Содержание к диссертации
Введение
1. Математическое описание принятия экономических решений 9
1. Экономический-механизм и проблема матема тического описания процессов принятия решений 9
2. Общий подход к описанию систем стимулирования эффективности производства 14
3. Исследуемый класс моделей экономического поведения 22
2. Общий подход к анализу выделеннрго класса математических моделей экономического поведения 33
1. Формализация алгоритма принятия решения в виде однозначного, непрерывного оператора 33
2. Исследование равновесных точек системы 43
3. Исследование динамических свойств системы 54
4. Изучение отдельных гипотез о поведении производственных единиц 61
5. Исследование равновесных состояний системы (сравнительная статика) 73
3. Исследование модели экономического механизма стимулирования внедрения научно-технического прогресса в производстве 83
1. Описание модели 83
2. Применение общего метода для исследования модели 91
3. Влияние Центра на равновесные значения эффективности 97
4. Имитационные исследования модели 101
Заключение 106
- Общий подход к описанию систем стимулирования эффективности производства
- Исследование равновесных точек системы
- Исследование равновесных состояний системы (сравнительная статика)
- Влияние Центра на равновесные значения эффективности
Введение к работе
Необходимость решения поставленных хозяйственной практикой задач совершенствования хозяйственного механизма требует от специалистов по экономико-математическим методам комплексного изучения проблем математического описания и анализа экономических механизмов управления народным хозяйством [l-4J. Обеспечение выполнения планов остается одной из центральных экономических проблем и поэтому в настоящее время усилия специалистов в основном направлены на решение задач планирования. Но там, где план формулируется в агрегированных показателях и допускает некоторую свободу выбора, решение, которое примет хозяйственник, будет зависеть от совокупности условий, определяемых действием административных и экономических рычагов, порядком морального и материального поощрения, т.е. от того, что принято называть хозяйственным механизмом. В этих условиях актуальными становятся задачи построения и анализа не только моделей планирования, но и моделей хозяйственного механизма, в которых бы учитывались эти часто труднофор-мализуемые условия хозяйственной деятельности.
Экономический механизм предназначен для того, чтобы направлять деятельность отдельных лиц и организаций на достижение общенародных целей, преодолевая тем самым стихийность,вызываемую как случайностями в течении природных процессов, так и наличием собственных интересов у производственных и других экономических единиц. При построении математических моделей экономического механизма прежде всего необходимо математически описать систему организационных, правовых, экономических и финансовых процедур и правил, использующихся в экономичес-
кой практике, а также не использовавшихся до настоящего времени, но представляющих интерес для исследования.
Далее, надо уметь математически описать реакцию отдельных людей и целых коллективов на различные аспекты экономического механизма. Это означает, что должны быть разработаны принципы построения математических моделей, достаточно точно описывающие интересы людей и организаций и учитывающие социальные и психологические факторы, которые воздействуют на принятие экономических решений в реальности [4-6J . Модели хозяйственного механизма являются сложными, и основным методом анализа таких моделей является имитационное исследование [7-ю] . В этом направлении получены определенные результаты, но одновременно становится ясно, что имитационные исследования сложных моделей необходимо дополнять теоретическим анализом вспомогательных, упрощенных моделей с целью изучения общих свойств и нахождения интересных вариантов операционных правил, которые могут быть затем проанализированы в экспериментах с основной моделью [іі-із]. Именно этот аспект изучения моделей хозяйственного механизма нашел отражение в настоящей работе.
Данная работа посвящена изучению одного подхода к построению математических моделей экономического поведения людей, находящихся под воздействием хозяйственного механизма. Этот подход был предложен в работе [I4J и его особенностью является то, что принятие экономических решений описывается не при помощи заранее заданного критерия в виде функции полезности, как это делается обычно, а на основе выделения в пространстве показателей, интересующих принимающего решения, некоторо- |
го множества "благоприятных значений" показателей. После этого цель деятельности принимающего решения описывается как приближение к этому множеству показателей. Другая особенность заключается в том, что на процесс выработки и принятия реше- і ния оказывают воздействие социально-психологические факторы. / На основе данного подхода другими авторами были построены и с помощью имитационных экспериментов изучались отдельные модели fl5-I6J . В отличие от этих исследований в данной работе выделяется один класс математических моделей экономического поведения, основанный на указанном подходе, и разрабатывается математический аппарат его теоретического исследования. Отме- j тим, что изучаемый класс моделей является достаточно общим и \ как частный случай включает многие, рассмотренные ранее дру- \ гими авторами, модели.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.
В первой главе приводится общий подход к математическому описанию принятия решения, основанный на учете социально-психологических факторов. В этом подходе считается, что принимающий решение имеет модель окружающей среды, способен предвидеть последствия принимаемых решений и в своей деятельности ориентируется на вектор показателей, зависящих от предыдущих решений и от реакции окружающей среды. Принимающий решение I считает свою деятельность удовлетворительной, если эти показа- ,; тели принадлежат некоторому множеству, задаваемому административными указаниями и социальными требованиями. Границы упомянутого множества можно интерпретировать как широко используемое психологами понятие "уровень притязаний".
На основе общего подхода выделяется исследуемый класс моделей, в котором делается ограничение на количество показателей. Именно, считалось, что принимающий решение имеет два показателя своей деятельности - поощрение и затраты усилий, а границы множества благоприятных значений этих показателей складываются в результате сравнения аналогичных показателей внутри группы производственных единиц. При этом алгоритм принятия решения каждой производственной единицы строится как выбор величины показателя, ближайшей к некоторой выделенной точке, которая в свою очередь на каждом этапе определяется однозначно. Этот процесс воспроизводится во времени, порождая, таким образом, динамическую систему.
Во второй главе проводится теоретическое исследование изучаемого класса моделей. Выделяются фазовые переменные, которые определяют состояние системы в данный и следующий моменты времени, и показывается возможность построения оператора, определяющего изменение фазовых переменных. Исследуются свойства данного оператора, доказывается его непрерывность и существование равновесных точек. В работе описывается множество равновесных точек системы и исследуются факторы, влияющие на это множество. Используя теорию моделей коллективного поведения [l7j , приводится метод исследования динамических свойств системы. Таким образом, оказывается разработанным математический аппарат теоретического исследования равновесия и устойчивости для выделенного класса моделей. Полученная методика исследования применяется для анализ!некоторых важных частных случаев.
В третьей главе изучается модель экономического механизма стимулирования внедрения научно-технического прогресса в
производстве. Ранее эта модель исследовалась имитационно. Здесь используется математический аппарат второй главы и проводится аналитическое исследование. Это позволило как объяснить известные свойства, так и выявить новые особенности модели. Данная модель была реализована в диалоговом режиме на ЭВМ БЭСМ-6. В экспериментах с программой были выявлены все эффекты, предсказанные теоретически. В приложении приводятся блок-схема и распечатка Фортран-программы имитационной системы.
Основные результаты работы докладывались на 28 и 29 научных конференциях МЕТИ, на П '.. конференции по оптимальному планированию и управлению народным хозяйством, на П Всесоюзной конференции "Проблемы и методы принятия решений в организационных системах управления" и опубликованы в {44-46J.
Автор искренне благодарит научного консультанта - кандидата физико-математических наук А.В.Лотова за постановку задачи и проявленное внимание к работе.
Общий подход к описанию систем стимулирования эффективности производства
Рассмотрим некоторую производственную единицу, находящуюся под воздействием хозяйственного механизма. Этой единицей может быть объединение, предприятие, цех, бригада или один трудящийся. Эту производственную единицу будем рассматривать как единое целое. Будем считать, что решения принимаются изу чаемой единицей в дискретные моменты времени t O,{,2f... . При нятие решений в момент t будем понимать как присвоение век тору переменных X (ir) некоторых конкретных значений X (i) . Технологические возможности изучаемой единицы пред ставим в виде где Uft) - множество решений в момент t , допустимых с точ ки зрения материальных условий производства. Технологические ограничения изменяются во времени в зависимости от решений производственной единицы в предыдущий момент времени X (i-i) и вектора внешних воздействий \f(i)-E : Здесь (xi - оператор отображения, действующий из в и зависящий от X (І-&) и У ft) . Внешние воздействия У ft) отражают влияние вышестоящих организаций и других производственных единиц. Считается, что производственная единица активна [і1,34] в том смысле, что может оценивать последствия принимаемых ре шений на основе имеющейся у нее субъективной математической модели внешнего по отношению к этой единице мира. Последствия решений - это будущие внешние воздействия на изучаемую едини цу, т.е. величины {У( ))У(? 1), ; У( + Т)\ , где Т - чис ло периодов времени, на которые распространяется предусмотри тельность единицы. Если в момент t задать некоторый прогноз решений системы на / шагов вперед, т.е. последовательность векторов то модель может быть представлена как отображение G2 из пространства прогнозов решений в пространство прогнозов внешних воздействий: где У (чч - прогноз внешних воздействий на момент , сделанный в момент t , V(0 " - вектор параметров субъективной модели окружающего мира (внутренние параметры).
В общем случае при принятии решения в момент г. производственная единица получает информацию о некоторых составляющих вектора y(t) , точнее говоря, причем вектор %Ф известен производственной единице до принятия решения в момент t . Поэтому в субъективной модели (2.3) фактически предсказывается не весь вектор у(чО) , а только его часть fy . Предполагается, что в изучаемых процессах структура модели остается постоянной, а изменения в ней происходят лишь за счет изменения параметров iT(t) , которые описываются следующим образом. Перед принятием решения в момент t параметры модели корректируются по информации, пришедшей с момента принятия предыдущего решения, т.е. по % ( 4) и Й (ч . Новое значение Vft) подсчитывается на основе несовпадения прогноза, сделанного в момент ir-i , с фактической реализацией прогнозировавшихся величин: Таким образом, изменение параметров V(t) отражает адаптацию субъективной модели окружающей среды. Основная характеристика настоящего подхода заключается в отсутствии заранее заданной "функции мотивации" (функции по- лезности, критерия принятия решения и т.д.). Вместо этого предлагается использовать идею гомеостазиса [2] следующим образом: будем считать, что в своей деятельности производственная единица ориентируется на некоторый вектор показателей, f В , причем значения показателей в момент t зависят как от решения X(t) , так и от внешних воздействий Эти показатели включают как различные виды поощрения со стороны вышестоящей организации, так и формально не входящие в формулировку экономического механизма другие показатели, связанные с развитием производственной единицы (престижем, затратой усилий в процессе управления и т.д.). Считается, что в каждый момент І: у производственной единицы имеется представление об удовлетворительных уровнях каждой составляющей вектора показателей на Г шагов вперед. Точнее говоря, единица может оценить некоторые векторы f0 (ti w такие, что вектор показателей / 4 ) , для которого выполняется соотношение f (i+t) : ро (t,T) , удовлетворяет ее. Все векторы показателей, для которых выполняется указанное соотношение, образуют множество благоприятных показателей, которое обозначим через Ро ( і ) . Невыполнение этого соотношения для некоторого показателя вызывает "психологическую напряженность". Ограничения Poitft} Pft+t) в отличие от ограничений (2.1) называются экономическими. В данном подходе считается, что в уровнях Pefttfy учитывается социальное воздействие других производственных единиц, "родственных" исследуемой. Под понятием "родственные" производственные единицы подразумеваются такие производственные еди- ницы, с показателями деятельности которых изучаемая единица сравнивает свои показатели. Связанные таким образом произвол- I ственные единицы образуют реальную группу, которая может осно-! вываться на производственном признаке, скажем, подчинении одной и той же организации (предприятия одного объединения или ; объединения одного министерства), или же на территориальном признаке. Таким образом, величины Я(Ь ) зависят от того, какие показатели р будут иметь в моменты t+t другие производственные единицы, точнее говоря, предполагается, что где рі+іч- прогноз в момент t на t шагов вперед некоторого вектора показателей f ."характерного" для группы производственных единиц ("характерным" значением вектора показателей может быть, например, вектор средних по группе значений, вектор наилучших или наихудших значений и т.д.). Считается, что "характерные" значения показателей являются частью внешних воздействий, т.е. они также прогнозируются в модели окружающей среды (2.3), причем в момент t вектор "ptt) является составляющей Уг(У.
Через С (і) в соотношении (2.6) обозначен вектор величин, характеризующих отношение к "характерным" значениям показателей. Выбор того или иного "характерного" значения и вектор С(і) можно интерпретировать как формализацию понятия социальная установка или диспозиция 25,28]по отношению к показателям. Установка понимается как регулятор поведения в различных условиях (т.е. при различных ожиданиях показателей "родственных" производственных единиц). Вектор c(t) - это вторая составляющая вектора внутренних переменных. Ориентация на "характерные" общегрупповые показатели естественна при оценке своих результатов, поскольку даже вышестоящая организация обычно оценивает деятельность, сравнивая показатели подчиненной ей производственной единицы с общегрупповыми. Вектор установки С (4) определяется социальным взаимодействием, в том числе и социальным статусом изучаемой единицы в группе. Поскольку установка С(4) и ожидаемые "характерные" показатели P( fi) определяют удовлетворительные уровни показателей Po(tft) , в стремлении поддерживать эти удовлетворительные уровни выражается социальная определенность принимаемого решения. Поскольку же установка меняется не так быстро, как ситуация, в [ы] ее изменение не рассматривалось и считалось, что С(t) = С = СапЛЇ Теперь, определив основные понятия настоящего подхода, сформулируем алгоритм,используемый для описания принятия решения. Пусть решение принимается в момент t . Величины С и Т заданы заранее, а множество и векторы уже известны в результате функционирования производственной единицы на предыдущих этапах. Заметим, что. задав некоторую последовательность возможных решений fX( 0)f...9X(ifT)j , по субъективной модели (2.3) можно получить соответствующую ей последовательность внешних воздействий По этим двум последовательностям на основе соотношения (2.2) можно построить прогноз / U( iO)} ..., U(f? I ) j . Очевидно, что не для всякой последовательности возможных решений будет выполняться условие Обозначим через Ли(ч множество таких последовательное- полняется. Предполагается, что изучаемая производственная единица такова, что Хо ) не пусто. Пусть теперь [р( і0) -- .... р(Щ- прогноз показателей, построенный на основе последовательности решений {x(t,0)9... 7 X(tfT) } , соответствующего ей прогноза воздействий [\/(tt)i " У fa?)} и соотношения (2.5). Обозначим через XpW множество таких последовательностей решений, для которых выполняется соотношение (2.7) и где множество HfttV рассчитывается на основе соотношения (2.6).
Исследование равновесных точек системы
Для нахождения неподвижных точек отображения №(%) в (1.33) опустим аргументы t и t-i у всех величин. При этом получим S A/" уравнений с &М неизвестными Vf , - » G Q2 -4,. 7У , совместное решение кото- рых очевидно является равновесием системы. Решать эту систему уравнений будем последовательным исключением неизвестных. Из свойств функций /v far У) следует, что равенство Рі ( хіУ) У возможно лишь в том случае, если Х=У . Отсюда следует, что решениями уравнений являются соответственно - И 51 2( . Теперь воспользуемся свойствами функций поощрения gifc!/) и докажем Лемму. Лемма 2. Пусть (Х У) - непрерывная, монотонно возрастающая по я: и монотонно убывающая по У функция. В силу Леммы I существует непрерывная, монотонно возрастающая по обоим аргументам функция (!/,?) такая, что ( Wt/, ), )- В Пусть кроме того функция $(Х У) является однородной нулевой степени, т.е. при УЛ о $(Лх,Яу) $(Хг9) . Тогда имеют место следующие утверждения Доказательство. Доказательство Леммы можно было бы про вести непосредственно, основываясь только на свойстве нуле вой однородности функции (xiif) . Но наиболее очевидны ут верждения Леммы в том случае, если воспользоваться тем, что общий вид функции нулевой однородности от двух аргументов есть (х,у)= % \ д) , где КЧ) - непрерывная, мо- нотонно возрастающая функция. Тогда, если (2) есть функ-ция обратная к Си) , т.е. $(т(г))=ё , то общий вид функции Ц (у,2-) есть (% 2)-(?) i/ . Отсюда сразу получаем утверждение fc/ . Свойство (и) будет следовать.из того, что $( ,х)= $()=? ( )= & и Ц(їо)=1 , т.е. (4,2)- ( У-У . С другой стороны, функция С?) оче- видно монотонно возрастающая и, следовательно, ЦС%) (f(&)=i при 2 2о и Р(Ю (? )-і при & . Отсюда получа- ем (їіі) . Лемма доказана. Как следствие из Леммы получаем, что при Vx 0 Qi(X%X) Ce flbtf i=d,Af. в дальнейшем эти константы мы будем обозначать Отсюда следует, что 5 ftyi(%%)9...,fr(W,tW) fthr.., Ce t Следовательно, для всех 1-іг..,& справедливо Найдем общее выражение для решения относительно у уравнения при всех L=i,..,j M . Лемма 3. Пусть -f(X/i/) - непрерывная, монотонно возрастающая по а: и монотонно убывающая по у функция, обладающая следующим свойством В силу Леммы I существует непрерывная, монотонно возрастающая по обоим аргументам функция Ц (у,2) такая, что $((№), У) = 2 .Пусть f (2) -функция, обратная к j(oc,x) , т.е. $({ ( ), f (?)) н 2 . Тогда имеет место следующее Доказательство.
В силу определения функции Ч (У,Ю свойство (2.5) означает, что если f(Xa,y) P и f(X ,#,)=?, то Xi tX0 . Предположим, что это не так и Xi tXo . Тогда мы приходим к противоречию В силу (2.4) функция (х.,х) , рассматриваемая как функция одного аргумента X , является непрерывной и строго монотонно возрастающей. Следовательно, существует обратная к ней, непрерывная и строго монотонно возрастающая функция $ (?) такая, что $( f (?) $(?))- 2 при всех . Отсюда и в силу определения функции Щу,%) имеем что дает справедливость соотношения (2.6). Из (2.5) при V (a,i) справедливо Ч М (В), ) Ь Следовательно, положив \Jf (?) , получим утверждение (IL), С друтой стороны очевидно, что при Vb (о?4) и, положив y= ;f (?) f получим (с) . Лемма доказана. По определению функции h,(X,i/) удовлетворяют всем требованиям Леммы 3 и, следовательно, существуют функции, которые будем обозначать hi (?) , такие, что Применение Леммы 3 к функциям 4 ( if,if) (см.(1.18)) дает существование функций Ci (X V таких, что Определим функции Из (2.12) следует, что решение уравнения (2.13) относительно У дает и решение уравнения Из определения функций Ці(У), Э(у,) следует, что У #tf ) при всех У [i, $ J , У \і(У) при всех У Г, Л/J , у аЄс(У) при всех У Z" 5V, J , УЖ (У) при всех УГоР.-7ЛГ;Л .Здесь % ,дЄ; -постоянные величины, удовлетворяющие соотношениям (см.(3.4) Гл.1): Отсюда следует справедливость соотношений tfCutf Mefturt) при всех U,V$vtv: 4 (ЦіО&$ ] Из этих соотношений следует, что функция ЭР; , если &"( К ) Задает решение уравнения (2.13), а, следовательно, и уравнения (2.14). Действительно, если, например, (Ц v) [fi7 д?;] , то У- & (% ) 4"(utv) и Ь Ы&ШГ) , решение уравнения (2.13). Аналогично рассматриваются случаи, когда ft4v)=# ж Ф? "? . Определения (I.I7) и (2.1) дают Очевидно, что г (?) - непрерывная, неубывающая функция. Если обозначить то &;(Щ/- есть решение уравнения (2.14). Рассмотрим следующий вопрос - при каких значениях U ,V Заметим, что из (2.8) и (2.17) имеем при всех К Пусть if удовлетворяет одному из неравенств где ; определено в (2.1). Тогда, в силу (2.18), следует Функция &І(2) неубывает и, следовательно, Из Леммы 3, соотношения (2.21) и неравенств (2.24) следует Из Леммы 2 и неравенств (2.22) следует lf&fvb")і (-1?-&(&г№), v), я (2-26) Выше мы показали, что при всех / Г Т{І, д?,-] справедливо Э(;(У) У Зв:(У) . Отсюда имеем Рассматривая те из неравенств (2.22) и (2.25)-(2.26), которые соответствуют случаю К 1 , используя соотношение (2.27) и определение (2.17), будем иметь -т.е. (2.19) справедливо при V:$. Аналогично, рассматривая случай К = 2, получим, что неравенство (2.20) справедливо при t/ % . Если в (2.22) заменить знак неравенств на противоположный, то легко видеть, что все знаки неравенств (2.23)-(2.26) также заменятся на противоположные, и мы получим альтернативные утверждения - если гг % , то (2.19) не выполнимо, а если 1T Z , то не выполнимо (2.20). Этим мы полностью ответили на поставленный вопрос.
Но это означает, что функция есть решение уравнения (2.3). Функция оЭг(Ч,У) является непрерывной и однозначной. Покажем, что эта функция дает полное решение уравнения (2.3). По условию равенство У = $(У) выполняется в единственной точке У=: . Неравенства і(У,Чї) У и %І(Ч,У) У при У= ; переходят соответственно в неравенства Из (2.29) следует, что гГ % и, следовательно, ъГ Ц . Отсюда и из (2.30) получаем ft Ht (и) /it-(t$ ) Но в силу определения (2.17) отсюда следует &г(Щ )=Х -Аналогично показывается, % (&:, U) &.(&) то и W)sa? Все это означает, что (2.28) действительно описывает полное решение уравнения (2.3). Таким образом, мы нашли решения относительно # урав- нении , которые запишутся в виде Величина 2 есть определенная в (2.2) постоянная. Для того, чтобы найти R , необходимо решить уравнение Очевидно, что (2.31) равносильно уравнению 6(/0-0 9 (2.32) Введем следующие обозначения Очевидно, что где R n и чх определены в (1.35). В силу определений (2.17) и (2.28) откуда следует, что при всех ft В частности 0( }«) 0 и 9(&г ) О и, следовательно, решения уравнения (2.32) следует искать на отрезке [#г ч rt x]. Существование же этих решений следует из того, что функция 6(#) как суперпозиция непрерывных функций является непрерывной. Методами секущих или деления отрезка пополам можно найти решение уравнения (2.32). Здесь встает вопрос о количестве корней уравнения (2.32), о характере их расположения в отрезке [ R n у Rm« .l и об отделении этих корней, если они изолированы. В общем виде задача трудноразрешима. Это связано с тем, что функция &(Ю недифференцируема, в общем случае немонотонна и даже может не иметь аналитического представления. Отдельные случаи, когда все же постановка задачи о корнях уравнения (2.32) возможна, будут рассмотрены в 4. Окончательно решение ЗУ уравнений из (1.33) относи-тельно Чі , # , « описывается следующими соотношениями Мы видам, что это решение зависит от коэффициентов Q и Ci . Если рассматривается модель, в которой эти коэффициенты постоянны, то тем самым соотношения (2.35) описывают равновесие системы в частном случае постоянства коэффициентов Сі . Предположим теперь, что эти коэффициенты изменяются, т.е. /у (ЪУ) У .В силу свойств функций ! ( / У) это означает, что равенство fj (ОС, і/) - у возможно лишь в том случае, если Э = У.
Исследование равновесных состояний системы (сравнительная статика)
В данном параграфе нас будет интересовать влияние различных параметров системы на состояние равновесия. При этом особое внимание мы уделим на то, какие изменения параметров приводят к увеличению равновесных уровней эффективности производственных единиц. В зависимости от гипотез о постоянстве коэффициентов Ci (t) равновесие системы в целом описывалось соотношениями (2.35)-(2.38). Будем везде далее считать, что эти коэффициенты постоянны, т.е. C (t) = Сі Се п А, к=і,2, і = і,.., uf. При этом равновесие модели определяется через (2.35). Разобьем совокупность рассматриваемых производственных единиц 1= /У,... 7 М\ на три подгруппы: Из (2.35) видно, что уровень эффективности любой единицы, если она попадает в группу Г3 , будет заведомо не ниже, чем тот уровень эффективности, который она имела бы, если бы попала в группу Т ИЛИ 1 . Следовательно, Центру выгодней, чтобы как можно больше единиц попало в группу 73 Отсюда следуют вопросы - отчего зависит то или иное разбиение группы производственных единиц на подгруппы Іі , І2 , Із и какие воздействия на систему могут привести к тому, чтобы большинство или даже все производственные единицы попали в группу 13 I. ПО Определению $i(X,X)=r Се ль и 2i=FZ (7,С?)у где 2= ( С?І,...7 V) . Следовательно, соотношение между л величинами и ее , которое определяет в какую группу попадает с -я единица, зависит от функций $;(хіУ), j = 1,-, , 7 (Xi,--,X ) fl (X,\f) и от коэффициента С; . Из опрнделения функций /v (Х,у) и ї (х,у) следует, что зна- чение С коэффициента Q , где является в некотором смысле критическим. Именно, если Q V , то : 4 и -я единица попадает в группу If , если -. г - в группу 13 , если C-Z=0 - в группу I& . Таким образом, для того, чтобы все единицы попали в группу J3 , необходимо, чтобы их коэффициенты притязания на поощрение с? превосходили критическое значение С; . В то же время сниже-ние величины С- увеличивает разность 2t- - , что приводит к неуменьшению уровня эффективности і -ой единицы. Функция &i ( гУ) является возрастающей по X и убыва-ющей по J/ , функция f f ; ..., Х ") не убывает по своим аргументам. Следовательно, не возрастает по Zj, j t . Это означает, что если выбрать / -ю единицу и увеличить ей значение Z- j (ЪХ) z= $:(&/% ( )) » то критические значения с всех единиц, кроме быть может j -ой, могут только снизиться. При этом изменение значения с J зависит от вида функций /Y- V, - / X) и Р (хгУ) . Изменить же 2: можно либо увеличивая функ-цию поощрения %(Х У) » ли 0 уменьшая функцию плана fjfe) Здесь мы сталкиваемся с так называемым эффектом "лидера", который характерен для изучаемого класса моделей.
Выбрав по какому-либо признаку j -ую производственную единицу (напри-мер, с минимальным критическим значением С: , или с макси-мальным значением Су , или с максимальным значением j у , или ту, у которой &j (% yf (% ,-? Ї/? -? 2")/ не возрастает по Zj ) и увеличив ей значение / путем увеличения поощрения или снижения плана, Центр может создать в группе единиц "лидера", который увеличит характерное значение поощрения. Послед- нее увеличит удовлетворительные уровни поощрения и как следствие повысятся уровни эффективности производства у остальных единиц. 2. Предположим теперь, что Центр всем единицам задает единые функции плана и поощрения, т.е. $г(Х У) $(хгУ)г а4/-/Л При этом рассмотрим последствия замены этой функции на любую другую вида $(Х-,У, ) , где К - некоторый параметр такой, что функция %(XIY,I ) монотонно возрастает и непрерывна по К . Оценим направление изменения разностей 2t- при изменении параметра . Для этого представим эти разности как функции от К - и вычислим соответствующую производную (предполагая ее существование) По предположению ;r б? , следовательно, "ЧсіЯ т.е. tyi(t) возрастает по К , только при Таким образом, увеличение поощрения (увеличение парамет-ра К ) приводит к росту разности 2;-2; (а, следовательно, и к росту уровня эффективности) только у тех производственных единиц, у которых выполнено неравенство (5.1). Отсюда мы получаем следующий эффект воздействия поощрения на уровень эффективности производства - общее увеличение поощрения может привести либо к общему росту уровня эффективности, если у всех производственных единиц выполнены неравенства (5.1), ли- бо к общему падению уровня эффективности в противном случае. 3. Рассмотрим случай, когда выполняется довольно естественное условие - если у всех единиц показатель поощрения одинаков, то характерный показатель поощрения по группе равен поощрению каждой единицы, т.е. f (27 ...?2) 2 . Это предположение выполняется, например, для функций $(% ,...УЪ )= -- 2С-. В этом случае, если функция поощрения одинакова для всех единиц 9;(Х,У) $(Х,У) , то &= = $(Х,Х) и Но последнее означает, что если выбрать функции ftfaу) так, чтобы $i(0C,X)=2; , /s і,..-, У , то все единицы попадут в группу J3 . Таким образом, если выполнено (5.4), то возможен такой выбор функций поощрения и плана, при котором все производственные единицы попадают в группу J3 . Если %г(0,У)=О и при єГ&, 2"] выполнено то Ф(о)=0 и ДО.к? при всех 2єГ0,?] . Но это означает, что при любом выборе значений ,..., / таких, что = /Yfy... ... у &/) /4$J, обязательно найдется единица, у которой Г-г(% cf) -?,- 3 , т.е. единица из группы J , т.к. в про-тивном случае, если /J (2,Ct-) # при всех с-і,...,У мы получим противоречие ty ).
Таким образом, в этом случае не существуют функции поощрения и плана, при которых все производственные единицы попадают в группу Хъ . Из определения функции (fCT) видно, что производная есть некоторая функция, зависящая от совокупности коэффициенте -2 тов С І 7 ... 7 с» , которая является некоторшл характерным показателем отношения группы производственных единиц в целом к материальному поощрению. 5. Предположим теперь, что функции поощрения и плана заданы и тем самым однозначно определены , 9i( X) , 2 = f (?4 % ,) и t = /v (2 ) С; ) . В этом случае, как мы знаем, равновесные значения уровней эффективности определяются по формуле где K=i , если ,- / , К 2 , если - , а R в свою очередь определяется из уравнения функции в/С?) в (3.17) определены так, что Причем, если выполняются строгие неравенства Наряду с 6(й) определим функцию В силу того, что функции Г; (X, У/ возрастают по X , если CJ; для всех г=і....,сУ, то а если uJ,($) П;(э;дЬ) для всех i i,...,jf , то По определению GCfir ) 0 и 8(& х) 0 . Следовательно, если бСЮ О при всех # Є Л. , то отсутствие в равновесии производственных единиц с минимальным значением эффективности Щ $ в силу (5.5) привело бы к противоречию. т..к. в равновесной точке 9(Ю 0 . Аналогично, если.9(Ю 0 при всех R Є Jo , то в равновесии обязательно найдутся единицы с максимальным значением уровня эффективности #= сР; . В отличие от функции 0(Ю , которая недифференцируема по существу, функция 9(к) будет дифферен- цируема, если функции (X4y...7fo) и /у ( ,1/) имеют первые производные. В этом случае мы получим, что если очевидно $(Ю 0 при всех и в равновесии обяза- тельно найдутся единицы с максимальным уровнем эффективности, если же выполняется то 6(Ю 0 ив равновесии существуют единицы с минимальным уровнем эффективности. Если окажется, что функция 6(Ю вогнута, то условия (5.7)-(5.8) можно заменить более простыми. В силу Леммы 5, если функция вогнута, то она может иметь не более чем одну точку, в которой она равна нулю на положительной полуоси, причем слева от этой точки вогнутая функция положительна, а справа -отрицательна. Это означает, что если функция 6(Ю вогнута, то она будет положительна при всех ft j? , если и отрицательна при всех R JC , если В свою очередь, если функции FJ (X,у) вогнуты по X и функция f (%І,.,,? Я ,) вогнута по совокупности аргументов, то функция 0(Ю будет заведомо вогнута, если все единицы попадают в группу -Г3 . 6. До сих пор мы считали, что коэффициенты С,-, к=4,2 постоянны. Теперь предположим, что коэффициенты Q (ч изменяются.
Влияние Центра на равновесные значения эффективности
Функции являются кусочно-линейными и вогну- тыми. В силу Леммы 7 эти функции могут иметь либо одну нулевую точку, либо один отрезок, в котором они равны нулю. Но легко видеть, что функция О (Ю всегда имеет единственную нулевую точку, т.к. каждый ее участок линейности имеет положительный свободный член. Функция 0 (#) будет иметь более одной нулевой точки только в том случае, если ІІ ІЗ 0 И j] 21 C-L = . С другой стороны, в 4 Гл.П получено достаточно условие, при котором функция Q (Я) будет иметь заведомо одну нулевую точку (см. (4.33)). В данном случае это условие будет выглядеть так Таким образом, если справедливо (2.10), то функция 6 (Ю будет иметь единственную нулевую точку. Наконец, функции в (Р) и & (Ю очевидным образом совпадают, если Т2 0 . В этом случае равновесная точка системы единственна. Рассмотрим каковы возможности Центра по управлению системой. По предположению Центр назначает функцию поощрения (I.I) и план. Следовательно, в распоряжении Центра находятся параметры J , и oli7 i=i,.. . Jv. I. Распределение предприятий по группам J , I2 , - и равновесное значение коэффициента использования потенциальных возможностей зависят прежде всего от величины разности -?« . Причем, чем эта разность больше, тем показатели предприятия лучше. По определению Из (3.1) видно, что критические значения коэффициентов С » при превышении которых разность & - % становится положительной, есть Здесь в модели возникает эффект "лидера", выявленный еще в 5 Гл.П. Из (3.1)-(3.2) следует, что разность %-?« увеличится, а значение с,- уменьшится, если уменьшить значение любого коэффициента плана djtjtf . Таким образом, уменьшая план какому-то одному предприятию, Центр добивается того, что у остальных предприятий увеличивается разность « - ; Из (3.1) следует, что при уменьшении (ХІ разность - % увеличивается только в том случае, если С; J . Например, если группа состоит из трех предприятий и одно из них имеет удовлетворительный уровень поощрения, превышающий среднее значение в три раза, то уменьшение плана именно этому предприятию приведет к тому, что разности cj - увеличатся у всех трех предприятий. 2. Увеличение параметра J приводит к увеличению разности (S.I) только в том случае, если выполнено неравенство Следовательно, для тех предприятий, у которых (3.3) не выполнено, возникает эффект отрицательного воздействия увеличения поощрения - для этих предприятий увеличение уг приво- дит к уменьшению ; . В 5 Гл.П, п.2 рассматривался случай, когда функции поощрения у всех единиц одинаковы. В данном случае это соответствует тому, что К=Соп L i7,.. y.
Положив в (3.3) --К » получим, что увеличение Tf"2 положительно воздейст- вует на предприятия, у которых Последнее условие соответствует (5.1) Гл.П, т.к. в данном случае Очевидно, что увеличение приводит к увеличению раз-ности Ъ - ; только в том случае, если 3. Предположим теперь, что :-К, і ,...7 Ґ Случаи Х 1 , К-і , К 1 соответствуют коэффициентам роста плана di соответственно большим, равным или меньшим коэффициента роста максимальных возможностей производства % . Очевидно, что при этом : Jz(t( i) + 0=- Z?, = и знак разности Ъ & — Q 2 - с: = (С; -і) зависит от знаков сомножителей Q "І и 2. . Следовательно, если $ 0 , то в группу 1± попадут предприятия, у которых Q і , а в группу 1} пред-приятия, у которых С: 1 .И наоборот, если 0 , то / i , Таким образом, получаем эффект из п.З 5 Гл.П. Если у всех предприятий выполнено то задание одинаковой для всех предприятий функции поощрения такой, что J2(K-J[)+ % 0 , приводит к тому, что все предприятия попадают в группу J3 4. В п.4 5 Гл.П определена функция lf($) и выяснена роль ее производной. В данной модели эта производная имеет вид Свойство, выявленное в п.4 5 Гл.П, соответствует тому, что если С 1 , то существуют такие коэффициенты плана dij...,olfi, , что в равновесии все предприятия попадают в группу Хз » а если - » т0 ПРИ люб ых 2,.-., найдутся предприятия, которые попадут в группу Ji . Например, если С і,то Г = С 1 Q ,и, выбрав произвольное значение 0 , для величин будем иметь j=- Л 3--? и S-C F & Это означает, что выбор значений у , и ak ; /= i,...yjf таким образом, чтобы ВЫПОЛНЯЛОСЬ y2/i& -/) = « Для всех I-1,..,, J/ , приведет к попаданию всех предприятий в группу I3 . Легко видеть, что если С 1 , то при любом выборе величин ; нельзя добиться того, чтобы все предприятия попали в группу Тз . В противном случае было бы С- 2 для ВСЄХ 1-1,..., , ЧТО ПрИВеЛО бЫ К ПрОТИВОреЧИЮ jf ХС; 2 = 5. Предположим, что функции поощрения и коэффициенты СІ таковы, что все предприятия попали в группу Гз . В част-ности это означает, что С 1. Определим функцию 6(Я 2(с?ё №$ ъ))-й-с х+± Zftfcff-bH, (s.5) где С - р сЕ Q . Эта функция является аналогом функции S(Ю , которая рассматривалась в п.5 5 Гл.П. Там же пока- зано, что если 6($) 0 при всех Я & [ /?#n /i, Rm x] , то в равновесии заведомо найдутся предприятия с максимально возможным коэффициентом V-i""$« , а если &(Ю 0 при всех R Є [ R fl„&x J , то найдутся предприятия с Из (3.5), в силу того, что - Л"Д (О 2 Ъ/ 0 » следует, что 6(Ю вогнута, т.е. достаточно проверить условия (5.9)-(5.10). Но условие (5.9) выполнено, если а условие (5.10) выполнено, если Таким образом, если справедливо (3.6), то в равновесии найдутся предприятия с %-1- г э а если выполнено (3.7),
Если все коэффициенты fii равны, т.е. fi = /-" Const, =1,..., , то в силу того, что С 1 , неравенства (3.6)-(3.7) равносильны следующим Предположим, что в = Дяз , тогда (3.8) будет равно- сильно и получаем, что модель в этом случае будет обладать следующим свойством: для того, чтобы все предприятия попали в груп-пу 13 , необходимо выполнения неравенства С , а для того, чтобы при этом нашлись предприятия с максимальным у. = 1- ,1 достаточно выполнения неравенства С +С 2 , 4. Имитационные исследования модели Рассмотренная модель экономического механизма стимулирования внедрения научно-технического прогресса в производстве реализована в диалоговом режиме на ЭВМ БЭСМ-6 ВЦ АН СССР. В Приложении приводятся блок-схемы основных подпрограмм и их распечатки. Число предприятий было принято равным десяти, диалог осуществляется через алфавитно-цифровой дисплей VT-60. Это позволило составить специальную подпрограмму ИЗМПАР, в которой все числовые параметры модели могут быть изменены во время сеанса работы с имитационной системой (ИС). Соответствие между обозначениями параметров и переменных модели и их идентификаторами в блок-схемах и текстах подпрограмм ИС приводится в табл.1. В этой же таблице указаны диапазоны изменения значений параметров, при которых проводились эксперименты с ИС. Основной итерационный процесс задающий изменение фазовых переменных системы во времени, реализуется в подпрограмме ОСШШГ. В блок-схеме этой подпрограммы приводится явный вид формул, по которым осуществляется подсчет компонент оператора Уі(ї/ . Начальное значение «W -мерного вектора f , с которого начинается процесс (4.1), может быть во время диалога с ЙС задано любое. Вывод информации о течении процесса (4.1) осуществляется для переменных Ні (і) , і ,..., jf, т.е. только для первых iV компонент вектора f(t) . В начале ИС делает запрос на количество итераций. Пользователь может ввести любое целое число от I до 500. ЭВМ производит просчет процесса (4.1) на количество итераций равное вве- денному числу и делает запрос на номер предприятия. Пользователь вводит целое число от I до 10, после чего на экран дисплея и на АЦПУ выдается график зависимости коэффициента использования потенциальных возможностей Чі(ї) от номера итерации для соответствующего предприятия. Одновременно с графиком выдаются числовые значения величин (і) и, таким образом, пользователь имеет возможность оценивать графическую и цифровую информацию. После того как пользователь просмотрит интересующие его предприятия, процесс (4.1) может быть продолжен из прерванного состояния. Эксперименты с ЙС показали, что поведение траекторий (4.1) сильно зависит от гипотезы о постоянстве коэффициентов С; и С; . На рис. I приведен пример характерной траектории для случая, когда эти коэффициенты изменялись. Из рис. I видно, что эти траектории имеют периодический, незатухающий, несинусоидальный характер.
