Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Многомерная геометрофизика (обзор). 14
1.1. Монадный метод в пятимерной геометрической теории 14
1.1.1. Алгебра общековариантного монадного метода 14
1.1.2. Физико-геометрические тензора и выражение для пятимерных символов Кристоффеля 16
1.1.3. Монадные операторы дифференцирования 18
1.1.4. Тензор Римана, тензор Риччи и скалярная кривизна . 19
1.1.5. "Хронометрическая" калибровка монады 21
1.2. Единая теория гравитации и электромагнетизма (вариант Калуцы) 24
1.3. Шестимерная геометрическая теория и диадный метод 27
1.3.1. Основы общековариантного диадного метода 27
1.3.2. Дважды "хронометрическая" калибровка диады 29
1.3.3. Физическая интерпретация шестимерной теории 31
1.4. Объединение взаимодействий на основе много мерных римановых пространств (современный этап) 34
1.4.1. Семимерная теория грави-электрослабых взаимодействий (бозонный немассовый сектор) 34
1.4.2. Восьмимерная теория грави-сильных взаимодействий (бозонный немассовый сектор) 37
1.4.3. Редукция восьмимерной геометрической теории к семимерной (бозонный немассовый сектор) 40
1.4.4. Общие ограничения, налагаемые на n-мерную геометрическую теорию при её физической интерпретации 43
Глава 2. Общековариантный m-адный метод в п-мерной теории . 44
2.1. Вектора m-ады и их свойства, обобщённые физико - геометрические тензоры и представление
для n-мерных символов Кристоффеля 44
2.2. Операторы дифференцирования и представление для ковариантной производной от произвольного п-вектора 51
2.3. Коммутаторы специальных дифференциальных операторов и (полные) проекторы ковариантных производных от физико-геометрических тензоров. 56
2.4. Процедура расщепления тензора Римана - Кристоффеля (общие положения и 1-й этап вычислений) . 61
2.5. Процедура расщепления тензора Римана - Кристоффеля (2-й этап), тензор Риччи и скалярная кривизна 68
Глава 3. Перенормировка планковских значений масс векторных бозонов в многомерных геометрических теориях 74
3.1. Массовый сектор восьмимерной теории 74
3.1.1. Лагранжиан геометрической теории грави-сильных взаимодействий 74
3.1.2. Проблема планковских значений масс заряженных глюоиных полей. 77
3.1.3. Конформное преобразование 79
3.1.4. Геометрическая перенормировка глюонных масс 82
3.2. Массовый сектор семимерной теории 84
3.2.1. Лагранжиан геометрической теории грави - электрос лабых взаимодействий и проблема планковских значений бозонных масс 84
3.2.2. Массовый сектор семимерной геометрической теории, полученной редуцированием единой восьмимерной геометрической теории 86
3.2.3. Конформное преобразование и перенормировка план-ковских значений бозопиых масс 87
Заключение 91
Литература
- Монадные операторы дифференцирования
- Операторы дифференцирования и представление для ковариантной производной от произвольного п-вектора
- Лагранжиан геометрической теории грави-сильных взаимодействий
- Лагранжиан геометрической теории грави - электрос лабых взаимодействий и проблема планковских значений бозонных масс
Введение к работе
Актуальность темы.
С возникновением общей теории относительности, явившейся результатом развития цепочки идей выдающихся мыслителей девятнадцатого — начала двадцатого веков, появилась принципиально новая категория искривлённого пространства - времени. Компоненты метрического тензора, зависящие от четырёх координат, стали играть роль потенциалов гравитационного "поля". Тем самым был сделан первый шаг в реализации глобальной программы по геометризации всех физических взаимодействий.
Затем начались исследования возможности геометризации не только гравитационного, но и других видов физических взаимодействий. На попытки решения этой проблемы были затрачены огромные усилия. Следует напомнить варианты единых теорий гравитации и электромагнетизма, предложенные Г. Вейлем и А. Эддингтоном, самим Эйнштейном (совместно с В. Майером и П. Бергманом), другими физиками-теоретиками первой половины ХХ-го века. В рамках этих исследований были открыты нерима-новы геометрии. Особенно плодотворными оказались идеи Калуцы.
Вскоре после публикации основополагающих работ Эйнштейна Теодор Калуца предложил способ объединения теорий гравитации и электромагнетизма на основе гипотезы, что наш мир представляет собой искривленное пятимерное пространство - время. Без сомнения, это и стало началом второго этапа в создании геометрической картины мира. Подчеркнём, что теория Калуцы возникла как непосредственное развитие идей эйнштейновской общей теории относительности на случай геометрической теории пяти измерений. Пятимерная теория Калуцы показала, что при построении многомерных геометрических теорий следует отказаться от постулата равноправности дополнительных и классических измерений.
Отметим, что первая статья Калуцы и ряд последующих ра-
бот других авторов были недостаточно общими и четкими. Только спустя много лет идеи Калуцы были сформулированы в строгом и законченном виде. Оказалось, что для этой цели необходимо использовать монадный метод редукции пятимерной теории на четырёхмерное риманово пространство-время. Исторически монадный метод возник в связи с решением именно этой задачи, и лишь спустя много лет был переоткрыт и усовершенствован при разработке методов описания систем отсчета в рамках четырёхмерной общей теории относительности.
Многомерные геометрические теории объединения физических взаимодействий, пройдя свой первый исторический этап — этап развития пятимерных теорий, описывающих с помощью одной дополнительной компактифицированной размерности абеле-во (электромагнитное) поле, находятся в настоящее время на втором своём этапе — этапе развития n-мерных теорий (п>5), объединяющих гравитацию и неабелевы калибровочные поля. Этот переход стал возможен только после того, как теория электрослабых и сильных взаимодействий была сформулирована, по аналогии с теорией электромагнитного поля, в терминах векторных полей промежуточных бозонов.
Как известно, модель электрослабых взаимодействий Вайн-берга — Салама — Глэшоу и хромодинамическая модель сильных взаимодействий были построены во второй половине 60-х — начале 80-х годов ХХ-го века на базе калибровочного подхода с соответствующими групповыми симметриями.
В ряде работ, посвященных геометризации модели Вайнберга — Салама — Глэшоу, старались напрямую геометризовать группы, используемые в этой теории. Для дополнительных размерностей постулировалась топология сферы, соответствующая группе SU(2), иногда привлекалась ещё одна размерность — с топологией, соответствующей группе U(l), как в классическом варианте пятимерной теориии Калуцы. При этом, как правило, общее количество измерений оказывалось равным десяти или одиннадца-
ти. В работах В.Г. Кречета была предпринята попытка описать грави-электрослабые взаимодействия в рамках пятимерной геометрической модели. Однако для этой цели пришлось использовать афинные геометрии с кручением и с вейлевской неметрич-ностью.
В Московском Университете в группе Ю.С. Владимирова исследуется альтернативный подход к многомерным единым теориям, в котором используется тороидальная топология по дополнительным размерностям. В рамках семи измерений была развита геометрическая теория, объединяющая гравитационные и электрослабые взаимодействия, показано её соответствие с моделью Вайнберга — Салама — Глешоу в секторе взаимодействия и в фер-мионном секторе. В рамках восьми измерений была построена геометрическая теория, объединяющая гравитационные и сильные взаимодействия, и показано её соответствие с классической хромодинамикой (в бозонной немассовой части).
Далее на повестку дня естественным образом встала проблема анализа массовых бозонных секторов восьмимерной геометрической теории грави-сильных взаимодействий и семимерной геометрической теории грави-электрослабых взаимодействий. В обоих случаях в основе всех построений лежит т.н. гиперплотность геометрического лагранжиана, важнейнейшей составной частью которой является многомерная скалярная кривизна. Формула, представляющая результат процедуры расщепления этой величины, содержит слагаемое Щт) (т.н. "массовый" сектор), явный вид которого ранее не выписывался. Поэтому прежде всего стояла задача разработать метод (4+1-т)-расщепления геометрических величин (в том числе скалярной кривизны), фигурирующих в n-мерной теории. Было необходимо разработать такой (математический) аппарат (метод), который естественно содержал бы монадный, а также диадный, триадный и т.д. методы в качестве своих частных случаев.
Заметим, что в полном виде монадный метод в специальной
(хронометрической) калибровке впервые был построен А.Л. Зель-мановым и затем независимо в трудах Э. Шмутцера и К. Кат-танео. В 70-х годах ХХ-го века Владимировым Ю.С. и другими авторами были разработаны общековариантный монадный метод и основы общековариантного диадного метода. На рубеже 80-х и 90-х годов Мишаковым А.В. был предложен метод получения из (п-І)-мерной скалярной кривизны n-мерной скалярной кривизны, однако фактически был проделан лишь первый шаг заявленной рекуррентной процедуры (характеризуемый п=6). Вопрос о получении представления для 6-мерного тензора Риччи и тем более для 6-мерного тензора Римана — Кристоффеля (не говоря уже о более высоких размерностях) до сих пор оставался открытым.
Общим свойством (недостатком) многомерных геометрических теорий, относящихся к направлению, альтернативному стандартному, является тот факт, что в них все заряженные частицы (как геометрического, так и физического происхождения) характеризуются чрезвычайно большими значениями масс, порядка планковской массы. Последние возникают из-за дифференцирования соответствующих волновых функций по дополнительным координатам калуцевского типа. Эту трудность пытались устранить различными способами: либо волевым введением в теорию больших затравочных масс, перенормирующих планковские массы до наблюдаемых значений, либо посредством использования специальных видов геометрии с кручением, влияющей лишь на значения масс частиц, либо посредством введения скалярного конформного фактора, зависящего от 4-классических и дополнительных координат. Эти и иные приемы по ряду причин оказываются в геометрической теории неудовлетворительными. В данной работе предлагается видоизменение третьего из указанных способов, позволяющее решить эту проблему таким способом, который (в рамках семимерной теории грави-электрослабых взаимодействий) соответствует общепринятому механизму Хигг-са без недостатков последнего.
Цель работы.
Диссертационная работа посвящена исследованию методов геометрического введения масс промежуточных бозонов в многомерных теориях физических взаимодействий типа теорий Калуцы и Клейна.
В связи с этим были поставлены следующие задачи:
обобщить общековариантный монадный метод (редуцирования пятимерного риманового многообразия к четырёхмерному) до общековариантного гд-адного метода редуцирования (4+гд)-мерного риманового многообразия (с топологией тора по дополнительным размерностям) к четырёхмерному;
применив методику (4+1+1+1+1)-расщепления, проанализировать массовой бозонный сектор (включая конформно выделенное слагаемое) восьмимерной теории грави - сильных взаимодействий;
применив методику (4+1+1+1)-расщепления, проанализировать массовой бозонный сектор (включая конформно выделенное слагаемое) семимерной геометрической теории грави-электрослабых взаимодействий.
Научная новизна.
Научная новизна данной работы состоит в том, что в ней впервые:
1) Разработан общековариантный m-адный метод редуцирования n-мерной геометрической модели к физической теории в пространственно-временном многообразии n-m измерений (для физических приложений наиболее интересным представляется случай n-m=4). В частности, определено количество типов и вид обобщённых физико-геометрических тензоров внутри каждого типа; получено представление ковариантных производных от произвольного n-вектора в (4+1-ш)-расщеплённом виде; в гд-адном виде записаны проекции тензора Римана — Кристоффеля, тензора Риччи, а также скалярная кривизна; найдены коммутаторы
специальных (m-адных) дифференциальных операторов, необходимые для записи тензора кривизны и других геометрических величин. Все полученные формулы справедливы в геометрических теориях любой размерности и сигнатуры.
В рамках 8-мерной геометрической теории, объединяющей общую теорию относительности и выводы калибровочной модели сильных взаимодействий, на основе (гд=4)-адного (тетрадного) метода выделены массовые слагаемые и разработан способ перенормировки планковских значений масс заряженных глюонов, в котором специальное конформное преобразование исходной восьмимерной метрики играет ключевую роль.
Разработанная в рамках 8-мерной теории процедура геометрической перенормировки масс применена в 7-мерной геометрической теории грави-электрослабых взаимодействий. Показано, что конформное преобразование, использованное для этой цели, фактически является геометрическим аналогом механизма Хиггса введения масс в калибровочной модели Вайнберга-—Салама—Глэшоу.
Научная и практическая ценность.
Научная ценность диссертации определяется тем, что результаты работы могут быть использованы в исследованиях по поиску теоретического обоснования наблюдаемых значений и спектра масс элементарных частиц.
Апробация работы.
Материалы диссертации докладывались на заседаниях научных семинаров Российского Гравитационного Общества и семинара проф. Ю.С. Владимирова "Геометрия и физика" на Физическом факультете Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова. Основные результаты диссертации опубликованы в трёх работах.
Структура, и объём диссертации.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём работы — 101 (машинописая) страница, библиография — 96 наименований.
Монадные операторы дифференцирования
С возникновением общей теории относительности [1-3], явившейся результатом развития цепочки идей выдающихся мыслителей девятнадцатого - начала двадцатого веков [4-9], появилась принципиально новая категория искривлённого пространства-времени. Компоненты метрического тензора, зависящие от четырёх координат, стали играть роль потенциалов "гравитационного поля". Тем самым был сделан первый шаг в реализации глобальной программы по геометризации всех физических взаимодействий.
Затем начались исследования возможности геометризации не только гравитационного, но и других видов физических взаимодействий. На попытки решения этой проблемы были затрачены огромные усилия. Следует напомнить варианты единых теорий гравитации и электромагнетизма, предложенные Г. Вейлем [10], А. Эддингтоном [11], самим Эйнштейном (совместно с В. Майером, П. Бергманом) [12-14] и другими физиками-теоретиками первой половины ХХ-го века. В рамках этих исследований были открыты неримановы геометрии. Особенно плодотворными оказались идеи Калуцы. В указанном русле одно время работали Луи де Бройль [15], Г.А. Мандель [16] и многие другие.
Вскоре после публикации основополагающих работ Эйнштейна Теодор Калуца [17] предложил способ объединения теорий гравитации и электромагнетизма на основе гипотезы, что наш мир представляет собой искривленное пятимерное пространство-время. Без сомнения, это и стало началом второго этапа в создании геометрической картины мира. Подчеркнём, что теория Калуцы возникла как непосредственное развитие идей эйнштейновской общей теории относительности на случай геометрической теории пяти измерений. Пяти мерная теория Калуцы показала, что при построении многомерных геометрических теорий следует отказаться от постулата равноправности дополнительных и классических измерений. Физические обстоятельства нашего мира таковы, что метрический тензор четырёхмерного пространственно-временного сечения многомерного многообразия) не зависит от дополнительных координат. Дополнительное (пятое) измерение в теории Калуцы проявляется в виде смешанных компонент пятимерного метрического тензора и компонент пятимерных символов Кристоффеля.
Отметим, что первая статья Калуцы и ряд последующих работ других авторов были недостаточно общими и четкими. Только спустя много лет идеи Калуцы были сформулированы в строгом и законченном виде. Оказалось, что для этой цели необходимо использовать монад иый метод редукции пятимерной теории на четырёхмерное риманово пространство-время. Исторически монадный метод возник в связи с решением именно этой задачи [13,18], и лишь спустя много лет был переоткрыт и усовершенствован при разработке методов описания систем отсчета в рамках четырёхмерной общей теории относительности.
Многие физики-теоретики по-достоинству оценили "чудеса" теории Калуцы, главным из которых является автоматическое расщепление пятимерных уравнений эйнштейновского типа на систему из десяти обычных четырёхмерных уравнений Эйнштейна (причём с тензором энергии-импульса электромагнитного поля в правой части), четыре уравнения Максвелла и ещё одно скалярное уравнение. Среди таких физиков можно назвать Л. де Бройля [19], В.А. Фока [20], П. Йордана, А. Салама [21], С. Вайнбсрга [22] и многих других.
В настоящее время принято называть пятимерную теорию гравитации и электромагнетизма теорией Калуцы — Клейна, однако под этим названием кроются совершенно различные теории, преследующие разные цели. Как уже отмечалось, теория Калуцы нацелена на геометризацию электромагнитных взаимодействий, тогда как теория Клейна, точнее, теория Клейна — Фока — Румера [23-27] предназначена для геометрического описания масс и квантовой теории. Как оказалось, на стандартную общую теорию относительности можно взглянуть как на оптику в пятимерном пространстве-времени, причём в качестве дополнительной (пятой) компоненты импульса выступает масса покоя частицы. Соответствующие формулы приведены в первой главе. Здесь лишь заметим, что в настоящей диссертации будет предложен механизм получения масс бозонов (частиц-переносчиков взаимодействий), для которого существенно наличие дополнительных размерностей обоих типов (калуцевского и клейновского). Главная проблема варианта Клейна — Фока состояла в том, что вместо универсального пространства-времени вводилось многомерное конфигурационное пространство; в (смешанные) компоненты метрики входило отношение электрического заряда к массе рассматриваемой частицы. Таким образом пространство-время оказывалось предназначенным для описания лишь одного сорта частиц. При осуществлении своей программы столкнулся с рядом трудностей и Ю.Б. Румер. Выводя за скобки неразрешённый до сих пор вопрос совмещения принципов ОТО (и её обобщений) с квантовой теорией, можно сказать, что корень проблем заключался в том, что две задачи — геометризации электромагнетизма и получения масс — решались одновременно в рамках пяти измерений. В обзорной главе настоящей диссертации приведён вариант шестимерной теории типа теории Калуцы — Клейна (где координаты х, х1,х2, х3 — классические, ж4 — клейновская, х — калуцевская), в которой удаётся избежать ряд проблем теории Клейна — Фока — Румера.
Представляет интерес направление исследований, заключающееся в анализе многомерных космологических моделей. Здесь следует отметить работы К.А. Бронникова [28] (с соавторами) и [29], В.Н. Мельникова [30], В.Д. Иващука [31], Ю.С. Владимирова [32] (ссоавтором), А.В. Мишакова [33].
Многомерные геометрические теории объединения физических взаимодействий, пройдя свой первый исторический этап - этап развития пятимерных теорий, описывающих с помощью одной дополнительной компактифицированной размерности абелево (электромагнитное) иоле, находятся в настоящее время на втором своём этапе — этапе развития n-мерных теорий (п 5), объединяющих гравитацию и неабелевы калибровочные поля. Этот переход стал возможен только после того, как теория электрослабых и сильных взаимодействий была сформулирована, по аналогии с теорией электромагнитного поля, в терминах векторных полей промежуточных бозонов. Как известно, модель электрослабых взаимодействий Вайнберга — Салама — Глэшоу [34-36] и хромодинами-ка [37,38] были построены во второй половине 60-х — начале 80-х годов ХХ-го века на базе калибровочного подхода с соответствующими групповыми симметриями [39-45].
Операторы дифференцирования и представление для ковариантной производной от произвольного п-вектора
Таким образом, в рамках m-адного метода редукции n-мерной теории возникает: 1) rri2 ФГ-тензоров второго ранга (Т у), у которых можно выделить симметричную (по глобальным индексам) часть {D$N) и антисимметричную часть {FMN)\ 2) т(3т — 1)/2 ФГ-векторов, относящихся к двум разным типам — им и V f (альтернативная пара — Фм и Ам ), причем один из типов (в каждой паре) таков, что соответствующие ему величины априори антисимметричны по "локальным" индексам; 3) m2(m — 1)/2 ФГ-скаляров S abc (альтернативный вариант — 0,(аЬс\ обладающих свойством антисимметрии по (одной) паре "локальных" индексов.
В заключение параграфа приведем ряд соотношений между ФГ-тензорами [следующих из (2.1.22)-(2.1.25)]: Здесь слева от знака равенства фигурируют ФГ-тензора из "фундаментального" набора (полные проекции ковариантных производных векторов m-ады), а справа от знака равенства — ФГ-тензора из "традиционного" набора. 2.2. Операторы дифференцирования и представление для ковариантной производной от произвольного п-вектора.
Теперь приступим к обобщению операторов дифференцирования, фигурирующих в диадном методе задания систем отсчёта в общей теории относительности. Напомним, что характеристическое свойство этих операторов, определяющее их исключительную роль в развиваемом методе, состоит в том, что при их действии на ПВ - спроектированные тензоры в результате снова получаются тензорные величины, полностью (по всем индексам) спроектированные на 4-мерную пространственно-временную (ПВ) гиперповерхность.
Любой n-вектор ввиду (2.1.2) может быть представлен через свои проекции: BN = BN + GN(a)B{a); BN = g%Bq\ B{a) = Gp{a)BP. (2.2.1)
Здесь и далее (по крайней мере до конца главы) значком "тильда" отмечаются ПВ - спроектированные (по всем индексам) величины. Для них на основании (2.1.3) и определения Bff = др4g Bq верны следующие соотношения: Первый тип дифференциальных операторов определяется следующим образом: В (2.2.3) входит выражение, представляющее собой естественное обобщение производной Ли на многомерие:
Последнее равенство верно в силу того, что слагаемые, содержащие п-мерные символы Кристоффеля (последние входят в определение кова-риантных производных), взаимно уничтожаются. Получим выражение для дифференциального оператора (2.2.3), которое сыграет важную роль в третьей главе. С использованием правила Лейбница для вычисления ковариантной производной от произведения тензоров, а также с учётом формул (2.2.2), первая аддитивная часть оператора (2,2.3) представляется в виде
Отсюда на основании определений (2.2.4), (2.1.13), (2.1.9) и (2.1.7) получим следующее соотношение: (в ряде последующих формул обобщённые символы Кристоффеля не будут отмечаться буквой п слева вверху - чтобы не загромождать запись) - 9 к l(dwBN + TWSBN - TWNBS ) — BQ {d\VgN + TwsgN - TWNgs ) —BN(dw3p + FwsgP VWPg1s )] — gK [dwBN + BNLPW — BQ LNW]. (2.2.10) Итоговое выражение в {2.2.10) получено с помощью (2.2.7), а также благодаря тому факту, что с учётом (2.1.3) при полном (по всем трём индексам) проектировании обобіценньїх (n-мерных) символов Кристоффеля на ПВ-гиперповерхность из всех слагаемых в формуле (2.1.21) "выживает" только первое (4Г/Лг)- Кроме того, введены обозначения: LPW = Vwp - dwgp ; LNW = TwsgN + dwgN. (2.2.11)
Из (2.2.10) видно, что величины {LpW и L w) в 4-мерном пространственно-временном сечении играют роль символов Кристоффеля, то есть имеют смысл связностей.
Получим представление для ковариантной производной отп-вектора. Для удобства вычислений опять же произведём вначале разделение общего выражения на три аддитивные части, которые затем рассмотрим по-отдельности, и лишь на последнем этапе соберём все результаты воедино. На основании (2.2.1), (2.2.2) и (2.1.0) имеем VMBN = VMBN + B(a)VMGN(a) + GN(a)VMB{a). (2.2.12)
Величина VA/G,V(U) уже представлена в нужном нам виде в (2.1.26). Поэтому задача состоит лишь в том, чтобы выразить через полностью спроектированные тензоры первую и третью аддитивные части выражения, записанного справа от знака равенства в (2.2.12).
Лагранжиан геометрической теории грави-сильных взаимодействий
Аналогичный результат получался в пятимерной теории Калуцы для негеометрических электрически заряженных полей. Появление планковских масс частиц типично для многомерных геометрических теорий. В связи с этим возникает проблема перенормировки планковских масс уже в рамках восьмимерной теории.
Конформное преобразование
Предлагается геометрический способ перенормировки масс векторных (и иных) полей на основе процедуры конформного преобразования восьмимерного метрического тензора 8GMN = (XA)GMK, (3-1.22) где (жА) - скалярный конформный фактор, в общем случае зависящий от всех восьми координат, a GMN исходные для развиваемой 8-мертгой теории компоненты метрического тензора. Будем полагать, что все изложенное выше относилось к метрике G N, получившейся в результате конформного преобразования (3.1.22). Согласно общей теории конформных преобразований, к скалярной кривизне, из которой получались физические поля, должны быть добавлены слагаемые, содержащие производные от конформного (скалярного) фактора, так что для гиперплотности геометрического лагранжиана имеем где произведено переобозначение конформного фактора % = 3.
Основная идея этого подхода состоит в том, что дополнительное слагаемое (х) в (3.2.8) содержит квадратичные члены, описывающие взаимодействие скалярного поля \ с векторными физическими полями, которые в общем случае также дают массовые вклады в итоговую 4-мерную плотность лагранжиана, которыми при должном подборе коэффициентов в определении х{хЛ) можно добиться перенормировки планковских масс векторных полей.
Чтобы реализовать эту программу, найдём явный вид скалярного слагаемого (х). Для этого учтем, что в нашем случае на основании (2.2.15), (2.1.1), (2.1.3), а также (1.4.30)-(1.4.34), (3.1.4) для свертки ко-вариантноЙ производной от произвольного 8-мерного вектора Вк имеет место формула Далее следует положить By = д х и, кроме того, учесть (3.1.5), (3.1.12). (3.1.9).
В ряде работ [76,79] было показано, что развиваемая здесь процедура представляет собой геометрический аналог общеизвестного механизма Хиггса введения масс в калибровочной модели электрослабых взаимодействий. Конформный фактор х играет роль хиггеовского скалярного поля, экспериментальные поиски которого ведутся в ряде лабораторий мира.
В многомерной геометрической теории имеется возможность снять с повестки дня проблему обнаружения хиггеовского скалярного поля, зависящего от классических 4-мерных координат. Дело в том, что в 8-мерной теории имеются два (в каком-то смысле симметричных) набора координат: 4 классические координаты х и 4 скрытые координаты ха. Постулировалось, что ряд величин, например компоненты 4-мерной метрики g v или нейтральные векторные поля, зависит лишь от четырех классических координат. При некоторой симметрии двух наборов координат можно предположить, что могут быть величины, которые зависят лишь от дополнительных (скрытых) координат. Исходя из этого, постулируем, что конформный фактор х зависит лишь от скрытых размерно стей: - = 0, (3.1.26) т.е. принимаем условие цилиндричности конформного фактора по классическим координатам, альтернативное использованному в 5-мерной теории Калуцы условию цилиндричности компонент метрического тензора по дополнительной, пятой координате. Это означает присутствие скалярного поля эквивалентно во всех точках классического пространства-времени.
При данном постулате имеем СЫ) = 1 \д С,{а)Ои{Ъ)дадъХ- (3.1.27) Оставляя в силе ранее использованный постулат о циклическом характере зависимости величин от скрытых размерностей, определим конформный фактор в следующем виде X = 1 + фХ exp{ij3x4) + Ф1 ехр(— г/Зз4) +ф+ ехр[г 7( 5 + я6 + х7)] + ф_ ехр[ г7(х5 + х6 + х7)], (3.1.28) где 04 и ф± постоянные коэффициенты разложения конформного фактора в ряд по гармоникам скрытых размерностей. Эти коэффициепты позволяют перенормировать планковские значения масс векторных полей.
Данный выбор гармоник обосновывается следующими обстоятельствами: во-первых, сохраняется типичная для 8-мерной теории симметрия трех координат калуцевского типа, во-вторых, при данном показателе экспоненты конформного фактора не компенсируются каким-либо сочетанием экспонент от глюонных полей, содержащихся в 8-мерной скалярной кривизне, т.е. два типа вкладов в массовые слагаемые могут рассматриваться независимо друг от друга.
Кроме того, для общности рассмотрения в (3.1.28] введена возможная циклическая зависимость конформного фактора от клейновской координаты хА. Ниже будет показано, что она несущественна для перенормировки планковских масс.
Конформное преобразование (3.1.28) скажется и назначение первого слагаемого в (3.1.23). После усреднения по дополнительным координатам перед всеми слагаемыми появится множитель 1 + 2(ф2 + ф2:). Собирая вместе массовые вклады от двух типов слагаемых, находим в самом общем случае одинаковые значения масс для заряженных глюонов
В ста?тдартной квантовой хромодинамике глюоны имеют нулевые значения масс покоя. Развиваемую здесь теорию можно назвать полуклассической, которая может отличаться в некоторых моментах от стандартной квантовой калибровочной модели, тем не менее в рамках развиваемой 8-мерной теории можно достичь согласия в значениях масс глюонов, причем тремя способами:
Таким образом, описанным здесь способом достигается перенормировка (до нуля) планковских масс заряженных векторных глюонов. Вопрос о перенормировке планковских масс кварков в настоящей диссертации не затрагивается. Заметим лишь, что для его решения необходимо рассмотреть фермионный сектор 8-мерной теории с дополнением тетрады до октады, позволяющей описывать 16-компонентные спиноры, соответствую гпие используемому 8-мерному многообразию. Это отдельная большая задача, которая ждёт своего решения.
Лагранжиан геометрической теории грави - электрос лабых взаимодействий и проблема планковских значений бозонных масс
Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе. Во-первых, разработан общековариантный m-адный метод для п-мерной геометрической теории (кстати заметим, что фигурировавшее в тексте диссертации условие n-m=4 было введено с прицелом на физические приложения, в математическом аспекте все формулы останутся справедливыми и при менее жёстком условии п-т 1 — если произвести очевидные переобозначения).
В частности, определено количество типов обобщённых физико-геометрических тензоров и число независимых величин внутри каждого типа, получено выражение для обобщённых символов Кристоффеля (в расщеплённом виде), ковариантная производная от векторов m-ады представлена через (обобщенные) физико-геометрические тензоры и сами вектора т-ады, обобщены определения специальных операторов дифференцирования, для m-адных операторов дифференцирования первого типа получено выражение, обобщающее соответствующие формулы из монадного и диадного методов, для m-адных операторов дифференцирования второго типа доказано, что остаётся справедливой соответствующая формула из монадного метода, получено представление для ковариантной производной от произвольного n-вектора (в расщепленном виде), определено, какие (и на что действующие) коммутаторы специальных (m-адных) дифференциальных операторов необходимы для "вычисления" тензора Римана, и найдены выражения для них, получены результаты полного проектирования ковариантных производных от полных проекций ковариантных производных векторов т-ады.
Наконец, с использованием всего вышеперечисленного, в результате символьных операций получены (в расщеплённом виде) все проекции n-мерного тензора Римана (относящиеся к одному из шести существенно различных типов), все проекции n-мерного тензора Риччи, а также n-мерная скалярная кривизна. Все указанные величины представлены через обобщённые физико-геометрические тензоры, m-адныс операторы дифференцирования (действующие на ФГ-тензоры) и "четырёхмерные" части соответствующих расщепляемых величин.
Ешё раз подчеркнём, что все упомянутые формулы справедливы независимо от количества дополнительных размерностей и их сигнатуры. Во-вторых, на основе указанных выше результатов разработана методика перенормировки планковских значений масс заряженных глюо-нов в рамках восьмимерной геометрической теории грави - сильных взаимодействий.
В частности, проанализирован массовый бозонный сектор указанной теории, в результате чего подтверждено общее свойство теорий подобного рода — возникновение планковских значений масс заряженных полей, предложена процедура конформного преобразования исходной восьмимерной метрики на основе конформного фактора особого типа и получено явное выражение для конформно выделенной части геометрического лагранжиана, показано, что в результате данного конформного преобразования поля нейтральных глюонов остаются безмассовыми, а массы полей заряженных глюонов получают добавок того же планковского порядка, который (добавок) должным выбором констант можно сделать не просто отрицательным, но и в точности равным (по модулю) первоначальному (имевшемуся до конформного преобразования) значению либо на сколько угодно отличающимся от него. В-третьих, методика перенормировки планковских значений масс применена в рамках семимерной геометрической теории грави - электрослабых взаимодействий к заряженным W-бозонам.
В частности, проанализирован массовый бозонный сектор 7-мерной теории, в результате чего ещё раз подтверждено общее свойство теорий подобного рода генерировать планковские значения масс заряженных полей, показано, что указанное свойство присуще и редуцированному (из единой восьмимерной теории) варианту построения геометрической теории электрослабых взаимодействий, предложена процедура конформного преобразования исходной се-мимимерной метрики на основе конформного фактора, также как и в предыдущем случае не зависящего от классических координат, но имеющего иную структуру зависимостей от дополнительных координат, и получено явное выражение для конформно выделенной части геометрического лагранжиана семимерной теории, показано, что в результате конформного преобразования путём должного выбора значений свободных параметров теории одновременно можно добиться, чтобы а) поле Z-бозона приобрело массу, согласующуюся с наблюдаемым значением, б) электромагнитное поле осталось безмассовым, в) массы W-бозонов получили такой отрицательный добавок (поряд ка массы Планка), который вкупе с первоначальным (тоже планковским) значением приводит к наблюдаемой величине.
Приведённые результаты были опубликованы в работах [87],[88],[89] и докладывались на заседаниях научных семинаров Российского Гравитационного Общества и семинара "Геометрия и физика" на Физическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, ведущему научному сотруднику кафедры теоретической физики Юрию Сергеевичу Владимирову за предложенную тему, руководство работой и плодотворное сотрудничество.