Введение к работе
Актуальность темы. Одна из общих задач нелинейной динамики состоит в исследовании поведения различных систем, находящихся под внешним воздействием (периодическим, квазипериодическим, случайным). Достаточно хорошо изучены такие классические феномены как нелинейный резонанс, параметрическая неустойчивость, синхронизация автоколебательной системы внешним периодическим сигналом и т. д.1 В последнее время обнаружен и широко исследуется целый ряд новых эффектов, таких как рождение странного нехаотического аттрактора2, стохастический резонанс3, On-Off перемежаемость4 и т. д.
В нелинейной динамике при изучении сложного поведения часто используют модельные системы с дискретными временем — рекуррентные отображения. Это позволяет значительно уменьшить объем вычислений при анализе динамики с помощью компьютера, а также дает возможность во многих случаях глубже продвинуться в понимании феноменов, исследование которых при помощи аппарата дифференциальных уравнений затруднено.
Задача о динамике под внешним воздействием, поставленная для одномерных систем с дискретным временем, должна быть сформулирована, очевидно, как задача о воздействии сигнала, заданного в виде числовой последовательности. В общем случае такая задача остается достаточно сложной. Один из возможных вариантов ее упрощения состоит в том, чтобы ограничиться рассмотрением сигналов в виде бинарных последовательностей, т. е. последовательностей, построенных из двух символов (О и 1).
Обращение к бинарным последовательностям можно мотивировать тем, что это простейший класс числовых последовательностей, а также тем, что двоичное представление сигналов широко используется в вычислительной технике, в цифровых устройствах, в разнообразных теоретических исследованиях (теория информация и пр.). Бинарные последовательности естественным образом возникают также при исследовании динамических систем в рамках символической динамики: если используется кодирование с помощью двух символов, то система выступает как генератор
1 Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн, М.:Наука, 1984.
2 Grebogi С, Ott Е., Pelican S., Yorke J. A Strange attractors that are not chaotic II Physica D,
1984, Vol. 13, P. 261-268.
* Moss F., Pierson D., O'Gorman D. Stochastic resonance: Tutorial and update II Int. Journal of Bifurcation and Chaos, 1994, Vol. 4, No. 6, P. 1383-1397.
4 PlattN., Spiegel E.A., TresserC. On-Off intermittency: a mechanism for bursting II Phys. Rev. Lett., 1993, Vol. 70, No. 3, P. 279-282.
бинарной последовательности. Кроме того, при рассмотрении бинарных последовательностей открывается возможность привлечения методов теоретического аналгоа, которые в более общем случае неприменимы или громоздки.
Предметом интереса в диссертации являются следующие бинарные
последовательности: бинарный шум, т. е. случайная последов"атёльность~ нулей и единиц, полученных из независимых испытаний, а также бинарные самоподобные последовательности, которые задаются правилами подстановки, ставящими в соответствие нулю и единице определенные блоки из нулей и единиц (как например теоретико-числовая последовательность Морса-Туэ, последовательность знаков динамической переменной логистического отображения в точке перехода к хаосу, последовательность, описывающая динамику популяции кроликов Фибоначчи).
Цель диссертационной работы состоит в теоретическом исследовании различных динамических эффектов, возникающих при воздействии бинарных последовательностей на линейные и нелинейные модели с дискретным временем, а также в развитии новых подходов к описанию и классификации бинарных последовательностей.
Научная новизна работы.
-
Впервые в общей постановке рассмотрена задача о воздействии бинарных самоподобных последовательностей на динамику модельных систем.
-
Введен в рассмотрение характеристический показатель Л самоподобной бинарной последовательности, который по смыслу аналогичен классическому показателю Ляпунова: положительный характеристический показатель определяет наличие чувствительной зависимости количества нулей и единиц в последовательности от выбора начальных условий при ее построении.
-
Впервые введена классификация бинарных самоподобных последовательностей, в рамках которой они подразделены на три класса. Обоснованием классификации служит то, что при одномерном блуждании частицы в вязкой среде под действием толчков, заданных такой последовательностью, реализуются три качественно различных варианта динамики, которым отвечают разные по знаку характеристические показатели Л: блуждание в ограниченном интервале (класс I, Л < 0), фрактальная траектория (класс II, Л = 0), неограниченное блуждание (класс III, Л > 0).
-
Показано, что при воздействии бинарного шума на нелинейную систему, демонстрирующую бифуркацию вилки, в зависимости от значений управляющих параметров можно наблюдать четыре основных режима: (а) динамика системы приводит к формированию аттрактора в виде
канторова множества, (б) IFK-резонансы (IFK — Ирвин, Фрейзер, Капрал)5, (в) On-Off перемежаемость и (г) формирование точечного аттрактора. Следовательно, эти типы динамики, обнаруженные и исследовавшиеся ранее независимо друг от друга, теперь можно интерпретировать как фрагменты некоторой единой картины.
-
Впервые метод ренорм-группового анализа применен к задаче о воздействии бинарных самоподобных последовательностей на нелинейную систему, демонстрирующую бифуркацию вилки. Обнаружено, что в зависимости от того, к какому из трех классов принадлежит последовательность, в системе, при изменении управляющих параметров, реализуются качественно различные варианты бифуркационного перехода.
-
Установлено, что если на нелинейную систему, демонстрирующую бифуркацию вилки, воздействует самоподобная бинарная последовательность класса III (имеющая положительный характеристический показатель), то в динамике системы при изменении управляющих параметров реализуется переход к On-Off перемежаемости, которая рассматривалась ранее как эффект, характерный для систем с шумовым воздействием. При помощи метода ренорм-группового анализа показано, что в точке перехода к On-Off перемежаемости динамика системы не характеризуется свойством скейлинга.
Теоретическая и практическая значимость работы.
-
Результаты анализа перехода к канторову аттрактору через On-Off перемежаемость и IFK-резонансы в системе с бифуркацией вішки, находящейся под воздействием бинарного шума, позволяют рекомендовать постановку физических экспериментов, направленных на реализацию этого сценария, с целью его дальнейшего исследования.
-
Установлено, что эффект On-Off перемежаемости, имеющий место при воздействии бинарного шума на нелинейную систему с бифуркацией вилки, сохраняется при замене бинарного шума на бинарную самоподобную последовательность, если она относится к одному из трех введенных классов. Это открывает возможность для дальнейшего изучения данного режима. В частности, в диссертации развит ренорм-групповой анализ бифуркационного перехода к On-Off перемежаемости и показано, что этот переход не характеризуется свойством скейлинга.
-
Обнаруженные в работе закономерности поведения динамических систем, находящихся под воздействием бинарного шума и бинарных самоподобных последовательностей, могут служить отправной точкой для анализа воздействия сигналов более сложной природы на динамику раз-
5 Irwin A. J., Fraser S.}., Kapral R. Stochastically induced coherence in bistable systems II Phys. Rev. Lett., 1990, Vol. 64, No. 20, P. 2343-2346.
личных нелинейных систем, в том числе для систематизации и классификации наблюдаемых эффектов.
Публикации и доклады. Основные результаты работы докладывались на Международной конференции по нелинейной динамике ICND-96 (Саратов, Россия, іууо г.;, на~неждунароянем-научном-семинаре «Хаос^. порядок и шум в физике и динамике» (Берлин, Германия, 1996 г.), на международной конференции «Нерешенные проблемы шума» UPoN-96 (Сегед, Венгрия, 1996 г., участие автора поддержано грантом РФФИ №96-02-27298), на региональной научной конференции «Молодежь и наука на пороге XXI века» (Саратов, Россия, 1998 г.), на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ и в Саратовском филиале ИРЭ РАН. По теме диссертации имеются публикации [1]-[6]. В работах, которые выполнены в соавторстве, личный вклад П. В. Купцова в основном состоит в проведении аналитических и численных расчетов и, частично, в постановке решаемых задач.
Часть результатов диссертационной работы получена в рамках НИР, выполняемых в СФ ИРЭ РАН, в том числе госбюджетной НИР «Яуза-2», проектов, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований №95-02-05818, №96-02-00717 и №97-02-16414.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения и содержит 173 страницы. Имеется 58 рисунков и 2 таблицы. Слисок литературы состоит из 73 названий.
