Введение к работе
1.1 Актуальность темы
Применение методов квантовой теории поля (КТП) к системам, описываемым стохастическими дифференциальными уравнениями, является весьма актуальной задачей, так как позволяет получать статистические характеристики физических, химических, биологических и других систем бей» использования теории возмущений. В тех же случаях, когда это не удается, методы КТП существенно упрощают построение теории возмущений.
В случае гидродинамической турбулентности сложность ситуации усугубляется тем, что нелинейное межмодовое взаимодействие является предельно сильным, вследствие чего параметр асимптотического разложения не является малым и обычная теория возмущений, построенная по этому параметру, не может дать сколько-нибудь надежных результатов. Все это делает необходимым использование для исследования гидродинамической турбулентности непертурбативных методов КТП.
Актуальность исследования свяоана также и с возможностью применения функционального интеграла к процессу зарождения хаоса как в открытых, так и в замкнутых системах.
1.2 Цели исследования
Основной целью данной диссертационной работы является развитие математического аппарата, позволяющего использовать свойства симметрии классических систем с флуктуирующими параметрами для исследования статистических характеристик этих систем. Целью данной заботы, в частности, является применение этого аппарата к нсследо-занию спектров гидродинамической турбулентности.
В работе также исследуются градуированные симметрии, появляго-циеся при статистическом описании процесса перехода к хаосу.
1.3 Научная новиона
Интенсивное применение методов КТП к описанию случайных процессов, в.т.ч. гидродинамической турбулентности, началось с установления П.Мартином, Е.Сиджиа и Г.Роусом (1973 г.) эквивалентности между статистической задачей и некоторой теорией поля.
При этом в гидродинамических задачах, как правило, использовалось представление характеристического функционала поля скорости в виде функционального интеграла. Для исследования асимптотического поведения корреляционных функций использовался аппарат ренормали-оационной группы. В рамках ренормгруппового подхода проводились обоснование холмогоровского спектра турбулентности, вычисление коэффициентов турбулентної! вязкости и диффузии, а также поиск поправок к колмогоровскому спектру.
Для простейших систем со случайными параметрами, кроме того, начиная с работ М.В. Фейгельмана и A.M. Цвелика (1982) и Е.Гоцци (1983), для исследования поведения системы вблизи равновесного состояния использовалась суперсимметричная теория поля, возникающая при описании ланжевеновской системы в терминах функционального интеграла.
Связь между симметрией характеристического функционала статистической гидродинамики, а именно, галилеевой инвариантностью, и структурой расходимостей соответствующих диаграммных рядов, исследовалась в работах Л.Ц.Аджемяна, А.Н.Васильева, М.Гнатича, Ю.М.Письмака, Э.В.Теодоровича,,Н.Тору и других авторов. Э.В.Теодоровичем было показано, что галилеева инвариантность пооволяет сократить число констант перенормировки с трех до одной и приводит к тождествам Уорда, связывающим массовый оператор с вершинной функцией.
Описание классических динамических систем в терминах функционального интеграла проводилось в работах Е.Гоцци начиная с 1986г.; при этом рассматрнивались лишь гамильтоновы системы с конечным числом степеней свйбоды. Пооднее метод функционального интеграла применялся к задачам классической механики также и другими авторами.
Новизна результатов диссертации состоит в следующем:
Производящее уравнение для тождеств Уорда в теории поля, по-
рождаемой некоторым стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ), построено бео конкретных предположений о группе симметрии оадачи.
о Найдены ограничения на корреляторы п функции отклика гидродинамического поля скорости, в случае, если турбулентность остается инвариантной относительно группы симметрии системы уравнений Навье-Стокса. Показана возможность сохранения этой? инвариантности.
в На основе раоработанноп процедуры вывода тождеств Уорда для теорий поля, порождаемых СДУ, получены соотношения для корреляционных функций гидродинамических полей, следующие из инвариантности оадачи относительно группы Ли масштабных преобразований системы уравнений Навье-Стокса
t — e2lt, х —+ е'х, v —» e'^v, р —* е 7р;
.- покапано, что стационарный спектр масштабноинвариантной' турбулентности имеет вид
Е{к) ос к-1
е Покаяано, что спектры турбулентности, как в стационарном случае, так и при вырождении, могут быть объяснены с помощью гипотезы безвязкого стока энергии {и —* 0) в нуль-моду к »./)'. На этой основе в первом случае получен колмогоровский спектр k~sf3, а во втором, с учетом соображений масштабной инвариантности и подобия, — спектр вырождающейся турбулентности
E(t, к) ~ ГЧ~3
в Связь между существованием беспотокового стационарного состояния в ланжевеновской системе и супер симметрией соответствующего уравнения Фоккера-Планка исследуется для систем с мультипликативным шумом. Показано, что для уравнения Лан-жевена с мультипликативным шумом простейшего вида
а?(*,о+^Р^-е(*.'Мм) = о
возможно спонтанное нарушение супер симметрии, обусловленное мультипликативным характером шума. Для систем, имеющих более сложное мультипликативное взаимодействие с флуктуирующей средой, суперсимметрия может не нарушаться т.е. может существовать стационарное состояние.
в Описана алгебраическая классификация ланжевеновскнх систем на основе Ли-алгебраических потенциалов.
в Показано, что оарождение каскада ь каскадной модели Гледоера-Должанского-Обухова свяоано с нарушением супер симметрии.
Функционально-интегральных! подход к оадачам классической ме
ханики распространен на гамильтоновы системы вида
с континуальным числом степеней свободы.
С использованием свяои между "духовыми" полями в функцио
нальном представлении стохастической задачи и полями Якоби
показано, что асимптотика функции Грина духовых полей играет
роль, аналогичную показателю Ляпунова.
1.4 Практическая и научная ценность работы
Предложенные в диссертации методы исследования систем с флуктуирующими параметрами могут быть использованы для:
исследования спектральных характеристик открытых систем с нетривиальной группой (Ли) симметрии;
исследования статистических характеристик физических, биологических и других систем с флуктуирующими параметрами вдали от термодинамического равновесия;
исследования устойчивости стационарного состояние открытых систем;
исследования процессов перехода к хаосу в классических динамических системах
- 5 ~
Представленные в диссертации спектры турбулентности Е(к) ос к'1 и
E(t,k)~r2k-3
реально наблюдались в атмосферной турбулентности и натурных экспериментах.
Предложенный метод алгебраической классификации ланжевено-
вских систем легко алгоритмизируем и может быть полезен для реше
ния вопроса о существовании равновесного стационарного состояния
таких систем. Этот же метод может быть использован и при постро
ении нестационарной теории возмущений. '
1.5 Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на 5-й международной конференции по жидкому состоянию материи (Москва, октябрь 1989г.), международной конференции по самоорганизации в химических и биологических возбудимых средах (Пущино_, май-июнь 1990г.), Международной конференции по Генерации крупномасштабных структур в сплошных средах (Пермь-Москва, июнь 1990г.), 3-й Европейской конференцгаї по турбулентности (Стокгольм, июль 1990г.), XV сессии Европейского геофизического общества (Висбаден, апрель 1991г.), на семинаре в Институте экспериментальной физики Словацкой АН (г.Кошице, ноябрь 1991г.), на семинаре ЛТФ ОЙЯИ (г.Дубна, январь 1992г.), на международной школе "Турбулентность в распределенных системах" (Франция, Де Зуш, январь 1992), а также на семинарах Института космических исследований АН СССР.
Всего по теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.
1.6 Структура и объем диссертации
