Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Проблемы анализа и синтеза систем с релейными управляю щими воздействиями 22
1.1 Доопределения уравнений движения в скользящем режиме 23
1.2 Проблема обеспечения инвариантности выходных переменных
1.2.1 Обеспечение инвариантности на основе геометрического подхода 35
1.2.2 Инвариантность к произвольным внешним возмущениям 35
1.2.3 Инвариантность в системах, функционирующих в скользящем режиме 37
1.2.4 Синтез асимптотически инвариантных систем при модельных возмущениях 39
1.2.5 Обеспечение асимптотической инвариантности выходных переменных к произвольным возмущениям 42
1.2.6 Обеспечение заданной точности регулирования выходного вектора при воздействии произвольных возмущений 1.3 Перспективы развития теории скользящих режимов. Проблема колебаний при движении в реальном скользящем режиме 48
1.4 Вибрационная линеаризация 55
1.5 Выводы к главе 1 56
ГЛАВА 2. Инвариантность в системах с несогласованными возмущениями 61
2.1 Обсуждение проблемы 66
2.2 Постановка задачи 73
2.3 Синтез законов управления 74
2.4 Результаты моделирования 102
2.5 Выводы к главе 2 106
ГЛАВА 3. Новый класс регуляторов на скользящих режимах второго рода
3.1 Синтез управления 111
3.1.1 Постановка задачи 111
3.1.2 Основная идея выбора управляющего воздействия
3.2 Доказательство сходимости одного из алгоритмов скольжения второго рода 114
3.3 Доказательство конечной сходимости с оценками времени
3.3.1 Оценивание времени попадания в 1-область 122
3.3.2 Оценка времени попадания в 2-область 129
3.3.3 Оценка времени движения в 2-области
3.4 Численный пример 135
3.5 Выводы к главе 3 137
ГЛАВА 4. Алгоритм параметрической идентификации для некторого класса нестационарных линейных систем 139
4.1 Обсуждение проблемы. Постановка задачи 140
4.1.1 Описание классического алгоритма идентификации на скользящих режимах 140
4.1.2 Постановка задачи для систем с нестационарными параметрами
4.2 Алгоритм идентификации 146
4.3 Результаты моделирования 158
4.4 Выводы к главе 4. 162
ГЛАВА 5. Минимизация нормы матрицы обратной связи в задаче модального управления 164
5.1 Выбор многообразия скольжения для систем с несколькими входами 166
5.2 Обсуждение проблемы 168
5.3 Постановка задачи 171
5.4 Блочный синтез модального управления 175
5.4.1 Процедура получения блочной формы управляемости с помощью ортогональных преобразований 175
5.4.2 Синтез субоптимальной обратной связи 180
5.5 Выбор начальных условий процедуры оптимизации 187
5.5.1 Случай действительных собственных значений 187
5.5.2 Случай комплексно-сопряженных собственных значений 196
5.6 Вычислительные аспекты решения задачи оптимизации 200
5.6.1 Общая постановка задачи 200
5.6.2 Минимизация нормы матрицы обратной связи в элементарной системе 206
5.6.3 Минимизация нормы обратной связи в системе общего вида 210
5.7 Выводы к главе 5 212
ГЛАВА 6. Метод декомпозиции в задачах управления мобильными роботами 214
6.1 Генератор задающих воздействий 215
6.2 Постановка задачи 221
6.3 Базовый закон управления
6.3.1 Задача стабилизации кинематической подсистемы 225
6.3.2 Пошаговая процедура синтеза управлений в электроприводах
6.4 Оценивание неизвестных возмущений и нелинейных функций 234
6.5 Результаты моделирования 236
6.6 Выводы к главе 6 238
ГЛАВА 7. Использование вихревых алгоритмов в задачах управления электромеханическими системами 241
7.1 Методологическая основа 241
7.2 Вихревые алгоритмы в задаче управления двигателем постоянного тока 244
7.2.1 Постановка задачи управления ДПТ 246 7.2.2 Базовый закон управления 248
7.2.3 Синтез наблюдателей на вихревых алгоритмах 253
7.2.4 Результаты моделирования 255
7.3 Робастное управление электромагнитным подвесом на основе вихревых алгоритмов 257
7.3.1 Постановка задачи 259
7.3.2 Синтез базового закона управления 261
7.3.3 Синтез обратной связи при неизвестной массе подвешиваемого тела 268
7.3.4 Результаты моделирования 273
7.4 Выводы к главе 7 275
Заключение 280
Список использованных источников 281
Приложениеа.
- Обеспечение инвариантности на основе геометрического подхода
- Синтез законов управления
- Доказательство конечной сходимости с оценками времени
- Постановка задачи для систем с нестационарными параметрами
Обеспечение инвариантности на основе геометрического подхода
Приведено доказательство конечной сходимости и оценка времени возникновении скользящего режима второго рода. Оригинальность доказательства состоит в использовании метода усреднения для функции Ляпунова, полученной в главе 2. На основе оценивания средней скорости для этой функции удалось показать, что она строго отрицательна в некоторой области, что гарантирует сходимость за конечное время. За счет новых теоретических результатов, полученных в главе, удалось показать, что амплитуда управляющих воздействий может быть существенно снижена для случая гладких ограниченных возмущений. При наличии неидеальностей исполнительных устройств данный класс регуляторов обеспечивает меньшую амплитуду колебаний по сравнению с существующими алгоритмами с использованием методов скользящих режимов второго рода. В разделе 3.4 рассмотрен численный пример. В четвертой главе разработан новый алгоритм параметрической идентификации на скользящих режимах для линейных канонических нестационарных систем, в которых изменение параметров может быть описано известной линейной моделью с неизвестными начальными условиями. Такая постановка проблемы актуальна, например, в измерительных системах, в которых некоторые параметры датчиков и измерительных преобразователей связаны с характеристиками внешней среды, технологических объектов и т.д. Основным ограничением большинства алгоритмов идентификации является гипотеза квазистационарности, согласно которой параметры системы являются либо постоянными, либо медленно меняющимися во времени. В данной главе существенно расширяется класс допустимых систем. Показано, что при наличии динамической модели изменения параметров можно получить их оценки с помощью идентификатора, построенного на основе этой модели. Условия идентифицируемости параметров обеспечиваются с помощью специального выбора управляющего воздействия в виде комбинации гармонических сигналов. В разделе 4.1 формализуется постановка задачи, вводится класс моделей, описывающих изменение неизвестных параметров во времени. В разделе 4.2 разработан идентификатор параметров на скользящих режимах, учитывающий информацию о модели параметров. При отсутствии шумов в измерениях приведено доказательство сходимости оценок параметров к истинным значениям. Основная идея доказательства базируется на идее вибролинеаризации нелинейной функции высокочастотным сигналом. Показано, что темпы сходимости ошибок идентификации могут быть обеспечены за счет выбора параметров управляющих воздействий объекта управления и идентификатора. В разделе 4.3 приведены результаты моделирования разработанных алгоритмов идентификации.
В пятой главе разработан подход к оптимизации в задаче модального управления многомерными линейными стационарными системами по критерию минимума нормы матрицы обратной связи. Для реализации предлагаемого подхода разработан метод приведения с помощью ортогонального преобразования математической модели исходной системы к блочной форме управляемости, на основе которой задача оптимизации высокой размерности декомпозируется на последовательно решаемые подзадачи меньшей размерности. Основное внимание уделяется поиску начального значения матрицы обратной связи с помощью субоптимальных процедур. Даются рекомендации по построению численных процедур поиска субоптимальных решений на основе градиентных методов. В разделе 5.1 рассмотрен мотивирующий пример и описан синтез закона управления на скользящих режимах первого рода для линейных стационарных систем с несколькими управляющими воздействиями. Показано, что выбор многообразия скольжения неоднозначен и данная особенность указанных систем может быть использована при синтезе обратной связи для уменьшения амплитуд разрывных управляющих воздействий. В разделе 5.2 обсуждается проблема и основные сложности, сопутствующие задаче модального управления в системах с векторным управлением. В разделе 5.3 формализуется постановка задачи минимизации по норме Фробениуса матрицы обратной связи с использованием ортогональных преобразований. В разделе 5.4 приведена конструктивная процедура получения блочной формы управляемости (БФУ) с помощью ортогонального преобразования, разработан пошаговый алгоритм синтеза обратной связи в терминах полученной блочной формы. В разделе 5.5 разработаны аналитические алгоритмы синтеза модального управления на основе последовательного размещения заданных полюсов замкнутой системы. В разделе 5.6 даются рекомендации по организации вычислительных процедур, связанных с поиском субоптимального решения поставленной задачи с использованием процедур поиска начальных условий из разделов 5.4 и Эффективность разработанных алгоритмов продемонстрирована на численных примерах.
Следующие главы имеют прикладной характер. В шестой главе разработаны методы и алгоритмы синтеза системы управления мобильными роботами с двумя независимыми приводными колесами с двигателями постоянного тока. Отличительной особенностью предложенных алгоритмов является обеспечение в замкнутой системе инвариантности к внешним возмущениям заданного класса. В разделе 6.1 решена проблема построения генератора задающих воздействий, определяющих желаемую траекторию движения, на основе автономной динамической модели, имеющей структуру полной динамической модели объекта управления, что заведомо делает реализуемыми заданные движения и не требует решения проблем, связанных с достижимостью траектории. В разделе 6.2 формализуется постановка задач управления мобильным роботом на основе модели, расширенной за счет генератора задающих воздействий. В разделе 6.3 разработан алгоритм синтеза системы управления колесным роботом на основе блочного подхода, позволяющий декомпозировать общее движение замкнутой системы на разнотемповые составляющие и существенно упростить реализацию управлений в режиме on-line. В разделе 6.4 получено решение проблемы оценивания неизвестных функциональных составляющих базовых законов управления и внешних возмущений с помощью наблюдателей состояния с разрывными корректирующими воздействиями. В разделе 6.5 представлены результаты моделирования разработанных алгоритмов.
Синтез законов управления
В [167, 184] показано, что при f\{t) = 0 обеспечивается затухание энергии нелинейных колебаний за конечное время. Согласно (2.6)-(2.7) это приводит к бесконечной частоте переключений в установившемся режиме, а поэтому к полной инвариантности переменных Zi,Z2 по отношению к J2{t). Отметим, что в отличие от линейного осциллятора такой режим работы замкнутой системы возникает при ограниченном управлении.
Утверждение 2.1. Если в системе (2.9) внешнее возмущение fi(t) не затухает со временем (т.е. Hm f\{t) ф 0), то выбором параметров Mi, М2 закона управления (2.8) невозможно обеспечить асимптотическую стабилизацию выходной переменной zAt) в том смысле, что Hm Ui() ф 0.
Без ограничения общности положим начальные условия z1(t0) = Z 0 и z2(t0) = 0. Покажем с помощью метода точечных отображений [75], что в замкнутой системе (2.10) возникают автоколебания. Для построения решений обозначим следующие моменты времени согласно равенствам (см. рис. 2.1):
Согласно методу точечных отображений необходимо построить функцию по следования zi(to) = g(Z), затем найти ее стационарную точку Z = g(Z ) и проверить условие (J 1, которое означает существова z=z ние устойчивого предельного цикла в замкнутой системе. Обозначим системы (2.10) по интервалам времени (см. табл. 2.1). Подставляя значения из третьей, четвертой и пятой строк табл. 2.1 в значения шестой, получим Таблица 2.1 – Значения переменных системы (2.10) в характерных точках которые означают, что максимальные амплитуды переменных Z\{t) и z2{t) в режиме колебаний меньше величин Z , f\ на бесконечно малую величину.
С учетом (2.11)–(2.12) получим, что “twisting” алгоритм не обеспечивает асимптотической инвариантности к произвольным внешним возмущениям, но, например, для постоянных возмущений с увеличением полки реле Mi можно гарантировать заданную точность. Утверждение 2.1 доказано.
Приведенные выше физические соображения показывают, что если удастся обеспечить стремление частоты колебаний к бесконечности за счет использования нелинейных алгоритмов управления, то согласно (2.6)-(2.7) выход системы также будет стремиться к нулю асимптотически.
Основную идею разработанного метода, представленного в данной главе, можно объяснить на основе эффекта линеаризации реле с использованием высокочастотного сигнала. Данный эффект хорошо известен в технике и получил название вибролинеаризующего [55, 101, 179]. Если на вход реле добавить, например, треугольный сигнал 5(t) с достаточно большой частотой Г2, то на низких частотах действие реле на динамическую систему эквивалентно линейной обратной связи [39, 55, 101, 106, 147]. При этом коэффициент усиления линейной обратной связи обратно пропорционален амплитуде вибросигнала.
В данной главе будет показано, что подобного эффекта можно добиться и с использованием собственных колебаний системы. Действительно, если изменения во времени переменной Z\{t) носят ярко выраженный колебательный характер, то ее можно представить в виде двух слагаемых Zi(t) = 2io + 2m, где Z\o— медленно меняющаяся во времени переменная, а Z\Q — колебательная составляющая, амплитуда которой зависит от частоты Q. Тогда на низких ча стотах действие реле на систему будет практически эквивалентно действию линейной обратной связи , где о\\1)— некоторая функция, значение ко торой непрерывно зависит от амплитуды колебаний компоненты Z\Q.
Можно использовать взаимосвязь частоты и энергии колебаний (2.7), и за счет алгоритма управления обеспечить асимптотическое стремление частоты колебаний с течением времени к бесконечности, при этом 6(Q) — 0, что, в свою очередь, согласно (2.6) приведет к асимптотическому затуханию переменной Z\{t). Приведенные рассуждения объясняют только физику процесса и не являются строгими. Далее будут разработаны алгоритмы управления со статическими обратными связями на основе описанной идеи и приведены математические доказательства их работоспособности. вектор управляющих воздействий, f(t) Є Є Ш - вектор внешних возмущений, у Є М.т - выход системы, rankD = m, rank = dim хо, 1 тп n — p, пара (Ац,Аю) управляема, измерению доступен весь вектор состояния системы.
Ставится задача синтеза статической обратной связи и = U(xo,Xi), обеспечивающей асимптотическую инвариантность вектора выходных переменных по отношению к вектору внешних возмущений f{t):
Процедура синтеза алгоритма управления основывается на блочном подходе [21], который, по своей сути, является пошаговой процедурой. Рассмотрим первый шаг получения блочной формы для системы (2.13). Введем обозначение где (0,s2i(t2i)) - вторая точка пересечения фазовой кривой с осью ,вц = 0. Идея сравнения наклона касательных к фазовой кривой будет использована для доказательства работоспособности алгоритма управления (2.23) для возмущений типа (2.16). Очевидно, что если удастся показать, что касательные к фазовой кривой при изменяющемся во времени возмущении i(t) также удовлетворяют неравенству вида (2.31), то значение переменной $2г() будет асимптотически уменьшаться с течением времени.
Изменения во времени возмущения i(t) могут приводить к растягиванию фазового портрета и даже к потере устойчивости. Для качественного анализа изменения фазовой кривой в зависимости от возмущения рассмотрим фазовые кривые (2.29), выходящие из некоторых начальных точек (si_,S2-) и (si_,S2+), расположенных в левой полуплоскости, для двух значений амплитуд М2І Мц, которые отражают изменения скорости вращения в зависимости от возмущения.
Доказательство конечной сходимости с оценками времени
В данной главе представлено решение задачи обеспечения асимптотической инвариантности выходных переменных к внешним, несогласованным возмущениям (в предположении об их гладкости и ограниченности) с помощью статической обратной связи, которая формируется на основе релейных вихревых алгоритмов. Разработанные нелинейные алгоритмы управления обеспечивают асимптотическую сходимость выходных переменных к нулю для произвольных начальных условий при ограниченных по модулю управляющих воздействиях, обеспечивающих колебательный процесс в замкнутой системе с неограниченным ростом частоты и асимптотическим стремлением амплитуды колебаний к нулю. Для случая, когда управляющие воздействия могут быть выбраны только из класса разрывных функций, предложен способ реализации релейных вихревых алгоритмов с использованием метода вибролинеаризации релейных элементов. Следует отметить, что в существующих методах решения данной задачи используются динамические обратные связи с наблюдателями состояния [49], системами адаптации [2, 67], с помощью которых удается получить оценки внешних возмущений и использовать их для коррекции ошибок выходных переменных. При наличии шумов измерений использование подобных методов может натолкнуться на дополнительные трудности, связанные с фильтрацией шумов. В данной главе впервые были разработаны алгоритмы управления со статическими обратными связями, не требующие введения дополнительных динамических звеньев в контур обратной связи. Существующие алгоритмы управления со статическими обратными связями обеспечивают, в лучшем случае, только заданную точность регулирования выходных переменных [72, 73, 97].
Разработанные в главе алгоритмы могут быть использованы для решения широкого круга задач теории управления. В частности, на их основе могут быть синтезированы алгоритмы управления в нелинейных электромеханических системах [42, 96, 156, 157, 160], электроприводах [133, 134] и в измерительных системах с дифференциальными датчиками [40,
В разделе 1.3 было дано формальное определение скользящих режимов второго рода. Покажем, в чем основное их отличие от классических скользящих режимов (или скользящих режимов первого рода). Для этого рассмотрим систему первого порядка При М Е в системе (3.1) возникает скользящий режим, движение в котором согласно доопрелелению Филиппова А.Ф. (см. раздел 1.1) можно трактовать как решение дифференциального включения наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные точки функции - Msign(s ) + (), когда s ф 0, t = const. В данном случае s Є [-М + (), М + ()], а решение на поверхности разрыва доопределяется как где обозначение [-]eq введено, чтобы показать, что из-за переключений реле бесконечной частоты только некоторая средняя составляющая данного сигнала равна возмущению [100], в этом смысле запись Msign(s(t)) = (t) некорректна.
В приведенном примере управление возникало сразу после дифференцирования переменной, определяющей поверхность скольжения, т.е. относительный порядок переменной скольжения по отношению к управлению равен единице. Такие случаи в теории скользящих режимов называются невырожденными [100, 184], а сами скользящие движения в современной терминологии называются скользящими режимами первого рода [24]. Для систем с разрывными управлениями, функционирующих в скользящем режиме, характерно попадание изображающей точки на поверхность переключения за конечное время. Для системы (3.1) оценка сверху времени попадания tr на поверхность переключения имеет вид (0)1
Если управление появляется только после двукратного интегрирования переменной, определяющей поверхность скольжения, и за счет алгоритма управления, начиная с некоторого момента времени t = tr, обеспечивается одновременное равенство s(tr) = s(tr) = 0, то такой алгоритм согласно определению 1.7 называется алгоритмом скольжения второго рода [23, 24, 167]. Рассмотрим, так называемый, алгоритм «скручивания» для системы
Как видно в этом случае переменные s1, s2 сходятся к нулю экспоненциально. В этом состоит качественное отличие переходных процессов в замкнутых системах (3.2)–(3.3) и (3.2), (3.5)
По описанной схеме могут быть введены формальные определения скользящего режима r–рода, некоторые из которых можно найти в [24, 168].
Существует не так много методов исследования систем со скользящими режимами высших порядков. Большинство из них справедливо только для однородных дифференциальных уравнений, описывающих замкнутую систему управления [122, 168, 178]. В частности, если доказана асимптотическая сходимость переменных системы к нулю, то на основе качественной теории дифференциальных уравнений доказывается, что сходимость происходит за конечное время. Требование однородности дифференциальных уравнений ограничивают класс систем и алгоритмов управления, которые могут быть использованы при синтезе.
В статье [176] рассмотрен редкий случай, когда автору удалось подобрать негладкую функцию Ляпунова для доказательства конечно-временной сходимости для одного из алгоритмов скольжения второго рода.
В работе [74] предложена модификация метода Зубова В.И. [28] для поиска кандидатов на функцию Ляпунова для некоторых алгоритмов управления на скользящих режимах второго рода.
Сложности поиска подходящей функции Ляпунова несколько ослаблены в публикации [185], где предложен альтернативный подход к доказательству конечной сходимости. Основная идея состоит в следующем: при конечной сходимости переменных системы к нулю за конечное время сойдется и любая положительно полуопределенная функция от этих переменных. Доказательство в этом случае можно провести на основе средней скорости затухания для некоторой функции, характеризующей энергию в системе.
В данной главе разработан новый класс регуляторов на скользящих режимах второго рода. Основная идея состоит в использовании модификации релейного алгоритма управления (2.23), разработанного в главе 2. За счет использования в законе управления непрерывной корректирующей составляющей удается обеспечить конечную сходимость при меньших амплитудах разрывных управлений по сравнению с законом управления (3.3). В главе 1 обсуждалась одна из основных проблем, связанных с использованием разрывных управлений на практике - проблема «чаттеринга». Использование релейных алгоритмов управления с меньшими амплитудами реле приводит к снижению амплитуды колебаний в установившемся режиме, и, следовательно, повышает точность регулирования выходных переменных.
Глава имеет следующую структуру. В разделе 3.1 приведена постановка задачи. В следующем разделе рассмотрена основная идея синтеза управляющего воздействия и приведено качественное доказательство сходимости за конечное время. В разделе 3.3 предложен новый класс регуляторов и приведено доказательство конечной сходимости с оценкой времени на основе функции Ляпунова, приведенной в [44] и идее усреднения, описанной выше.
Постановка задачи для систем с нестационарными параметрами
Если гапкуІ2і = ггі2 = dima , то процедура заканчивается: БФУ (5.16) получена. В противном случае (гапктІ2і = vii2 dim #2) рассматривается верхняя подсистема системы (5.22), которая ортогональным преобразованием приводится к регулярной форме относительно фиктивных управлений Х\, и т. д.
Поскольку на каждом шаге размерность верхней подсистемы понижается, постольку на конечном (г — 1)-м шаге намеченной процедуры выполнится условие гапк(ЛГ;Г_і) = mr = dimaV, и, таким образом, будет получена БФУ (5.16). Тот факт, что композиция ортогональных преобразований, включая перестановку строк, есть ортогональное преобразование, доказывает теорему 5.3.
Таким образом, на каждом шаге процедуры приведения к БФУ ортогональные преобразования находятся как композиция из перестановок строк и аннулирующего преобразования: Т = ТР,п і = 0, г — 1, при этом размерность задачи на каждом шаге понижается: то гп\ ... mr, Хл=от =
Таким образом, получено в явном виде ортогональное преобразование к БФУ, имеющей вид, аналогичный матрице Хессенберга, которая может быть также получена численно многократным применением преобразований Хаус-холдера [30].
В данном параграфе для систем, представленных в БФУ (5.16), разработана пошаговая процедура синтеза модального управления с целью выбора матрицы обратной связи с минимальной нормой Фробениуса, которая заключается в последовательном назначении части заданного спектра матрицы замкнутой системы сначала с помощью фиктивных, а потом и истинного управления. В отличие от стандартной процедуры блочного синтеза [21] для нижеследующих построений разработана пошаговая процедура ортогональных преобразований.
Замечание 5.1. На практике может оказаться и так, что часть спектра матрицы А уже совпадает с желаемым спектром, т.е. сг(А) f] т(Л) = Ло ф 0. В этом случае можно использовать предварительное ортогональное преобразование х = Тх первой подсистемы (5.1) к блочной форме При этом значение матрицы F = ( О F2 ) обратной связи ищется уже для редуцированной пары (А22, В2), которая в силу управляемости исходной системы также является управляемой. Матрица обратной связи для переменных исходного координатного базиса имеет вид F = ( О F2 )Т. Далее без ограничения общности предполагается, что сг(А) f)cr(A) = 0.
Решение уравнения (5.25) может быть найдено с учетом априорного предположения det(M22) ф 0 [174]. В результате первого шага находим Мч\ и, как следствие, ортогональную матрицу первого преобразования. Из того, что det(M22) ф 0, следует rank( o) = rank(M22-E o) = тпо.
С помощью выбора управления в виде и = щ + UQ и Щ = FQXQ в нижней подсистеме (5.24) можно назначить часть желаемого спектра, указанного в условиях леммы 5.2. В этом случае матрица AQ0 = Доо + BQFQ определяется следующим образом:
Отметим, что существует бесконечное множество локальных обратных связей с матрицей Fo, с помощью которых решается эта задача, поэтому в частично замкнутой системе (5.23) возникает проблема оптимального выбора части заданного спектра и соответствующего оптимального выбора матрицы FQ. Существенно, что решаемая при этом задача синтеза для пары матриц Лоо, о является элементарной, так как по определению регулярной формы размерность нижней подсистемы равна рангу матрицы перед управлением, который не изменился после выполнения невырожденного преобразования. Вопросы численной оптимизации нормы матрицы Fo подробно обсуждаются в разделах 5.5 и 5.6.
Для общего случая систем, в которых регулярная форма (5.17) не является одновременно БФУ а именно, dimжі rankЛю, и спектр матрицы системы составляют действительные числа, на основе результатов леммы 5.2 разработана пошаговая процедура блочного синтеза модального управления в рамках ортогональных преобразований.
На первом шаге к системе, представленной в регулярной форме (5.17), применяются ортогональные преобразования с результирующей матрицей Mi = Mi Mi и осуществляется частичный выбор обратной связи щ = FQXQ (см. лемму 5.2), что приводит к виду (5.23). При этом решается задача минимизации нормы матрицы обратной связи в последней подсистеме (5.24), которая является элементарной относительно истинного управления.
На втором шаге аналогичные преобразования применяются к первой подсистеме (5.23) хх = АпХі + ВІЩ, которая с помощью перестановки расщепляется на две подсистемы, где вторая подсистема является элементарной относительно управления и и имеет размерность rank ].
В результате ортогонального преобразования с матрицей М2 = М2М2 и частичного выбора обратной связи и = щ + и\, щ = Fix\, в выделенной элементарной подсистеме обеспечивается часть заданного спектра. При этом решается проблема оптимального выбора части заданного спектра и матрицы F\.
Продолжая указанную процедуру, будет решена задача синтеза модального управления, которое обеспечивается минимальными по норме матрицами обратной связи в элементарных подсистемах с частично выбираемым на каждом шаге управлением щ = і ж , где Fi - матрица обратной связи, вычисляемая на первом этапе г-го шага.
В БФУ отражены структурные свойства управляемости системы, определяемые числом г + 1 и размерностью ті взаимосвязанных блоков. Методология блочного синтеза заключается в назначении собственных чисел в каждом отдельном блоке, что накладывает ограничение на количество и группировку назначаемых собственных чисел. Например, если размерность блока равна трем, то в матрице замкнутой системы можно назначить один действительный и два комплексно-сопряженных собственных числа или три действительных.
Для получения максимального эффекта от использования предложенного алгоритма необходимо провести оптимизационную процедуру для всех возможных комбинаций расположений собственных чисел в блочно-диагональной матрице замкнутой системы (5.27).
Таким образом, предложено решение задачи минимизации обратной связи в рамках блочного подхода, позволяющего декомпозировать задачу оптимизации высокой размерности на последовательно решаемые подзадачи меньшей размерности. Учитывая, что полученное решение является субоптимальным, для дальнейшей минимизации можно воспользоваться общими оптимизационными процедурами, которые описаны в разделах 5.5 и 5.6.
В данном разделе разработаны алгоритмы поиска опорных субоптимальных решений, которые можно использовать в качестве начальных условий при поиске субоптимальных решений общими оптимизационными процедурами, приведенными в разделе 5.6.
Алгоритм 1 (на основе верхней треугольной формы) и обратный алгоритм 1 (на основе нижней треугольной формы представления замкнутой системы) позволяют единственным способом с точностью до перестановок собственных чисел разместить заданные действительные собственные числа (подраздел 5.4.1). На основе численных примеров показано, что в общем случае использование этих алгоритмов приводят к разным результатам, поэтому они должны использоваться независимо в каждой оптимизационной задаче. В подразделе 5.4.2 разработан алгоритм размещения комплексно-сопряженных корней.
В данном подразделе разработаны процедуры нахождения субоптимального опорного решения применительно к первой подсистеме (5.1) для случая, когда заданный спектр {Ai, ... , Ап} (5.4) содержит только действительные числа. Отметим, что для минимизации вычислительной нагрузки пара (А, В) может быть представлена в форме Хессенберга [30]. Предлагаемая процедура является пошаговой. На каждом шаге определяются ортогональная матрица Щ (і = 1, п) и локальная обратная связь Fi (і = 1, п) только по одной координате вектора х = col(жі, ...,жп) первой подсистемы (5.1) сверху вниз или снизу вверх соответственно. Данная процедура позволяет последовательно получить матрицу замкнутой системы в верхней треугольной форме Шура [9, 16, 30] с заданными действительными собственными значениями на главной диагонали, при этом на каждом шаге матрица частичной обратной связи выбирается минимальной по норме Фробениуса.
Алгоритм 1 (нахождения опорного решения). Данный алгоритм заключается в получении верхнетреугольного вида матрицы замкнутой системы с заданным действительным спектром на главной диагонали и состоит из п аналогичных ортогональных преобразований и последовательного выбора составляющих управления и = щ + щ + ... + ип в виде покоординатной статической линейной обратной связи. Суть преобразование первого шага формализована в следующей лемме.
