощью преобразований Фурье и Фурье-Ханкеля получено однородное интегральное уравнение Фред-гольма второго рода относительно вспомогательной функции, связанной с контактным давлением.
В работе [ill] рассматривается осесимметричная контактная задача для бесконечного упругого слоя, расположенного на упругом полупространстве. Материалы слоя и полупространства считаются однородными и изотропными, но обладающими различными упругими характеристиками. Вдавливание слоя в упругое полупространство происходит под действием равномерно распределенных по всей внешней поверхности слоя нормальных усилий, а также под действием собственного веса слоя. Дополнительно, к слою прикладываются нормальные усилия, распределенные по круговой линии на внешней границе слоя. Предполагается, что силы трения при контакте слоя с основанием не возникают и что только сжимающие нормальные напряжения передаются через поверхность раздела. Отдельно рассматриваются случаи, когда распределенные по круговой линии внешние усилия являются сжимающими и растягивающими. Каждый из этих случаев допускает различные варианты взаимодействия слоя с основанием. А именно, если величина распределенных по круговой линии усилий меньше некоторой критической величины, то нормальные напряжения на всей поверхности раздела являются сжимающими и контакт является непре- рывным. В противном случае появляются участки отставания слоя от полупространства. Решение указанных задач, отвечающих случаю, когда область отставания слоя от полупространства имеет форму кругового кольца, сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое решается с использованием формул интегрирования Гаусса-Чебышева.
В работе С.М.Мхитаряна и Ф.С.Торосяна [54] рассмотрена задача о контактном взаимодействии круглого диска и бесконечной пластины.
В работе Е.Д.Фееенко и др. [89] рассмотрена контактная задача в случае сжатия двух круговых цилиндров, радиусы которых почти равны.
В работе [ДОЗ] рассматривается плоская задача о контакте без трения упругого слоя с абсолютно жестким основанием. На слой действуют силы тяжести и равномерно распределенная по верхней грани нагрузка. Обе эти нагрузки прижимают слой к основанию. Кроме того, к слою приложена сосредоточенная сила, стремящаяся оторвать ее от основания. Определялись: I - величина указанной силы, когда контактное напряжение становится растягивающим, то есть слой начинает отрываться от основания; 2 - контактное напряжение и размеры области контакта, когда величина отрывающей силы становится больше критической. Задача I достаточно проста и решена в явном виде. Задача 2 является смешанной краевой задачей и сводится к сингулярному уравнению, которая решается численно.
В работе [і 02] указанная задача при сжимающей сосредоточенной силе тоже сводится к сингулярному интегральному уравнению. Исследование осуществляется с применением формул Гаусса-Чебышева и связано с решением систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, осуществляемым по интеграционно-интерполяционной схеме.
В работе [112] решена аналогичная задача при сжимающей нагрузке, распределенной по кругу.
В работе [75] на основании известного решения контактной задачи для слоя, лежащего без трения на жестком основании, использована аналитическая зависимость для расчета фактической площади касания при контакте шероховатого индентра и гладкого тонкого слоя.
В работе [I34J рассматривается задача о давлении однородной и изотропной упругой полуплоскости на жесткое основание, имеющее выступ прямоугольной формы. Контакт в этом случае осуществляется по трем площадкам - одной конечной и двум полубесконечным, разделенным участками отсутствия контакта конечной протяженности. При этом протяженность участков без контакта будет тем меньше, чем больше величина внешних усилий, прикладываемых к упругой полуплоскости. Положение переменных границ указанных участков определяется из условия ограниченности напряжений. Решение строится с помощью функции напряжений Эри, которая представляется интегралом Фурье. Удовлетворение смешанным краевым условием приводит к тройным интегральным уравнениям, которые, в свою очередь, сводятся к задаче Гильберта. Получены точные представления для контактных напряжений и перемещений точек границы полуплоскости. Рассматривается задача о давлении упругой полуплоскости на жесткое основание, содержащее вырез прямоугольной формы. Предварительно определяется величина внешних усилий, необходимых для того, чтобы контакт осуществлялся не только по основной поверхности жесткого основания, но и по части дна выреза.
В работе [126] показано, что если невесомый слой лежит на жестком основании, то контактное напряжение и размеры области контакта не зависят от свойств материалов, а если слой лежит на упругом основании, то они будут зависеть от упругих свойств материалов слоя и основания.
В работе [35] рассмотрены две смешанные краевые задачи для по- - II - лупрлосы. Первая из этих задач посвящена изгибу полуполосы, покоящейся на гладком жестком основании, и равномерно нагруженной силой, специальным образом приложенной к ее концу. Во второй задаче рассмотрена полуполоса с краевой трещиной, раскрывающейся в срединной плоскости в результате приложения нагрузок на краю полуполосы. Решение задачи сведена к интегральному уравнению Фред-го льма второго рода. Для обеих задач найдены характеристики упругого поля.
В работе [П4] рассматриваются три контактные задачи теории упругости с неизвестной зоной контакта: I - вдавливание балки в упругую полуплоскость с учетом отставания ее от основания; 2 -вдавливание абсолютно жесткого круглого цилиндра в упругую полосу; 3 - обжатие упругого округлого цилиндра двумя абсолютно жесткими плитами. Задача решена приближенно.
В работе [Юб] рассматривается контактная задача для двух упругих полуплоскостей, имеющих слегка волнистые границы, которые вдавливаются друг в друга равномерно распределенной нагрузкой, приложенной на бесконечности. Полагается, что границы обеих полуплоскостей очерчены по синусоиде с одной и той же длиной волны. Трение между упругими телами не учитывается. Задача сначала сведена к парным рядовым уравнениям, а затем к одному интегральному уравнению Абеля. Решение уравнения Абеля получено в замкнутой форме. Найдены формулы для определения всех компонент тензора напряжений в любой точке каждой из двух полуплоскостей. В частности, получено выражение для определения напряжений на площадке контакта. Выяснен весьма детально вопрос о величине области контакта. Решение получено в предположении, что наибольший зазор между упругими телами после деформации и амплитуды обоих синусоид малы по сравнению с длиной волны этих синусоид.
В работе Б.Л.Абрамяна [б] рассматривается осесимметричная за- дача о контакте между двумя слоями из различных материалов с учетом трения между слоями. Осесимметричная сжимающая внешняя нагрузка берется таким образом, что между слоями образуется контактная область в виде круга. Задача решена при помощи функции Лява, которая берется в виде интеграла Ханкеля. Решение задачи сводится к решению парных интегральных уравнений, содержащих функции Бесселя. Выражая функции интегрирования через функции, определяющие контактные давление и трение, система парных уравнений сводится к системе сингулярных интегральных уравнений второго рода. В конечном итоге решение задачи сводится к квазивпол-не регулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.
В работе Ю.А.Наумова и В.Д.Никофорова [5б] рассмотрена задача сжатия однородных изотропных полос неограниченной длины. Каждая полоса имеет постоянную толщину и упругие константы. Пакет покоится на упругом основании, а на верхнюю его границу действует нормальная распределенная симметричная нагрузка. Касательными напряжениями на границах полос пренебрегают. Решение задачи сводится к решению интегральных уравнений. В случае одного слоя получается одно уравнение. В этом случае показано, что отношение модулей упругости слоя и основания больше семи, слой ведет себя как пластинка, и область контакта вычисляется по формуле, полученной в работе [55].
Аналогичная задача о контакте произвольного числа гладких круглых пластин под действием осесимметричных нагрузок рассматривается в работе [97]. Распределение контактных давлений между пластинами представленр в виде рядов по бесселевым функциям, коэффициенты которых определяются из системы линейных уравнений. С помощью теории тонких пластин получено упрощенное решение задачи, использованное для определения расчетных параметров при контакте - ІЗ - двух пластин под действием сосредоточенных нагрузок.
В работе В.Д.Ламзюка и А.Н.Приварникова [38] приводится решение задачи теории упругости для бесконечного невесомого однородного и изотропного слоя. На одну из границ слоя действует нормальная сосредоточенная сила, которая прижимает его к неподвижному гладкому штампу, представляющий собой выпуклое тело вращения, ось которого совпадает с линией действия сосредоточенной силы. Требуется определить наибольшее возможное значение радиуса области контакта штампа со слоем для различных штампов и различных значений величины сосредоточенной силы. Решение задачи сводится к решению парных интегральных уравнений, содержащих функции Бесселя, а решения парных уравнений сведены к интегральному уравнению Абеля.
К другой работе тех же авторов [37] приводится решение контактной задачи,для слоя, который может отставать от основания.
В работе [iOl] рассмотрена осесимметричная контактная задача о давлении цилиндрического упругого штампа на слой, лежащий на упругом полупространстве. Задача сведена к системе двух сингулярных интегральных уравнений относительно контактных давлений, возникающих между штампом и слоем, а также между слоем и полупространством. Для двух вариантов формы основания штампа (плоского и сферического) приведено большое число графического материала в широком диапазоне параметров.
В работе [І27І рассмотрена двумерная задача теории упругости для полосы, лежащей без трения на полуплоскости из другого материала. Внешняя симметричная нагрузка прикладывается к полосе через жесткий штамп. Предполагается, что размеры области контакта между полосой и плоскостью неизвестны. Решение задачи сведено к решению систем двух сингулярных интегральных уравнений, ядро которых выражается некоторыми несобственными интегралами, а неиз- вестные функции - суть искомые контактные давления. Решение доведено до расчета контактного давления как в случае плоского штампа, так и криволинейного. Рассмотрены также более симметрично расположенные сосредоточенные силы.
В работе [П7] рассматривается плоская контактная задача о вдавливании упругого цилиндра (плоская деформация) в упругое основание, состоящее из упругого слоя, сцепленного с упругим полупространством. Касательные контактные напряжения между цилиндрами и основанием не учитываются. Требуется найти нормальное контактное напряжение и ширину области контакта. Используя при подсчете упругих перемещений в цилиндре формулы для упругого полупространства, авторы традиционным способом приводят задачу к интегральному уравнению первого рода относительно искомого контактного напряжения. Последнее решается численным методом. Приведен обширный числовой материал, иллюстрирующий изменение наибольшего значения контактного напряжения и ширины области контакта от параметров задачи.
В работе В.С.Никитина и Г.С.Шапиро [59J рассматривается задача о сжатии слоистых сред под действием кругового или кольцевого штампов. В качестве слоистой среды рассмотрен пакет из двух скрепленных между собой слоев, лежащий без трения на жестком основании. Упругие характеристики и геометрические параметры слоев различны. Показана возможность появления растягивающих контактных напряжений слоистых сред при наличии полного контакта с ними кругового или кольцевого штампа и даны новые решения контактных задач о сжатии слоистых сред и об изгибе однородного слоя под действием кругового и кольцевого штампов с учетом отставания упругой среды от их оснований.
Две контактные задачи с односторонними связями рассматриваются в другой работе [бі] тех же авторов.
Задачи с определением области контакта для трех тел рассмотрены в работах Албласа [98,99], Ердогана и Ратвани [їїі], Гладве-ла [114,115] , Прасада и Дасгупта [108,124], Стернберга и Туртел-тауба [132], Ту и-о и Гезиса [82] и др.
В работе [99] рассматриваются два других изотропных слоев из одного и того же материала, прижатых друг к другу. Между ними вставлен гладкий жесткий цилиндр, поперечное сечение которого очерчено двумя параболическими дугами с закрепленными углами. При |Х|<С имеет место контакт слоев с цилиндром, при С<М<С+0. слои не касаются друг друга и при |х|^С + О. слои контактируют между собой. В результате решения задачи найдены величины С и d , как функция приложенного давления. Кроме того, получены выражения для определения напряжений и перемещений. Решение доведено до числовых результатов.
В работе [98] тот же автор решил аналогичную задачу, когда жесткий цилиндр вставлен между двумя упругими полуплоскостями. Эта задача решена также в работе [II5J. Здесь решение задачи для двух полупространств строится в виде разложения по полиномам Чебышева, сводящихся к решению по [98]. В общем случае двух контактирующих слоев решение также приводится в виде разложения по полиномам Чебышева, для коэффициентов которого получается бесконечная система линейных уравнений. Сходимость разложений ухудшается с уменьшением толщины слоев.
Аналогичная задача, когда упругий прямоугольник сжимается по двум противоположным сторонам жесткими шероховатыми плоскостями, рассмотрена в работе [124]. Другие две стороны прямоугольника свободны от напряжений. Рассматривается случай плоской деформации. Каждая сторона прямоугольника, соприкасающаяся с жесткой плоскостью, делится на три участка: на внутреннем участке имеет место сцепление, на двух наружных - трение. Решение задачи сведено к решению двух сингулярных интегральных уравнений для двух функций, представляющих собой касательные напряжения на участках сцепления и проскальзывания. Система сингулярных уравнений превращена в систему двух интегральных уравнений второго рода... Получены формулы для определения нормальных и касательных напряжений на площадке контакта и указан способ нахождения размера участка, где имеет место сцепление.
В работе [108] рассматривается плоская задача о напряженном состоянии прямоугольного упругого диска. Две противоположные грани диска свободны от напряжений, а две другие сдавлвваготся одинаковыми штампами, к которым приложены дополнительно сдвигающие силы, уравновешенные силами трения по участкам контакта. Участки контакта включают соответствующие угловые точки диска, а положение двух других точек названных участков подлежат определению. Предполагается, что на участках контакта касательные и нормальные напряжения связаны законом Кулона. Решение задачи доведено до числовых результатов.
В работе [132] решена аналогичная задача для упругого цилиндра, который сжимается между двумя жесткими плитами.
В работе [82] рассматривается общая задача об упругом контакте плиты с двумя осесимметричными телами с различными упругими свойствами и различной кривизны. Решение двух результирующих интегральных уравнений дается в виде усеченных рядов по полиномам Лежандра четного порядка, коэффициенты которого могут быть определены из системы линейных алгебраических уравнений. Через эти коэффициенты выражены соотношения между полной нагрузкой, радиусами кривизны тел, радиусами площадок контакта поверхностей сближения, радиальными перемещениями, максимальным контактным напряжением и толщиной плиты. Числовые расчеты были проведены для случая контакта плиты с двумя одинаковыми сферами.
Контактные задачи с определением области контакта или отрыва для упругих тел конечных размеров рассмотрены в работах В.М.Александрова [8], З.А.Мартиросяна [43-45], З.А.Мартиросяна и В.М.Тонояна [4б], А.А.Баблояна, М.Г.Мелконяна [15], М.Г.Мелконя-на и А.М.Мкртчяна [48], Мкнари Орло [l2l], Г.А.Морар и Г.Я.Попова [50], Г.И.Слитера [129] и др.
В работе В.А.Александрова [в] предложен новый аналитический метод решения контактных задач для упругих тел конечных размеров, который основан на построении и использовании системы однородных решений. В конечном итоге решение задачи сведено к интегральному уравнению первого рода того же типа, что и в случае контактной задачи для соответствующего полубесконечного упругого тела, а также к нормальной бесконечной алгебраической системе Пуанкаре-Коха.
В работе [і21J рассматривается осесимметричная контактная задача для других конечных цилиндров, которые контактируют между собой торцами.
Предполагается, что цилиндры имеют одинаковые длины и диаметры и изготовлены из одного материала. Гладкий контакт происходит по торцам, имеющим выпуклые поверхности. Размеры области контакта двух цилиндров считаются неизвестными. Задача решается численно методом конечных элементов. Определены радиусы области контакта и контакты напряжения.
В работе [48]рассматривается плоская контактная задача теории упругости для двух прямоугольников из различных материалов, которые прижимаются друг к другу вдоль одной стороны без сцепления. Действия прижимающих сил, приложенных к сторонам прямоугольников, параллельных линии прижатия, передаются либо через жесткие гладкие штампы, либо непосредственно. Касательные напряжения по контуру прямоугольников отсутствуют. Зона контакта двух прямоугольников считается неизвестной. Решение задачи представляется в виде рядов Фурье с неизвестными коэффициентами, для определения которых получены бесконечные системы линейных уравнений и системы парных рядов уравнений, содержащих тригонометрические функции. Решения их сводятся к решению квазивполнерегулярных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. В общем случае размер зоны контакта зависит от упругих характеристик материалов. В частном случае, когда имеется двуосная геометрическая симметрия, размер зоны контакта не зависит от упругих параметров материалов.
В работе З.А.Мартиросяна [45 J рассматривается осесимметричная контактная задача теории упругости для двух цилиндров с различными упругими свойствами, имеющих конечные длины, одинаковые диаметры, и контактированные между собой торцами, когда одна из них по нижней торцевой плоскости опирается на жесткое, гладкое основание. На боковых поверхностях цилиндров нормальные и касательные напряжения равны нулю. Контакт между цилиндрами принимается гладким, а зона контакта двух цилиндров и между нижним цилиндром и основанием считаются неизвестными. К верхнему торцу верхнего цилиндра приложена осесимметричная сжимающая нагрузка таким способом, что образуются контактные области в виде крута. Решение задачи представляется в виде рядов Фурье и Фурье-Дини, при этом для определения коэффициентов этих рядов получена система из двух бесконечных систем линейных уравнений и двух парных рядов - уравнений, содержащих функции Бесселя. Решение их сводится к решению квази-вполне регулярных бесконечных систем, свободные члены которых стремятся к нулю.
В этой работе решена также аналогичная задача, когда на боковых поверхностях цилиндров выполнены условия симметрии, то есть когда на боковых поверхностях цилиндров нормальные перемещения и касательные напряжения равны нулю.
Приведенный обзор показывает, что исследования контактных за- дач с заранее неизвестной величиной зоны контакта, проведены в основном для полубесконечных упругих тел в виде полос, слоев, полуплоскостей и полупространств. При этом большинство проведенных исследований относятся к плоской задаче.
Во всех исследованиях из возможных внешних факторов, влияющих на величину зоны контакта, рассматривалось лишь влияние распределенных и сосредоточенных сил, и в некоторых случаях влияние собственного веса контактирующих тел.
Таким образом, не исследованы многие вопросы контакта и отрыва упругих тел, остаются не выясненными вопросы влияния на величину зоны контакта разнообразных внешних факторов, видов нагру-жения, граничных условий и форм областей, зажимаемых контактирующими телами. Исследованию некоторых из приведенных вопросов и посвящена настоящая работа.
Работа состоит из введения и двух глав.
В первой главе приведены решения трех задач о контакте по торцам конечных цилиндров из различных материалов, заделанных по цилиндрическим поверхностям.
В первом параграфе приведены основные уравнения и общие решения осесимметричной задачи теории упругости, используемые в дальнейшем.
Второй параграф посвящен решению задачи о контакте двух цилиндров конечной длины с скользящей заделкой по цилиндрическим поверхностям, под воздействием внешних распределенных сил, приложенных по их свободным торцам. Исследовано влияние упругих характеристик и размеров цилиндров, а также распределения внешней нагрузки на величину зоны контакта между ними.
В третьем параграфе решена та же задача о контакте двух цилиндров, когда один из них заделан по нижнему торцу.
Исследованию контактной задачи трех цилиндров посвящен чет- вертый параграф. Рассматривается задача о контактах трех цилиндров одинакового диаметра, при скользящей заделке по боковым поверхностям, когда крайние цилиндры одинаковы по размерам и своим упругим характеристикам.
Во второй главе исследованы три задачи о контакте конечных цилиндров со свободными поверхностями с определением размера области контакта.
В первом параграфе второй главы исследовано влияние размеров цилиндров и распределения нагрузки на величину зоны отрыва в контакте двух конечных цилиндров с свободными боковыми поверхностями и нагруженными по торцам.
Во втором параграфе приведено решение контактной задачи двух цилиндров, когда один из них со скользящей заделкой боковой поверхности заделан по одному торцу, а второй цилиндр имеет свободную боковую поверхность и нагружен по торцу.
Решение задачи о контакте трех цилиндров со свободными боковыми поверхностями и нагруженных по свободным торцам, приведено в третьем параграфе второй главы.
Все приведенные задачи решены единно - методом Фурье. Решение представлено в виде суммы двух рядов Фурье и Фурье-Дини. Определение неизвестных коэффициентов первоначально приведено к решению парных рядов уравнения, а затем к решению регулярных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Во всех задачах внешние нагрузки и геометрические параметры цилиндров выбраны таким образом, что образуется контактная область в виде кольца. Внутренний радиус области контакта двух цилиндров считается неизвестным и определяется из условий непрерывности контактных нормальных напряжений.
Решения всех приведенных задач доведены до численных результатов. Для некоторых значений внешней нагрузки приведены таблицы и построены графики для контактных напряжений и зависимости размера области контакта от длины цилиндров и упругих характеристик материала.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [I4I-I45], доложены на всесоюзных научных конференциях, и обсуждались на заседании кафедры теоретической механики ЕрПЙ имени К.Маркса.
Для всех задач составлены программы на алгоритмическом языке ФОРТРАН-4 [33,42], численные результаты получены на ЭМ EG-I020 и EC-I022.
Автор выражает свою глубокую благодарность к.ф.м.н. В.С.Тонояну, под руководством которого была выполнена настоящая работа, а также старшему преподавателю кафедры "Теоретическая механика" ЕрПЙ, к.ф.м.н. З.А.Мартиросяну за помощь и ценные указания.
Осесимметричная контактная задача для двух конечных цилиндров, загруженных по торцам
Современные технические средства чрезвычайно сложны и многообразны. Некоторые машины и приборы работают в условиях высоких скоростей, давлений, температур и других экстремальных воздействий. Повышение эксплуатационных требований приводит к необходимости применения разнообразных новых материалов и разработок более совершенных технологических процессов при конструировании и изготовлении машин. Это ставит перед конструкторами современных машин все более сложные задачи, решение которых связано с дальнейшим развитием теории упругости, призванной быть надежным фундаментом при расчетах на прочность, жесткость и точность машин и приборов. В этой связи определенный интерес представляют контактные задачи, решениям которых были посвящены классические работы Герца [і18], служащие основой многочисленных технических предложений.
Исследованиям контактных задач теории упругости посвящены многочисленные работы советских и зарубежных исследований. Этим задачам много места уделено в фундаментальном труде Н.И.Мусхели-швили [53].
Обширный обзор этих работ содержится в обзорных статьях Д.И.Шер-мана [93,94], Б.Л.Абрамяна [2,3,4], Б.Л.Абрамяна и А.Я.Александрова [5], В.Л.Рвачева [72], Г.Я.Попова [бб], Г.Я.Попова и Н.А.Ростовцева [68], А.И.Каландия, А.Н.Лурье, Г.Ф.Манджавидзе, В.К.Прокопова и Я.С.Уфлянда [32], В.И.Моссаковского [51,52], в монографиях Л.А.Галина [23,24], Бабушки, Ректорыса и Выйяхло [lOO], И.Я.Штаермана [95], О.И.Снеддона [7б], Я.С.Уфлянда [87,88], В.З.Партона и Г.П.Черепанова [65], В.З.Партона и Е.М.Морозова [64], Г.П.Черепанова [92], В.В.Панасгока, М.П.Савргока и А.П.Дапыщина [63], И.Й.Воровича, В.М.Александрова и В.А.Бабешко [21], А.Ф.Улитко [85], В.Т.Гринченко [27], Г.Я.Попова [67], И.Й.Воровича [22], Ю.А.Амен - 4 заде [Ю], В.М.Александрова и С.М.Мхитаряна [9], В.С.Саркисяна [73], в работах Б.Л.Абрамяна [I], Н.Х.Арутюняна [7], В.М.Александрова [8], Б.М.Нуллера [62], В.Т.Гринченко и А.Ф.Улитко [28], В.В.Дробязко, В.Н.Никитенко и А.Ф.Улитко [29], В.Д.Купрадзе [Зб], А.В.Белоконь [16], Г.М.Валова [17], А.А.Баблояна и В.С.Тонояна [12], В.С.Тонояна [78,79], В.А.Сазонова и И.Е.Троянского [74], С.М.Мхитаряна и Ф.С.Торосяна [54] и др., а также в коллективной монографии [71]. Дальнейшее развитие этих задач связано с усложнением поверхностей контакта, разнообразием физико-механических свойств материалов контактирующих тел и уменьшением степени идеализации модели контакта.
В последнее время большое внимание исследователей привлекают задачи с неизвестными зонами контакта, с возможным отрывом контактирующих тел. При этом определяются внешние нагрузки и параметры, обеспечивающие отсутствие отрыва или величину зоны отрыва. Подобные задачи могут возникнуть при диффузионной сварке, проектировании различных опор и фундаментов и т.д., где необходимо надежное прижатие по всей поверхности контакта. Решения подобных задач основаны на допущении, что при достаточно гладких соприкасаемых поверхностях контактирующих тел нормальные напряжения и их взаимодействия на линии отрыва равны нулю. Из этого условия получают уравнения, необходимые для определения величины зоны контакта или другого неизвестного параметра задачи.
По этому методу исследованы многие контактные задачи для бесконечной плоскости с круговыми или эллиптическими вставками, задачи о контакте тел, имеющих вид полуплоскостей, полупростарнств, полос, слоев, а также некоторые контактные задачи для ограниченных тел.
Рассмотрим два цилиндра одинакового диаметра, прижатые друг к другу по торцам (рис. І.І). Цилиндры из различных материалов и имеют разные длины. На боковой поверхности цилиндров нормальные перемещения и касательные напряжения отсутствуют. По кольцевой области свободных торцов цилиндров приложена симметричная распределенная сжимающая нагрузка. Предполагается, что при этом возможен отрыв неизвестной контактирующих торцевых поверхностей цилиндров в центральной круговой неизвестной области. Контактирующие поверхности цилиндров приняты гладкими и касательные напряжения на них равны нулю.
Осесимметричная контактная задача для двух конечных цилиндров с защемленным нижним торцом
Точное решение этой задачи по линейной теории упругости приведена в работе [34]. Рассмотрена контактная задача с уменьшающейся зоной контакта для гладкого упругого слоя, вдавливаемого в гладкое упругое полупространство. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно некоторой вспомогательной функции, непосредственно связанной с контактным давлением. Интегральное уравнение однородно, и задачу об определении размеров контактной зоны можно рассматривать как задачу о собственных значениях. Это уравнение можно решить численно с любой требуемой степенью точности. В частности, для плоской и осесим-метричной задач найдены размеры зоны контакта и контактные напряжения, вызванные приложением сосредоточенной и равномерно распределенной нагрузок. Полученное решение хорошо согласуется с данными, приведенными в [20].
В другой работе тех же авторов [I07J, указанная задача сводится к неоднородному интегральному уравнению Фредгольма. Это уравнение предлагается решить численно. Указан путь определения размеров области контакта. Приведены соответствующие графики. Решение этой задачи для случая контакт со сцеплением получено в работе [119].
Аналогичная задача о контакте с упругим полупространством решена в работе [69]. Показано, что бесконечный гладкий упругий слой, свободно лежащий на упругом полупространстве, отрывается от последнего под действием любой нормальной нагрузки, прижимающей слой к основанию и приложенной к ограниченной области поверхности слоя. Для случая, когда на слой действует нормальная сосредоточенная сила, определена величина площади контакта слоя с полупространством и распределение контактных напряжений на ней. Задача решена методом парных интегральных уравнений.
В работе [60] рассматриваются две контактные задачи теории упругости для слоя прижатого к упругому полупространству под действием локальной осесимметричной нагрузки, приложенной к поверхности слоя. При этом рассматриваются два случая: когда слой весом, а в другом - невесом. В обоих случаях трение между слоем и основанием отсутствует.
Под действием нагрузки весомый слой отходит от основания в кольцевой области. Невесомый слой принимается закрепленным на бесконечности, так что после приложения к нему нагрузки напряжения и перемещения на бесконечности остаются равными нулю. В таком случае невесомый слой под действием нагрузки отходит от основания в кольцевой области как весомый слой. Упругие характеристики слоя и полупространства задаются произвольно. Обе задачи сведены к неоднородным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Дано численное решение задачи о невесомом слое. Определены радиус площади контакта между слоем и полупространством и напряжения на этой площадке.
В работе В.Д.Ламзюка [39] исследуются два типа задач теории упругости о неполном контакте тяжелого слоя с упругим многослойным основанием.Предлагается метод решения задач об отставании весомого слоя от основания при воздействии сжимающих внешних нагрузок и об отрыве слоев друг от друга растягивающими усилиями. Обе задачи рассмотрены в условиях как плоской, так и осесимметричной деформации. Выяснены условия, при которых отставание и отрыв возможны.
Задача первого типа сводится к решению сингулярных интегральных уравнений, а второго - к решению парных интегральных уравнений. В обоих случаях эти уравнения сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, для которых приводятся численные приближенные аналитические решения. Конкретные вычисления проведены в случае, когда внешняя нагрузка, действующая на слой, представляет собой сосредоточенную силу. Исследования показали, что учет веса слоя приводит к существенному изменению характера контакта его с основанием. В отличие от случая невесомого слоя, тяжелый слой отстает от основания лишь при выполнении определенных условий.
Доказательство регулярности бесконечной системы
В работе [108] рассматривается плоская задача о напряженном состоянии прямоугольного упругого диска. Две противоположные грани диска свободны от напряжений, а две другие сдавлвваготся одинаковыми штампами, к которым приложены дополнительно сдвигающие силы, уравновешенные силами трения по участкам контакта. Участки контакта включают соответствующие угловые точки диска, а положение двух других точек названных участков подлежат определению. Предполагается, что на участках контакта касательные и нормальные напряжения связаны законом Кулона. Решение задачи доведено до числовых результатов.
В работе [132] решена аналогичная задача для упругого цилиндра, который сжимается между двумя жесткими плитами.
В работе [82] рассматривается общая задача об упругом контакте плиты с двумя осесимметричными телами с различными упругими свойствами и различной кривизны. Решение двух результирующих интегральных уравнений дается в виде усеченных рядов по полиномам Лежандра четного порядка, коэффициенты которого могут быть определены из системы линейных алгебраических уравнений. Через эти коэффициенты выражены соотношения между полной нагрузкой, радиусами кривизны тел, радиусами площадок контакта поверхностей сближения, радиальными перемещениями, максимальным контактным напряжением и толщиной плиты. Числовые расчеты были проведены для случая контакта плиты с двумя одинаковыми сферами.
Контактные задачи с определением области контакта или отрыва для упругих тел конечных размеров рассмотрены в работах В.М.Александрова [8], З.А.Мартиросяна [43-45], З.А.Мартиросяна и В.М.Тонояна [4б], А.А.Баблояна, М.Г.Мелконяна [15], М.Г.Мелконя-на и А.М.Мкртчяна [48], Мкнари Орло [l2l], Г.А.Морар и Г.Я.Попова [50], Г.И.Слитера [129] и др.
В работе В.А.Александрова [в] предложен новый аналитический метод решения контактных задач для упругих тел конечных размеров, который основан на построении и использовании системы однородных решений. В конечном итоге решение задачи сведено к интегральному уравнению первого рода того же типа, что и в случае контактной задачи для соответствующего полубесконечного упругого тела, а также к нормальной бесконечной алгебраической системе Пуанкаре-Коха.
В работе [і21J рассматривается осесимметричная контактная задача для других конечных цилиндров, которые контактируют между собой торцами.
Предполагается, что цилиндры имеют одинаковые длины и диаметры и изготовлены из одного материала. Гладкий контакт происходит по торцам, имеющим выпуклые поверхности. Размеры области контакта двух цилиндров считаются неизвестными. Задача решается численно методом конечных элементов. Определены радиусы области контакта и контакты напряжения.
В работе [48]рассматривается плоская контактная задача теории упругости для двух прямоугольников из различных материалов, которые прижимаются друг к другу вдоль одной стороны без сцепления. Действия прижимающих сил, приложенных к сторонам прямоугольников, параллельных линии прижатия, передаются либо через жесткие гладкие штампы, либо непосредственно. Касательные напряжения по контуру прямоугольников отсутствуют. Зона контакта двух прямоугольников считается неизвестной. Решение задачи представляется в виде рядов Фурье с неизвестными коэффициентами, для определения которых получены бесконечные системы линейных уравнений и системы парных рядов уравнений, содержащих тригонометрические функции. Решения их сводятся к решению квазивполнерегулярных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. В общем случае размер зоны контакта зависит от упругих характеристик материалов. В частном случае, когда имеется двуосная геометрическая симметрия, размер зоны контакта не зависит от упругих параметров материалов.
Контактная задача для трех соосных цилиндров
В работе З.А.Мартиросяна [45 J рассматривается осесимметричная контактная задача теории упругости для двух цилиндров с различными упругими свойствами, имеющих конечные длины, одинаковые диаметры, и контактированные между собой торцами, когда одна из них по нижней торцевой плоскости опирается на жесткое, гладкое основание. На боковых поверхностях цилиндров нормальные и касательные напряжения равны нулю. Контакт между цилиндрами принимается гладким, а зона контакта двух цилиндров и между нижним цилиндром и основанием считаются неизвестными. К верхнему торцу верхнего цилиндра приложена осесимметричная сжимающая нагрузка таким способом, что образуются контактные области в виде крута. Решение задачи представляется в виде рядов Фурье и Фурье-Дини, при этом для определения коэффициентов этих рядов получена система из двух бесконечных систем линейных уравнений и двух парных рядов - уравнений, содержащих функции Бесселя. Решение их сводится к решению квази-вполне регулярных бесконечных систем, свободные члены которых стремятся к нулю.
В этой работе решена также аналогичная задача, когда на боковых поверхностях цилиндров выполнены условия симметрии, то есть когда на боковых поверхностях цилиндров нормальные перемещения и касательные напряжения равны нулю.
Приведенный обзор показывает, что исследования контактных за дач с заранее неизвестной величиной зоны контакта, проведены в основном для полубесконечных упругих тел в виде полос, слоев, полуплоскостей и полупространств. При этом большинство проведенных исследований относятся к плоской задаче.
Во всех исследованиях из возможных внешних факторов, влияющих на величину зоны контакта, рассматривалось лишь влияние распределенных и сосредоточенных сил, и в некоторых случаях влияние собственного веса контактирующих тел.
Таким образом, не исследованы многие вопросы контакта и отрыва упругих тел, остаются не выясненными вопросы влияния на величину зоны контакта разнообразных внешних факторов, видов нагру-жения, граничных условий и форм областей, зажимаемых контактирующими телами. Исследованию некоторых из приведенных вопросов и посвящена настоящая работа.
Работа состоит из введения и двух глав. В первой главе приведены решения трех задач о контакте по торцам конечных цилиндров из различных материалов, заделанных по цилиндрическим поверхностям.
В первом параграфе приведены основные уравнения и общие решения осесимметричной задачи теории упругости, используемые в дальнейшем.
Второй параграф посвящен решению задачи о контакте двух цилиндров конечной длины с скользящей заделкой по цилиндрическим поверхностям, под воздействием внешних распределенных сил, приложенных по их свободным торцам. Исследовано влияние упругих характеристик и размеров цилиндров, а также распределения внешней нагрузки на величину зоны контакта между ними.
В третьем параграфе решена та же задача о контакте двух цилиндров, когда один из них заделан по нижнему торцу.
Исследованию контактной задачи трех цилиндров посвящен чет вертый параграф. Рассматривается задача о контактах трех цилиндров одинакового диаметра, при скользящей заделке по боковым поверхностям, когда крайние цилиндры одинаковы по размерам и своим упругим характеристикам.
Во второй главе исследованы три задачи о контакте конечных цилиндров со свободными поверхностями с определением размера области контакта.
В первом параграфе второй главы исследовано влияние размеров цилиндров и распределения нагрузки на величину зоны отрыва в контакте двух конечных цилиндров с свободными боковыми поверхностями и нагруженными по торцам.
Во втором параграфе приведено решение контактной задачи двух цилиндров, когда один из них со скользящей заделкой боковой поверхности заделан по одному торцу, а второй цилиндр имеет свободную боковую поверхность и нагружен по торцу.
Решение задачи о контакте трех цилиндров со свободными боковыми поверхностями и нагруженных по свободным торцам, приведено в третьем параграфе второй главы.
Все приведенные задачи решены единно - методом Фурье. Решение представлено в виде суммы двух рядов Фурье и Фурье-Дини. Определение неизвестных коэффициентов первоначально приведено к решению парных рядов уравнения, а затем к решению регулярных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Во всех задачах внешние нагрузки и геометрические параметры цилиндров выбраны таким образом, что образуется контактная область в виде кольца. Внутренний радиус области контакта двух цилиндров считается неизвестным и определяется из условий непрерывности контактных нормальных напряжений.
